Álgebra Geométrica e o Algoritmo de Grover

93 Pages·2013·2.11 MB·Portuguese

Rafael Santos de Oliveira Alves
Álgebra de Clifford Aplicada ao Cálculo de Estruturas Moleculares
CAMPINAS
2013
i
ii
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA
E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA
Rafael Santos de Oliveira Alves
Álgebra de Clifford Aplicada ao Cálculo de Estruturas Moleculares
Orientador(a): Prof. Dr. Carlile Campos Lavor
Tese de doutorado apresentada ao Instituto de
Matemática, Estatística e Computação Científica da Unicamp para
obtenção do título de Doutor em Matemática Aplicada
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA TESE
DEFENDIDA PELO ALUNO RAFAEL SANTOS DE OLIVEIRA ALVES,
E ORIENTADA PELO PROF.DR CARLILE CAMPOS LAVOR
Assinatura do Orientador
CAMPINAS
2013
iii
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Alves, Rafael Santos de Oliveira, 1982-
AL87a AlvÁlgebra de Clifford aplicada ao cálculo de estruturas moleculares / Rafael
Santos de Oliveira Alves. – Campinas, SP : [s.n.], 2013.

AlvOrientador: Carlile Campos Lavor.
AlvTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de
Matemática, Estatística e Computação Científica.

Alv1. Clifford, Álgebra de. 2. Geometria molecular. 3. Geometria de distâncias. I.
Lavor, Carlile Campos,1968-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de
Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em inglês: Clifford Algebras applied to molecular structure calculations
Palavras-chave em inglês:
Clifford Algebras
Molecular structure
Distance geometry
Área de concentração: Matemática Aplicada
Titulação: Doutor em Matemática Aplicada
Banca examinadora:
Carlile Campos Lavor [Orientador]
Waldyr Alves Rodrigues Junior
Antonio Mucherino
Antonio Murilo Santos Macedo
Leandro Augusto Frata Fernandes
Data de defesa: 25-02-2013
Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada
iv
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

Agradecimentos
Em primeiro lugar agradeço aos meus pais, Rui e Guida, pelo apoio e compreensão durante
todo o período, me proporcionando toda a tranquilidade para que o trabalho fosse realizado.
Agradeço também o apoio de meus irmãos, Nelson e Eduardo, e de minhas cunhadas, Renata
e Renata, sempre presentes durante toda a jornada. Vocês tornaram possível a realização deste
trabalhodoinícioaofim.
ÀminhacompanheiraMarianaSacrini,peladedicação,compreensãoecompanheirismoem
todososmomentos. Enãoapenasnosúltimosquatro,masjáháquaseseteanossempreaomeu
lado me dando todo o apoio possível. Obrigado por ter sido fudamental para que tudo desse
certo.
Agradeço a todos os meus amigos, simplesmente pela sua amizade nesses últimos quatro
anos. Cito especialmente os amigos que estão ou estiveram comigo na Unicamp e no Círculo
MilitardeSãoPaulo,quepuderamestarmaispróximos,masagradeçoatodosquetambémnão
fazempartedestesgrupos,esãoigualmenteimportantes.
Aos funcionários do IMECC, que sempre foram solícitos e eficientes. Agradeço especial-
menteàLivia,aoEdnaldoeprincipalmenteàTania,todosdaSecretariadePósGraduação,aos
quaisdeibastantetrabalhoesempremeorientarameajudaramdamelhormaneirapossível. Ao
Professor Dr. Aurélio Ribeiro Leite de Oliveira, enquanto Coordenador de Pós-Graduação da
MatemáticaAplicadaeposteriormentecomoCoordenadorGeraldePós-GraduaçãodoIMECC,
pela grande ajuda no decorrer do curso e pela confiança. E aos demais professores do IMECC
quedealgumaformacontribuíramparaqueotrabalhofosseconcluído.
Ao amigo e orientador Professor Dr. Carlile Campos Lavor, com quem tenho o prazer de
trabalhardesde2006,apartirdoMestrado,umenormeagradecimento. Poracreditaremmime
notrabalhodoinícioaofim,atéemmomentosemqueeumesmotinhadúvidas,medandotodo
vi
RafaelSantosdeOliveiraAlves
o respaldo e a confiança necessários para seguir em frente. Agradeço pelo desafio de explorar
novasáreasedesenvolvernovastécnicas,pormeproporcionarumanovaexperiênciaacadêmica
e pessoal através de um estágio acadêmico no exterior. Período fundamental para a conclusão
destetrabalho.
AgradeçoàUniversidadedeRennesI,França,especialmenteaoIRISA,portermerecebido
durante o segundo semestre de 2012. Agradeço ao Professor Dr. Antonio Mucherino, que se
tornouumamigo,pelaoportunidadeepelasupervisãoemRennes,portodaaajudaduranteeste
período,desdeaadaptaçãoàcidadeeàuniversidade,atéodesenvolvimentoefetivodotrabalho.
Agradeço muito pelo esforço e pelo tempo dedicado, fundamentais para a conclusão da parte
principaldestetrabalho.
Ao Engenheiro de Softwares Dr. Andrea Cassioli, da École Polytechnique de Paris, regis-
tro também um grande agradecimento. Por ter passado um período em Rennes trabalhando
incansavelmente comigo no processo de implementação de nosso algoritmo, e estar continua-
mente dedicado a este trabalho. Tem sido importantíssimo no desenvolvimento do algoritmo e
na obtenção dos resultados computacionais. Faço ainda um agradecimento ao Engenheiro de
ComputaçãodaUnicamp,ThiagoGodoi,pelacolaboraçãoparaqueeumefamiliariza-secoma
programação em C. Agradeço também ao Professor Dr. Dietmar Hildenbrand da Universidade
de Tecnologia de Darmstadt, Alemanha, pela grande ajuda e incentivo no início do trabalho
com o modelo conforme das álgebras de Clifford, estando sempre disposto a colaborar desde o
primeirocontatopore-mail,em2009.
Por fim, agradeço ao CNPq pelo apoio financeiro, que permitiu dedicar-me exlusivamente
aodesenvolvimentodestetrabalho.
Campinas, RafaelSantosdeOliveiraAlves
25defevereirode2013.
vii
Abstract
TheMolecularDistanceGeometryProblem(MDGP)consistsinfindingathree-
dimensionalembeddingofsimple,weighted,undirectedgraphsuchthattheweight
intheedgescorrespondtotheinter-atomicdistancesofamolecule. Thisisaconti-
nuous search problem which can be discretized under some assumptions, yielding
theDiscretizedMDGP(DMDGP),whichissolvedbyaBranchandPrune(BP)al-
gorithmusinginformationaboutthedistancesamongsomeatomsofthemolecule.
Ifthedistancesaregivenbyasetoflowerandupperbounds,anewproblemarises:
the interval DMDGP (iDMDGP). From a geometric interpretation of this problem,
we propose a new approach, using Clifford Algebras, in order to improve the BP
efficiencyandtreatalgebraicallytheissuesrelatedtointervaldistances.
viii
Resumo
OProblemadeGeometriadeDistânciasMoleculares(PGDM)consisteemen-
contrar uma imersão tridimensional de um grafo simples, não orientado, de forma
que o peso nas arestas corresponda às distâncias inter-atômicas de uma molécula.
Este é um problema de busca em um espaço contínuo, mas que pode ser discreti-
zadosobalgumasexigências,dandoorigemaoPGDMdiscretizado(PGDMD),que
é solucionado usando informações sobre distâncias entre alguns átomos da molé-
cula através de um algoritmo Branch and Prune (BP). Caso as distâncias sejam
dadasporumconjuntodelimitesinferioresesuperiores,temosumnovoproblema:
o PGDMD intervalar (iPGDMD). A partir da interpretação geométrica deste úl-
timo, propomos uma nova abordagem utilizando a Álgebra de Clifford a fim de
tornaroalgoritmoBPmaiseficienteedepodertrataralgebricamenteosproblemas
relacionadosaotratamentodasdistânciasintervalares.
ix
Sumário
Agradecimentos vi
Abstract viii
Resumo ix
1 Introdução 1
2 OProblemadeGeometriadeDistânciasMoleculares 4
2.1 PGDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 PDGDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 DiscretizaçãodoPGDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 PosiçãoEspacialdosÁtomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.1 Complexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 AlgoritmoBranchandPrune(BP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.1 EstruturadoAlgoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 ResultadosComputacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 PDGDMIntervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7.1 DefiniçãodoiPDGDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7.2 InstânciasdoiPDGDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
x