Table Of ContentALGEBRA 2014
JOUNI PARKKONEN
Tämä teksti on kevään 2014 kurssien Algebra 1A ja Algebra 1B oppimateriaa-
li. Kurssit muodostavat johdatuksen abstraktiin algebraan, jota havainnollistetaan
useilla ”konkreettisilla” esimerkeillä matematiikan eri aloilta. Tapaamme yhteyksiä
esimerkiksi naiiviin joukko-oppiin, lineaarialgebraan, geometriaan ja lukuteoriaan.
Kurssi Algebra 1A kattaa luvut 1–7. Kurssin aluksi luvuissa 1–3 tutustutaan
laskutoimituksen käsitteeseen ja erilaisiin laskutoimituksiin sekä homomorfismeihin
laskutoimituksella varustettujen joukkojen välillä. Luvuissa 4–7 tutustutaan ryhmä-
teorian perusasioihin normaaleihin aliryhmiin ja tekijäryhmiin saakka.
Kurssi Algebra 1B antaa perustiedot renkaiden ja kuntien teoriasta. Luvuissa 11
ja 12 tutustutaan polynomirenkaisiin. Viimeisessä luvussa tutustutaan ideaaleihin
ja tekijärenkaisiin ja teoriaa sovelletaan äärellisten kuntien konstruktiossa.
Keskeisessä osassa molemmilla kursseilla on abstrakti algebra, jossa tehdään pää-
telmiä, kun laskutoimitusten jotkin ominaisuudet tunnetaan. Lisäksi tarkastelemme
kuvauksia, jotka ovat yhteensopivia algebrallisten rakenteiden kanssa.
Yksi algebran keskeinen ajatus on se, että erilaisissa matemaattisissa yhteyksissä
tunnistetaan samankaltaisia rakenteita. Jos tunnistetaan jokin tunnettu algebralli-
nen rakenne (ryhmä, rengas,...), voidaan tarkasteltavaa tilannetta usein ymmärtää
paremmin näille algebrallisille rakenteille todistettujen yleisten tulosten avulla.
Kurssimateriaalissa käsitellään lyhykäisesti kompleksilukuja (luvut 2 ja 12), koko-
naislukujen jaollisuutta ja alkulukuja ja jäännösluokkarenkaita (kongruenssiluokkia)
(luvut 3 ja 9). Tarkastelussa keskitytään näiden kurssien kannalta oleellisimpaan ai-
nekseen ja perusteellisempi käsittely jää muille kursseille.
Sisältö
Merkintöjä 2
Kiitokset 2
1. Laskutoimitukset 3
2. Kompleksiluvut 12
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut 17
4. Ryhmät 23
5. Aliryhmät 30
6. Symmetriset ryhmät 36
7. Normaalit aliryhmät ja tekijäryhmät 45
8. Renkaat 54
9. Renkaat Z ja Z/qZ 62
10. Kunnat ja kokonaisalueet 68
11. Polynomit 75
12. Polynomien juuret 81
13. Jako alkutekijöihin ja Eukleideen alueet 87
14. Ideaalit ja tekijärenkaat 91
Lukemista 100
Viitteet 100
1
Merkintöjä
Luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla
N = {0,1,2,3,...}.
———
Joukkojen A,B ⊂ C joukko-opillista erotusta merkitään
A−B = {a ∈ A : a ∈/ B}.
———
Jos C on matriisi, merkintä C tarkoittaa sen lm-kerrointa, joka on rivillä l ja sa-
lm
rakkeessa m. Diagonaalimatriisi on n × n-matriisi, D = diag(a ,a ,...,a ) , jolle
1 2 n
D = a kaikilla k ∈ {1,2,...,n} ja kaikki muut kertoimet ovat nollia. Erityista-
kk k
paus n×n-diagonaalimatriisista on I = diag(1,1,...,1).
n
———
Positiivisten reaalilukujen joukko on R =]0,∞[. Funktio log: R → R on luonnol-
+ +
linen logaritmi.
———
Tarkasteltaessa kuvauksia joukosta X joukkoon Y, jos y ∈ Y, niin y: X → Y on
vakiokuvaus, jolle y(x) = y kaikille x ∈ X.
———
Jokaisen luvun lopussa on kokoelma harjoitustehtäviä. Osaan tehtävistä on alaviit-
teessä numeroitu vihje.
Kiitokset
Henna Koivusalo auttoi materiaalin työstämisessä kesällä 2007. Materiaalin viimei-
simpiä versioita valmistettaessa Lassi Kuritun kommentit ovat olleet suurena apuna.
Kiitokset kuuluvat myös muille, jotka ovat tuoneet tietooni tekstissä olleita paino-
virheitä ja muita ongelmia.
2
1. Laskutoimitukset
Tässä luvussa määrittelemme useita kurssin keskeisiä käsitteitä ja tutustumme
niiden perusominaisuuksiin.
Määritelmä 1.1. Epätyhjän joukon A laskutoimitus on kuvaus ∗: A × A → A.
Laskutoimituksella varustettu joukko eli magma on pari (A,∗), missä ∗ on joukon A
laskutoimitus.
Laskutoimituksen tulosta merkitään yleensä a ∗ a(cid:48) = ∗(a,a(cid:48)). Laskutoimitus on
siis sääntö, joka liittää joukon A alkioiden a ja a(cid:48) muodostamaan järjestettyyn pariin
(a,a(cid:48)) joukon A alkion a∗a(cid:48).
Esimerkki 1.2. Luonnollisten lukujen N ja kokonaislukujen Z, rationaalilukujen
Q ja reaalilukujen R yhteen- ja kertolasku ovat laskutoimituksia: (m,n) (cid:55)→+ m+n,
·
(m,n) (cid:55)→ m · n = mn. Tässä (kuten lähes aina) kertolaskun merkki · jätetään
kirjoittamatta ja kertolaskun tulosta merkitään mn.
Jos ∗ on laskutoimitus joukossa A ja ∗ on laskutoimitus joukossa B, niiden
A B
avulla voidaan määritellä laskutoimitus joukossa A×B:
((a,b),(a(cid:48),b(cid:48))) (cid:55)→ (a∗ a(cid:48),a∗ b(cid:48)).
A B
Tätä laskutoimitusta kutsutaan laskutoimitusten ∗ ja ∗ tulolaskutoimitukseksi tai
A B
tuloksi. Laskutoimitusten ∗ ja ∗ tulolla varustettu varustettu joukko (A×B,∗)
A B
on laskutoimituksella varustettujen joukkojen (A,∗ ) ja (B,∗ ) tulo. Vastaavalla
A B
tavalla voidaan määritellä laskutoimituksia useamman joukon karteesiseen tuloon.
Esimerkki 1.3. Avaruudessa Rn määritellään komponenteittainen yhteenlasku vas-
taavalla tavalla
x+y = (x ,...,x )+(y ,...,y ) = (x +y ,...,x +y ).
1 n 1 n 1 1 n n
Edellä tarkastellut esimerkit liittyvät kaikki tavanomaiseen “luvuilla laskemiseen”.
Laskutoimituksenkäsiteonkuitenkinpaljonlaajempi,kutenseuraavistaesimerkistä
alkaa ilmetä:
Esimerkki 1.4. (a) Joukon X osajoukot muodostavat potenssijoukon
P(X) = {A : A ⊂ X}.
Esimerkiksi, kun X = {0,1}, niin
P(X) = (cid:8)∅,{0},{1},{0,1}(cid:9).
Joukkojen leikkaus (A,B) (cid:55)→ A∩B ja yhdiste (A,B) (cid:55)→ A∪B ovat laskutoimituksia
potenssijoukossa P(X).
(b) Olkoon X (cid:54)= ∅ ja olkoon
F(X) = {f: X → X}.
Kuvausten yhdistäminen on laskutoimitus joukossa F(X): (f,g) (cid:55)→ f ◦g.
(c) Olkoon M (R) reaalisten n × n–matriisien joukko. Lineaarialgebran kursseilla
n
määritellään kaksi laskutoimitusta joukossa M (R). Matriisien yhteenlasku määri-
n
tellään komponenteittain asettamalla
(A+B) = (A +B )
ij ij ij
kaikilla 1 ≤ i,j ≤ n. Matriisien kertolasku määritellään asettamalla
n
(cid:88)
(AB) = A B
ij ik kj
k=1
3
kaikilla 1 ≤ i,j ≤ n.
Erityisesti dimensiossa 2 saadaan laskutoimitukset
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
a a b b a +b a +b
11 12 + 11 12 = 11 11 12 12
a a b b a +b a +b
21 22 21 22 21 21 22 22
ja
(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
a a b b a b +a b a b +a b
11 12 11 12 = 11 11 12 21 11 12 12 22
a a b b a b +a b a b +a b
21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22
(d) Kahden alkion muodostamassa joukossa X = {0,1} on 16 eri laskutoimitusta:
Joukossa
(cid:8) (cid:9)
X ×X = (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)
on neljä alkiota ja jokaisella alkiolla on kaksi mahdollista arvoa 0 tai 1.
(e) Kivi-paperi-sakset –pelissä kaksi pelaajaa näyttää samanaikaisesti kädellään yh-
den symboleista kivi, paperi tai sakset. Kivi voittaa sakset, sakset voittaa paperin
ja paperi voittaa kiven. Jos molemmat pelaajat näyttävät saman symbolin, tämä
symboli katsotaan voittajaksi. Pelin sääntö määrää laskutoimituksen kolmen alkion
joukolla, jonka alkiot ovat kivi, paperi ja sakset.
Äärellisten (pienten) joukkojen laskutoimituksia voi myös tarkastella laskutaulu-
jen avulla: Laskutoimituksella varustetun äärellisen joukon (X,∗) laskutaulu on jou-
kon X alkioilla indeksoitu taulukko, jossa paikalla (g,h), siis rivillä g ja sarakkeessa
h on alkio gh.
EsimerkiksijoukonX = {0,1}potenssijoukonlaskutoimitusten∩ja∪laskutaulut
ovat
∩ ∅ {0} {1} {0,1} ∪ ∅ {0} {1} {0,1}
∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ {0} {1} {0,1}
{0} ∅ {0} ∅ {0} ja {0} {0} {0} {0,1} {0,1}
{1} ∅ ∅ {1} {1} {1} {1} {0,1} {1} {0,1}
{0,1} ∅ {0} {1} {0,1} {0,1} {0,1} {0,1} {0,1} {0,1}
Laskutoimitusten suorittamisen järjestyksen kanssa on syytä olla huolellinen. Su-
lutkertovat,missäjärjestyksessäoperaatiotsuoritetaan:Lausekkeessaa∗(b∗c)muo-
dostetaan ensin tulo (b∗c), joka kerrotaan vasemmalta alkiolla a kun taas lausek-
keessa (a∗b)∗c muodostetaan ensin tulo (a∗b), joka kerrotaan oikealta alkiolla c.
Nämä eivät välttämättä anna samaa tulosta. Seuraava määritelmä antaa muutamia
keskeisiä laskutoimitusten lisäominaisuuksia.
Määritelmä 1.5. Joukon A laskutoimitus ∗ on
(1) assosiatiivinen eli liitännäinen, jos a∗(b∗c) = (a∗b)∗c kaikilla a,b,c ∈ A.
(2) kommutatiivinen eli vaihdannainen, jos a∗b = b∗a kaikilla a,b ∈ A.
Sulkujen määrää lausekkeissa voi vähentää, jos laskutoimitus ∗ on assosiatiivinen:
Koska sulkujen paikalla ei ole merkitystä lausekkeessa a∗(b∗c) = (a∗b)∗c, voimme
käyttää merkintää
a∗b∗c = (a∗b)∗c = a∗(b∗c)
ilman vaaraa. Huomaa kuitenkin, että kaikki laskutoimitukset eivät ole assosiatiivi-
sia.
Esimerkki 1.6. (a) Luonnollisten lukujen, kokonais-, rationaali- ja reaalilukujen
yhteen- ja kertolaskulle pätee
(1) m+n = n+m ja mn = nm kaikilla m,n (kommutatiivisuus).
(2) m+(n+l) = (m+n)+l ja m(nl) = (mn)l kaikilla m,n,l (assosiatiivisuus).
4
(b) Kokonaislukujen vähennyslasku ei ole assosiatiivinen eikä kommutatiivinen:
1−(1−1) = 1 (cid:54)= −1 = (1−1)−1
ja
1−0 = 1 (cid:54)= −1 = 0−1.
(c) Joukon P(X) laskutoimitukset ∩ ja ∪ ovat
• assosiatiivisia: A∩(B ∩C) = (A∩B)∩C ja A∪(B ∪C) = (A∪B)∪C
kaikilla A,B,C ∈ P(X) ja
• kommutatiivisia: A∩B = B ∩A ja A∪B = B ∪A kaikilla A,B ∈ P(X).
(d) Joukon F(X) laskutoimitus ◦ on assosiatiivinen: Olkoot f,g,h ∈ F(X). Yh-
distetyn kuvauksen määritelmän mukaan
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
f ◦(g ◦h) (x) = f (g ◦h)(x) = f g(h(x))
kaikilla x ∈ X ja
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
(f ◦g)◦h (x) = (f ◦g)(h(x)) = f g(h(x))
kaikilla x ∈ X. Siis f ◦(g ◦h) = (f ◦g)◦h kaikilla f,g,h ∈ F(X).
Laskutoimitus ◦ ei kuitenkaan ole kommutatiivinen, jos joukossa X on ainakin
kaksi alkiota: Olkoon X = {0,1} ja olkoot 0,1 ∈ F(X) vakiokuvaukset 0(x) = 0 ja
1(x) = 1 kaikilla x ∈ X. Tällöin 1◦0 = 1 (cid:54)= 0 = 0◦1.
Määritelmä 1.7. Olkoon A (cid:54)= ∅ ja olkoon ∗ joukon A laskutoimitus. Alkio e ∈ A
on laskutoimituksen ∗ neutraalialkio, jos e∗g = g ja g ∗e = g kaikilla g ∈ A.
Propositio 1.8. Olkoon (X,∗) laskutoimituksella varustettu joukko. Jos on alkiot
e ∈ X ja e(cid:48) ∈ X siten, että e ∗ g = g ja g ∗ e(cid:48) = g kaikilla g ∈ X, niin e = e(cid:48).
Erityisesti e on laskutoimituksen ∗ neutraalialkio.
Todistus. Käyttämällä oletettuja ominaisuuksia ylläolevassa järjestyksessä saadaan
e = e∗e(cid:48) = e(cid:48). Koska e siis toteuttaa ehdot e∗g = g ja g∗e = g kaikilla g ∈ X, niin
e on neutraalialkio. (cid:3)
Määritelmä 1.9. Olkoon A (cid:54)= ∅ ja olkoon ∗ joukon A laskutoimitus, jonka neut-
raalialkio on e.
• Alkio x¯ ∈ A on alkion x ∈ A vasen käänteisalkio, jos x¯∗x = e,
• Alkio x¯ ∈ A on alkion x ∈ A oikea käänteisalkio, jos x∗x¯ = e.
Jos x¯ on alkion x vasen ja oikea käänteisalkio, niin se on alkion x käänteisalkio.
Esimerkki 1.10. Luku 0 on luonnollisten lukujen, kokonais-, rationaali ja reaalilu-
kujenyhteenlaskunneutraalialkiojaluku1onkertolaskunneutraalialkio.Useimmil-
la luonnollisilla luvuilla ei ole käänteisalkiota laskutoimituksella varustetuissa jou-
koissa (N,+) ja (N,·). Sen sijaan jokaisella kokonais-, rationaali- ja reaaliluvulla x
on vastaluku −x, joka on luvun x käänteisalkio yhteenlaskun suhteen.
Luvulla 0 ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen edes rationaalilukujen joukos-
sa: 0x = x0 = 0 (cid:54)= 1 kaikilla luvuilla x. Kaikilla nollasta poikkeavilla rationaali- ja
reaaliluvuilla x sen sijaan on käänteisluku x−1 = 1/x, esimerkiksi rationaaliluvulle
a/b (cid:54)= 0 pätee (a/b)−1 = b/a.
Esimerkki 1.11. (a)Identtinenkuvausid = id onjoukonF(X)laskutoimituksen
X
◦ neutraalialkio:
id◦f = f = f ◦id
5
kaikilla f ∈ F(X). Jos f ∈ F(X) on bijektio, sen käänteiskuvaus f−1 on kuvauksen
f käänteisalkio laskutoimituksen ◦ suhteen: f ◦f−1 = id = f−1 ◦f. Muilla joukon
F(X) alkioilla ei ole käänteisalkiota.
(b) Olkoot f,g ∈ F(N) kuvaukset, jotka määritellään asettamalla
(cid:40)
0, kun n = 0
f(n) =
n−1, kun n (cid:54)= 0
ja g(n) = n+1. Kuvaukset f ja g eivät ole bijektioita, joten kummallakaan ei ole
käänteisalkiota. Kuitenkin pätee f ◦g = id, joten f on kuvauksen g vasen kääntei-
salkio ja vastaavasti g on kuvauksen f oikea käänteisalkio.
(c) Varustamme nyt joukon X (cid:54)= ∅ potenssijoukon laskutoimituksella −, joka mää-
ritellään
A−B = {a ∈ A : a ∈/ B}.
Tällöin jokaisella A ∈ P(X) pätee A − ∅ = A, joten ∅ muistuttaa laskutoimituk-
sen − neutraalialkiota. Kuitenkin ∅ − A = ∅ kaikilla A ∈ P(X), joten ∅ ei ole
laskutoimituksen − neutraalialkio. Neutraalialkiota ei itse asiassa ole, sillä kaikille
A ∈ P(X) pätee A−X = ∅ =(cid:54) X.
———
Merkintöjä+ja·käytetäänyleisestierilaskutoimituksille.Merkintää+käytetään
kuitenkin ainoastaan kommutatiiviselle laskutoimitukselle. Usein laskutoimitukselle
ei käytetä mitään erityistä merkkiä vaan laskutoimitusta merkitään kirjoittamalla
laskutoimituksella varustetun joukon alkioista muodostettuja “sanoja” kuten tavan-
omaisessa kertolaskussa on tapana: a·b = ab.
Jos laskutoimituksesta käytetään tulomerkintää, neutraalialkiolle käytetään usein
merkintää 1 ja summamerkintää käytettäessä merkintää 0. Alkion x käänteisalkiota
merkitään yleensä x−1, summamerkintää käytettäessä kuitenkin käytetään merkin-
tää −x.
———
Lause 1.12. Olkoon (X,∗) laskutoimituksella varustettu joukko. Jos ∗ on assosia-
tiivinen laskutoimitus, jolla on neutraalialkio e, niin
(1) alkiolla g ∈ X on käänteisalkio, jos ja vain jos sillä on vasen ja oikea kään-
teisalkio.
(2) jos alkiolla g ∈ X on käänteisalkio, se on yksikäsitteinen.
(3) jos alkiolla g ∈ X on käänteisalkio, se on alkion g ainoa vasen/oikea kään-
teisalkio
Todistus. Todistamme kohdan (1): Olkoon g(cid:48) alkion g vasen käänteisalkio ja olkoon
g(cid:48)(cid:48) sen oikea käänteisalkio. Tällöin
g(cid:48)(cid:48) = e∗g(cid:48)(cid:48) = (g(cid:48) ∗g)∗g(cid:48)(cid:48) = g(cid:48) ∗(g ∗g(cid:48)(cid:48)) = g(cid:48) ∗e = g(cid:48).
Tällöin siis g(cid:48) = g(cid:48)(cid:48) on alkion g käänteisalkio. Toinen suunta seuraa suoraan määri-
telmästä. Muut kohdat todistetaan harjoituksissa. (cid:3)
Olkoon (A,·) assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko. Jokaiselle a ∈
A määritellään positiiviset potenssit: Asetamme a1 = a, ja kaikille n ∈ N, n ≥ 1
6
asetamme an+1 = ana. Jos laskutoimituksella varustetussa joukossa (A,·) on neut-
raalialkio e, asetamme a0 = e ja jos alkiolla a ∈ A on käänteisalkio, määrittelem-
me sen −1. potenssiksi käänteisalkion a−1 ja kaikille n ∈ Z, n ≤ −2 asetamme
an = (a−1)−n.
Assosiatiivisellalaskutoimituksellavarustettujoukossa(A,+)määrittelemmevas-
taavasti alkion a positiiviset monikerrat asettamalla 1 a = a ja (n+1)a = na+a
kaikille n ∈ Z, n ≥ 1. Jos laskutoimituksella varustetussa joukossa (A,+) on neut-
raalialkio 0, niin asetetaan 0 a = 0 ∈ A ja jos alkiolla a ∈ A on käänteisalkio −a
laskutoimituksen+suhteen,asetetaan(−1)a = −ajanegatiivisillen ∈ Zasetamme
na = (−n)(−a).
Tavanomaiset laskulait pätevät potensseille ja monikerroille:
Lemma 1.13. Olkoon (A,·) assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko,
jolla on neutraalialkio. Tällöin
(1) (an)m = anm kaikilla a ∈ A, n,m ∈ N.
(2) anam = an+m kaikilla a ∈ A, n,m ∈ N.
Jos alkiolla a on käänteisalkio, niin kohtien (1) ja (2) väitteet pätevät kaikille koko-
naisluvuille m,n ∈ Z.
Olkoon (H,+) kommutatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko, jolla on neut-
raalialkio. Tällöin
(3) na+ma = (n+m)a kaikilla a ∈ H, n,m ∈ N.
(4) n(ma) = (nm)a kaikilla a ∈ H, n,m ∈ N.
Jos alkiolla a on käänteisalkio, niin kohtien (3) ja (4) väitteet pätevät kaikille koko-
naisluvuille m,n ∈ Z.
Todistus. Harjoitustehtävä 1.12. (cid:3)
Olkoon (A,∗) laskutoimituksella varustettu joukko. Jos B ⊂ A, B (cid:54)= ∅ ja kaikille
b,b(cid:48) ∈ B päteeb∗b(cid:48) ∈ B,niinB onlaskutoimituksellavarustetunjoukon(A,∗)vakaa
osajoukko. Laskutoimitus ∗ määrittelee indusoidun laskutoimituksen ∗| joukossa
B
B, kun asetetaan b∗| b(cid:48) = b∗b(cid:48). Yleensä indusoidulle laskutoimitukselle käytetään
B
samaa merkintää kuin laskutoimitukselle, joka indusoi sen: ∗| = ∗.
B
Esimerkki 1.14. (a) Reaalilukujen ja rationaalilukujen kertolaskut indusoivat las-
kutoimitukset joukkoihin R−{0} ja Q−{0}. Näitä laskutoimituksella varustettuja
joukkoja
R× = (R−{0},·)
ja
Q× = (Q−{0},·)
kutsutaan(kurssinaikanaselvenevistäsyistä)reaalilukujenjarationaalilukujenmul-
tiplikatiivisiksi ryhmiksi. Laskutoimituksella varustetut joukot (R,+) ja (Q,+) taas
ovat reaalilukujen ja rationaalilukujen additiiviset ryhmät.
(b) Olkoon
(cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:27) (cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:27)
a b a b
P = ∈ M (R) : c = 0 = ∈ M (R) .
c d 2 0 d 2
Tällöin kaikille A,B ∈ P pätee A+B ∈ P ja AB ∈ P, joten matriisien yhteenlasku
ja kertolasku indusoivat kaksi laskutoimitusta joukossa P ⊂ M (R).
2
Kahden laskutoimituksella varustetun joukon väliset kuvaukset, jotka sopivat las-
kutoimitusten kanssa hyvin yhteen, ovat algebrassa keskeisessä osassa:
7
Määritelmä 1.15. Olkoot (E,∗) ja (E(cid:48),(cid:126)) laskutoimituksella varustettuja joukko-
ja. Kuvaus h: (E,∗) → (E(cid:48),(cid:126)) on homomorfismi, jos h(a∗b) = h(a)(cid:126)h(b) kaikille
a,b ∈ E.
• Bijektiivinen homomorfismi on isomorfismi.
• Isomorfismi laskutoimituksella varustetulta joukolta E itselleen on automor-
fismi.
Laskutoimituksella varustetut joukot (E,∗) ja (E(cid:48),(cid:126)) ovat isomorfisia (keskenään),
jos on isomorfismi h: (E,∗) → (E(cid:48),(cid:126)).
Edellä määriteltyjen lisäksi käytetään melko usein seuraavia nimityksiä:
• Injektiivinen homomorfismi on monomorfismi.
• Surjektiivinen homomorfismi on epimorfismi.
Tällä kurssilla käytämme näistä homomorfismityypeistä pääsääntöisesti nimityksiä
injektiivinen ja surjektiivinen homomorfismi.
Esimerkki 1.16. (a) Reaalilukujen kertolasku indusoi laskutoimituksen positiivis-
ten reaalilukujen joukossa R =]0,∞[. Eksponenttikuvaus exp: (R,+) → (R ,·),
+ +
exp(x) = ex, on homomorfismi: Kaikille x,y ∈ R pätee
exp(x+y) = ex+y = exey = exp(x)exp(y).
Eksponenttifunktioontunnetustibijektio,jotenseonisomorfismi.Eksponenttifunk-
tion käänteisfunktio log: (R ,·) → (R,+) on myös homomorfismi (ja tietysti myös
+
isomorfismi): Kaikille x,y ∈ R pätee
+
log(xy) = log(x)+log(y).
(b)Yhteenlaskullavarustetutjoukot(M (R),+)ja(Rn2,+)ovatselvästiisomorfisia.
n
(c) Kuvaus h: Z → M (R),
2
(cid:18) (cid:19)
1 n
h(n) = ,
0 1
on homomorfismi, kun kokonaisluvut varustetaan yhteenlaskulla ja M (R) varuste-
2
taan matriisien kertolaskulla:
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19)
1 n+m 1 n 1 m
h(n+m) = = = h(n)h(m).
0 1 0 1 0 1
Isomorfisetlaskutoimituksellavarustetutjoukotovatalgebrallisiltaominaisuuksil-
taan samanlaiset vaikka joukot ja laskutoimitukset voivat “ulkoisesti” olla hyvinkin
erilaisia, kuten Esimerkin 1.16 avulla huomaamme.
Propositio 1.17. Olkoon h: (E,∗) → (E(cid:48),(cid:126)) surjektiivinen homomorfismi.
(1) Jos ∗ on kommutatiivinen, niin (cid:126) on kommutatiivinen
(2) Jos ∗ on assosiatiivinen, niin (cid:126) on assosiatiivinen
(3) Jos laskutoimituksella varustetussa joukossa E on neutraalialkio e, niin h(e)
on laskutoimituksella varustetun joukon E(cid:48) neutraalialkio.
Todistus. (1) Olkoot a(cid:48),b(cid:48) ∈ E(cid:48). Tällöin on a,b ∈ E, joille h(a) = a(cid:48) ja h(b) = b(cid:48). Siis
a(cid:48) (cid:126)b(cid:48) = h(a)(cid:126)h(b) = h(a∗b) = h(b∗a) = h(b)(cid:126)h(a) = b(cid:48) (cid:126)a(cid:48),
joten (cid:126) on kommutatiivinen.
(2) Harjoitustehtävä 1.15.
(3) Olkoon g(cid:48) ∈ E(cid:48). Tällöin g(cid:48) = h(g) jollain g ∈ E ja pätee
h(e)(cid:126)g(cid:48) = h(e)(cid:126)h(g) = h(e∗g) = h(g) = g(cid:48)
8
ja
g(cid:48) (cid:126)h(e) = h(g)(cid:126)h(e) = h(g ∗e) = h(g) = g(cid:48),
joten h(e) on neutraalialkio. (cid:3)
Seuraavat esimerkit osoittavat, että mikään Proposition 1.17 väitteistä ei päde
yleisesti ilman oletusta homomorfismin h surjektiivisuudesta.
Esimerkki 1.18. (a) Matriisien kertolasku joukossa M (R) ei ole kommutatiivinen,
n
kun n ≥ 2, koska esimerkiksi
(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19)
1 1 1 0 2 1 1 1 1 0 1 1
= (cid:54)= = .
0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1
Esimerkin 1.16 (c) homomorfismi antaa esimerkin homomorfismista kommutatiivi-
sesta magmasta sellaiseen magmaan, joka ei ole kommutatiivinen.
(b) Esimerkissä 1.6 (b) osoitetiin, että laskutoimituksella varustettu joukko (Z,−)
ei ole assosiatiivinen. Kuvaus k: {0,+} → (Z,−), k(0) = 0, on homomorfismi asso-
siatiivisesta magmasta magmaan, joka ei ole assosiatiivinen.
(c) Helppo esimerkki siitä, että neutraalialkio ei välttämättä kuvaudu neutraalial-
kiolle, jos homomorfismi ei ole surjektiivinen, on homomorfismi h: (N,+) → (N,·),
h(n) = 0 kaikilla n ∈ N. Kuvaus h on todellakin homomorfismi, koska kaikille
m,n ∈ N pätee
h(n+m) = 0 = 00 = h(m)h(n).
Kuitenkaan neutraalialkio 0 ∈ (N,+) ei kuvaudu neutraalialkioksi 1 ∈ (N,·).
Propositio 1.19. (1) Isomorfismin käänteiskuvaus on isomorfismi.
(2) Homomorfismien yhdistetty kuvaus on homomorfismi.
Todistus. (1) Olkoon φ: (A,∗) → (B,(cid:126)) isomorfismi. Olkoot b ,b ∈ B. Koska φ on
1 2
bijektio, pätee
b (cid:126)b = φ(φ−1(b ))(cid:126)φ(φ−1(b )).
1 2 1 2
Koska φ on homomorfismi, saamme
φ(φ−1(b ))(cid:126)φ(φ−1(b )) = φ(φ−1(b )∗φ−1(b )).
1 2 1 2
Yhdistämällä nämä kaksi yhtälöä saamme
b (cid:126)b = φ(φ−1(b )∗φ−1(b )),
1 2 1 2
mistä seuraa
φ−1(b (cid:126)b ) = φ−1(b )∗φ−1(b ),
1 2 1 2
koska φ on bijektio. Siis φ−1 on homomorfismi.
(2) Harjoitustehtävä 1.16. (cid:3)
———
Samassa joukossa E voidaan määritellä erilaisia laskutoimituksia kuten Esimer-
kissä 1.2 havaittiin. Tarkastelemme kurssilla Algebra 1B renkaiden teoriaa. Ren-
kaat ovat kahdella laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimituk-
silta vaaditaan muutamia lisäominaisuuksia, jotka esimerkiksi kokonais-, rationaali-
ja reaalilukujen yhteen- ja kertolaskulla on. Yksi näistä ominaisuuksista on distri-
butiivisuus.
Määritelmä 1.20. Olkoon(A,∗,⊕)kahdellalaskutoimituksellavarustettujoukko.
Laskutoimitus ∗ on
9
• vasemmalta distributiivinen laskutoimituksen ⊕ suhteen, jos
a∗(b⊕c) = (a∗b)⊕(a∗c)
kaikilla a,b,c ∈ A.
• oikealta distributiivinen laskutoimituksen ⊕ suhteen, jos
(b⊕c)∗a = (b∗a)⊕(c∗a)
kaikilla a,b,c ∈ A.
Jos ∗ on oikealta ja vasemmalta distributiivinen laskutoimituksen ⊕ suhteen, se on
distributiivinen laskutoimituksen ⊕ suhteen.
Distributiivisuuden määritteleviä yhtälöitä sanotaan osittelulaeiksi.
Esimerkki 1.21. Kokonais-, rationaali ja reaalilukujen kertolasku on distributiivi-
nen yhteenlaskun suhteen: Kaikille m,n,l näissä lukualueissa pätee
m(n+l) = mn+ml = (n+l)m.
Harjoitustehtäviä.
1.1. Olkoon ∗ rationaalilukujen laskutoimitus, joka määritellään asettamalla
a+b
a∗b = .
2
Onko laskutoimitus ∗ assosiatiivinen? Onko laskutoimituksella ∗ neutraalialkio?
1.2. Olkoon ∗ positiivisten reaalilukujen joukon
R = {x ∈ R : x > 0}
+
laskutoimitus, joka määritellään asettamalla
√
a∗b = ab.
Onko laskutoimitus ∗ assosiatiivinen? Onko laskutoimituksella ∗ neutraalialkio?
1.3. Onko joukon P(X) laskutoimitus ∩ distributiivinen laskutoimituksen ∪ suh-
teen? Onko laskutoimitus ∪ distributiivinen laskutoimituksen ∩ suhteen?
1.4. Onko laskutoimituksilla ∩ ja ∪ neutraalialkiot? Onko jokaisella A ∈ P(X)
käänteisalkiot laskutoimitusten ∩ ja ∪ suhteen?
1.5. Onko joukon P(X) laskutoimitus − assosiatiivinen?
1.6. Muodosta Esimerkissä 1.4 (e) kuvatun kivi-paperi-sakset –pelin laskutaulu.
Onko pelin laskutoimitus assosiatiivinen?
1.7. Onko matriisien kertolasku assosiatiivinen joukossa M (R)?
2
1.8. Olkoon
Γ = {A ∈ M (R) : detA = 1}.
2
Osoita, että matriisien kertolasku indusoi laskutoimituksen joukossa Γ. Miten mat-
riisien yhteenlasku käyttäytyy?
1.9. Varustetaan joukko X = {a,b} laskutoimituksella ∗, jonka laskutaulu on
∗ a b
a b b .
b a a
Onko laskutoimitus ∗ kommutatiivinen? Onko se assosiatiivinen?
10
