Quasi-Stationary Approximation for PPBP Queues - Mathematica

178 Pages·2009·1.32 MB·English

Quasi-Stationary Approximation
for PPBP Queues - Mathematica
Source Code
Ron Addie, University of Southern Queensland, September 2008
This notebook contains all the mathematica procedures, including plots, used in the paper by Addie, Neame and Zukerman,
published in Communication Networks 53 (2009), pp. 1099-1113.
If you wish to have access to the mathematica notebook from which this document was generated, please contact Ron Addie
([email protected]).
Preliminaries
(cid:72)(cid:42)(cid:60)(cid:60)"Statistics‘DiscreteDistributions‘"
(cid:60)(cid:60)"Statistics‘DescriptiveStatistics‘"
(cid:60)(cid:60)"Statistics‘ContinuousDistributions‘"
(cid:60)(cid:60)"NonlinearRegression‘"
(cid:60)(cid:60)"Graphics‘"
(cid:60)(cid:60)"BarCharts‘";(cid:60)(cid:60)"Histograms‘";(cid:60)(cid:60)"PieCharts‘"
(cid:60)(cid:60)"BarCharts‘";(cid:60)(cid:60)"Histograms‘"
(cid:60)(cid:60)"ErrorBarPlots‘"
(cid:60)(cid:60)"MultiplierMethod.m"
(cid:60)(cid:60)"PlotLegends‘"(cid:42)(cid:76)
Needs(cid:64)"Optimization‘MultiplierMethod‘"(cid:68);
ppbpmean(cid:64)Λ(cid:95),Γ(cid:95),∆(cid:95),r(cid:95)(cid:68):(cid:61)Λr∆Γ(cid:144)(cid:72)Γ(cid:45)1(cid:76);(cid:72)(cid:42) See qstream p28 (cid:42)(cid:76)
∆(cid:61)1;∆(cid:61)0.2; r(cid:61)0.2; Λ(cid:61)10;H(cid:61)0.85; Γ(cid:61)3(cid:45)2(cid:32)H; NetServiceRate(cid:61)1;
deltagamma
m(cid:61)ppbpmean(cid:64)Λ,Γ,∆,r(cid:68);MeanBurst(cid:64)gamma(cid:95),delta(cid:95)(cid:68):(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128);
gamma(cid:45)1
Ed(cid:64)gamma(cid:95),delta(cid:95)(cid:68):(cid:61)MeanBurst(cid:64)gamma,delta(cid:68);
Print(cid:64)"MeanBurst (cid:61) ",MeanBurst(cid:64)Γ,∆(cid:68), "; m (cid:61) ", m,", gamma (cid:61) ",Γ(cid:68);debugflag(cid:61)0;
MeanBurst (cid:61) 0.866667; m (cid:61) 1.73333, gamma (cid:61) 1.3
(cid:60)(cid:60)"C:\\Documents and Settings\\addie\\My Documents\\papers\\mistail\\comnet08\\clt.mx"
2 quasi34.nb
Lemma 1
g(cid:64)ap(cid:95),bp(cid:95),u(cid:95)(cid:68):(cid:61)apLog(cid:64)u(cid:68)(cid:45)bp;D1(cid:61)1.25;D2(cid:61)1;
ap(cid:61)12.5;bp(cid:61)0.2;app(cid:61)ap(cid:180)D1;bpp(cid:61)bp(cid:180)D1;u0(cid:61)1; uL(cid:61)50;KKK(cid:61)10;soln(cid:61)
(cid:72)Solve(cid:64)(cid:56)g(cid:64)appp,bppp,u0(cid:68)(cid:61)(cid:61)D2(cid:180)u0(cid:45)KKK,g(cid:64)appp,bppp,uL(cid:68)(cid:61)(cid:61)D2(cid:180)uL(cid:45)KKK(cid:60),(cid:56)appp,bppp(cid:60)(cid:68)(cid:64)(cid:64)
1(cid:68)(cid:68)(cid:76);ap(cid:61)appp (cid:144). soln;bp(cid:61)bppp (cid:144). soln;
Plot(cid:64)(cid:56)D1(cid:180)u,D2(cid:180)u,g(cid:64)ap,bp,u(cid:68)(cid:60),(cid:56)u,u0,uL(cid:60),PlotLegend(cid:174)(cid:56)"g1","g2","f"(cid:60),
PlotStyle(cid:174)(cid:56)(cid:56)Hue(cid:64)0.1(cid:68),Thickness(cid:64)0.005(cid:68),Dashing(cid:64)(cid:56)0.04,0.02(cid:60)(cid:68)(cid:60),(cid:56)Hue(cid:64)0.4(cid:68),
Thickness(cid:64)0.005(cid:68),Dashing(cid:64)(cid:56)0.005,0.015(cid:60)(cid:68)(cid:60),(cid:56)Hue(cid:64)0.8(cid:68),Thickness(cid:64)0.005(cid:68),Dashing(cid:64)(cid:56)(cid:60)(cid:68)(cid:60)(cid:60),
LegendPosition(cid:174)(cid:56)0,(cid:45)0.85(cid:60), AxesLabel(cid:174)(cid:56)"u","y"(cid:60)(cid:68)
y
60
50
40
30
20
g1
10
g2 u
10 20 30 40 50
-10
f
(cid:133) Graphics (cid:133)
strm(cid:61)OpenWrite(cid:64)"lemma1plot.dat",PageWidth(cid:174)100(cid:68);
For(cid:64)u(cid:61)1,u(cid:163)12, Write(cid:64)strm,u," ",D1(cid:180)u(cid:32)" ",D2(cid:180)u," ",g(cid:64)ap,bp,u(cid:68)(cid:68); u(cid:43)(cid:61)0.25(cid:68);
Close(cid:64)"lemma1plot.dat"(cid:68);
Options(cid:64)ParametricPlot(cid:68)
1
(cid:58)AspectRatio(cid:174) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),Axes(cid:174)Automatic,AxesLabel(cid:174)None,AxesOrigin(cid:174)Automatic,
GoldenRatio
AxesStyle(cid:174)Automatic,Background(cid:174)Automatic,ColorOutput(cid:174)Automatic,
Compiled(cid:174)True,DefaultColor(cid:174)Automatic,Epilog(cid:174)(cid:56)(cid:60),Frame(cid:174)False,
FrameLabel(cid:174)None,FrameStyle(cid:174)Automatic,FrameTicks(cid:174)Automatic,GridLines(cid:174)None,
ImageSize(cid:174)Automatic,MaxBend(cid:174)10.,PlotDivision(cid:174)30.,PlotLabel(cid:174)None,
PlotPoints(cid:174)25,PlotRange(cid:174)Automatic,PlotRegion(cid:174)Automatic,PlotStyle(cid:174)Automatic,
Prolog(cid:174)(cid:56)(cid:60),RotateLabel(cid:174)True,Ticks(cid:174)Automatic,DefaultFont(cid:166)$DefaultFont,
DisplayFunction(cid:166)$DisplayFunction,FormatType(cid:166)$FormatType,TextStyle(cid:166)$TextStyle(cid:62)
quasi34.nb 3
u0(cid:61)1; uL(cid:61)50;KKK(cid:61)10;soln(cid:61)
(cid:72)Solve(cid:64)(cid:56)g(cid:64)appp,bppp,u0(cid:68)(cid:61)(cid:61)D2(cid:180)u0(cid:45)KKK,g(cid:64)appp,bppp,uL(cid:68)(cid:61)(cid:61)D2(cid:180)uL(cid:45)KKK(cid:60),(cid:56)appp,bppp(cid:60)(cid:68)(cid:64)(cid:64)
1(cid:68)(cid:68)(cid:76);ap(cid:61)appp (cid:144). soln;bp(cid:61)bppp (cid:144). soln;
soln(cid:61)(cid:72)Solve(cid:64)(cid:56)g(cid:64)appp,bppp,u0(cid:68)(cid:61)(cid:61)D2(cid:180)u0(cid:45)KKK,g(cid:64)appp,bppp,10(cid:180)uL(cid:68)(cid:138)10(cid:180)D2(cid:180)uL(cid:45)KKK(cid:60),
(cid:56)appp,bppp(cid:60)(cid:68)(cid:64)(cid:64)1(cid:68)(cid:68)(cid:76);ap10(cid:61)appp (cid:144). soln;bp10(cid:61)bppp (cid:144). soln;
soln(cid:61)(cid:72)Solve(cid:64)(cid:56)g(cid:64)appp,bppp,u0(cid:68)(cid:61)(cid:61)D2(cid:180)u0(cid:45)KKK,g(cid:64)appp,bppp,1000(cid:180)uL(cid:68)(cid:138)1000(cid:180)D2(cid:180)uL(cid:45)KKK(cid:60),
(cid:56)appp,bppp(cid:60)(cid:68)(cid:64)(cid:64)1(cid:68)(cid:68)(cid:76);ap1000(cid:61)appp (cid:144). soln;bp1000(cid:61)bppp (cid:144). soln;
ParametricPlot(cid:64)(cid:56)(cid:56)u(cid:144)uL,D1(cid:180)u(cid:144)uL(cid:60),(cid:56)u(cid:144)uL,D2(cid:180)u(cid:144)uL(cid:60),(cid:56)u(cid:144)uL,g(cid:64)ap,bp,u(cid:68)(cid:144)uL(cid:60),
(cid:56)u(cid:144)uL,g(cid:64)ap10,bp10,10(cid:180)u(cid:68)(cid:144)(cid:72)10(cid:180)uL(cid:76)(cid:60),(cid:56)u(cid:144)uL,g(cid:64)ap1000,bp1000,1000(cid:180)u(cid:68)(cid:144)(cid:72)1000(cid:180)uL(cid:76)(cid:60)(cid:60),
(cid:56)u,u0(cid:144)1000,uL(cid:60),PlotStyle(cid:174)(cid:56)(cid:56)Hue(cid:64)0.1(cid:68),Thickness(cid:64)0.005(cid:68),Dashing(cid:64)(cid:56)0.04,0.02(cid:60)(cid:68)(cid:60),
(cid:56)Hue(cid:64)0.2(cid:68),Thickness(cid:64)0.005(cid:68),Dashing(cid:64)(cid:56)0.005,0.015(cid:60)(cid:68)(cid:60),(cid:56)Hue(cid:64)0.4(cid:68),Thickness(cid:64)0.005(cid:68),
Dashing(cid:64)(cid:56)(cid:60)(cid:68)(cid:60),(cid:56)Hue(cid:64)0.6(cid:68),Thickness(cid:64)0.005(cid:68),Dashing(cid:64)(cid:56)0.002,0.001,0.002(cid:60)(cid:68)(cid:60),
(cid:56)Hue(cid:64)0.8(cid:68),Thickness(cid:64)0.005(cid:68),Dashing(cid:64)(cid:56)0.001,0.001,0.002(cid:60)(cid:68)(cid:60),
(cid:56)Hue(cid:64)0.99(cid:68),Thickness(cid:64)0.0075(cid:68),Dashing(cid:64)(cid:56)0.005,0.001,0.002(cid:60)(cid:68)(cid:60)(cid:60),
AxesLabel(cid:174)(cid:56)"u(cid:144)uL","y(cid:144)uL"(cid:60),PlotRange(cid:174)(cid:56)0,1(cid:60)(cid:68)
y(cid:144) uL
1
0.8
0.6
0.4
0.2
u(cid:144) uL
0.2 0.4 0.6 0.8 1
(cid:133) Graphics (cid:133)
g(cid:64)ap,bp,uL(cid:68)(cid:144)uL
4
(cid:128)(cid:128)(cid:128)
5
D2
1
strm(cid:61)OpenWrite(cid:64)"lemma1Bplot.dat",PageWidth(cid:174)200(cid:68);
For(cid:64)u(cid:61)0.1,u(cid:163)uL, Write(cid:64)strm,u(cid:144)uL," ",D1(cid:180)u(cid:144)uL," ",D2(cid:180)u(cid:144)uL," ",g(cid:64)ap,bp,u(cid:68)(cid:144)uL,
" ",g(cid:64)ap10,bp10,10(cid:32)u(cid:68)(cid:144)(cid:72)10(cid:32)uL(cid:76)," ",g(cid:64)ap1000,bp1000,1000(cid:32)u(cid:68)(cid:144)(cid:72)1000(cid:32)uL(cid:76)(cid:68); u(cid:43)(cid:61)0.25(cid:68);
Close(cid:64)"lemma1Bplot.dat"(cid:68);
appp (cid:144). (cid:72)Solve(cid:64)(cid:56)g(cid:64)appp,bppp,u0(cid:68)(cid:61)(cid:61)D1(cid:180)u0,g(cid:64)appp,bppp,uL(cid:68)(cid:61)(cid:61)D1(cid:180)uL(cid:60),(cid:56)appp,bppp(cid:60)(cid:68)(cid:64)(cid:64)1(cid:68)(cid:68)(cid:76)
15.6569
4 quasi34.nb
u0(cid:61)1; uL(cid:61)50;g(cid:64)appp,bppp,appp(cid:144)D1(cid:68)(cid:45)D1(cid:180)appp(cid:144)D1 (cid:144).
Solve(cid:64)(cid:56)g(cid:64)appp,bppp,u0(cid:68)(cid:61)(cid:61)D1(cid:180)u0,g(cid:64)appp,bppp,uL(cid:68)(cid:61)(cid:61)D1(cid:180)uL(cid:60),(cid:56)appp,bppp(cid:60)(cid:68)(cid:64)(cid:64)1(cid:68)(cid:68)
25.17
Ψ
Short Range Dependent Queueing Approximations
(cid:159) Mean of the PPBP
(cid:165)
(cid:224) (cid:72)1(cid:43)x(cid:144)∆p(cid:76)(cid:45)Γp(cid:32)(cid:226)x
0
If(cid:66)Re(cid:64)Γp(cid:68)(cid:62)1&&Arg(cid:64)∆p(cid:68)(cid:185)Π, (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)∆(cid:128)(cid:128)(cid:128)p(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),(cid:224)(cid:165)(cid:105)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)1(cid:43) (cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:121)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:45)Γp (cid:226)x(cid:70)
(cid:45)1(cid:43)Γp 0 (cid:107) ∆p(cid:123)
(cid:165)
∆p(cid:43)(cid:224) (cid:72)x(cid:144)∆p(cid:76)(cid:45)Γp(cid:32)(cid:226)x
∆p
∆p(cid:43)If(cid:66)∆p(cid:62)0&&Re(cid:64)Γp(cid:68)(cid:62)1, (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)∆(cid:128)(cid:128)(cid:128)p(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),(cid:224)(cid:165)(cid:105)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:121)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:45)Γp (cid:226)x(cid:70)
(cid:45)1(cid:43)Γp ∆p(cid:107)∆p(cid:123)
FullSimplify(cid:64)(cid:72)Γp(cid:45)1(cid:76)(cid:32)∆p(cid:43)∆p(cid:68)
Γp∆p
Γ∆
Ed(cid:64)Γ(cid:95),∆(cid:95)(cid:68):(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128);
Γ(cid:45)1
Λ(cid:180)r(cid:180)∆
ppbpmean(cid:64)Λ(cid:95),Γ(cid:95),∆(cid:95),r(cid:95)(cid:68):(cid:61)ΛrEd(cid:64)Γ,∆(cid:68);duffmean(cid:64)Λ(cid:95),Γ(cid:95),∆(cid:95),r(cid:95)(cid:68):(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128);
Γ(cid:45)1
(cid:159) Variance of the PPBP
var(cid:64)xxtt(cid:95),xxΛ(cid:95),xxΓ(cid:95),xx∆(cid:95),xxr(cid:95)(cid:68):(cid:61)If(cid:66)xxtt(cid:60)xx∆,
2(cid:32)xxΛxxr2(cid:32)(cid:105)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)∆(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)t(cid:128)(cid:128)(cid:128)t(cid:128)(cid:128)(cid:128)2(cid:128)(cid:128)(cid:128) (cid:45) x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)t(cid:128)(cid:128)(cid:128)t(cid:128)(cid:128)3(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:121)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122),
(cid:107) 2(cid:32)(cid:72)xxΓ(cid:45)1(cid:76) 6 (cid:123)
2(cid:32)xxΛxxr2(cid:32)(cid:105)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)6(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:32)(cid:128)(cid:128)(cid:72)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)3(cid:128)∆(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:45)3(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:32)(cid:128)xx(cid:128)(cid:128)(cid:128)xx(cid:128)(cid:128)(cid:128)ΓΓ(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:76)(cid:128)(cid:128)(cid:128) (cid:45) x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)2(cid:128)(cid:128)(cid:128)t(cid:32)(cid:128)(cid:72)(cid:128)(cid:128)t(cid:128)2(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)∆x(cid:128)(cid:128)(cid:128)2x(cid:128)(cid:128)(cid:32)(cid:128)Γ(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:76)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:128) (cid:43) (cid:72)(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)1(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:76)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:32)x(cid:128)(cid:72)(cid:128)(cid:128)∆(cid:128)2(cid:128)(cid:128)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)(cid:32)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)xx(cid:128)(cid:128)(cid:128)xt(cid:128)(cid:128)(cid:128)Γt(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:76)3(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)(cid:32)(cid:128)(cid:72)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:128)3(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:76)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:121)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)
(cid:107) (cid:123)
(cid:70);var(cid:64)xxtt(cid:95)(cid:68):(cid:61)var(cid:64)xxtt,Λ,Γ,∆,r(cid:68);var(cid:64)xxtt(cid:95),lambda(cid:95)(cid:68):(cid:61)var(cid:64)xxtt,lambda,Γ,∆,r(cid:68);
Λ(cid:61)1000000
1000000
quasi34.nb 5
LogLogPlot(cid:64)var(cid:64)1,lam(cid:68),(cid:56)lam,0.01,10000000(cid:60)(cid:68)
104
100
1
0.01
1 100 104 106
Σ(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)1(cid:68)(cid:68)
1.26491
nmatstar(cid:64)xxxx(cid:95),xxww(cid:95),xxnetSR(cid:95),xxlambda(cid:95),xxgamma(cid:95),xxdelta(cid:95),xxr(cid:95)(cid:68):(cid:61)
Module(cid:66)(cid:56)(cid:60),(cid:72)(cid:42) var(cid:64)tt(cid:95)(cid:68):(cid:61)var(cid:64)tt,xxlambda,xxgamma,xxdelta,xxr(cid:68)(cid:45)tt2x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)r(cid:128)(cid:128)2(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)l(cid:128)(cid:128)a(cid:128)(cid:128)m(cid:128)(cid:128)b(cid:128)(cid:128)d(cid:128)(cid:128)(cid:128)a(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)w(cid:128)(cid:128)w(cid:128)(cid:128)1(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)x(cid:128)g(cid:128)(cid:128)a(cid:128)m(cid:128)(cid:128)m(cid:128)a(cid:128)(cid:128)(cid:42)(cid:76)
xxgamma(cid:45)1
(cid:72)(cid:42) See comnet p12 (cid:42)(cid:76)
If(cid:64)xxxx(cid:60)xxww,z (cid:144). FindRoot(cid:64)var(cid:64)z(cid:68)(cid:144)(cid:72)xxxx(cid:144)xxnetSR(cid:43)z(cid:76)(cid:61)(cid:61)Sign(cid:64)z(cid:68)(cid:32)var’(cid:64)z(cid:68)(cid:144)2,
(cid:56)z,fbmtstar(cid:64)xxxx,xxnetSR,(cid:72)3(cid:45)xxgamma(cid:76)(cid:144)2(cid:68),100(cid:60),MaxIterations(cid:174)50(cid:68),
xxww(cid:68)
(cid:70);
CDF(cid:64)NormalDistribution(cid:64)0,xxrSqrt(cid:64)
xxlambda(cid:32)(cid:72)xxdelta^(cid:72)1(cid:45)xxgamma(cid:76)(cid:45)xxww^(cid:72)1(cid:45)xxgamma(cid:76)(cid:76)(cid:144)(cid:72)xxdelta(cid:32)(cid:72)xxgamma(cid:45)1(cid:76)(cid:76)(cid:68)(cid:68),(cid:45)netsr(cid:68)
12(cid:128)(cid:128)(cid:128) (cid:105)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)1(cid:45)Erf(cid:66)(cid:143)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:33)2(cid:128)(cid:33)(cid:128)(cid:33)(cid:128)(cid:33)(cid:128)(cid:33)(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)r(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:36)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:37)(cid:128)x(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)x(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)l(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)a(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)m(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)b(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)d(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)a(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)n(cid:37)(cid:128)(cid:73)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)x(cid:128)e(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)x(cid:37)(cid:128)(cid:128)t(cid:37)(cid:128)(cid:128)d(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)se(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)l(cid:37)(cid:128)(cid:128)r(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)t(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)a(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)1(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)x(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)x(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)g(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)a(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)m(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)m(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)a(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)x(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)x(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)w(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)w(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)1(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)x(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)x(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)g(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)a(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)m(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)m(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)a(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:77)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:37)(cid:128)(cid:70)(cid:121)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)
(cid:107) xxdelta(cid:72)(cid:45)1(cid:43)xxgamma(cid:76) (cid:123)
SRDnma(cid:64)xxmmm(cid:95),xxs(cid:95),xxww(cid:95),xxxx(cid:95),xxlambda(cid:95),xxgamma(cid:95),xxdelta(cid:95),xxr(cid:95),xxns(cid:95)(cid:68):(cid:61)
xxr(cid:180)xxlambda(cid:180)Abs(cid:64)xxww(cid:68)1(cid:45)Γ
Module(cid:66)(cid:58)netsr(cid:61)xxns(cid:45)xxmmm(cid:180)xxr(cid:43) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),ts(cid:62),
xxgamma(cid:45)1
ts(cid:61)nmatstar(cid:64)xxxx,xxww,netsr,xxlambda,xxgamma,xxdelta,xxr(cid:68);
(cid:72)xxxx(cid:43)netsr(cid:180)ts(cid:76)2
Exp(cid:66)(cid:45)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:70)
2(cid:32)var(cid:64)ts(cid:68)
(cid:70);
fbmtstar(cid:64)xxxx(cid:95),netSR(cid:95)(cid:68):(cid:61)Module(cid:64)(cid:56)H(cid:61)(cid:72)3(cid:45)Γ(cid:76)(cid:144)2(cid:60),Hxxxx (cid:144) (cid:72)(cid:72)1(cid:45)H(cid:76)(cid:32)netSR(cid:76)(cid:68);
fbmtstar(cid:64)xxxx(cid:95),netSR(cid:95),xxH(cid:95)(cid:68):(cid:61)xxHxxxx (cid:144) (cid:72)(cid:72)1(cid:45)xxH(cid:76)(cid:32)netSR(cid:76);Γ(cid:61)1.5;r(cid:61)1;
SRDnma(cid:64)xxx(cid:95),xxlambda(cid:95),xxgamma(cid:95),xxdelta(cid:95),xxr(cid:95),xxns(cid:95)(cid:68):(cid:61)
SRDnma(cid:64)0,1,1000,xxx,xxlambda,xxgamma,xxdelta,xxr,xxns(cid:68);
6 quasi34.nb
Plot(cid:64)(cid:45)Log(cid:64)(cid:45)Log(cid:64)SRDnma(cid:64)Exp(cid:64)vv(cid:68),100,Γ,∆,r,0.1(cid:68)(cid:68)(cid:68),(cid:56)vv,Log(cid:64)0.01(cid:68),Log(cid:64)100000(cid:68)(cid:60)(cid:68)
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10
-1
-2
-3
-4
-5
-6
(cid:133) Graphics (cid:133)
Plot(cid:64)(cid:56)Log(cid:64)SRDnma(cid:64)1,0,100,vv,Λ,Γ,∆,r,0.1(cid:68)(cid:68),SRDfbm(cid:64)vv,Λ,Γ,∆,r,0.1(cid:68)(cid:60),(cid:56)vv,0,10(cid:60)(cid:68)
Plot::plnr: Log(cid:64)SRDnma(cid:64)1, 0, 100, vv, Λ, Γ, ∆, r, 0.1(cid:68)(cid:68) is
not a machine(cid:45)size real number at vv (cid:61) 4.1666666666666667‘(cid:42)^(cid:45)7.
Plot::plnr: Log(cid:64)SRDnma(cid:64)1, 0, 100, vv, Λ, Γ, ∆, r, 0.1(cid:68)(cid:68)
is not a machine(cid:45)size real number at vv (cid:61) 0.40566991572915795‘.
Plot::plnr: Log(cid:64)SRDnma(cid:64)1, 0, 100, vv, Λ, Γ, ∆, r, 0.1(cid:68)(cid:68)
is not a machine(cid:45)size real number at vv (cid:61) 0.8480879985937368‘.
General::stop:
Further output of Plot::plnr will be suppressed during this calculation.
2 4 6 8 10
0.9998
0.9996
0.9994
0.9992
(cid:133) Graphics (cid:133)
quasi34.nb 7
(cid:159) SRD Queueing Solution-- Gaussian FBN model
Hx
kappa:(cid:61)HH(cid:32)(cid:72)1(cid:45)H(cid:76)(cid:72)1(cid:45)H(cid:76);ts(cid:64)x(cid:95)(cid:68):(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128);Σ(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)10(cid:68)(cid:68)(cid:32)10(cid:45)H;
1(cid:45)H
xx2(cid:45)2(cid:32)H
normsq(cid:64)xx(cid:95),Σ(cid:95)(cid:68):(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128);SRDfbm(cid:64)mmm(cid:95),s(cid:95), ww(cid:95),xx(cid:95),lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),ns(cid:95)(cid:68):(cid:61)
kappa2(cid:32)Σ2
Module(cid:65)(cid:56)netsr(cid:61)ns(cid:45)mmm(cid:180)r(cid:60),Exp(cid:65)(cid:45)netsr^(cid:72)2H(cid:76)(cid:180)xx^(cid:72)2(cid:45)2(cid:32)H(cid:76)(cid:145)(cid:73)2(cid:180)H2(cid:32)H(cid:32)(cid:72)1(cid:45)H(cid:76)2(cid:45)2(cid:32)H(cid:180)s2(cid:77)(cid:69)(cid:69);
fbmcdf(cid:64)xx(cid:95),lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),s(cid:95),ns(cid:95)(cid:68):(cid:61)
Module(cid:65)(cid:56)netsr(cid:61)ns,H(cid:61)(cid:72)3(cid:45)Γ(cid:76)(cid:144)2(cid:60),Exp(cid:65)(cid:45)netsr^(cid:72)2H(cid:76)(cid:180)xx^(cid:72)2(cid:45)2(cid:32)H(cid:76)(cid:145)(cid:73)2(cid:180)H2(cid:32)H(cid:32)(cid:72)1(cid:45)H(cid:76)2(cid:45)2(cid:32)H(cid:180)s2(cid:77)(cid:69)(cid:69);
Power Law Threshold (Section 5.2)
(cid:159) 1. Introduction
(cid:159) Preliminaries
We want to find the threshold of power-law behaviour of the probability distribution of buffer occupancy in a PPBP queue.
(cid:159) Outline of Remainder
In the next section estimates of the probability of exceeding a certain buffer threshold under certain scenarios are evaluated.
The scenarios considered are defined and distinguished by the number of long bursts present during the overflow evernt
(cid:159) 2. Evaluation and Plots of the Scenario Terms
We start by defining an approximation for the log of the error function which should be more stable than simply taking the log
of the error function directly.
sig(cid:64)x(cid:95),Λ(cid:95),Γ(cid:95),∆(cid:95),r(cid:95)(cid:68):(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)x,Λ,Γ,∆,r(cid:68)(cid:68);sig(cid:64)Λ(cid:95),Γ(cid:95),∆(cid:95),r(cid:95)(cid:68):(cid:61)sig(cid:64)1,Λ,Γ,∆,r(cid:68);
LogErfc(cid:64)z(cid:95)(cid:68):(cid:61) Module(cid:65)(cid:56)(cid:60),If(cid:65)z(cid:60)3,Log(cid:64)Erfc(cid:64)z(cid:68)(cid:68),(cid:45)z2(cid:45)Log(cid:64)Sqrt(cid:64)2(cid:68)(cid:32)z(cid:68)(cid:69)(cid:69);
Γ(cid:61)1.5;∆(cid:61)1;r(cid:61)1;Λ(cid:61)50;var(cid:64)xxtt(cid:95),xxΛ(cid:95),xxΓ(cid:95),xx∆(cid:95),xxr(cid:95)(cid:68):(cid:61)If(cid:66)xxtt(cid:60)xx∆,
2(cid:32)xxΛxxr2(cid:32)(cid:105)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)∆(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)t(cid:128)(cid:128)(cid:128)t(cid:128)(cid:128)(cid:128)2(cid:128)(cid:128)(cid:128) (cid:45) x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)t(cid:128)(cid:128)(cid:128)t(cid:128)(cid:128)3(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:121)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122),
(cid:107) 2(cid:32)(cid:72)xxΓ(cid:45)1(cid:76) 6 (cid:123)
2(cid:32)xxΛxxr2(cid:32)(cid:105)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)(cid:106)6(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:32)(cid:128)(cid:128)(cid:72)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)3(cid:128)∆(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:45)3(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:32)(cid:128)xx(cid:128)(cid:128)(cid:128)xx(cid:128)(cid:128)(cid:128)ΓΓ(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:76)(cid:128)(cid:128)(cid:128) (cid:45) x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)2(cid:128)(cid:128)(cid:128)t(cid:32)(cid:128)(cid:72)(cid:128)(cid:128)t(cid:128)2(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)∆x(cid:128)(cid:128)(cid:128)2x(cid:128)(cid:128)(cid:32)(cid:128)Γ(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:76)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:128) (cid:43) (cid:72)(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)1(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:76)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:32)x(cid:128)(cid:72)(cid:128)(cid:128)∆(cid:128)2(cid:128)(cid:128)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)(cid:32)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)xx(cid:128)(cid:128)(cid:128)xt(cid:128)(cid:128)(cid:128)Γt(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:76)3(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)(cid:32)(cid:128)(cid:72)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:128)3(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:45)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)x(cid:128)(cid:128)(cid:128)Γ(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:76)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:121)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)(cid:122)
(cid:107) (cid:123)
(cid:70);var(cid:64)xxtt(cid:95)(cid:68):(cid:61)var(cid:64)xxtt,Λ,Γ,∆,r(cid:68);var(cid:64)xxtt(cid:95),lambda(cid:95)(cid:68):(cid:61)var(cid:64)xxtt,lambda,Γ,∆,r(cid:68);
deltagamma
MeanBurst(cid:64)gamma(cid:95),delta(cid:95)(cid:68):(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128);Ed(cid:64)gamma(cid:95),delta(cid:95)(cid:68):(cid:61)MeanBurst(cid:64)gamma,delta(cid:68);
gamma(cid:45)1
tstark(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95),k(cid:95)(cid:68):(cid:61)
3(cid:45)gamma
Module(cid:66)(cid:58)H(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),sigma(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)1,lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:68),C,Cmkr(cid:62),
2
Hx
C (cid:61) ppbpmean(cid:64)lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:43)3(cid:32)sigma;Cmkr(cid:61)3(cid:32)sigma(cid:45)rk; (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:70);
(cid:72)1(cid:45)H(cid:76)(cid:32)Cmkr
tstareta1less1(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95),Ν(cid:95)(cid:68):(cid:61)
3(cid:45)gamma
Module(cid:66)(cid:58)H(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),sigma(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)1,lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:68),C,k,Cmkr(cid:62),
2
C (cid:61) ppbpmean(cid:64)lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:43)3(cid:32)sigma;k(cid:61)1(cid:43)Floor(cid:64)3(cid:32)sigma(cid:144)r(cid:68);
; (cid:70);
8 quasi34.nb
C (cid:61) ppbpmean(cid:64)lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:43)3(cid:32)sigma;k(cid:61)1(cid:43)Floor(cid:64)3(cid:32)sigma(cid:144)r(cid:68);
HxΝ
Cmkr(cid:61)3(cid:32)sigma(cid:43)r(cid:45)rk; (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:70);tstareta1less2(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95)(cid:68):(cid:61)
(cid:72)1(cid:45)H(cid:76)(cid:32)Cmkr
3(cid:45)gamma
Module(cid:66)(cid:58)H(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),sigma(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)1,lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:68),C,k,Cmkr(cid:62),
2
C (cid:61) ppbpmean(cid:64)lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:43)3(cid:32)sigma;k(cid:61)1(cid:43)Floor(cid:64)3(cid:32)sigma(cid:144)r(cid:68);
Hx
Cmkr(cid:61)3(cid:32)sigma(cid:43)2(cid:32)r(cid:45)rk; (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:70);tstareta1(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95)(cid:68):(cid:61)
(cid:72)1(cid:45)H(cid:76)(cid:32)Cmkr
3(cid:45)gamma
Module(cid:66)(cid:58)H(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),sigma(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)1,lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:68),eta1,Cmkr(cid:62),
2
x
eta1(cid:61)1(cid:43)Floor(cid:64)3(cid:32)sigma(cid:144)r(cid:68);Cmkr(cid:61)(cid:45)3(cid:32)sigma(cid:43)reta1; (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:70);
Cmkr
tstar(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95),k(cid:95),Ν(cid:95)(cid:68):(cid:61)
3(cid:45)gamma
Module(cid:66)(cid:58)H(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),sigma(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)1,lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:68),C,eta1,Cmkr(cid:62),
2
eta1(cid:61)1(cid:43)Floor(cid:64)3(cid:32)sigma(cid:144)r(cid:68);Cmkr(cid:61)3(cid:32)sigma(cid:45)rk;
HxΝ
If(cid:66)k(cid:138)eta1,tstareta1(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x(cid:68), (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:70)(cid:70);
(cid:72)1(cid:45)H(cid:76)(cid:32)Cmkr
tstar(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95),k(cid:95)(cid:68):(cid:61)tstar(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x,k,1(cid:68);
etatermJoint(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95)(cid:68):(cid:61)
3(cid:45)gamma
Module(cid:66)(cid:58)H(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),Cmkr,sigma,eta1,term1,term2,term3,term4(cid:62),
2
sigma(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)1,lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:68);eta1(cid:61)1(cid:43)Floor(cid:64)2(cid:32)sigma(cid:144)r(cid:68);
1
term1(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:32)Ed(cid:64)gamma,delta(cid:68)(cid:32)lambda(cid:72)tstareta1(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x(cid:68)(cid:144)delta(cid:76)1(cid:45)gamma;
gamma
(cid:56)eta1(cid:180)Log(cid:64)term1(cid:68)(cid:45)term1(cid:45)Log(cid:64)eta1(cid:68),(cid:45)term1,eta1Log(cid:64)term1(cid:68),(cid:45)Log(cid:64)eta1(cid:68)(cid:60)(cid:70);
etaterm(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95)(cid:68):(cid:61)etatermJoint(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x(cid:68)(cid:64)(cid:64)1(cid:68)(cid:68);
etaless1termJoint(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95)(cid:68):(cid:61)
3(cid:45)gamma
Module(cid:66)(cid:58)H(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),Cmkr,sigma,eta1,term1,term2,term3,term4(cid:62),
2
sigma(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)1,lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:68);
eta1(cid:61)1(cid:43)Floor(cid:64)3(cid:32)sigma(cid:144)r(cid:68);Cmkr(cid:61)3(cid:32)sigma(cid:43)r(cid:45)reta1;term1(cid:61)
1
(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:32)Ed(cid:64)gamma,delta(cid:68)(cid:32)lambda(cid:72)tstareta1less1(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x(cid:68)(cid:144)delta(cid:76)1(cid:45)gamma;
gamma
Cmkr2x2(cid:45)2(cid:32)H
term2(cid:61)(cid:45)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128);(cid:56)(cid:72)eta1(cid:45)1(cid:76)Log(cid:64)term1(cid:68)(cid:45)term1(cid:43)term2,(cid:45)term1,
2(cid:32)H2(cid:32)H(cid:32)(cid:72)1(cid:45)H(cid:76)2(cid:45)2(cid:32)H(cid:32)sigma2
(cid:72)eta1(cid:45)1(cid:76)Log(cid:64)term1(cid:68),term2(cid:60)(cid:70);etaless1term(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95)(cid:68):(cid:61)
etaless1termJoint(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x(cid:68)(cid:64)(cid:64)1(cid:68)(cid:68);
etaless1term(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95)(cid:68):(cid:61)
etaless1termJoint(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x(cid:68)(cid:64)(cid:64)1(cid:68)(cid:68);
calpk(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95),kk(cid:95),nu(cid:95)(cid:68):(cid:61)
3(cid:45)gamma
Module(cid:66)(cid:58)H(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),Cmkr,sigma,eta1,term1,ts, meanbursts,k(cid:62),
2
sigma(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)1,lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:68);eta1(cid:61)1(cid:43)Floor(cid:64)3(cid:32)sigma(cid:144)r(cid:68);
If(cid:64)kk(cid:163)0,k(cid:61)eta1(cid:43)kk,k(cid:61)kk(cid:68);Cmkr(cid:61)3(cid:32)sigma(cid:45)kr;If(cid:64)kk(cid:138)0,
ts(cid:61)tstareta1(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x(cid:68),ts(cid:61)tstar(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x,k(cid:68)(cid:68);
lambdadeltagamma 1
meanbursts(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128);term1(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:32)Ed(cid:64)gamma,delta(cid:68)(cid:32)lambda(cid:72)nu(cid:180)ts(cid:144)delta(cid:76)1(cid:45)gamma;
gamma(cid:45)1 gamma
If(cid:66)kk(cid:138)0,k(cid:180)Log(cid:64)term1(cid:68)(cid:45)term1(cid:45)LogGamma(cid:64)k(cid:43)1(cid:68),k(cid:180)Log(cid:64)term1(cid:68)(cid:45)term1(cid:45)
x(cid:43)Cmkr(cid:180)nu(cid:180)ts
LogGamma(cid:64)k(cid:43)1(cid:68)(cid:43)LogErfc(cid:66)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:70)(cid:45)Log(cid:64)2(cid:68)(cid:70)(cid:70);
(cid:143)(cid:33)(cid:33)(cid:33)(cid:33)(cid:33)
2 (cid:180)sig(cid:64)nu(cid:180)ts,lambda,gamma,delta,r(cid:68)
3(cid:45)gamma
calpeta(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95)(cid:68):(cid:61)Module(cid:66)(cid:58)H(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128),Cmkr,sigma,
2
eta1,term1,ts, meanbursts(cid:62),sigma(cid:61)Sqrt(cid:64)var(cid:64)1,lambda,gamma,delta,r(cid:68)(cid:68);
eta1(cid:61)1(cid:43)Floor(cid:64)3(cid:32)sigma(cid:144)r(cid:68);ts(cid:61)tstareta1(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x(cid:68);
; ;
quasi34.nb 9
eta1(cid:61)1(cid:43)Floor(cid:64)3(cid:32)sigma(cid:144)r(cid:68);ts(cid:61)tstareta1(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x(cid:68);
lambdadeltagamma 1
meanbursts(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128);term1(cid:61) (cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:128)(cid:32)Ed(cid:64)gamma,delta(cid:68)(cid:32)lambda(cid:72)ts(cid:144)delta(cid:76)1(cid:45)gamma;
gamma(cid:45)1 gamma
eta1(cid:180)Log(cid:64)term1(cid:68)(cid:45)term1(cid:45)LogGamma(cid:64)eta1(cid:43)1(cid:68)(cid:70);
calpk(cid:64)lambda(cid:95),gamma(cid:95),delta(cid:95),r(cid:95),x(cid:95),k(cid:95)(cid:68):(cid:61)calpk(cid:64)lambda,gamma,delta,r,x,k,1.0(cid:68);
Animate(cid:64)Plot(cid:64)(cid:56)calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),0,1(cid:68),calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)1,0.5(cid:68),
calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)1,0.3(cid:68),calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)1,0.1(cid:68),
calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)5(cid:68),calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)10(cid:68),
calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)15(cid:68)(cid:60),(cid:56)x,Log(cid:64)1(cid:68),Log(cid:64)100000000000000(cid:68)(cid:60),
PlotStyle(cid:174)(cid:56)(cid:56)Red,Dashed,Thick(cid:60),(cid:56)Blue(cid:60),(cid:56)Black,Dashed,Thick(cid:60),(cid:56)Green,Dashed,Thick(cid:60)(cid:60),
PlotRange(cid:174)(cid:56)(cid:56)0,30(cid:60),(cid:56)0,(cid:45)1500(cid:60)(cid:60)(cid:68),(cid:56)Λ,117,117.05,0.0002(cid:60), AnimationRepetitions(cid:174)1(cid:68)
Λ
0
5 10 15 20 25 30
(cid:45)200
(cid:45)400
(cid:45)600
(cid:45)800
(cid:45)1000
(cid:45)1200
(cid:45)1400
Animate(cid:64)Plot(cid:64)(cid:56)calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),0,1(cid:68),calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)1,0.5(cid:68),
calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)2(cid:68),calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)3(cid:68),calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)5(cid:68),
calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)8(cid:68)(cid:60),(cid:56)x,Log(cid:64)1(cid:68),Log(cid:64)100000000000000(cid:68)(cid:60),
PlotStyle(cid:174)(cid:56)(cid:56)Red,Dashed,Thick(cid:60),(cid:56)Blue(cid:60),(cid:56)Black,Dashed,Thick(cid:60),(cid:56)Green,Dashed,Thick(cid:60)(cid:60),
PlotRange(cid:174)(cid:56)(cid:56)0,30(cid:60),(cid:56)0,(cid:45)1500(cid:60)(cid:60)(cid:68),(cid:56)Λ,500,600(cid:60), AnimationRepetitions(cid:174)1(cid:68)
Λ
0
5 10 15 20 25 30
(cid:45)200
(cid:45)400
(cid:45)600
(cid:45)800
(cid:45)1000
(cid:45)1200
(cid:45)1400
10 quasi34.nb
(cid:159) Large Lambda
Λ(cid:61)550.9;Plot(cid:64)(cid:56)calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),0,1(cid:68),calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)1,0.75(cid:68),
calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)2(cid:68),calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)3(cid:68),calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)5(cid:68),
calpk(cid:64)Λ,Γ,∆,r,Exp(cid:64)x(cid:68),(cid:45)8(cid:68)(cid:60),(cid:56)x,Log(cid:64)1(cid:68),Log(cid:64)100000000000000(cid:68)(cid:60),
PlotStyle(cid:174)(cid:56)(cid:56)Red,Dashed,Thick(cid:60),(cid:56)Blue(cid:60),(cid:56)Black,Dashed,Thick(cid:60),(cid:56)Green,Dashed,Thick(cid:60)(cid:60),
PlotRange(cid:174)(cid:56)(cid:56)0,30(cid:60),(cid:56)0,(cid:45)1500(cid:60)(cid:60),FrameTicks(cid:174)(cid:56)Table(cid:64)(cid:56)k,N(cid:64)Exp(cid:64)k(cid:68),2(cid:68)(cid:60),(cid:56)k,0,30,5(cid:60)(cid:68),
Table(cid:64)(cid:56)k,N(cid:64)Exp(cid:64)k(cid:68),2(cid:68)(cid:60),(cid:56)k,0,(cid:45)1400,(cid:45)200(cid:60)(cid:68),None,None(cid:60),
Frame(cid:174)True,FrameTicksStyle(cid:174)Directive(cid:64)12(cid:68)(cid:68)
1.0
1.4(cid:180)10(cid:45)87
1.9(cid:180)10(cid:45)174
2.7(cid:180)10(cid:45)261
3.7(cid:180)10(cid:45)348
5.1(cid:180)10(cid:45)435
7.0(cid:180)10(cid:45)522
9.7(cid:180)10(cid:45)609
1.0 1.5(cid:180)102 2.2(cid:180)104 3.3(cid:180)106 4.9(cid:180)108 7.2(cid:180)1010 1.1(cid:180)1013
Λ(cid:61)550.9;3(cid:32)sig(cid:64)Λ,Γ,∆,r(cid:68)(cid:144)r(cid:45)Floor(cid:64)3(cid:32)sig(cid:64)Λ,Γ,∆,r(cid:68)(cid:144)r(cid:68)
0.985216