Non-Abelian Black Holes in String Theory

302 Pages·2017·6.46 MB·English

Non-Abelian Black Holes in String
Theory
Memoria de Tesis Doctoral realizada por
Pedro Fern´andez Ram´ırez
presentada ante el Departamento de F´ısica Te´orica
de la Universidad Auto´noma de Madrid
para optar al T´ıtulo de Doctor en F´ısica Te´orica
Tesis Doctoral dirigida por Prof. D. Tom´as Ort´ın,
Profesor de Investigaci´on del Instituto de F´ısica Teo´rica UAM/CSIC
Departamento de F´ısica Te´orica
Universidad Auto´noma de Madrid
Instituto de F´ısica Teo´rica
UAM/CSIC
Madrid, junio de 2017

Ritchie Blackmore
Agradecimientos
En estos momentos, al echar la vista atr´as, no puedo evitar pensar en lo afortunado
que fui por entrar al grupo de supergravedad del IFT. Tom´as Ort´ın no es so´lo un f´ısico
formidable. Adem´as es el mejor director que alguien como yo podr´ıa haber imaginado.
Un profesor, un gu´ıa, un gran motivador, una fuente sorprendente de conocimientos, un
consejero,unamigo,einclusopuedequeunalumnoduranteunospocosminutos... Muchas
gracias por todo, Tom´as, en especial por apostar por m´ı cuando era un ingeniero qu´ımico
que se equivocaba al hacer cambios de coordenadas.
Tambi´en he aprendido mucho de Iosif Bena, de tu incre´ıble intuici´on y de c´omo
interpretar la f´ısica en las matem´aticas. Gracias por haberme acogido unos meses en
Saclay, por introducirme en el mundo de las microstate geometries y por estar siempre
disponible para discutir.
A Patrick Meessen, por haber sido una especie de segundo tutor. Por compartir el
campo de batalla de la supergravedad no abeliana y, alguna vez, parar para tomar una
cerveza o hablar de videojuegos. Siempre es agradable tenerte por el IFT.
A mis hermanos acad´emicos, compan˜eros y sobretodo amigos. Los “mayores” Pablo
Bueno y Carlos S. Shahbazi, que tanto me hab´eis ayudado todos estos an˜os, gran parte de
esta tesis se debe a vosotros. Pero ya sab´eis que es mucho m´as que eso... Y los “menores”
Oscar Lasso, Pablo A. Cano y Alejandro Ruip´erez, gracias tambi´en a vosotros por lo que
me hab´eis ensen˜ado y por lo que algu´n d´ıa me ensen˜ar´eis.
Adem´as de los ya mencionados, quiero agradecer a todos los buenos f´ısicos con
quienes he tenido la oportunidad de discutir o simplemente de escuchar y aprender en
mayor o menor medida. En especial me gustar´ıa mencionar a Jesu´s A´vila, Jos´e L. F.
Barb´on, Johan Bl˚ab¨ack, Samuele Chimento, Roberto Emparan, Pierre Heidmann, Geor-
gios Korpas, Ivan Martinez-Soler, Marek Niedziela, Camilla Santoli, Ra↵aele Savelli, Juan
Terr´on, David Turton, A´ngel Uranga, Nicholas P. Warner.
Tambi´en hay un hueco en esta p´agina para aquellos que me despreciaron por mi
formaci´on como ingeniero. Pocas cosas motivan m´as que eso.
Meacuerdodetodaslasbuenaspersonasqueheconocidoestosan˜os. Demisbuenos
amigosPabloB,Ana, CarlosShahin, Jesu´s, Ivan, Vero, Georgios, O´scar, Margarita, Pablo
A, Loles, Alejandro, Marek, Ola. Del resto de compan˜eros y todo el personal del IFT, en
especial a los miembros del glorioso equipo de fu´tbol sala. De mis compan˜eros de Rock
emotion, por compartir emociones indescriptibles en el escenario y hacerme olvidarme de
la f´ısica por unas horas al mes en el local de ensayo. De mis alumnos.
Amisgrandesamigosdelauniversidad. Antonio, Jos´eMiguel, MarioyEva, aunque
se´aisunostarugos. Yalosquehanvenidoconvosotros,Paca,Eva,Gordana,NicoyAlicia.
S´olo por vosotros merece la pena estudiar la carrera equivocada.
A mis amigos de toda la vida Jota, Yiyi, Iv´an, Fran, Isra, Kuin, J´ose, N˜ete, Colom,
Carrasco el facha, Castillo, Flipi, Cito, Pelos... A los Topos Gigantes del Kentucky Oeste,
llegamos a tocar el cielo desde el escenario...
A mis padres y hermanos, siempre hab´eis estado ah´ı para apoyarme y darme todo
lo que he necesitado. Os debo todo. Esta tesis es vuestra.
Al resto de mi familia. Abuelos, t´ıos, primos... Tengo que mencionar especialmente
a mi t´ıa Cati, por habernos ayudado todos estos an˜os en Madrid.
Y a Nieves. Absolutamente por todo. Por aguantarme, por animarme a cambiar a
f´ısica, por saltar al vac´ıo conmigo al venir a Madrid a la aventura buscando que algu´n d´ıa
llegara este momento, por quererme, por evitar que me vuelva loco... y como ya dije en
otra ocasi´on, por dibujarme las figuras de los art´ıculos y por pedirme que me case contigo.
Madrid, 7 de junio de 2017
List of Publications
The following articles, some of which are unrelated to the content of this thesis, were
published by the candidate during the realization of this work:
1 P. A. Cano, P. Meessen, T. Ort´ın and P. F. Ram´ırez, “Non-Abelian black holes in
string theory,” arXiv:1704.01134 [hep-th].
2 P. A. Cano, T. Ort´ın and P. F. Ram´ırez, “A gravitating Yang-Mills instanton,”
arXiv:1704.00504 [hep-th].
3 P.F.Ram´ırez,“Non-Abelianbubblesinmicrostategeometries”,JHEP(2016)2016:152
doi:10.1007/JHEP11(2016)152 [arXiv:1608.01330 [hep-th]].
4 T. Ort´ın and P. F. Ram´ırez, “A non-Abelian Black Ring”, Phys. Lett. B 760 (2016)
475 [arXiv:1605.00005 [hep-th]].
5 T. Ort´ın and P. F. Ram´ırez, “Three Lectures on the FGK Formalism and Beyond”,
SchoolandConferenceTheoreticalFrontiersinBlackHolesandCosmology,Springer
Proc. Phys. 176 (2016) 1.
6 P. Bueno, P. A. Cano, A. O. Lasso and P. F. Ram´ırez, “f(Lovelock) theories of
gravity”, JHEP 1604 (2016) 028 [arXiv:1602.07310 [hep-th]].
7 P. Meessen, T. Ort´ın and P. F. Ram´ırez, “Non-Abelian, supersymmetric black holes
and strings in 5 dimensions”, JHEP 1603 (2016) 112 [arXiv:1512.07131 [hep-th]].
8 P. Bueno, P. Meessen, T. Ort´ın and P. F. Ram´ırez, “Resolution of SU(2) monopole
singularities by oxidation”, Phys. Lett. B. 746 (2015) 109113 [arXiv:1503.01044
[hep-th]].
9 P. Bueno, P. Meessen, T. Ort´ın and P. F. Ram´ırez, “N = 2 Einstein-Yang-Mills’
static two-center solutions”, JHEP 1412 (2014) 093. [arXiv:1410.4160 [hep-th]].
10 P. Bueno and P. F. Ram´ırez, “Higher-curvature corrections to holographic entan-
glement entropy in geometries with hyperscaling violation”, JHEP 1412 (2014) 078.
[arXiv: 1408.6380 [hep-th]].

Abstract
This thesis is devoted to the study of the interaction of non-Abelian Yang-Mills fields
with the gravitational field in the context of String Theory and its low energy e↵ective
supergravity description. While this type of interactions has been considered for decades
within several theoretical frameworks, limited progress has been made, especially when
compared to the knowledge we have of the interaction of Abelian fields and gravity. The
main reason for that is the complexity of this sort of systems; the di↵erential equations
that govern the dynamics of both, gravitational and non-Abelian Yang-Mills fields, are
highly non-linear and their resolution represents a formidable problem.
The complexity of these systems, however, can be reduced through the restriction to
supersymmetricsolutions. Thistypeofsolutions,whichincludeextremalblackholes,have
very special properties. Nevertheless, a great deal of information can be acquired from
them. In particular, not only we can learn about the properties of the classical interaction
betweenthecorrespondingfieldsandgravity,butitisalsopossibletoglimpsethequantum
natureofcertaingravitationalsystems. The“three-charge”Abelianblackholeconstitutes
the most popular example. This system of String Theory can be understood both as
a supersymmetric solution of = 1 five dimensional supergravity and as a quantum
N
ensamble in which gravity plays no role. One of the greatest achievements of this theory
is precisely the computation of the entropy of this black hole from these two perspectives
with identical result.
Themainresultofthisthesisistheconstructionof“three-charge”non-Abelianblack
holes in supergravity and its interpretation in String Theory. In its turn, this allows for
the microscopic computation of its entropy, which at the same time implies the resolution
of the non-Abelian hair puzzle in this type of black holes.
Another prominent result of this thesis is the development of a solution generating
technique that allows for the construction of many other families of non-Abelian gravi-
tating solutions in supergravity. Their interpretation in terms of fundamental objects of
String Theory has only just started.

Contents
1 Introduction 1
1.1 Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Supergravity and String Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 = 2 Einstein-Yang-Mills’ static two-center solutions 29
N
2.1 = 2, d = 4 SEYM and its supersymmetric black-hole solutions (SBHSs) . 32
N
2.2 Static, single-SBHSs of SU(2) = 2, d = 4 SEYM and pure EYM . . . . . 36
N
2.3 Multi-center SBHSs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Resolution of SU(2) monopole singularities by oxidation 59
3.1 Singular reduction of the BPST instanton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Oxidation of the singular Protogenov monopoles . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Non-Abelian, supersymmetric black holes and strings in 5 dimensions 67
4.1 = 1,d = 5 SEYM theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
N
4.2 The supersymmetric solutions of = 1,d = 5 SEYM theories . . . . . . . . 74
N
4.3 5-dimensional supersymmetric non-Abelian solutions of the SU(2)-gauged
ST[2,5] model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 A non-Abelian Black Ring 95
5.1 The recipe to construct solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Non-Abelian Black Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 Non-Abelian Rotating Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Non-Abelian bubbles in microstate geometries 109
6.1 Supersymmetric solutions of = 1, d = 5 Super-Einstein-Yang-Mills . . . . 111
N
6.2 Smooth bubbling geometries in SEYM supergravity . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7 A gravitating Yang-Mills instanton 125
7.1 The global instanton solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8 Non-abelian black holes in string theory 135
8.1 5-dimensional non-Abelian black holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.2 Embedding in d = 10 Heterotic Supergravity . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.3 String Theory interpretation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A SU(2) Yang-Mills solutions 147
A.1 The SU(2) Lorentzian meron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.2 The Wu-Yang SU(2) monopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.3 The SU(2) Skyrme model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.4 Higher-charge Lorentzian merons and Wu-Yang monopoles . . . . . . . . . 150
A.5 Spherically-symmetric solutions of the SU(2) Bogomol’nyi equations in E3 . 152
B The metrics of the round S3 and S2 155
C = 1, d = 5 Super-Einstein-Yang-Mills 159
N
C.1 The theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C.2 A special parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
C.3 Procedure for constructing solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
C.4 Dimensional reduction of = 1,d = 5 SEYM theories . . . . . . . . . . . . 164
N
D Resumen 167
E Conclusiones 169
Bibliography 171