Algebre commutative (lecture notes)

297 Pages·2001·1.41 MB·French

by  Chambert-Loir A.

Antoine Chambert-Loir
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ALGEBRE COMMUTATIVE
Antoine Chambert-Loir
Centre de Mathe´matiques, E´cole polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex.
E-mail : [email protected]
Version du 29 novembre 2001, 16h51
Cecoursestlepolycopie´ d’uncoursenseigne´ parcorrespondancea` l’universite´ PierreetMarie
Curie (Paris 6) pendant l’anne´e scolaire 2000-2001.
La version la plus a` jour est disponible sur le Web a` l’adresse http://www.polytechnique.fr/
~chambert/teach/algcom.pdf
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ALGEBRE COMMUTATIVE
Antoine Chambert-Loir

Table des matie` res
Pre´sentation ................................................................ vii
Plan provisoire, viii.
1. De´finitions .............................................................. 1
Groupe, 1; Groupesabe´liens, 2; Anneaux, 2; Corps, 3; Espacesvectoriels, 3;
Alg`ebres, 3; Polynoˆmes, 3; Modules, 4; Cate´gories, 4; Foncteurs, 5;
Relations d’ordre, 5.
2. Anneaux, ide´aux, alge`bres ................................................ 7
Premi`eres proprie´te´s, 7; Ide´aux, 11; Morphismes, 15;
Alg`ebres et sous-anneaux, 16; Exercices, 19; Solutions, 20.
3. Anneau quotient, localisation ............................................ 25
Anneaux quotients, 25; Localisation, 30; Exercices, 37;
Solutions, 38.
4. Ide´aux premiers, maximaux .............................................. 43
Ide´aux premiers, ide´aux maximaux, 43; Le the´or`eme des ze´ros de Hilbert, 48;
Exercices, 53; Solutions, 55.
5. Anneaux principaux, factoriels .......................................... 63
De´finitions, 63; Anneaux factoriels, 65; Sommes de carre´s, 70;
Anneaux de polynoˆmes, 73; Re´sultant. Un the´or`eme de Be´zout, 76;
Exercices, 81; Solutions, 82.
6. Modules .................................................................. 87
Premiers pas, 87; Ope´rations sur les modules, 90; Ge´ne´rateurs, bases, modules
libres, 94; Quotients de modules, 95; Localisation des modules, 98;
Exercices, 102; Solutions, 104.
vi TABLE DES MATIE`RES
7. Modules de type fini. Anneaux noethe´riens ..............................113
Modules de type fini, 113; Modules noethe´riens. Ge´ne´ralite´s, 116;
Alg`ebres de polynoˆmes, 119; Un the´or`eme de Hilbert, 121;
Ide´aux premiers minimaux, 125; Exercices, 128; Solutions, 129.
8. Modules de type fini sur un anneau principal ............................135
Sous-modules d’un module libre, 135; Modules de type fini, 139;
Exemples, 144; Exercices, 147; Solutions, 149.
9. Corps et alge`bres ........................................................155
E´le´ments entiers, alge´briques, 155; Extensions enti`eres, alge´briques, 158;
Construction d’extensions alge´briques, 161; Exercices, 165;
Solutions, 166.
10. Alge`bre homologique ....................................................173
Suites exactes, 173; Suites exactes scinde´es. Modules projectifs et injectifs, 176;
Foncteurs exacts, 181; Modules diffe´rentiels. Homologie et cohomologie, 184;
Exercices, 189; Solutions, 191.
11. Produit tensoriel ........................................................195
De´finition, 195; Quelques proprie´te´s, 198; Changement de base, 203;
Adjonction et exactitude, 205; Exercices, 207; Solutions, 209.
12. Modules, II ..............................................................215
Longueur, 215; Modules et anneaux artiniens, 218;
Support et ide´aux associe´s, 222; De´composition primaire, 226; Exercices, 230;
Solutions, 233.
13. Extensions de corps ....................................................241
Corps finis, 241; Se´parabilite´, 243; The´orie de Galois, 246;
Comple´ments, 251; Degre´ de transcendance, 255; Exercices, 259;
Solutions, 262.
14. Alge`bres de type fini sur un corps ......................................273
Le the´or`eme de normalisation de Noether, 273; Finitude de la cloˆture
inte´grale, 276; Dimension et degre´ de transcendance, 278; Exercices, 280;
Solutions, 281.
Bibliographie ..............................................................285
Index ......................................................................287
Pre´ sentation
Lecœurdel’alge`brecommutativeestlanotiond’anneau(commutatifunitaire)
qui est la structure alge´brique correspondant aux concepts colle´giens d’addi-
tion, de soustraction et de multiplication. Par la`, elle a deux grands champs
d’application :
– l’arithme´tique, via diverses notions comme la divisibilite´, les ide´aux, les
nombres premiers, la re´duction modulo un nombre premier, etc.;
– la ge´ome´trie (alge´brique) qui e´tudie les parties de Cn de´finies par des
e´quations polynoˆmiales.
Cependant, elle permet aussi de re´interpre´ter des structures pre´ce´demment
e´tudie´es au cours du cursus universitaire. Par exemple, la the´orie des modules
sur un anneau principal fournit a` la fois
– un the´ore`me de structure pour les groupes abe´liens finis a` savoir que pour
tout groupe abe´lien fini G, il existe une unique suite d’entiers (d ;:::;d ) tels
1 r
que d divise d ...qui divise d tel que G = (Z=d Z)(cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:8)(Z=d Z).
1 2 r 1 r
– une condition ne´cessaire et suffisante calculable pour savoir si deux matrices
de R sont semblables.
M ( )
n
Ce cours est constitue´ d’une quinzaine de chapitres. Chaque chapitre sauf le
premier contient
– des e´nonce´s (propositions, the´ore`mes);
– leur de´monstration;
– des exercices dans le corps du texte dont la solution n’est pas donne´e : elle
se trouve d’une fac¸on ou d’une autre dans l’e´nonce´ ou dans la de´monstration
d’un re´sultat du cours. L’e´tudiant ayant appris convenablement le cours est cense´
eˆtre en mesure de les re´soudre sans effort notable;
– un paragraphe d’exercices (entre 5 et 10), et leur solution au paragraphe
suivant. Ces exercices constituent les feuilles de TD et doivent eˆtre cherche´s.
D’abord sans l’aide de la correction pendant un temps raisonnable (ne pas
de´clarer forfait avant au moins une heure), puis avec la correction
viii PRE´SENTATION
Les e´nonce´s et leurs de´monstrations doivent eˆtre sus, les exercices assimile´s.
Plan provisoire
1. De´finitions;
2. Anneaux, ide´aux;
3. Anneaux quotients, localisation;
4. Ide´aux premiers, maximaux. Le the´ore`me des ze´ros de Hilbert;
5. Anneaux principaux, anneaux factoriels. Le the´ore`me de Be´zout;
6. Modules. Modules quotients, localisation;
7. Produit tensoriel;
8. Alge`bre homologique;
9. Modules de type fini. Anneaux noethe´riens;
10. Modules de type fini sur un anneau principal;
11. E´le´ments entiers, alge´briques. Degre´ de transcendance;
12. Modules simples, longueur. Anneaux et modules artiniens;
13. Alge`bres de type fini sur un corps.
1
De´finitions
Dans ce chapitre, nous regroupons la plupart des de´finitions importantes. Il est impor-
tant de les apprendre tout de suite, mˆeme si certaines structures ne seront pas e´tudie´es
avant plusieurs chapitres. Les manier d`es le de´but du cours fournit cependant un
langage commode a` l’alge´briste et permet d’aborder des exemples plus inte´ressants.
1.1. Groupe
Un groupe est un ensemble G muni d’une ope´ration interne (g;g0) 7! g (cid:3)g0
ve´rifiant les proprie´te´s suivantes :
– il existe un e´le´ment e 2 G tel que pour tout g 2 G, e(cid:3)g = g(cid:3)e = g (existence
d’un e´le´ment neutre);
– pour tout g 2 G, il existe g0 2 G tel que g (cid:3)g0 = g0 (cid:3)g = e (existence d’un
inverse);
– pour tous g, g0, g00 dans G, on a g (cid:3)(g0 (cid:3)g00) = (g (cid:3)g0)(cid:3)g00 (associativite´).
De nombreuses autres notations existent pour la loi interne : outre (cid:3), citons
(cid:1), (cid:2), +, (cid:15), (cid:3), :, etc. Quand il ne peut pas y avoir de confusion, il est souvent
courant de ne pas mettre de symbole et de noter tout simplement gg0 le produit
de deux e´le´ments g et g0 d’un groupe G. Surtout quand la loi est note´ (cid:1), l’inverse
d’un e´le´ment g est note´ g(cid:0)1.
L’e´le´ment neutre peut aussi eˆtre note´ e (s’il y a plusieurs groupes), 1, ou
G
, ou (ou ) si la loi est note´e .
1 0 0 +
G G
Comme exemplesdegroupes, citons le groupe S des permutations de l’ensemble
n
f1;:::;ng (la loi est la composition), le groupe Z des entiers relatifs (pour
l’addition), l’ensemble des re´els non nuls (pour la multiplication), tout espace
vectoriel (pour l’addition), l’ensemble des matrices n (cid:2) n inversibles (pour la
multiplication), l’ensemble des matrices n (cid:2) n orthogonales (encore pour la
multiplication).
2 CHAPITRE 1. DE´FINITIONS
Si G et H sont deux groupes, un homomorphisme de groupes f : G ! H est une
application f telle que f(gg0) = f(g)f(g0) pour tous g et g0 dans G. Si f : G ! H
est un homomorphisme, on a f(e ) = e et pour tout g 2 G, f(g(cid:0)1) = f(g)(cid:0)1.
G H
1.2. Groupes abe´liens
On dit qu’un groupe est abe´lien si sa loi est commutative, c’est-a`-dire si
G
pour tous g et g0 2 G, on a g(cid:3)g0 = g0(cid:3)g. Dans ce cas, on note souvent la loi +,
(cid:0)g l’inverse d’un e´le´ment g et 0 ou 0 l’e´le´ment neutre; on l’appelle addition.
G
1.3. Anneaux
Un anneau est un groupe abe´lien note´ additivement muni d’une ope´ration
A
de multiplication (a;b) 7! ab et d’un e´le´ment 1 tel que pour tous a, b, c dans A,
on ait
– associativite´ : a(bc) = (ab)c;
– commutativite´ : ab = ba;
– e´le´ment neutre : 1a = a;
– distributivite´ : a(b+c) = ab+ac.
Les anneaux ainsi de´finis sont commutatifs et unitaires. On rencontre aussi des
anneaux non commutatifs dans lequel la relation de commutativite´ n’est pas
impose´e; il faut alors renforcer la proprie´te´ de l’e´le´ment neutre en imposant a`
1
d’eˆtre un e´le´ment neutre a` la fois a` droite et a` gauche : 1a = a1 = a, ainsi que la
proprie´te´ de distributivite´ en rajoutant l’axiome (a+b)c = ac+bc. Toutefois, sauf
pre´cision supple´mentaire, les anneaux seront toujours suppose´s commutatifs.
Comme exemples d’anneaux, citons l’anneau Z des entiers relatifs, mais aussi
lescorps Qdesnombresrationnels,Rdesnombresre´els,etc.Citonsaussil’anneau
R des polynoˆmes en une inde´termine´e a` coefficients re´els et les anneaux
[X]
Ck(I;R) des fonctions k-fois continuˆment de´rivables d’un intervalle I de R a`
valeurs dans R. Dans ce dernier cas, le fait que la loi soit bien de´finie revient
a` l’e´nonce´ bien connu selon lequel la somme et le produit de fonctions k-fois
continuˆment de´rivables le sont aussi. Un exemple d’anneau non commutatif
est fourni par l’ensemble des matrices n (cid:2) n a` coefficients dans un anneau A
quelconque, par exemple R .
M ( )
n
Soit a un e´le´ment d’un anneau A. S’il existe b 2 A tel que ab = 1, on dit que
a est inversible. L’ensemble des e´le´ments inversibles de A forme un groupe pour
la multiplication, d’e´le´ment neutre .
1
Si et sont deux anneaux, un homomorphisme d’anneaux de dans
A B A B
est une application f : A ! B telle que l’on ait pour tous a et a0 2 A,
– f(0 ) = 0 , f(1 ) = 1 ;
A A A B