Álgebra Linear I

200 Pages·2010·1.678 MB·Portuguese

by  Isabel Lugão Rios, Luiz Manoel Figueiredo, Marisa Ortegoza da Cunha

(cid:49)(cid:32)(cid:101)(cid:32)(cid:50) (cid:49)
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(cid:51)(cid:170)(cid:32)(cid:101)(cid:100)(cid:105)(cid:231)(cid:227)(cid:111)
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(cid:77)(cid:97)(cid:114)(cid:105)(cid:115)(cid:97)(cid:32)(cid:79)(cid:114)(cid:116)(cid:101)(cid:103)(cid:111)(cid:122)(cid:97)(cid:32)(cid:100)(cid:97)(cid:32)(cid:67)(cid:117)(cid:110)(cid:104)(cid:97)
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Álgebra Linear l
Volume 1 - Módulos 1 e 2 Isabel Lugão Rios
3ª edição
Luiz Manoel Figueiredo
Marisa Ortegoza da Cunha

Apoio:
Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001
Tel.: [phone] Fax: [phone]
Presidente
Masako Oya Masuda
Vice-presidente
Mirian Crapez
Coordenação do Curso de Matemática
UFF - Regina Moreth
UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca
Material Didático
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Departamento de Produção
Isabel Lugão Rios
Luiz Manoel Figueiredo EDITORA PROGRAMAÇÃO VISUAL
Marisa Ortegoza da Cunha Tereza Queiroz Marcelo Freitas
COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO COORDENAÇÃO EDITORIAL ILUSTRAÇÃO
INSTRUCIONAL Jane Castellani Fabiana Rocha
Cristine Costa Barreto Fabio Muniz
REVISÃO TIPOGRÁFICA
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Equipe CEDERJ CAPA
E REVISÃO Sami Souza
COORDENAÇÃO DE
Alexandre Rodrigues Alves
PRODUÇÃO PRODUÇÃO GRÁFICA
Carmen Irene Correia de Oliveira
Jorge Moura Patricia Seabra
Gláucia Guarany
Janaina Silva
Leonardo Villela
COORDENAÇÃO DE LINGUAGEM
Maria Angélica Alves
Copyright © 2006, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio
eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.
972m
Figueiredo, Luiz Manoel.
Álgebra linear I. v.1 / Luiz Manoel Figueiredo.
– 3.ed. – Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010.
196p.; 21 x 29,7 cm.
ISBN: 85-89200-44-2
1. Álgebra linear. 2. Vetores. 3. Matrizes. 4. Sistemas
lineares. 5. Determinantes. 6. Espaços vetoriais.
7. Combinações lineares. 8. Conjuntos ortogonais e
ortonormais I. Rios, Isabel Lugão II. Cunha, Marisa Ortegoza
da. III. Título.
CDD:512.5
2010/1
Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
Governo do Estado do Rio de Janeiro
Governador
Sérgio Cabral Filho
Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia
Alexandre Cardoso
Universidades Consorciadas
UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO
NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO RIO DE JANEIRO
Reitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho Reitor: Aloísio Teixeira
UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL
RIO DE JANEIRO DO RIO DE JANEIRO
Reitor: Ricardo Vieiralves Reitor: Ricardo Motta Miranda
UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO
Reitor: Roberto de Souza Salles DO RIO DE JANEIRO
Reitora: Malvina Tania Tuttman

Álgebra Linear l
Volume 1 - Módulos 1 e 2
SUMÁRIO §1 - Vetores, matrizes e sistemas lineares ______________________________7
Aula 1 – Matrizes _______________________________________________9
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 2 – Operações com matrizes: transposição, adição e
multiplicação por número real _____________________________ 17
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 3 – Operações com matrizes: multiplicação ______________________ 29
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 4 – Operações com matrizes: inversão __________________________ 39
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 5 – Determinantes _________________________________________ 49
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 6 – Sistemas lineares _______________________________________ 59
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 7 – Discussão de sistemas lineares _____________________________ 73
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 8 – Espaços vetoriais _______________________________________ 83
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 9 – Subespaços vetoriais ____________________________________ 95
Marisa Ortegoza da Cunha
Aula 10 – Combinações lineares _________________________________ 105
Marisa Ortegoza da Cunha
Aula 11 – Base e dimensão _____________________________________ 115
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 12 – Dimensão de um espaço vetorial _________________________ 123
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 13 – Soma de subespaços __________________________________ 135
Luiz Manoel Figueiredo
Aula 14 – Espaços vetoriais com produto interno ____________________ 149
Marisa Ortegoza da Cunha
Aula 15 – Conjuntos ortogonais e ortonormais ______________________ 161
Marisa Ortegoza da Cunha
Aula 16 – Complemento ortogonal _______________________________ 173
Isabel Lugão Rios
Aula 17 – Exercícios resolvidos __________________________________ 181
.
x1. Vetores, matrizes e sistemas lineares
O que (cid:19)e A(cid:19)lgebra Linear? Por que estuda(cid:19)-la?
(cid:19)
A Algebra Linear (cid:19)e a a(cid:19)rea da Matema(cid:19)tica que estuda todos os aspectos
relacionados com uma estrutura chamada Espac(cid:24)o Vetorial. Estrutura matema(cid:19)tica (cid:19)e um
conjunto no qual sa~o de(cid:12)ni-
Devido a(cid:18)s suas caracter(cid:19)(cid:16)sticas, essa estrutura permite um tratamento
das operac(cid:24)o~es. As proprie-
alg(cid:19)ebrico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computa- dades dessas operac(cid:24)o~es \es-
truturam"o conjunto. Tal-
cional. A A(cid:19)lgebra Linear tem aplicac(cid:24)o~es em inu(cid:19)meras a(cid:19)reas, tanto da mate-
vezvoc^eja(cid:19)tenhaouvidofalar
ma(cid:19)ticaquantodeoutroscamposdeconhecimento, comoComputac(cid:24)a~oGra(cid:19)(cid:12)ca, em algumadas principaises-
truturas matema(cid:19)ticas, como
Gen(cid:19)etica, Criptogra(cid:12)a, Redes El(cid:19)etricas etc.
grupo, anel e corpo. Voc^e
estudara(cid:19)essasestruturasnas
Nas primeiras aulas deste mo(cid:19)dulo estudaremos algumas ferramentas
disciplinasdeA(cid:19)lgebra.
para o estudo dos Espac(cid:24)os Vetoriais: as matrizes, suas operac(cid:24)o~es e proprie-
dades; aprenderemos a calcular determinantes e, (cid:12)nalmente, aplicaremos esse
conhecimento para discutir e resolver sistemas de equac(cid:24)o~es lineares. Muitos
dos principais problemas da f(cid:19)(cid:16)sica, engenharia, qu(cid:19)(cid:16)mica e, (cid:19)e claro, da ma-
tema(cid:19)tica, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de
equac(cid:24)o~es lineares. A partir da Aula 8, estaremos envolvidos com A(cid:19)lgebra Li-
near propriamente dita e esperamos que voc^e se aperceba, ao longo do curso,
de que se trata de uma das a(cid:19)reas mais lu(cid:19)dicas da Matema(cid:19)tica!!.
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CEDERJ