Some Computations of Non-Abelian Tensor Products of Groups

26 Pages·2003·1.02 MB·English

LANRUOJ FO ARBEGLA ,111 177-202 )7891(
emoS snoitatupmoC of nailebA-noN rosneT
stcudorP of *spuorG
.R NWORB
tnemtrapeD fo eruP ,scitamehtaM ytisrevinU egelloC qf hrroN ,selaW
,rognaB ddenywG LL57 ,WUZ detinU Kingdom
.D .L NOSNHOJ
tnemrrapeD fq sciramehtuM
ehT ,ytisrevinU mahgnittoN 7GN ,DR2 detinU Kingdom
DNA
.E .F NOSTREBOR
lacitamehtaM ,eturirsnI ytisrevinU of St. ,swerdnA
ehT htroN ,hguaH St. werdnA KY16 9SS, detinU Kingdom
derucinummoC yb .P .M nnamueN
devieceR rebotcO I I, 1985
A desilareneg rosnet tcudorp G 0 H of spuorg ,G H sah neeb decudortni
yb .R nworB dna .L-.J yadoL ni .]4,3[ tI sesira ni snoitacilppa ni
ypotomoh yroeht of a desilareneg naV nepmaK .meroeht ehT nosaer yhw
G 0 H seod ton ylirassecen ecuder ot hUG zO ,huH eht lausu rosnet tcudorp
revo Z of eht ,snoitasinaileba si taht ti si demussa taht G stca no H no( eht
)tfel dna H stca no G no( eht ,)tfel dna eseht snoitca era nekat otni tnuocca
ni eht noitinifed of eht rosnet .tcudorp
A puorg G stca no flesti yb noitagujnoc g“( = hgh - )‘ dna os eht rosnet
erauqs OG G si syawla .denifed ,rehtruF eht rotatummoc pam G x G + G
secudni a msihpromomoh of spuorg G 0 G + ,G gnidnes @g h ot
:K
,g[ ]h .l-h‘-ghg= We etirw )G(,J rof reK ;CI sti lacigolopot tseretni si eht
alumrof ]4,3[
,G(KSq .)G(,J=)l
WNCU* eruP scitamehtaM tnirperP 85.5.
771
0021-8693187 $3.00
thgirypoC Q 1987 yb cimedacA ,sserP .cnI
llA sthgir of noitcudorper ni yna nnol .devreser
871 ,NWORB ,NOSNHOJ DNA NOSTREBOR
stluseR ni ]4,3[ evig a evitatummoc margaid htiw tcaxe swor dna lartnec
snoisnetxe sa :snmuloc
0 0
I I
)GJH +--- )'"G(f L--- )G(,J 4 )G(,H - 0
I= I= I I
+--)G(,H A)“”G(f +-GOG G A -G 1 )1(
I I
,ereH ’G si eht devired puorg fo ,G f si s’daehetihW citardauq rotcnuf
[ ,151 dna G A G si a desilareneg roiretxe tcudorp f( dna eht map /cI era
denifed ni noitceS .)2
esehT snoitaler htiw nwonk-llew snoitcurtsnoc tseggus eht tseretni ni eht
noitatupmoc fo G 0 ,G dna siht si ruo feihc .mia etoN taht margaid ( I )
seilpmi taht G @ G si etinif fi G si ,etinif os taht ticilpxe srewsna nac eb
.detcepxe
.1 EHT NOITCURTSNOC
teL G dna H eb spuorg hcihw tca no sevlesmeht yb ,noitagujnoc
,1-g’ggc’gg dna hcae fo hcihw stca nopu eht rehto ni hcus a yaw taht eht
gniwollof ytilibitapmoc snoitidnoc :dloh
rgw = RWg,, $q*c = W’h
)2(
rof lla ,g ’g E G dna ,h ’h E ,H erehw -ghg ,‘ hgh ’- era ereh deterpretni sa
stnemele fo eht eerf tcudorp G * .H nehT eht rosnet tcudorp @G H si eht
puorg detareneg yb eht slobmys h@g dna denifed yb eht snoitaler
=hO’gg ,)hOg()h”O’g“( )3(
,)’hh@gh()hOg(=’hhOg )4(
rof lla ,g ’g E G dna ,h ’h E .H
NAILEBA-NON ROSNET STCUDORP 971
Remark .1 sihT noitinifed sreffid from taht nevig ni ]3[ ta owt :stniop
ni ,]3[ noitidnoc )2( si ton demussa ta eht ,testuo dna eht dnah-thgir edis
of )3( sdaer 0’8(“ @g()h )h dna( ylralimis rof ,))4( erehw
hP@gP=)h@g(“ )5(
rof g E ,G h E ,H dna p E .H*G sA detniop tuo yb ,sniggiH siht sevlovni na
:ytiugibma )5( lliw enifed a eniuneg noitca ylno fi ti spam )3( dna )4( otni
snoitaler gnidloh ni G @ .G noitidnoC )2( seetnaraug ,siht dna os lliw eb
demussa .tuohguorht
Remark .2 nehW G dna H tca yllaivirt no hcae rehto tub( yb -noc
noitaguj no ,sevlesmeht sa ew syawla ,)emussa OG H si eht yranidro rosnet
.tcudorp sihT nac eb nwohs gnisu )9( dna )01( ees( noitisoporP 3 ,)woleb
ro yb tcerid .noitaluclac
Remark .3 teL L eb a .puorg A noitcnuf :4 G x H + L si dellac a dessorc
gniriap fi rof lla ,g ’g E ,G ,h ’h E ,H
4kg’, )h = ,’g“(d )h“ ,)h,kd
,s(d )’hh = ,g($ )h 4(k .)’Q
A dessorc gniriap 4 senimreted a euqinu msihpromomoh of spuorg :*4
L-H@G hcus taht )h,g(#=)h@g(*d rof lla ,GEg .HE~ sihT tcaf si
desu ,yltneuqerf rof ,elpmaxe ni eht foorp of eht gniwollof ,noitisoporp
sliated of hcihw era tfel ot eht .redaer
NOITISOPORP .1 )i( ehT spuorg G dna H tca no G @ H os taht
,hR@’gg=)h@’g(R ’hh@gh=)’h@g(h
rof lla ,g ’g E ,G ,h ’h E .H ecneH na noitca fo H*G no G @ H si .deniatbo
)ii( esoppuS :8 G + ,A :4 H + B era smsihpromomoh fo ,spuorg ,A B
tca ylbitapmoc no hcae ,rehto dna ,8 4 evreserp eht snoitca ni eht esnes taht
)hgh = ,)h4(go )ghQ = )sV“
rof lla g E ,G h E .H nehT ereht si a euqinu msihpromomoh
hcus taht h~@gO=)hOg()~@O( f ro lla g E ,G h E .H ,rehtruF fi ,6 4+ era
,otno os osla si 0 0 .4
081 ,NOSNHOJ,NWORB DNA NOSTREBOR
)iii( erehT si a euqinu msihpromosi
G@H+-H@G:T )6(
hcus taht (z g @ )h = h( @ )g - ,‘ rof lla g E ,G h E .H
nI eht txen ,noitisoporp )i( dna )ii( era of a railimaf ,epyt elihw )iii( si of
a levon dnik dna si tnatropmi ni .snoitaluclac
NOITIXYFORP 2 .]4[ )i( erehT era smsihpromomoh fo spuorg
,G+-H@Gk :’A H+-H@G hcus taht ,‘-g*g=)h@g(A =)h@g(’A
hg .‘-h
)ii( ehT dessorc eludom selur dloh rof .A dna ,’A taht ,si
)lMC( Wl) ))t4(g= g ,‘-
)2MC( ,tt ’-t = ,,I“(‘
rof lla ,t ,t E G Q ,H g E G dna( ylralimis rof .)’A
)iii( ,‘-tht=h@)t(A ,‘-tt“=)t(’l@g dna suht =),t(’A@)t(A ,t[ ],t
rof lla ,t ,t E G @ ,H g E ,G h E .H ,ecneH G stca yllaivirt no reK ’1 dna H
stca yllaivirt no reK .II
tI si yllaitnesse nwohs ni ]4[ taht eseht seiur era secneuqesnoc of eht
gniwollof laiceps ,sesac hcihw era sevlesmeht tcerid secneuqesnoc of )5()2(
(cf. .)14C
~01TIs0p0RP .3 ehT gniwollof snoitaler dloh rof lla ,g ’g E G dna ,h
E’h :H
,)‘-hOg(h=‘-)h@g(=)h@‘-g(“ )7(
=’P)h@g()’h@’g()h@g( ,)’hO’g(’h*Rc )8(
g( =’h@)‘-gh )h@g( “(gWP’, )9(
,’P)h@g()hOg(’g=)’Phhg(@’g )01(
.)‘-’hrh’g(O)‘~ghg(=]’hO’g,hOg[ )11(
.2 CISAB STLUSER
We won tcirtser noitnetta ot eht rosnet erauqs OG ,G dna nigeb yb
gnivig rof eht lenrek )G(,J of eht rotatummoc pam ni eht margaid )1(
K
owt laicurc secneuqesnoc of noitisoporP ,)ii(2 .)iii(
NAILEBA-NON ROSNET STCUDORP 181
NOITISOPORP 4 .]4[ )i( )G(,J si a lartnec puorgbus fo G Q .G
)ii( ehT stnemele fo )G(,J dexifera rednu eht noitca fo .G
rehtonA niam tneidergni ni )1( si s’daehetihW lasrevinu citardauq
rotcnuf r ,]Sl[ esohw seitreporp ew won ylfeirb .ebircsed
neviG na naileba puorg ,A AT si eht naileba puorg htiw srotareneg ,ay
,AEa dna gninifed snoitaler
1‘-aH = 47
)21(
)cba(y ay by CY = )bad )cb(y Xac(y
rof lla ,a ,6 c E .A ehT gniwollof seitreporp era ton drah ot ,kcehc dna wolla
noitatupmoc of ’I ni eht yletinif detareneg esac [ :151
)a( )B@A(xBfxAT:z)BxA(T
n ddo
)31(
n ,neve
erehw ,Z = )e=nx(x( rof 02n os( taht E=,Z si eht etinifni cilcyc
.)worg
tI si na esicrexe ni eht esu of snoitisoporP 2 dna 3 ot kcehc taht rof yreve
puorg G ereht si a denifed-llew msihpromomoh
GQG+)baG(W,t )41(
hcus taht )’Ggy($ g@g= .]4[ ylraelC mI $ si deniatnoc ni ,)G(,J dna si
erofereht lartnec ni G @ .G ehT lenrekoc of tj si nettirw G A ,G dna si dellac
eht roiretxe erauqs of .G ehT rotatummoc pam :K OG G + ’G ylraelc
srotcaf hguorht :’K G A G +- ;’G eht lenrek of ’cr si cihpromosi ot eht ruhcS
rotacilpitlum )G(,H ,4,41[ .]S ehT gniniamer strap of eht tcaxe swor ni
)1( evired from s’daehetihW ecneuqes-r rof ,G(KS )1 dna eht desilareneg
naV nepmaK meroeht of .]4[
We etats owt etaidemmi secneuqesnoc ees( .)]4[ ,tsriF tel G eb a etinif
.puorg nehT htob )G(,H ees( [ )131 dna )baG(r ees( ))31( era .etinif ,ecneH
)G(,J si ,etinif dna os si .G@G eeS( osla ).]9[ ,ylralimiS fi G si a etinif
puorg-p rof emos emirp ,p neht os si OG .G
NOITISOPORP .5 If G si a etinif ,puorg neht os si G Q .G ,fZ ni ,noitidda G
si a puorg-p rof emos emirp ,p neht os si G Q .G
,dnoceS tel G eb a eerf ,puorg os taht )G(,H dna )G(,H era laivirt ees(
[ .)131 yB 1( ,) $ si .eno-ot-eno ecniS ’G si eerf ,)reierhcS-nesleiN( eht
etamitlunep nmuloc of )1( stilps dna gnisu( noitisoporP ))i(4 ew evah eht
gniwollof tluser .]4[
281 ,NWORB ,NOSNHOJ DNA NOSTREBOR
NOITISOPORP .6 !f G si a eerf ,puorg neht
QG G E ’G x .)”G(’I
nI ,ralucitrap fi G si eerf of etinif knar n 3 ,2 ’G si neht eerf of ylbatnuoc
etinifni knar dna )haG(f si eerf naileba of knar n(n + .2/)1
nehW G si ,naileba eht eulav of G 0 G si nevig yb krameR 2 .evoba We
edulcnoc siht noitces yb gnilaed htiw eht etisoppo ,emertxe ,yleman eht
esac nehw G si ,tcefrep taht ,si G = .’G ehT yek ot siht si eht gniwollof
tluser of .]4[
NOITISOPORP .7 teL G eb yna puorg dna tel
l-G&K&A-l
eb a lartnec .noisnetxe nehT ereht si a msihpromomoh :4 G @ G + K hcus
taht YCI si eht rotatummoc map .CI fI G si ,tcefrep neht 5 si .euqinu
:foorP neviG ,g E ,G kcip Eik K hcus taht )ik(n ig= rof i = ,1 ,2 dna
enifed a pam ,ig( )2g H [k,, k2]. sihT si tnednepedni of eht eciohc of
k,, k, ecnis( eht noisnetxe si )lartnec dna si a dessorc .gniriap tI erofereht
secudni a msihpromomoh :4 G Q G +- ,K hcihw ylsuoivbo seifsitas 4n = .K fI
owt smsihpromomoh ,5 :’5 OG G + K yfsitas =lrr ,‘[rr neht )’r([ ’~ = ,qr
erehw :v G @ G +- A si a msihpromomoh hcihw srotcaf hguorht eht -cejorp
noit G 0 G +- bUG @ .‘”G ehT sseneuqinu of 5 rof tcefrep G .swollof i
ehT noitinifed of a gnirevoc puorg G of a puorg G si llew nwonk fi G si
etinif [ ,21 .pahC ,V .tceS .132 We tpoda a ralimis noitinifed ni eht lareneg
.esac oS a gnirevoc puorg 6 of a puorg G si a lartnec noisnetxe
-G-Ga)G(,H-l ,1
erehw )G(,H si eht ruhcS rotacilpitlum dna mI I c .6 etoN ,taht elihw 6 si
ton yleuqinu denimreted yb ,G eht rotatummoc puorgbus ’6 si os -reted
.denim tI swollof taht nehw G si ,tcefrep G si euqinu dna( osla .)tcefrep
We won tsil emos secneuqesnoc of noitisoporP ,7 of hcihw eht tsrif si ni
,6C .1473
YRALLOROC .1 nehW G si ,tcefrep G 0 G si eht )euqinu( gnirevoc puorg
foe .G
foorP nehW G = ,’G bUG si laivirt dna os si mI ./II ,ecneH from margaid
( 1 ,) G 0 G si a lartnec noisnetxe of G yb ,)G(zH dna ti si tneiciffus ot evorp
taht G 0 G si a tcefrep puorg rof( neht )G(,H c G( @ ’)G .)yllacitamotua
,woN G @ G si detareneg yb stnemele g 0 ,’g erehw g dna ’g era stcudorp of
.srotatummoc tI swollof from )3( dna )4( taht G 0 G si detareneg yb eht
g @ ’g htiw g dna ’g elpmis .srotatummoc tuB ti swollof from ( )11 taht hcus
NAILEBA-NON ROSNET STCUDORP 381
na tnemele si a rotatummoc ni G 0 .G ,ecneH G @ G si ,tcefrep dna suht si
cihpromosi ot .G 1
YRALLOROC .2 fZ e si a gnirevoc puorg fo ,G neht ereht si a map
:q G A G + ,‘?I( hcihw si na msihpromosi fi )G(,H si yletinif .detareneg
.foorP A pam :5 OG G +- G si nevig yb noitisoporP .7 ylraelC
)g@g(t = 1 rof lla eg .G oS ew evah a msihpromomoh :q G A G + ’G
gnicudni a msihpromomoh :’I‘ )G(,H + .)G(,H ehT noitidnoc mI z s ’G
seilpmi taht ’q si .evitcejrus ecniS )G(,H si yletinif ,detareneg ti swollof taht
’u si na .msihpromosi ehT ammel-evil seilpmi taht q si na .msihpromosi 1
Remark. tI dluow mees elbanosaer ni eht lareneg esac ot enifed a -revoc
gni puorg sa evoba tub htiw eht lanoitidda tnemeriuqer taht eht pam q of
yralloroC 2 si na .msihpromosi
ehT gniwollof tluser saw detseggus yb eht lanoitatupmoc stluser of
noitceS .6
NOITISOPORP .8 Zf G si a puorg ni hcihw ’G sah a cilcyc tnemelpmoc ,C
neht G(rG@G A .Cx)G
YjoorP teL C = ;)x( yb ,noitpmussa eht noitcejorp G +- bUG spam C
yllacihpromosi ot ,baG os ew nac etirw C = .baG ehT tcaxe ecneuqes
&)C(-Z ,mGQG AG -G 1
swohs taht preK si detareneg yb .x0x oS eht lacinonac pam
x@xneht,nredrosahxfI.C@CotnopreKspamCrC@C+G@G:t
sah redro ta tsom ,n sa x( @ ”)x = x 0 .nx oS t spam reK p yllacihpromosi
ot OC .C ecneH ereht si a noitcarter G 0 G +- reK ,p dna os G @ G si eht
tcerid tcudorp G( )G .C
A x #
.ELPMAXE nI eht selbat ni noitceS 6 ti si detats taht 04A ,A z ,Z x .zQ
sihT nac eb deniatbo from eht suoiverp owt ,stluser erehw eht ,Z rotcaf si
detareneg yb a @ a gnisu( eht noitaton of elbaT )I elihw eht 2Q rotcaf sah
srotareneg Qa b dna a@a - ab‘ gnidnopserroc ot eht srotareneg ba dna ab
rof ,&a erehw 4a = ,a( b 1 3a = 3b = .)2)ba(
.3 LAIROTCNUF SEITREPORP
tI si raelc taht yna msihpromipe :cr K + G secudni na msihpromipe
481
,NWORB ,NOSNHOJ DNA NOSTREBOR
ees( noitisoporP .))ii(l nI eht elbaruovaf esac nehw reK c7 d ,)K(Z ew nac
yas gnihtemos tuoba eht lenrek of 017 .cr ehT gniwollof ,tluser hcihw si a
laiceps esac of 3.1.3 of ]7[ dna si detaler ot noitisoporP 1 of ,]8[ saw osla
dnuof yb .L-.J yadoL .fc( [ 1 .)I
NOITISOPORP .9 neviG a lartnec noisnetxe
ereht si na tcaxe ecneuqes
+-f-)A@K(x)K@A( K@K ,z@n -G@G 1
ni hcihw mI I si .lartnec
:JoorP yB noitisoporP )ii(l dna )8( ereht si a msihpromomoh z hcihw
sdnes
gnittuP =C mI ,I ti si raelc taht <C )rr@n(reK dna taht @n ~7 si .otno
,eromrehtruF ecnis A ,)K(Z< ew evah C < )K(,J < ,)K@K(Z yb
noitisoporP ,)ii(4 dna ni ralucitrap C si lamron ni .KOK tI si suht
tneiciffus ot evorp taht eht decudni pam
:’II +C/)K@K( GOG
si na ,msihpromosi dna siht si enod yb gnitcurtsnoc na esrevni p sa :swollof
roF hcae eg G esoohc ’g E K hcus taht )’g(a .g= teL :v @K K +
C/)K@K( etoned eht tneitouq .pam enifeD :’p G x G + C/)K@K(
yb (’p ,g )h = ’g(v @ .)’h yB )3( dna ,)4( ’p si .denifed-llew We evorp taht ’p
si a dessorc .gniriap teL ,g ,h k E .G nehT
(’o, ,hg gk) (’p ,g k) = ’h’g(v @ g’k’) (v ’g @ k’)
= (v ’h’g( @ g’k’)( ’g 0 k’))
= )’k@’h’g(v
= .)kkk’P
sihT seifirev eht tsrif elur rof a dessorc ,gniriap dna eht rehto elur si devorp
.ylralimis ehT msihpromomoh :p G @ G + OK( C/)K denimreted yb ’p
ylraelc seifsitas p’z = .,,@,l ,oslA fi k,, k, E ,K neht
NAILEBA-NON ROSNET STCUDORP 581
,k((’p 0 4 )C = PW, 0 )b
)44Q),k4(P=
= v(k, ),kO
= ,k( Q )*k c.
,ecneH ’R si na ,msihpromosi dna eht foorp si .etelpmoc 1
sihT tluser lliw eb desu ni eht txen noitces ot evired eht eulav of GOG
rof lardehid spuorg from sti eulav no cinoinretauq ,spuorg gniwollof a
noitseggus of .yadoL
rednU niatrec elbaruovaf ,snoitidnoc eht naileba-non rosnet tcudorp
setubirtsid revo tcerid .stcudorp esehT snoitidnoc niatbo rof eht rosnet
erauqs of a tcerid ,tcudorp dna siht secuder eht krow ni gniugolatac eht
seulav of G 0 G rof spuorg of llams redro ees( noitceS 6 .)woleb
NOITISOPORP .01 teL ,A ,B C eb ,spuorg htiw nevig snoitca fo A no B dna
,C dna fo B dna C no .A esoppuS taht eht rettal snoitca
4( :etummoc a“ = ,ab‘ os taht B x C stca no ,A
)b( ecudni eht laivirt noitca fo B no A @ :C a(‘ @ )c = a @ ,c dna
)c( ecudni eht laivirt noitca fo C no A Q :B a(“ @ )b = a I@ ,6
rof ,AEalla ,BEb .CEC nehT
.)C@A(x)B@A(r)CxB(@A
.foorP enifeD
)C@A(x)B@A(+)CxB(@A:cc
,)cQa,bQa(~)c,b(Qa
dna kcehc taht )3( dna )4( era .devreserp roF )3(
@’aa(@ ,b( ))c = @’aa( ,b ,)c@’aa yb ,noitinifed
,)b@a()b“@’a“((= ))c@a()cUO’a“(
)c@a,b@a()c“@’a“,b“@’a“(=
= Q’a(“(cc ,b( )))c 0ad 6( .)1~
roF )4(
@a(a ,6(( ,’b()c )))’c = a(rc @ ,’bb( ))’cc
,’bb@a(= )’cc@a
,)’bb@ab()b@a((= ))’ccOac()c@a(
= ,b@a( ,)’b@a(b()c@a .))’c@a(‘
681 ,NWORB ,NOSNHOJ DNA NOSTREBOR
ehT tsrif rotcaf si @~(a ,h( ,))c elihw eht dnoces dluohs eb
,’h(@uqb((a =)))’c ,)’C@a,’h@u(“.b‘
hcihw ti ,si gnisu )b( dna .)c(
ehT esrevni map tsum eb
dna ti tsum eb dekcehc taht
)i( snoitaler )3( dna )4( era ,devreserp
)ii( eht segami rednu p fo a 0 b dna a @ c ,etummoc
)iii( @c dna MP era ytitnedi .spam
,tsriF )ii( swollof yb gniylppa )4( ot
))e,b()c,e((Ou=))c,e()e,h((Ou=)c,h(Ou
dna gnisu )b( dna .)c( sihT osla swohs taht rclf = ,1 elihw BZC = 1 si .suoivbo
,yllaniF )3( seirrac revo ,yllacitamotua elihw rof ,)4(
,’bb@u(if ,’hh(Ou=)e ,h(@u=)e ,’h()e )e
= (08 (h ))e @a(‘ (h’, ,))e
saerehw
)bOU((D ,)’bOU(“ )e = @a( ,b( ,uh())e ,’h‘( ,))e
sa ,deriuqer dna ylralimis rof ,e( a 0 .)’cc 1
ehT evitubirtsid wal rof rosnet serauqs si a drawrofthgiarts ecneuqesnoc
fo ;siht ni ,ti spuorg G dna H era dootsrednu ot tca yllaivirt nopu hcae
rehto dna no sevlesmeht yb ,noitagujnoc os taht eht ssorc smret no eht
dnah-thgir edis era yranidro rosnet .stcudorp
NOITISOPORP ,11
.)H@H(x)G@H(x)H@G(x)G@G(=)HxG(@)HxG(
:JoorP sihT lliw wollof from eht suoiverp tluser rehtegot( htiw
noitisoporP ))iii(l dedivorp ew nac wohs taht snoitidnoc )b( dna )c( dloh
noitidnoc( )a si ,)citamotua taht ,si G stca yllaivirt no G( x )H @ ,H G @ ,H