Table Of ContentAdvanced Integration
Techniques
Advancedapproachesforsolvingmanycomplexintegralsusingspecialfunctions,some
transformationsandcomplexanalysisapproaches
ThirdVersion
ZAID ALYAFEAI
YEMEN
mailto:alyafey22@gmail.com
Contents
1 Differentiationundertheintegralsign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 LaplaceTransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 BasicIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 InverseLaplacetransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Interestingresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 GammaFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5.1 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5.2 Reductionformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 OtherRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6.1 EulerRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6.3 WeierstrassRepresentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Laurentexpansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.8 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.9 Morevalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.10 LegendreDuplicationFormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
3.11 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.12 Euler’sReflectionFormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.13 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.14 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 BetaFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Firstintegralformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Secondintegralformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.3 Geometricrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.8 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.9 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.10 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Digammafunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Differenceformulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3.1 Firstdifferenceformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3.2 Seconddifferenceformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.5 SeriesRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.6 SomeValues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.8 Integralrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.8.1 FirstIntegralrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.8.2 SecondIntegralrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.8.3 ThirdIntegralrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.8.4 FourthIntegralrepresentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2
5.9 GaussDigammatheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.10 Moreresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.11 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.12 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.13 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.14 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.15 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Zetafunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Bernoullinumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 RelationbetweenzetaandBernoullinumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5 Integralrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.6 Hurwitzzetaandpolygammafunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.6.2 Relationbetweenzetaandpolygamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7 Dirichletetafunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2 RelationtoZetafunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3 Integralrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8 Polylogarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2 Relationtootherfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.3 Integralrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.4 Squareformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.5 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.6 Dilogarithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.6.2 Firstfunctionalequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.6.3 Secondfunctionalequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.6.4 Thirdfunctionalequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.6.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3
8.6.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.6.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.6.8 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9 OrdinaryHypergeometricfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2 Someexpansionsusingthehypergeomtricfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.3 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.4 Integralrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.5 Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.6 Specialvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10 ErrorFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.2 Complementaryerrorfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.3 Imaginaryerrorfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.5 Relationtootherfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.8 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.9 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.10 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11 Exponentialintegralfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
11.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.7 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
12 CompleteEllipticIntegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
12.1 Completeellipticoffirstkind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
12.2 Completeellipticofsecondkind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
12.3 Hypergeometricrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4
12.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.5 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.6 Specialvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
12.7 Differentiationofellipticintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13 Eulersums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.2 Generatingfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.3 IntegralrepresentationofHarmonicnumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
13.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
13.6 Generalformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13.8 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.9 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
13.10 Relationtopolygamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
13.11 Integralrepresentationforr=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
13.12 Symmetricformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
13.13 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
14 SineIntegralfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
14.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
14.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
14.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
14.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
14.8 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
15 CosineIntegralfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
15.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
15.2 RelationtoEulerconstant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
15.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
15.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
15.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5
15.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
15.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
15.8 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
16 IntegralsinvolvingCosineandSineIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
16.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
16.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
17 LogarithmIntegralfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
17.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
17.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
17.3 Findtheintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
17.4 Findtheintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
17.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
17.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
18 Clausenfunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
18.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
18.2 Duplicationformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
18.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
18.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
19 ClausenIntegralfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
19.1 Definiton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
19.2 Integralrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
19.3 Duplicationformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
19.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
19.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
19.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
19.7 SecondIntegralrepresentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
19.8 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
20 BarnesGfunction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
20.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
20.1.1 Functionalequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
20.2 Reflectionformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
20.3 Valuesatpositiveintegers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
20.4 RelationtoHyperfactorialfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6
20.5 Loggammaintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
20.6 Glaisher-Kinkelinconstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
20.7 RelationtoGlaisher-Kinkelinconstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
20.8 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
20.9 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
20.10 RelationtoHowrtizzetafunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
20.11 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
21 ComplexAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
21.1 Introductiontocomplexnumbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
21.2 Polarrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
21.3 Complexfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
21.3.1 Exponentialfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
21.3.2 SineandCosineandhyperbolicfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
21.3.3 Complexlogarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
21.4 TaylorandLaurentexpansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
21.5 Polesandresidues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
21.6 Integrationaroundpaths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
21.7 Boundsonintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
21.8 Contoursaroundpoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
22 Realintegralsusingcontourintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
22.1 Trigonometricfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
22.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
22.2 Integratingaroundanellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
22.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
22.3 Creatingcrazyintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
22.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
22.3.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
22.3.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
22.4 Trigonometricfunctionswithrationalsofpolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
22.4.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
22.5 Integrationalongcontourswithdetours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
22.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
22.6 Integralsoffunctionswithbranchcuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7
22.6.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
22.6.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
22.6.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
22.6.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
22.6.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
22.6.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
22.7 Rectangularcontours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
22.7.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
22.7.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
22.7.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
22.8 Triangularcontours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
22.8.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
22.9 Residueatinfinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
22.9.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
22.10 InverseofLaplacetransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
22.10.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
22.11 Infinitesums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
22.11.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8
(cid:11)(cid:213)(cid:230)(cid:10)(cid:107)(cid:81)(cid:11)(cid:203)(cid:64) (cid:225)(cid:11)(cid:9)(cid:212)(cid:11)(cid:103)(cid:81)(cid:11)(cid:203)(cid:64) (cid:233)(cid:60)(cid:11)(cid:203)(cid:64) (cid:11)(cid:213)(cid:230)(cid:21)(cid:132)(cid:29)(cid:11)(cid:46)
9
