Advances and Applications of DSmT for Information Fusion

438 Pages·2004·5.439 MB·English

by  Florentin Smarandache, Jean Dezert

Florentin Smarandache & Jean Dezert
(Editors)
Advances and Applications of DSmT
for Information Fusion
(Collected works)
Decision-making
6
Hybrid DSm rule for hybrid model (Θ)
M
A DΘ, m (A)=φ(A) m (A)+S (A)+S (A)
∀ ∈ M(Θ) Mf(Θ) 2 3
h i
6
Introduction of integrity constraints into DΘ
Hybrid model (Θ)
M
6
Classic DSm rule based on free model f(Θ)
M
A DΘ, m (A)= k m (X )
∀ ∈ Mf(Θ) X1,...,Xk∈DΘ i=1 i i
(X1∩...∩Xk)=A
P Q
6 6 6
m (.):DΘ [0,1] m (.):DΘ [0,1]
1 k
→ →
Source s Source s
1 k
American Research Press
Rehoboth
2004
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1 - Professor Krassimir Atanassov
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Bulgarian Academy of Sciences
Bl. 105 Acad. G. Bontchev Str., 1113 Sofia, Bulgaria
2 - Professor Bassel Solaiman
E´cole Nationale Sup´erieure des T´el´ecommunicationsde Bretagne
Image and Information Processing Department
Technopˆole Brest-Iroise - CS 83818 - 29238 Brest Cedex 3, France
3 - Professor Pierre Valin
Physics Department & Centre de Recherches Math´ematiques
University of Montr´eal
C.P. 6128, succ. Centre-ville, Montr´eal, H3C 3J7, Canada
ISBN: 1-931233-82-9
Standard Address Number 297-5092
Printed in the United States of America
Contents
Preamble xi
Prefaces xiii
I Advances on DSmT 1
1 Presentation of DSmT 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Short introduction to the DST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Shafer’s model and belief functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Dempster’s rule of combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Alternatives to Dempster’s rule of combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 The discounting of sources of evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Foundations of the DSmT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Notion of free and hybrid DSm models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Notion of hyper-power set DΘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Generalized belief functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 The classic DSm rule of combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.5 The hybrid DSm rule of combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.6 On the refinement of the frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.7 On the combination of sources over different frames . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Comparison of different rules of combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 First example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Second example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Third example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.4 Fourth example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.5 Fifth example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
i
1.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 The generation of hyper-power sets 37
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Definition of hyper-power set DΘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Example of the first hyper-power sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 The generation of DΘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.1 Memory size requirements and complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.2 Monotone Boolean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.3 Generation of MBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Appendix: MatLab code for generating hyper-power sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Partial ordering on hyper-power sets 49
3.1 Introduction to matrix calculus for belief functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Ordering elements of hyper-power set for matrix calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Order based on the enumeration of isotone Boolean functions . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Ordering based on the DSm cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3 Ordering based on the intrinsic informational content . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Combination of beliefs on hybrid DSm models 61
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 On the independence of the sources of evidences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 DSm rule of combination for free-DSm models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.1 Definition of the free-DSm model f(Θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
M
4.3.2 Example of a free-DSm model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.3 Classical DSm rule for 2 sources for free-DSm models . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.4 Classical DSm rule for k 2 sources for free-DSm models . . . . . . . . . . . . . . 64
≥
4.4 Presentation of hybrid DSm models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2 Example 1 : hybrid DSm model with an exclusivity constraint . . . . . . . . . . . 65
4.4.3 Example 2 : hybrid DSm model with another exclusivity constraint . . . . . . . . 66
4.4.4 Example 3 : hybrid DSm model with another exclusivity constraint . . . . . . . . 67
4.4.5 Example 4 : Shafer’s model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.6 Example 5 : hybrid DSm model with a non-existential constraint . . . . . . . . . . 68
4.4.7 Example 6 : hybrid DSm model with two non-existential constraints . . . . . . . . 68
4.4.8 Example 7 : hybrid DSm model with a mixed constraint . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 DSm rule of combination for hybrid DSm models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.2 Programming of the u(X) function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.3 The hybrid DSm rule of combination for 2 sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.4 The hybrid DSm rule of combination for k 2 sources . . . . . . . . . . . . . . . . 74
≥
4.5.5 On the associativity of the hybrid DSm rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5.6 Property of the hybrid DSm Rule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5.7 On the programming of the hybrid DSm rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5.8 Application of the hybrid DSm rule on previous examples . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.9 Example with more general basic belief assignments m (.) and m (.) . . . . . . . . 89
1 2
4.5.10 The hybrid DSm rule versus Dempster’s rule of combination . . . . . . . . . . . . 92
4.6 Dynamic fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6.1 Example 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6.2 Example 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6.3 Example 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.7 Bayesian mixture of hybrid DSm models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Counter-examples to Dempster’s rule of combination 105
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2 First infinite class of counter examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.1 Counter-examples for Bayesiansources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.2 Counter-examples for more general sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 Second infinite class of counter examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.1 Zadeh’s example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.2 Generalization with Θ= θ ,θ ,θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1 2 3
{ }
5.3.3 Generalization with Θ= θ ,θ ,θ ,θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1 2 3 4
{ }
5.3.4 More general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3.5 Even more general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4 Third infinite class of counter examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4.1 Example with Θ= θ ,θ ,θ ,θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1 2 3 4
{ }
5.4.2 Example with Θ= θ ,θ ,θ ,θ ,θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1 2 3 4 5
{ }
5.4.3 More general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.4 Even more general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5 Fourth infinite class of counter examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5.1 Example with Θ= θ ,...,θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1 6
{ }
5.5.2 Another example with Θ= θ ,...,θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1 6
{ }
5.5.3 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.5.4 Example with Θ= θ ,θ ,θ ,θ and ignorance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1 2 3 4
{ }
5.5.5 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.5.6 Example with a paradoxicalsource . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 Fusion of imprecise beliefs 123
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 Combination of precise beliefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.1 General DSm rule of combination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3 Operations on sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4 Fusion of beliefs defined on single sub-unitary intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4.1 DSm rules of combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4.2 Example with the DSm classic rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4.3 Example with the hybrid DSm rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.5 Generalization of DSm rules for sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.5.1 General DSm rules for imprecise beliefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5.2 Some lemmas and a theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5.3 An example with multiple-interval masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7 A Generalized Pignistic Transformation 143
7.1 A short introduction to the DSm cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2 The Classical Pignistic Transformation (CPT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3 A Generalized Pignistic Transformation (GPT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.2 P . is a probability measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
{}
7.4 Some examples for the GPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.4.1 Example for the 2D case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.4.2 Example for the 3D case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Appendix: Derivation of the GPT for the 3D free DSm model . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8 Probabilized logics related to DSmT and Bayes inference 155
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.2 Belief Theory Models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2.1 Preliminary: about probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2.2 Dempster Shafer Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2.3 Transferable Belief Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.3 Dezert Smarandache Theory (DSmT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.3.1 Dezert Smarandache model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.3.2 Fusion rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.4 Probability over logical propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.4.2 Property. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.4.3 Partially defined probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.5 Logical interpretation of DSmT: an example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.5.1 A possible modal interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.5.2 Deriving a fusion rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.6 Multi-modal logic and information fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.6.1 Modal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.6.2 A multi-modal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.6.3 Some multi-modal theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.6.4 Sensor fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.7 Logical interpretation of the Bayes inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.7.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.7.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9 On conjunctive and disjunctive combination rules of evidence 193
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.2 Preliminary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.2.1 Source of information and multi-valued mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.2.2 Dempster’s combination rule of independent information sources . . . . . . . . . . 197
9.2.3 Degree of belief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.2.4 The DS combination rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.3 The DS combination rule induced by multi-valued mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.3.1 Definition of probability measure over the mapping space . . . . . . . . . . . . . . 199
9.3.2 Derivation of the DS combination rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.3.3 New explanations for the problems in DS combination rule . . . . . . . . . . . . . 201
9.3.4 Remark about “multi-valued mapping” in Shafer’s paper . . . . . . . . . . . . . . 203
9.4 A new combination rule of probability measures over mapping space . . . . . . . . . . . . 204
9.4.1 Derivation of combination rule of probabilities p(i) . . . . . . . . . . . . . . . 204
δ1δ2...δn
9.4.2 Combination rule of probability measures in space S . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.5 The disjunctive combination rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.6 Properties of conjunctive and disjunctive combination rules . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.6.1 The combination rules of evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.6.2 Properties of combination rules of evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.6.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10 Comparison between DSm and MinC combination rules 223
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.2 Conflict in belief combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.3 The minC combination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.3.1 A system of different types of conflicts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.3.2 Combination on generalized frames of discernment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.3.3 Reallocation of belief masses of conflicts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.3.4 Summary of the idea of the minC combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.4 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.4.1 Comparison of generalized frames of discernment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.4.2 Comparison of principles of combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.4.3 Two steps of combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.4.4 On the associativity of the combination rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10.4.5 The special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10.4.6 Comparison of expressivity of DSm and minC approaches . . . . . . . . . . . . . . 235
10.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11 General Fusion Operators from Cox’s Postulates 243
11.1 About uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.1.1 Probabilistic modelling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.1.2 The mathematical theory of evidence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
11.1.3 Fuzzy logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11.1.4 Confidence measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.2 Fusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.2.1 Postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.2.2 Machine on confidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.2.3 Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
11.3 T-norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.3.1 Independence-interdependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.3.2 T-norm description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
11.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
II Applications of DSmT 263
12 On the Tweety Penguin Triangle Problem 265
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.2 The Tweety Penguin Triangle Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.3 The fallacious Bayesianreasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.3.1 The Pearl’s analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.3.2 The weakness of the Pearl’s analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.4 The Dempster-Shafer reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12.5 The Dezert-Smarandache reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
12.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
12.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
13 Estimation of Target Behavior Tendencies using DSmT 289
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
13.2 Statement of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
13.3 Approach for Behavior Tendency Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
13.3.1 The fuzzification interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
13.3.2 The behavior model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.3.3 The amplitude state prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
13.3.4 State updating using DSmT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
13.4 The decision criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.5 Simulation study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.6 Comparison between DSm and Fuzzy Logic Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
13.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
13.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
14 Generalized Data Association for Multitarget Tracking in Clutter 303
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
14.2 Basic Elements of Tracking Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
14.2.1 Data Association . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
14.2.2 Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.3 The Attribute Contribution to GDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.3.1 The Input Fuzzification Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14.3.2 Tracks’ Updating Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
14.4 The Generalized Data Association Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
14.4.1 Kinematics probability term for generalized data association . . . . . . . . . . . . 314
14.4.2 Attribute probability terms for generalized data association . . . . . . . . . . . . . 315
14.5 Simulation scenarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14.5.1 Simulation scenario1: Crossing targets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14.5.2 Simulation scenario 2: Closely spaced targets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
14.6 Simulation results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
14.6.1 Simulation results: Two crossing targets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
14.6.2 Simulation results: Four closely spaced targets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
14.6.3 Simulation results of GDA based on Dempster-Shafer theory . . . . . . . . . . . . 320
14.7 Comparative analysis of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
14.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
14.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
15 On Blackman’s Data Association Problem 325
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
15.2 Blackman’s Data Association Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
15.2.1 Association Problem no. 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326