Statistical inference for piecewise-deterministic Markov processes

305 Pages·2018·7.495 MB·English

by  Azais, Romain, Bouguet, Florian

Statistical Inference for Piecewise-deterministic
Markov Processes
Chinese proverb promoting
cooperation over solitary work
Series Editor
Nikolaos Limnios
Statistical Inference for
Piecewise-deterministic
Markov Processes

Edited by

Romain Azaïs
Florian Bouguet
First published 2018 in Great Britain and the United States by ISTE Ltd and John Wiley & Sons, Inc.
Apart from any fair dealing for the purposes of research or private study, or criticism or review, as
permitted under the Copyright, Designs and Patents Act 1988, this publication may only be reproduced,
stored or transmitted, in any form or by any means, with the prior permission in writing of the publishers,
or in the case of reprographic reproduction in accordance with the terms and licenses issued by the
CLA. Enquiries concerning reproduction outside these terms should be sent to the publishers at the
undermentioned address:
ISTE Ltd John Wiley & Sons, Inc.
27-37 St George’s Road 111 River Street
London SW19 4EU Hoboken, NJ 07030
UK USA
www.iste.co.uk www.wiley.com

© ISTE Ltd 2018
The rights of Romain Azaïs and Florian Bouguet to be identified as the authors of this work have been
asserted by them in accordance with the Copyright, Designs and Patents Act 1988.
Library of Congress Control Number: 2018944661

British Library Cataloguing-in-Publication Data
A CIP record for this book is available from the British Library
ISBN 978-1-78630-302-8
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
RomainAZAÏSandFlorianBOUGUET
ListofAcronyms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
RomainAZAÏSandFlorianBOUGUET
Chapter1.StatisticalAnalysisforStructured
ModelsonTrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
MarcHOFFMANNandAdélaïdeOLIVIER
1.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1.Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2.Genealogicalversustemporaldata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.Size-dependentdivisionrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1.Frompartialdifferentialequationtostochasticmodels . . . . . . . 4
1.2.2.Non-parametricestimation: theMarkovtreeapproach . . . . . . . 6
1.2.3.SketchofproofofTheorem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.Estimatingtheage-dependentdivisionrate . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1.Heuristicsandconvergenceofempiricalmeasures. . . . . . . . . . 17
1.3.2.Estimationresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3.SketchofproofofTheorem1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chapter2.RegularityoftheInvariantMeasureand
Non-parametricEstimationoftheJumpRate . . . . . . . . . . . . . . . 39
PierreHODARA,NathalieKRELLandEvaLÖCHERBACH
2.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.Absolutecontinuityoftheinvariantmeasure . . . . . . . . . . . . . . . 43
vi StatisticalInferenceforPiecewise-deterministicMarkovProcesses
2.2.1.Thedynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2.AnassociatedMarkovchainanditsinvariantmeasure . . . . . . . 45
2.2.3.Smoothnessoftheinvariantdensityofasingleparticle . . . . . . . 47
2.2.4.LebesguedensityindimensionN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.Estimationofthespikingrateinsystemsofinteracting
neurons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1.Harrisrecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.2.Propertiesoftheestimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.3.Simulationresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Chapter3.LevelCrossingsandAbsorptionof
anInsuranceModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
RomainAZAÏSandAlexandreGENADOT
3.1.Aninsurancemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.Someresultsaboutthecrossingandabsorptionfeatures . . . . . . . . 70
3.2.1.Transitiondensityofthepost-jumplocations . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.2.Absorptiontimeandprobability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.3.Kac–Riceformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.Inferencefortheabsorptionfeaturesoftheprocess . . . . . . . . . . . 77
3.3.1.Semi-parametricframework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.2.Estimatorsandconvergenceresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3.Numericalillustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4.Inferencefortheaveragenumberofcrossings . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.1.Estimationprocedures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.2.Numericalapplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.Someadditionalproofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5.1.Technicallemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5.2.ProofofProposition3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5.3.ProofofCorollary3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5.4.ProofofTheorem3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.5.5.ProofofTheorem3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5.6.Discussiononthecondition(CG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2
3.6.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Chapter4.RobustEstimationforMarkovChains
withApplicationstoPiecewise-deterministic
MarkovProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
PatriceBERTAIL,GabrielaCIOŁEKandCharlesTILLIER
4.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.(Pseudo)-regenerativeMarkovchains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.1.GeneralHarrisMarkovchainsandthesplitting
technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Contents vii
4.2.2.Regenerativeblocksfordominatedfamilies . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.3.Constructionofregenerationblocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.RobustfunctionalparameterestimationforMarkovchains . . . . . . . 114
4.3.1.Theinfluencefunctiononthetorus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.2.Example1: samplemeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.3.Example2: M-estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.4.Example3: quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.CentrallimittheoremforfunctionalsofMarkovchains
androbustness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5.AMarkovviewforestimatorsinPDMPs . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5.1.Example1: SparreAndersenmodelwithbarrier . . . . . . . . . . . 122
4.5.2.Example2: kineticdietaryexposuremodel . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6.RobustnessforriskPDMPmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.6.1.Stationarymeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.6.2.Ruinprobability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.3.Extremalindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6.4.Expectedshortfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.7.Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.8.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Chapter5.NumericalMethodforControlof
Piecewise-deterministicMarkovProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . 147
BenoîteDESAPORTAandFrançoisDUFOUR
5.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2.Simulationofpiecewise-deterministicMarkovprocesses . . . . . . . . 149
5.3.Optimalstopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3.1.Assumptionsandnotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3.2.Dynamicprogramming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.3.3.Quantizedapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.4.Exittime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.4.1.Problemsettingandassumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.4.2.Recursiveformulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.4.3.Numericalapproximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5.Numericalexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.1.Piecewise-deterministicMarkovmodel . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.2.Deterministictimetoreachtheboundary . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.5.3.Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.5.4.Optimalstopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.5.5.Exittime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.7.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
viii StatisticalInferenceforPiecewise-deterministicMarkovProcesses
Chapter6.RuptureDetectioninFatigueCrack
Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
RomainAZAÏS,AnneGÉGOUT-PETITandFlorineGRECIET
6.1.Phenomenonofcrackpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1.1.Virkler’sdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.2.Modelingcrackpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.2.1.Deterministicmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.2.2.Sourcesofuncertainties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2.3.Stochasticmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.3.PDMPmodelsofpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.3.1.RelevanceofPDMPmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.3.2.Multiplicativemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.3.3.One-jumpmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.4.Rupturedetection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.4.1.Lengthatversustimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.4.2.Growthratedat/dtversusΔKtinlogscale . . . . . . . . . . . . . 194
6.5.Conclusionandperspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.6.Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Chapter7.Piecewise-deterministicMarkovProcessesfor
Spatio-temporalPopulationDynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
CandyABBOUD,RachidSENOUSSIandSamuelSOUBEYRAND
7.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.1.1.Modelsofpopulationdynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.1.2.Spatio-temporalPDMPforpopulationdynamics . . . . . . . . . . 210
7.1.3.Chaptercontents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.2.Stratifieddispersalmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.2.1.Reaction–diffusionequationsformodeling
short-distancedispersal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.2.2.Stratifieddiffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.2.3.CoalescingcolonymodelwithAlleeeffect . . . . . . . . . . . . . . 216
7.2.4.APDMPbasedonreaction–diffusionformodeling
invasionswithmultipleintroductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.3.Metapopulationepidemicmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.3.1.SpatiallyrealisticLevinsmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.3.2.AcolonizationPDMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.3.3.Bayesianinferenceapproach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.3.4.MarkovchainMonteCarloalgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.3.5.Examplesofresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.4.Stochasticapproachesformodelingspatialtrajectories . . . . . . . . . 237
7.4.1.ConditioningaBrownianmotionbypunctual
observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.4.2.Movementswithjumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242