Some problems of direct and indirect stabilization of wave equations with locally boundary

195 Pages·2017·1.81 MB·English

by  Mohammad Akil

Some problems of direct and indirect stabilization of
wave equations with locally boundary fractional
damping or with localised Kelvin-Voigh
Mohammad Akil
To cite this version:
Mohammad Akil. Some problems of direct and indirect stabilization of wave equations with locally
boundary fractional damping or with localised Kelvin-Voigh. Analysis of PDEs [math.AP]. Université
de Limoges, 2017. English. ￿NNT: 2017LIMO0043￿. ￿tel-01619455￿
HAL Id: tel-01619455
https://theses.hal.science/tel-01619455
Submitted on 19 Oct 2017
HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents
entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de
teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires
abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
Thèse de Doctorat
Mohammad AKIL
Mémoire présenté en vue de l’obtention du
grade de Docteur de l’université de Limoges et de l’université Libanaise
Ecole doctorale des sciences et de la technologie-EDST, Université Libanaise, Liban.
Ecole doctorale à l’Université de Limoges, Limoges, France.
Spécialité Mathématiques
Laboratoire de Mathématiques et ses Applications de Limoges-XLIM. Laboratoire
de Mathématiques et ses applications-EDST. Laboratoire de Mathématiques et
ses applications-KALMA
Soutenue le 6 Octobre 2017
Quelques problèmes de stabilisation
directe et indirecte d’équations
d’ondes par des contrôles de type
fractionnaire frontière ou de type
Kelvin-Voight localisé
JURY
Rapporteur: M. LIU Zhuangyi,Professeur,UniversityofMinnesota
Examinateurs: M. CHITOUR Yacine,Professeur,UniversitédeParis-Saclay
M. MEHRENBERGER Michel,Maîtredeconférences,UniversitédeStrasbourg
M. JAZAR Mustapha,Professeur,UniversitéLibanaise
Directeursdethèse: M. WEHBE Ali,Professeur,UniversitéLibanaise
M. IGBIDA Noureddine,Professeur,UniversitédeLimoges
* * *
Rapporteur: M. AMMAR-KHODJA Farid,MaîtredeConférenceHabilité,UniversitédeFranche-ComtéBesançon
ii>2

ACKNOWLEDGEMENT
Je tiens, en premier lieu, à exprimer ma profonde reconnaissance et gratitude aux Messieurs
Ali WEHBE et Noureddine IGBIDA qui ont dirigé ce travail avec beaucoup de dynamisme et
d’efficacité. Ce qui m’implique toujours à poursuivre mes recherches avec eux dans ma carrière
professionnelle.
Je tiens à remercier et d’exprimer ma gratitude à mon directeur de thèse au Liban, Mon-
sieur Ali WEHBE à la fois en mathématiques et dans la vie quotidienne. J’apprécie vivement
sa grande disponibilité continue, son encouragement, sa confiance, ses conseils, son soutien pré-
cieux avec patience et sagesse. Je me pourrais jamais imaginer cette thèse sans ses aides qui
m’ont été offertes, ce qui me rend assez fier et chanceux d’être son élève.
Je tiens à remercier mon directeur de thèse en France, Monsieur Noureddine IGBIDA, pour son
intérêt, son soutien, son temps qu’il m’a consacré pour diriger cette recherche. La rigueur et la
pertinence de ses conseils m’ont été d’une aide essentielle dans la réalisation de cette thèse. Je
me sens fier d’être son élève.
J’adresse mes sincères remerciements au Messieurs Zhuangyi LIU et Farid AMMAR-KHODJA
d’avoir accepté de relire le manuscrit de thèse étant que le rapporteur de thèse.
Merci au Messieurs Michel MEHRENBERGER, Mustapha JAZAR et Yacine CHITOUR pour
avoir examiner mes travaux étant que les examinateurs de la soutenance.
Je remercie également tous mes collègues au laboratoire KALMA, qui sans eux je n’allé pas
pu faire face aux difficultés rencontrées. En particulier, Mouhammad GHADER et Mohammad
ALi SAMMOURY j’ai partagé avec eux des moments inoubliables et agréables.
Acknowledgement
Merci à mon père et ma mère qui ont veillé depuis l’école primaire pour que je puisse arriver
à ce niveau et je ne peux pas leur exprimer toute ma gratitude et ma sincère reconnaissance,
merci pour votre amour inestimable et votre confiance.
Finalement, je veux remercier le centre islamique d’orientation et de l’ enseignement supé-
rieur représenté par son directeur Monsieur Ali ZALZALI d’avoir financer mon projet doctorat
durant ces trois années.
Merci énormement à vous tous.
Mohammad AKIL
Mohammad AKIL Page vi of 181 [email protected]
RÉSUMÉ
Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation directe et indirecte de
différents systèmes d’équations d’ondes avec un contrôle frontière de type fraction-
naire ou un contrôle local viscoélastique de type Kelvin-Voight. Nous considérons,
d’abords, la stabilisation de l’équation d’ondes multidimensionnel avec un contrôle
frontière fractionnaire au sens de Caputo. Sous des conditions géométriques opti-
males, nous établissons un taux de décroissance polynomial de l’énergie de système.
Ensuite, nous nous intéressons à l’étude de la stabilisation d’un système de deux
équations d’ondes couplées via les termes de vitesses, dont une seulement est amor-
tie avec contrôle frontière de type fractionnaire au sens de Caputo. Nous montrons
différents résultats de stabilités dans le cas 1-d et N-d. Finalement, nous étudions
la stabilité d’un système de deux équations d’ondes couplées avec un seul amortis-
sement viscoélastique localement distribué de type Kelvin-Voight.
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
Mots Clés
C semi-groupe, Dérivée Fractionnaire, Stabilité Forte, Stabilité Exponentielle,
0
−
Stabilité Polynomiale, Optimalité, Méthode Spectrale, Conditions Géométriques.

ABSTRACT
This thesis is devoted to study the stabilisation of the system of waves equations
with one boundary fractional damping acting on apart of the boundary of the do-
main and the stabilisation of a system of waves equations with locally viscoelastic
damping of Kelvin-Voight type. First, we study the stability of the multidimen-
sional wave equation with boundary fractional damping acting on a part of the
boundary of the domain. Second, we study the stability of the system of coupled
one-dimensional wave equation with one fractional damping acting on a part of
the boundary of the domain. Next, we study the stability of the system of coupled
multi-dimensional wave equation with one fractional damping acting on a part of
the boundary of the domain. Finally, we study the stability of the multidimensional
waves equations with locally viscoelastic damping of Kelvin-Voight is applied for
one equation around the boundary of the domain.
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
Keywords
C semigroupe, Fractional Derivative, Strong Stability, Exponential Stability, Po-
0
−
lynomial Stability, Optimality, Spectrale Method, Geometric Condition.