Algèbre commutative, méthodes constructives: Modules projectifs de type fini

1118 Pages·2016·6.31 MB·French

by  Henri Lombardi

Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition.
Henri Lombardi & Claude Quitté
21 mai 2016 [10:57] Fichier:ACMC-1 chapitre:0
mathématiques en devenir
Texte pour la 2eédition française du livre
Algèbre commutative
Méthodes constructives
Modules projectifs de type fini
version actualisée le 21 mai 2016.
Nous avons corrigé des erreurs, rajouté des solutions d’exercices ainsi que
quelques compléments, et le nombre de pages a augmenté d’une centaine.
Aucune numérotation n’a changé, sauf le principe local-global XII-7.13
devenu XII-7.14.
Toutes précisions utiles sur le site :
http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html.
Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition.
Henri Lombardi & Claude Quitté
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Mathématiques en devenir
101. — Jacques Faraut. Analyse sur les groupes de Lie. Une introduction
102. — Patrice Tauvel. Corps commutatifs et théorie de Galois
103. — Jean Saint Raymond. Topologie, calcul différentiel et variable com-
plexe
104. — Clément de Seguins Pazzis. Invitation aux formes quadratiques
105. — Bruno Ingrao. Coniques projectives, affines et métriques
106. — Wolfgang Bertram. Calcul différentiel topologique élémentaire
107. — Henri Lombardi & Claude Quitté. Algèbre commutative. Méthodes
constructives. Modules projectifs de type fini
108. — Frédéric Testard. Analyse mathématique. La maîtrise de l’implicite
109. — Grégory Berhuy. Modules : théorie, pratique... et un peu d’arith-
métique
110. — Bernard Candelpergher. Théorie des probabilités. Une introduction
élémentaire
111. — PhilippeCalderoetJérômeGermoni.Histoireshédonistesdegroupes
et de géométries. Deux tomes.
112. — Gema-Maria Díaz-Toca, Henri Lombardi & Claude Quitté. Modules
sur les anneaux commutatifs.
Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition.
Henri Lombardi & Claude Quitté
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Henri Lombardi & Claude Quitté
Algèbre commutative
méthodes constructives
Modules projectifs de type fini
Cours et exercices
2eédition
Dernière mise à jour, 21 mai 2016
Calvage & Mounet
Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition.
Henri Lombardi & Claude Quitté
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Henri Lombardi. Maître de Conférences à l’Université de Franche-Comté
et membre de l’Équipe de Mathématique de Besançon (UMR 6623). Ses
recherches concernent les mathématiques constructives, l’algèbre réelle et la
complexité algorithmique.
Il est l’un des initiateurs du groupe international M.A.P. (Mathematics,
Algorithms, Proofs), créé en 2003 : voir le site
http://map.disi.unige.it/
Il a publié les ouvrages suivants.
– Modules sur les anneaux commutatifs, Calvage&Mounet, 2014, en
collaboration avec Gema Díaz-Toca et Claude Quitté.
– Épistémologie mathématique, Ellipse, 2011.
– Méthodes matricielles. Introduction à la complexité algébrique,
Springer, 2003, en collaboration avec Jounaïdi Abdeljaoued.
– Géométries élémentaires (tome 1), Presses Universitaires de
Franche-Comté. 1999.
[email protected] http://hlombardi.free.fr
Claude Quitté. Maître de conférences à l’Université de Poitiers et
membre du Laboratoire de Mathématiques et Applications de l’Université
de Poitiers (UMR 6086). Ses recherches concernent l’algèbre commutative
effective et le calcul formel. Il a enseigné à tous les niveaux (en particulier
dans la préparation à l’agrégation), et il est intervenu dans des
enseignements combinant mathématiques et informatique. Il a programmé
en Magma de très nombreux algorithmes en relation directe avec le présent
ouvrage (cours et/ou exercices).
En collaboration avec Patrice Naudin, il a publié l’ouvrage Algorithmique
algébrique, Masson, 1991.
Avec Henri Lombardi, il a participé à la rédaction de l’ouvrage collectif
Mathématiques L3 Algèbre. Pearson Education, 2009.
Il a publié Modules sur les anneaux commutatifs, Calvage&Mounet, 2014,
en collaboration avec Gema Díaz-Toca et Henri Lombardi.
[email protected]
Mathematics Subject Classification (2010)
– Primary : 13 Commutative Algebra.
– Secondary :
03F Proof theory and constructive mathematics.
06D Distributive lattices.
14Q Computational aspects of algebraic geometry.
ISBN 0000000000000
Imprimé sur papier permanent
0 000000 000000
(cid:13)c Calvage & Mounet, Paris, 201?
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à James Brewer
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Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition.
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Préface de la première
édition
Celivreestuncoursd’introductionàl’algèbrecommutativedebase,avecun
accent particulier mis sur les modules projectifs de type fini, qui constituent
la version algébrique des fibrés vectoriels en géométrie différentielle.
Nous adoptons le point de vue constructif, avec lequel tous les théorèmes
d’existenceontuncontenualgorithmiqueexplicite.Enparticulier,lorsqu’un
théorème affirme l’existence d’un objet, solution d’un problème, un algo-
rithme de construction de l’objet peut toujours être extrait de la démons-
tration qui est donnée.
Nous revisitons avec un regard nouveau et souvent simplificateur plusieurs
théories classiques abstraites. En particulier, nous revenons sur des théories
qui n’avaient pas de contenu algorithmique dans leur cadre naturel général,
commelathéoriedeGalois,celledesanneauxdeDedekind,celledesmodules
projectifs de type fini ou celle de la dimension de Krull.
L’algèbre constructive est en fait une vieille discipline, développée entre
autres par Gauss et Kronecker. Nous nous situons dans la lignée de la
hhbibleii moderne sur le sujet, qu’est le livre A Course in Constructive
Algebra de Ray Mines, Fred Richman et Wim Ruitenburg, paru en 1988.
Nous le citerons sous forme abrégée [MRR].
L’ouvrage correspond à un niveau de Master 2, du moins jusqu’au cha-
pitre XIV, mais ne réclame comme prérequis que les notions de base concer-
nant la théorie des groupes, l’algèbre linéaire sur les corps, les déterminants,
les modules sur les anneaux commutatifs, ainsi que la définition des an-
neaux quotients et localisés. Une familiarité avec les anneaux de polynômes,
les propriétés arithmétiques de Z et des anneaux euclidiens est également
souhaitable.
Signalons enfin que nous considérons les exercices et problèmes (un peu
plus de 320 en tout) comme une partie essentielle de l’ouvrage.
– vii –
Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition.
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viii Préface
Nous essaierons de publier le maximum de corrigés manquants, ainsi que
des exercices supplémentaires, sur la page web de l’un des auteurs :
http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html.
Remerciements.
Nous remercions tou(te)s les collègues qui nous ont encouragés dans notre
projet, nous ont apporté quelques sérieux coups de main ou fourni de
précieuses informations. Et tout particulièrement MariEmi Alonso, Thierry
Coquand, Gema Díaz-Toca, Lionel Ducos, M’hammed El Kahoui, Marco
Fontana, Sarah Glaz, Laureano González-Vega, Emmanuel Hallouin, Hervé
Perdry, Jean-Claude Raoult, Fred Richman, Marie-Françoise Roy, Peter
Schuster et Ihsen Yengui. Last but not least, une mention toute spéciale
pour notre expert Latex, François Pétiard.
Enfin,nousnesaurionsoublierleCentreInternationaldeRecherchesMathé-
matiques à Luminy et le Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach,
qui nous ont accueillis pour des séjours de recherche pendant la préparation
de ce livre, nous offrant des conditions de travail inappréciables.
Henri Lombardi, Claude Quitté
Août 2011
Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition.
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Préface de la deuxième
édition
Dans cette deuxième édition, nous avons corrigé les erreurs que nous avons
débusquées ou qui nous ont été signalées.
Nousavonsrajoutédessolutionsd’exercicesainsiquequelquescompléments.
Laplupartdescomplémentssontdescorrectionsd’exercicesoudenouveaux
exercices ou problèmes.
Les ajouts dans le cours sont les suivants. Un paragraphe sur les tenseurs
nuls ajouté à la fin de la section IV-4. Le paragraphe sur les quotients de
modules plats à la fin de la section VIII-1 a été étoffé. La section XII-8
a été rajoutée pour discuter un problème intéressant de décryptage des
démonstrations classiques, insensibles à la distinction entre anneaux sans
diviseur de zéro et anneaux intègres, pertinente du point de vue constructif.
Enfin, on a rajouté deux sections 8 et 9 dans le chapitre XV consacré aux
principes local-globals.
Aucune numérotation n’a changé, sauf le principe local-global XII-7.13
devenu XII-7.14. Le nombre de pages a augmenté d’une centaine.
Il y a maintenant 319 exercices et 45 problèmes.
L’éditionanglaisechezSpringercorrespondàtrèspeuprèsàcettedeuxième
édition française. Il manque cependant la section XII-8 ainsi que quelques
nouveaux exercices.
Toutes précisions utiles sur le site :
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Henri Lombardi, Claude Quitté
Mai 2014
– ix –
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