Euclides, jaargang 82 // 2006-2007, nummer 6

2006·1.7 MB·Dutch

by  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

E u c l i dEs
v a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r
a p r i l
0 7 6
n r
j a a r g a n g 8 2
Als ik zeg
wiskunde, wat
zegt u dan?
Rekenen in het vo
somgetallen,
priemgetallen en
machten van 2
Nieuwe vorm
en inhoud van
wiskunde c
Examenbesprekingen
2007
2007–1707 = Euler
Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
colofon
a p r i l
0 7 6
n r
j a a r g a n g 8 2
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging
van Wiskundeleraren.
Het blad verschijnt 8 maal per verenigingsjaar.
ISSN 0165-0394
Redactie
Bram van Asch
Klaske Blom
Marja Bos, hoofdredacteur
Rob Bosch
Hans Daale
Gert de Kleuver, voorzitter
Dick Klingens, eindredacteur
Wim Laaper, secretaris
Joke Verbeek
inzendingen bijdragen Nederlandse Vereniging lidmaatschap
van Wiskundeleraren
Artikelen/mededelingen naar de Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides.
hoofdredacteur: Marja Bos, Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor
Koematen 8, 7754 NV Wachtum - leden: € 50,00
E-mail: [email protected] Voorzitter - leden, maar dan zonder Euclides: € 35,00
Marian Kollenveld, - studentleden: € 26,50
Richtlijnen voor artikelen
Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 35,00
Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in Tel. [phone] - leden van de VVWL: € 35,00
drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50
papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te
Zie voor nadere aanwijzingen: secretaris geven bij de ledenadministratie.
www.nvvw.nl/euclricht.html Wim Kuipers, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.
Waalstraat 8, 8052 AE Hattem
Realisatie Tel. [phone] Abonnementen niet-leden
Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende
en mailingservices nummer.
De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. ledenadministratie Niet-leden: € 55,00
Veenendaal, www.de-kleuver.nl Elly van Bemmel-Hendriks, Instituten en scholen: € 140,00
De Schalm 19, 8251 LB Dronten Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50
Tel. [phone] Betaling per acceptgiro.

s E-mail: [email protected]
E
d Advertenties
Informatie, prijsopgave en inzending:
i
Gert de Kleuver,
l
De Splitting 24, 3901 KR Veenendaal
c Tel. [phone]
u E-mail: [email protected]
E
E u c l i dEs
K I
ort vooraf nhoud
[ Marja Bos ]
Eén wiskundemeisje
Op 22 maart kwam de 15-jarige Petra Alkema in het nieuws. Samen met de 17-jarige
scholieren Willem Schilte en Jesse Hoekstra ontwierp zij een heel bijzonder magisch vierkant
van 12 bij 12, bijna het lang gezochte Franklin-vierkant. Een mooie prestatie! Dat gebeurde
naar aanleiding van een masterclass Magische Vierkanten van Arno van den Essen van de 205 Kort vooraf
Radboud Universiteit Nijmegen waaraan deze drie scholieren deelnamen. Petra bezoekt [Marja Bos]
het Gymnasium Bernrode te Heeswijk-Dinther, Willem en Jesse het Dominicus College 206 ‘Als ik zeg wiskunde, wat zegt u dan?’
te Nijmegen. Masterclass-docent Arno van den Essen betitelt hun ontwerp als ‘het meest Aflevering 2a: Cecile Eikenaar
magische vierkant ooit’. [Joke Verbeek]
Vrouwen en wiskunde, wie zei er ook al weer…? 208 Speurwerk naar de driehonderdjarige Euler
Opvallend: NOVA besteedde in de desbetreffende tv-reportage vooral aandacht aan het feit dat [Jan van Maanen]
Petra er - als wiskundetalent - zo ‘gewoon’ uitziet. Geen puistjes, geen bril. (Hmm… Misschien 210 ‘Als ik zeg wiskunde, wat zegt u dan?’
moet ik dan toch maar eens die contactlenzen aanschaffen?) Aflevering 2b: Loek Hermans
[Hans Daale]
Twéé wiskundemeisjes 213 Ik las en dacht…
En kende u ‘de’ wiskundemeisjes al? Ionica Smeets en Jeanine Daems, promovendi aan de [Klaske Blom]
Universiteit Leiden, houden al een jaar een fantastische weblog bij: www.wiskundemeisjes.nl. 217 Een vernieuwd statistiekprogramma, deel 2
Speels, origineel én informatief, en ook zeer aan te bevelen voor uw leerlingen of studenten! [Anne van Streun, Carel van de Giessen]
Op 20 maart werden de wiskundemeisjes in het kader van de Dutch Bloggies eerste, in zowel 222 (Wis)kundig kiezen / De Alabama Paradox
de categorie ‘beste themalog’ als die van ‘best geschreven weblog’. Gefeliciteerd! En wát een [Rob Bosch]
goeie reclame voor de wiskunde… Niet zo vreemd als u weet dat Ionica Smeets onze nationale 225 Rekenen in het voortgezet onderwijs als
PR-medewerker wiskunde is, met als taak: ‘beeldvorming van de wiskunde in positieve zin voorbereiding op de pabo
bevorderen, en actieve nieuwsgaring en -verspreiding over de wiskunde en haar toepassingen’. [Frank van Merwijk, Harrie Sormani]
Dat PR-medewerkerschap is een aantal jaren geleden overigens in het leven geroepen door de 228 Leesbaarheid gevangen in formules?
NVvW, het KWG en Kennislink. [Gerard Koolstra]
232 Parate kennis en algebra / Aflevering 4:
5
Meisjes en wiskunde Formules maken en interpreteren 0
2
Tijdens mijn verhuizing kwam ik bij het in- en uitpakken van m’n spullen een hele reeks [Anne van Streun]
publicaties tegen die ik vooral in de 70’er en 80’er jaren verzamelde over het onderwerp ‘meisjes 234 Somgetallen, priemgetallen en machten
en wiskunde’. Destijds was dat echt een issue; de Vereniging kende bijvoorbeeld een actieve van 2, deel 1
werkgroep ‘Vrouwen en Wiskunde’. Uiteindelijk stierf die werkgroep een zachte dood - wegens [Rob van der Waal, Roger Hendrickx]
tanende belangstelling, meen ik me te herinneren. Maar is ‘het probleem’ uit de wereld? Ik 237 Boekbespreking / Basisvaardigheden
vrees van niet; het verschil in bijvoorbeeld keuzegedrag tussen jongens en meisjes is er nog wiskunde voor het HTO
steeds, maar wordt hooguit minder als probleem ervaren. Hoe gaat dat bij u op school, met [Peter van der Velden]
bijvoorbeeld de aantallen meisjes en jongens bij wiskunde A en B? 238 Boekbespreking / Geschiedenis van de
niet-Euclidische Meetkunde
in dit nummer [Ernst Lambeck]
Frank van Merwijk en Harrie Sormani belichten de maatschappelijke discussie rond rekenvaar- 240 Van de bestuurstafel
digheden van pabo-studenten. Zij bepleiten dat er in het voortgezet onderwijs tijd en aandacht [Wim Kuipers]
besteed wordt aan het onderhouden (en uitbouwen) van de bestaande rekenvaardigheid van 240 Verschenen
leerlingen, en spreken hun zorg uit over het ‘papieren onderwijs’ waar veel wiskundelessen in 241 Examenbesprekingen 2007
dreigen te ontaarden. Als individuele zelfwerkzaamheid de boventoon voert en interactie groten- [Conny Gaykema]
deels ontbreekt, dan blijft er maar weinig ‘hangen’ van de leerstof, en kan de doorsneeleerling 242 Recreatie
amper enige diepgang bereiken. [Frits Göbel]
Binnen het wiskundeonderwijs in Nederland doen we eigenlijk verbazend weinig aan getaltheorie, 244 Servicepagina

terwijl dat onderwerp toch ontegenzeglijk veel elegante en relatief eenvoudige wiskunde bevat. 245 Verschenen
Veel van onze leerlingen komen niet eens in aanraking met de doodgewone priemgetallen! Rob
van der Waall en Roger Hendrickx bespreken in hun bijdrage een fraai resultaat over priemge- s
E
tallen, machten van 2 en zogeheten somgetallen. De wiskunde erachter is (met enig doorzetten, d
dat wel) door menig vwo-leerling te doorgronden: voor dit soort wiskunde is nauwelijks
i
voorkennis nodig!
l
Driehonderd jaar geleden werd de geniale wiskundige Euler geboren. Misschien is het een aardig
idee om tijdens de wiskundeles zijn ‘verjaardag’ te vieren? Dat kan al heel eenvoudig met een c
anekdote over Eulers enorme productie ondanks zijn voortschrijdende blindheid, en aandacht
u
voor een stukje ‘Euleriaanse’ wiskunde. Keus genoeg! Jan van Maanen eert de 300-jarige in dit
E
nummer van Euclides met een zoektocht naar mogelijke wortels van zijn werk in Nederland.
’ A l s i k ze g w i s k u n d e ,
wa t ze g t u d a n ? ’

afLEvErInG 2a : IntErvIEW ME t ondEr WIJZErES
CECILE EIKEnaar
[ Joke Verbeek ]
’Als ik zeg wiskunde, wat zegt u dan?’ Hoe kijken volwassenen terug op hun name de betere leerlingen de eerste jaren
vroegere wiskundelessen? Met plezier, met afgrijzen? Was het zinvol? Wat bleef niet goed helpen in de ontwikkeling van
ervan over, met andere woorden: welke betekenis en welke zin bleek dat wiskun- hun rekenvaardigheden. ‘Een slechte zaak’,
deonderwijs al dan niet te hebben, later in hun leven? En wat gebruiken mensen in vindt ze nu nog.
hun werk nog van die op school geleerde wiskunde? Ook op de basisschool mogen leerlingen
In het vorige nummer van Euclides startte de redactie een korte serie interviews soms een rekenmachine gebruiken. Cecile
waarvoor deze vragen de basis vormden. In die eerste aflevering las u een daarover: ‘Sommige kinderen kunnen
weerslag van de reacties van een willekeurige groep voorbijgangers [1]. Dit keer heel slecht rekenen. Met name breuken
gaat het om twee wat langere interviews. en delingen begrijpen ze gewoon niet.
Allereerst nodigen we u uit om te lezen hoe onderwijzeres Cecile Eikenaar denkt Het is heerlijk voor ze, dat ze dat dan op
over het opleiden van basisschoolleerkrachten en over onderwijs in het algemeen. een gegeven moment met de rekenma-
Het andere interview kunt u verderop in dit nummer vinden, vanaf pagina 210. chine mogen doen. Ik leer ze liever die
rekenmachine goed te gebruiken, dan dat
we blijven worstelen met de tafels en de
6
0 Personalia Voor de vuist weg breuken. Overigens staat het werken met de
2
Naam: Cecile Eikenaar Op mijn vraag: ‘Als ik zeg wiskunde, rekenmachine gewoon in de rekenmethode
Leeftijd: 32 wat zeg je dan?’ reageert ze direct en zeer die we op school gebruiken, dus het hoort
Beroep: onderwijzeres beslist met een hartgrondig: ‘Moeilijk!’ Ze er gewoon bij.’
Opleiding: mavo-havo-pabo herinnert zich dat het in de brugklas van de
Aantal jaren wiskundeonderwijs: 2 havo nog best goed ging, maar dat het in de Huidig werk
Cecile is een mens met uitgesproken tweede echt rampzalig was. ‘Al die haakjes, Cecile geeft dit jaar les aan leerlingen van
meningen en ze kan ze nog onderbouwen punten en komma’s, ik snapte het echt niet groep 6, 7 en 8, maar in het verleden heeft
ook. Ze heeft de pabo gedaan en omdat en had een 3 op mijn rapport. Ik kreeg er ze ook in lagere leerjaren en in het speciaal
het niveau van de pabo-afgestudeerden de een trauma van, zo verschrikkelijk vond ik onderwijs gewerkt.
laatste tijd nogal in de belangstelling staat, het. Zelfs bijles hielp niet, dus ben ik na ‘Ik vind dat mijn vooropleiding me niet
leek het geen slecht idee eens de mening het tweede jaar havo naar de mavo gegaan, voldoende heeft voorbereid op het geven
van zo’n afgestudeerde te vragen. Cecile zonder wiskunde.’ van rekenlessen. Ik mis toch wat aan de
geeft 12 jaar les in het basisonderwijs. kenniskant. Ik had het wel graag beter
Ze werkt parttime omdat ze twee jonge Gecijferdheid willen kunnen.’ Ze heeft om haar kennis
kinderen heeft. Toch is Cecile niet ongecijferd gebleven: op te vijzelen een cursus gedaan over
toen ze les moest geven aan leerlingen rekenonderwijs aan de ‘beginners’ van groep
van groep 7 en 8, heeft ze alsnog goed 3. Omdat ze op dit moment bovenbouw-
leren rekenen. Met het lezen van tabellen, klassen heeft, overweegt ze een cursus

grafieken en schema’s heeft ze nooit moeite ‘Rekenstrategieën in de bovenbouw’ te gaan
gehad: dat ging vanzelf. Ze ervaart dat ook volgen om de rekenstof van die leerjaren
s niet als wiskunde. ‘Volgens mij kon ik dat beter te begrijpen.
E
d altijd al; ik heb het niet op school geleerd.’ Vooral met meetkundige vraagstukken heeft
Ze ziet het belang van het werken met ze moeite. Dat weet ze wel te ondervangen
i
procenten, verhoudingen en breuken wel door elke les goed voor te bereiden met
l
in en heeft haar eigen gebrekkige kennis het antwoordenboekje bij de hand, maar
c van de wiskunde, met name het rekenen, ze vindt het prettiger om iets verder boven
wel degelijk als negatief ervaren. Als ze de de stof te staan. Ze ziet het niet zitten
u
kinderen iets moest leren dat ze zelf niet om alsnog haar wiskundeniveau omhoog
E
goed beheerste, was dat lastig. Ze kon met te krikken. Ze weet eigenlijk niet wat er
heeft ze ideeën over wat ze zou veranderen Noot
als ze minister van onderwijs zou zijn. [1] Klaske Blom e.a.: Als ik zeg wiskunde,
‘Ook in het basisonderwijs moeten wat zegt u dan? In: Euclides, 82(5),
specialisten gaan lesgeven. Wij moeten veel maart 2007
te veel kunnen, dat is gewoon niet te doen.
Laat elke school een specialist hebben voor
het rekenen, maar ook voor aardrijkskunde Over de interviewer
of muziek, net zoals dat nu bij gymnastiek Joke Verbeek is lid van de redactie van
het geval is, dan worden ook de slimmere Euclides en docent op het Arentheem
kinderen beter bediend. Dat is kwaliteits- College (locatie Middachtensingel, voor
verhogend volgens mij. vmbo-GT en havo) te Arnhem.
Verder zou ik aan de scholen zelf vragen E-mailadres: [email protected]
wat ze vinden wat ze nodig hebben en
Cecile Eikenaar waarom, dat kunnen ze zelf toch het beste
weten!
En ik zou de schooltijden aanpassen.
allemaal bij wiskunde hoort, maar als ik Voor elke school een continu rooster, dus
haar dat vertel, weet ze onmiddellijk dat zonder lange middagpauze. En meer lestijd,
ze dat niet wil. Alleen de kennis die direct niet 5½ uur per dag, maar 6, om ook de
nodig is voor het lesgeven, is genoeg. creatieve vakken meer tijd te geven. En
‘Ik heb niets gehad aan de (weinige) weer extra tijd voor taalzwakke leerlingen
wiskundelessen op de middelbare school, om de woordenschat te verbeteren.’
maar voor mijn taallessen is het erg prettig
dat ik vreemde talen spreek. Er zijn veel Opleiding verbeteren
leenwoorden en woorden uit de technische Het interview lijkt afgelopen, maar Cecile
wereld die uit andere talen komen, met heeft nog een dringende boodschap: ‘Ik
name uit het Engels en het Frans. Daar heb zou wel eens willen weten hoe ik het voor
7
ik wél veel aan gehad.’ elkaar moet krijgen de pabo te verbeteren. 0
2
Het valt Cecile op dat de leerlingen tegen- Ik leerde daar niets bij, op geen enkel
woordig leren hoe ze werkstukken moeten gebied; alleen de randvoorwaarden leken
maken, hoe ze stukken tekst kunnen leren. belangrijk. Maar ik vind het gek dat ik van
‘Wij moesten het vroeger gewoon doen, aardrijkskunde niets wist, het zat namelijk
nu leren ze stap voor stap hoe ze het aan niet in mijn vakkenpakket op de havo,
moeten pakken. Dat is een hele verbetering. terwijl ik er wel les in moet geven. Dat kan
Maar voor de zwakke leerlingen is het nog echt niet goed zijn. Ik zie ook nog te vaak
steeds moeilijk.’ dat een student van wie de stage mislukt
toch met een diploma van school gaat.
Wiskunde op school; vroeger Dat kan anders, bijvoorbeeld door een
‘Meneer Leeuwis heeft er veel energie in beginnende onderwijzer een ‘proefdiploma’
gestopt om mij wiskunde te leren. Ik heb te geven. Pas bij bewezen geschiktheid en
zo’n idee dat het hem nog meer speet dan voldoende kennis moet het proefdiploma
mij, als hij mij wéér een 2 moest geven worden vervangen door een echt diploma.
voor een proefwerk. Wij maakten samen Misschien dat dan de kwaliteit van het
veel sommen en dan kon ik uiteindelijk de basisonderwijs omhoog gaat.’
sommetjes uit het boek wel maken, maar
die van het proefwerk waren weer compleet Met het gevoel dat er nog veel meer over

een verrassing voor me. Ook de reguliere les deze kwestie te zeggen valt, beëindigen
bestond uit voordoen en nadoen, en daar we toch het interview – ook al omdat de
stak ik dus niets van op. jongste telg aangeeft dringend moeders s
E
Van de Stelling van Pythagoras herinner ik hulp nodig te hebben. Met Cecile als d
mij niets. Is dat hetzelfde als pi? Nee? Nou, minister kan het onderwijs dus in ieder
i
ik weet het echt niet.’ geval rekenen op een verbeterde pabo en
l
meer lestijd op de basisschool, en misschien
Rekenspecialist is dat wel een goed begin voor veel c
Over wiskunde en de toekomst heeft Cecile verbeteringen…
u
geen mening, daarvoor vindt ze zelf dat ze
E
te weinig van het onderwerp afweet. Wel
s p e u r w e r k n a a r
d e d r i e h o n d e rd j a r i g e
E u l e r
[ Jan van Maanen ]
300 jaar geleden nummers werden en worden Eulers publicaties
Waarom is 2007 eigenlijk geen Euler- nog steeds aangeduid. Tegenwoordig is het
jaar? De driehonderdste geboortedag van zoeken van gegevens over Euler een stuk
Leonhard Euler op 15 april van dit jaar geeft gemakkelijker geworden. We danken dat
er alle aanleiding voor (zie voor feestelijk- aan het afstudeerwerk van twee Amerikaanse
heden bijvoorbeeld www.euler-2007.ch). master-studenten wiskunde, die op het Web
Misschien komt het wel doordat hij op een digitaal Euler-archief hebben ingericht:
5 april 1707 geboren werd. Want in zijn www.EulerArchive.com.
geboortestad Basel gold toen nog de oude, Het archief heeft een groot aantal ingangen.
Juliaanse kalender, en die liep in 1707 tien Je kunt zoeken op Onderwerp, Datum,
dagen achter op de Gregoriaanse kalender Publicatiemedium (hier kun je bijvoorbeeld de
die we nu hebben. Op veel plaatsen boeken apart vinden, en de artikelen in het
dateerde men brieven bijvoorbeeld met een tijdschrift van de Academie van Sint Petersburg
dubbele datum. Daar zou Eulers geboor- en in de andere tijdschriften van die tijd),
tedag dus geschreven zijn als 5 april 1707. Enestrøm-nummer, Trefwoord, en tenslotte
15
het totale beschikbare Bronnenmateriaal
Geheugentest (waaronder zeer veel digitale opnamen van
48
40 Ik ga een kleine zoektocht naar Euler 18de-eeuwse bronnen).
22
ondernemen, uit respect voor de driehon-
derdjarige, en als advies voor al diegenen die Zoeken naar de publicatie
dit jaar zelf wat over Euler zouden willen Ik dacht slim te zijn. In een eerder stukje over
uitzoeken. Ik begin met een herinnering, Euler[2] had ik Eulers wijze van sommeren van
diep in mijn achterhoofd, dat Euler in de inverse kwadraten beschreven. Hij loste
de verte iets met Nederland had, via een het probleem in 1735 op. Zoeken op Datum
publicatie in een Nederlands tijdschrift. was mijn eerste poging. Maar… in die tijd
Er staat me ook bij dat het ging over de duurde het soms vijf jaar of meer voordat een
som 1+1+1+ 1 + 1 +�Euler maakte in ingeleverd artikel verscheen. En aangezien bij
4 9 16 25
1735 furore door te bewijzen dat de som snel kijken Datum lijkt te slaan op het jaar van
gelijk is aan π2 . Wat ik wil uitzoeken is verschijnen, was dit geen goede keuze, want
6
of hij dit inderdaad ergens in Nederland Euler schreef nogal wat in deze periode. Dat is
publiceerde. Een soort geheugentest maar wel spannend om te zien, want bijvoorbeeld in
tegelijk dus een klein eerbetoon aan ons 1736 (hij was toen dus 28 of 29!) verscheen zijn
grote voorbeeld. Mechanica-leerboek in twee delen. Bij rustiger
kijken blijkt er bij Datum ook een keuze voor
Zoeken naar Euler het jaar van schrijven te zijn; langs die weg had
Waar kijk je als eerste als je iets over Euler ik het waarschijnlijk ook gevonden, maar dat

zoekt? Lange tijd was dat lastig. Steven zag ik pas toen ik de oplossing al had.
Engelsman heeft daar eens een mooi Euler was en bleef zijn hele leven op zeer veel
ss overzicht over geschreven[1], in de tijd dat er terreinen tegelijk actief. In dezelfde tijd deed
EE
dd nog net geen WorldWideWeb was. Je had hij, als dienst aan de tsaar, ook werkzaamheden
naslagwerken nodig, en veel daarvan waren voor het samenstellen van de Russische
ii
op zijn zachtst gezegd obscuur. Een vroeg landkaart. De vroege blindheid, in 1738, aan
ll
twintigste-eeuwse supplementband van het zijn rechteroog wordt direct aan het belastende
cc Jahrbuch van de Deutsche Mathematiker- cartografische werk toegeschreven. In 1766
Vereinigung, daarin stond van de hand van werd Euler volledig blind en tóch bleef hij
uu
Enestrøm de lijst van Eulers publicaties, enorm productief, door zijn gedachten te
EE
met de Enestrøm-nummers. Met die E- dicteren.
Snel van strategie veranderen, ook om te Die maandelijkse stukjes zijn een lust voor rol in de wetenschappelijke communicatie
voorkomen dat ik te veel aan het lezen sloeg de Euler-liefhebber en voor de liefhebber van die tijd, met ook veel artikelen over
in de chronologische lijst; ik stap over op van creatieve wiskunde. Bij E61 is er een religie. Ook dat is mooi van de geschiedenis
het trefwoord squares. Dat levert ongeveer link naar Sandifers artikel in pdf-uitvoering van de wiskunde, je ziet nog eens wat
50 treffers op, en inderdaad: één ervan uit maart 2004 getiteld Basel Problem with anders.
(E61) gaat over het sommeren van inversen Integrals. Het sommeren van de inverse Het Euler-archief biedt tenslotte nog de
van machten van de natuurlijke getallen. Er kwadraten heette in die tijd het Baselse gelegenheid om de heruitgave (1907/1908),
verschijnt meer interessants, ook de eerste probleem, niet alleen naar Euler maar ook na de herontdekking van dit verloren
publicatie van de oplossing in E41, maar ik naar Johann en Daniel Bernoulli, die er ook gegane artikel van Euler, in het Frans na te
kijk verder bij E61. aan werkten. lezen.
Ik laat het lezen van Eulers oplossing met
Gevonden! behulp van integralen even aan uzelf over conclusie en moraal
Als ik op de titel van E61 klik, verschijnt (zie weer [3]), en ik ga direct door naar de De conclusie is: een artikel van Euler
allerlei informatie over het artikel: de voetnoten, want daar stond wat ik zocht: verscheen in 1743 in Nederland, maar niet
complete titel in het Latijn, de plaats de titel van het artikel waarnaar ik op in het Nederlands.
waar het verscheen (het tijdschrift van de zoek was: ‘Démonstration de la somme de De moraal van dit verhaal: wie in 2007
Akademie in Berlijn, waar Euler van 1741 cette suite 1+1+1+ 1 + 1 +�’, en ook meer van Euler wil weten, heeft de bronnen
4 9 16 25
tot 1766 werkte; het is dus niet wat ik het Enestrøm-nummer E63. Nu zoeken via het zeer te prijzen werk van deze twee
zoek, althans E61 heeft geen verband met op Nummer, en daar stond het. Het stuk Amerikanen, Dominic Klyve en Lee
Nederland), en aanvullende informatie. verscheen in 1743 in Deel 2, nr. 1 van het Stemkoski, onder handbereik. Mits er ook
En die maakt dit archief zo waardevol, Journal littéraire d’Allemagne, de Suisse et du een computer onder handbereik is, dat wel.
want een bron waarnaar verwezen wordt, Nord (pp. 115-127). En inderdaad, dit deel We zijn een stap dichter bij ons grote
is de reeks die Ed Sandifer voor de van het Journal littéraire verscheen in Den voorbeeld. ‘Lees Euler, hij is de meester van
Mathematical Association of America Haag; de druk werd daarna in Amsterdam ons allen.’ Zo dacht Laplace er al over.
schreef onder de titel ‘How Euler did it’[3]. voortgezet, en het speelde een belangrijke
59
Noten 40
22
[1] S.B. Engelsman: What you should
know about Euler’s opera omnia. In:
Nieuw Archief voor Wiskunde, 4e serie
8(1990), nr. 1, pp. 67-79.
[2] Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde 71
(1983–1984), pp. 1-11.
[3] www.maa.org/news/howeulerdidit.html
(klik bijna onderaan op ‘The Basel
Problems with Integrals’, March
2004).
Over de auteur
Lees het interview van Jos Tolboom
met Jan van Maanen (Euclides 82, nr. 4,
pp. 133–135).
E-mailadres: [email protected]

ss
EE
dd
ii
ll
cc
uu
EE
’ A l s i k ze g w i s k u n d e ,
wa t ze g t u d a n ? ’

afLEvErInG 2B: In GESPrEK ME t L oEK hErManS
[ Hans Daale ]
’Als ik zeg wiskunde, wat zegt u dan?’ Hoe kijken volwassenen terug op hun
vroegere wiskundelessen? Met plezier, met afgrijzen? Was het zinvol? Wat bleef
ervan over, met andere woorden: welke betekenis en welke zin bleek dat wiskun-
deonderwijs al dan niet te hebben, later in hun leven? En wat gebruiken mensen in
hun werk nog van die op school geleerde wiskunde?
In het vorige nummer van Euclides startte de redactie een korte serie interviews
waarvoor deze vragen de basis vormden. In die eerste aflevering las u een
weerslag van de reacties van een willekeurige groep voorbijgangers [1]. Dit keer
gaat het om twee wat langere interviews. Hieronder vindt u de weerslag van een
gesprek dat redacteur Hans Daale had met Loek Hermans, voorzitter van MKB-
Nederland en voormalig minister van Onderwijs. Het andere interview is te vinden
op pagina 206.
Werkgevers en docenten: om zaken waarover hij zich, ook persoon- een beetje nostalgie, als het verhaal van
0
1 samen praten over de positie lijk, zorgen maakt. Onderwijs behoort - nog ‘toen’. Hermans ziet dat zeker niet zo: ‘De
2 van het vak wiskunde steeds - daartoe. Mammoetwet heeft voor een groot deel
Natuurlijk lopen we eerst de eigen de weerstand uit leerlingen gehaald, door
loek Hermans; achtergrond wiskunde-achtergrond van Loek Hermans de mogelijkheden om al snel te kunnen
In het kader van onze zoektocht naar de na, net als bij de anderen die we hebben gaan voorsorteren of af te haken. Ik ben
mening van de ‘gewone mens op straat’ over bevraagd. ‘Als 55-jarige ben ik dus van vóór van mening dat het erom gaat te zorgen
wiskunde leek het aardig om ook gericht de Mammoet. Ik heb hbs-A gedaan, met voor een breed aanbod, in ieder geval
iemand te bevragen die vanuit een bijzon- wiskunde tot en met de vierde klas, om tot je achttiende. Als we kijken naar het
dere invalshoek iets over dit onderwerp te daarna Bestuurskunde te gaan studeren beroepsonderwijs, waar toch twee derde
vertellen heeft. Nu gaan veel van de discus- in Nijmegen. In die studie kreeg je te van de jongeren zit, dan moeten we ons
sies op dit moment over rekenv aardigheden maken met Statistiek 1 en 2 en allerlei goed realiseren dat ze straks in hun beroep
die bij toekomstige meesters en juffen sterk noodzakelijke vakken zoals Methoden voor veelal terug moeten vallen op hetgeen ze
lijken terug te lopen, maar ook het werkveld wetenschappelijk onderzoek. Maar dan heb op school aan kennis hebben opgedaan.
begint voorzichtig te klagen over het je het toch vooral over rekenen en daaraan In de horeca, in de metaal, in de houtbe-
afnemend vermogen van afgestudeerden om gelieerde vaardigheden.’ De vraag is of het werking… allemaal vakgebieden waarin
soepeltjes met wiskundige vaardigheden om bezig zijn met die vakken ook nog voelt ze logisch moeten kunnen nadenken,
te gaan. Een persoon die over beide aspecten als het hanteren van wiskunde als vak. ‘In logisch moeten kunnen omgaan met zaken
een zeker licht kan laten schijnen, is Loek zekere zin wel, maar het gaat natuurlijk om die ze tegenkomen en vervolgens moeten
Hermans, oud-minister van Onderwijs en nu de ondersteuning bij andere vakken zoals toepassen.’

al enige tijd voorzitter van MKB-Nederland, economie. Volgens mij draait het daarbij
de landelijke vereniging van kleine en toch ook vooral om logica, om het logisch Wezenlijk
s middelgrote bedrijven. kunnen denken. Dat is de grondslag voor Mijn tegenwerping – en ook die van
E
d De afspraak om ‘langs de wiskunde-meetlat’ een soort manier van studeren, werken en anderen – is natuurlijk dat juist daar met
te worden gelegd, was prettig snel gemaakt. doen. Maar dat gold en geldt eigenlijk ook machines, apparaten en dergelijke wordt
i
Loek Hermans is nog steeds iemand die op voor zaken als Nederlands en de vreemde gewerkt die het iedereen wel erg gemak-
l
basis van zijn ervaringen veel gevraagd wordt talen, in de gehele studie. Ik heb het gevoel kelijk maken. ‘Juist, en daarom moet zo’n
c om zijn mening te geven over de meest dat er toen wel degelijk een werkbare basis jongere leren, hoe hij op voorhand kan
uiteenlopende maatschappelijke ontwikke- werd neergelegd in mijn vooroplei ding.’ inschatten wat de rekenmachine voor
u
lingen. Dan steekt hij die mening niet gauw Ik probeer meteen maar wat te prikkelen uitkomst gaat geven.’ Moet de stelling van
E
onder stoelen en banken, zeker als het gaat door te stellen dat men dit vaak ziet als Pythagoras dan nog wel? ‘Eigenlijk wel,
want daarbij draait het wel om het denken Ruhrgebied ergens bij Berlijn ligt, dan is
in relaties en verhoudingen, op zichzelf ook er toch iets mis. Je hoeft ook niet exact te
essentieel voor bepaalde werkzaamheden.’ weten wanneer de 80-jarige oorlog was,
Mijn vraag is dan of we, juist in die eerste maar de reden en de context, dat zijn
niveaus van het mbo, moeten blijven aspecten die nodig zijn om te begrijpen wat
vast houden aan het uitgangspunt dat er door de jaren heen heeft gespeeld.
wiskunde op een volwaardige wijze tot en Begin daarom standaard zo lang mogelijk
met mbo-2 wordt gedaan. ‘Ja, ik denk dat Nederlands, twee vreemde talen, wiskunde
we dit mogen eisen van jongeren, voor later, en geschiedenis in het rooster op te nemen,
om ze voldoende kansen te geven. Het is en bijvoorbeeld steeds vier uren in de week.
blijft een hoofdvak, niet in alle omstandig- Dan kom je zeker aan een goed gevulde
heden, maar het moet altijd een wezenlijk week, maar dat is het uiteindelijk wel
onderdeel van een opleiding blijven.’ waard.’
Terugblik Bedrijfsleven en ervaringen
Natuurlijk is het onvermijdelijk om ook Hoe zit het met ‘het bedrijfsleven’ in z’n
even in het politieke verleden van Loek algemeenheid – heeft men daar ook een
Hermans te duiken. Het blijft intrigerend mening over het wiskundeonderwijs? Want
dat nog steeds wordt toegestaan dat jongeren iedereen valt nu over iedereen heen. Beter
door het stelsel van vmbo, mbo en havo en Onderwijs Nederland is een teken aan
vwo kunnen sluipen om uiteindelijk op de de wand. De leerlingen zelf gingen begin
pabo terecht te komen zonder periodiek met dit jaar de straat op. De HBO-raad en de Loek Hermans
rekenen, wiskunde en gecijferdheid te zijn MBO-raad zijn met elkaar in gesprek over
geconfronteerd. Dergel ijke routes zijn er al het inbedden van funderende kennis in
jaren via het mbo, maar ook bij het havo, de doorlopende leerweg mbo-hbo, met
met C&M waarin nu nog wel wiskunde-A1 wiskunde als een van de hete hangijzers. moment opstappen en wat anders gaan
voorkomt (met alleen een schoolexamen), OCW ontwerpt regelingen die vervolgens doen, buiten de bedrijfscultuur om. Een
1
maar straks helemaal zónder wiskunde. Hoe met die partijen tot afspraken leiden. Het organisatie is wat dat betreft geen chatbox. 1
2
kon dat in alle jaren worden toegestaan, is echter de arbeidsmarkt die ermee aan de Als je achter de computer zit te chatten,
door ons allen? slag moet. Je hoeft maar bij een willekeurig en iemand bevalt je niet en de betrokkene
‘Laat ik voorop stellen dat onderwijzers bedrijf binnen te lopen om de mensen op lijkt een mafkees, dan loop je weg of druk
gewoon goed moeten kunnen rekenen. de werkvloer veelal te horen klagen over het je op een knop en je hebt er vervolgens
Zoals al gezegd, vanuit mijn eigen ervaring gebrek aan bepaalde, noodzakelijke kennis niets meer mee te maken. Dat kan in
redenerende, is de kiem voor hetgeen we bij jongeren. Waar blijven vervolgens de een werkomgeving niet, want je maakt
nu moeten constateren gelegd met de werkgevers organisaties om te formuleren simpelweg deel uit van die werkomgeving,
Mammoetwet, begin 70’er jaren, dus op het welke kennis dat moet zijn en waarvoor met gezamenlijke verantwoordelijkheden.’
moment dat er vakkenpakketten werden deze van belang is? Zij zijn toch ook
ingevoerd. Leerlingen konden zaken laten ‘consumenten’ van het onderwijs? Wiskunde meenemen in beleid
vallen als ze problemen verwachtten en Loek Hermans springt daar duidelijk op Het vak wiskunde wordt dus meegenomen
dat heeft zich eigenlijk alleen maar verder in: ‘We komen binnenkort met een brief, in het werkgeversvoorstel om iedereen
ontwikkeld. Het keuzegedrag is iets wat een soort manifest, over de vakinhouden weer eens te laten nadenken over hetgeen
daarna, ook door mij en mijn medewerkers in het voortgezet onderwijs. Niet over het waarvoor het onderwijs is bedoeld. ‘Klopt;
bij OCW, als een verbeterpunt is gezien en aanleren van allerlei specifieke weetjes en zo. wiskunde “omzeilen” is net zoiets als talen
we hebben daarom ook een aantal zaken Het gaat om het gevoel dat rond kennis van laten vallen omdat je ze niet leuk vindt.
in gang gezet. We hebben nu als het ware zaken voor bepaalde beroepen speelt. Die Je moet toch ook een zeker vermogen
herontdekt dat jongeren weer een brede noodzaak willen we helder maken. Want opbouwen om later weer allerlei zaken te

kennisbasis moeten hebben. Ik zeg altijd als in een bedrijf de baas bij een lustrum kunnen en durven aanpakken. Zo zat ik
dat als je niet weet waar je vandaan komt, aangeeft dat de oprichting in 1946 was bijvoorbeeld vorige week in Maastricht te
je ook geen idee hebt waar je naar toegaat. – dan moet toch ook de jongere werknemer praten met Duitse werkgevers en binnen s
E
Dat geldt niet alleen voor wiskunde, dit moment kunnen plaatsen in die tijd… korte tijd gaat het Duits spreken me weer d
maar ook voor zaken als geschiedenis, als Het is een simpel voorbeeld, maar toch.’ goed af. Frans op vakantie duurt wat langer.
i
onderdeel van onze cultuur. Zo’n boekje Maar wat ziet Hermans als belangrijkste Je moet later een en ander weer snel kunnen
l
dat laatst door een docent is geschreven, verandering bij de leerlingen, bij de oppakken.’
met verbazingwekkende missers en fouten jeugd van nu? ‘Het is duidelijk dat je als Ik geef het voorbeeld van het Universitair c
in proefwerken en werkstukken, dat moet werknemer moet kunnen meepraten over Medisch Centrum Groningen dat alle
u
toch wel een op te pakken signaal zijn. zaken die het bedrijf raken – daarvoor ben instromende mbo’ers en hbo’ers standaard
E
Als een havist op het examen stelt dat het je ook aangenomen. Je kunt niet op elk een rekencursus geeft, omdat zij toch wel
heel erg verantwoordelijk bezig moeten zijn rekenen niet alles beheerst; zie het interview nodig is voor begeleiding, in de klas, bij het
met maten, gewichten en hoeveelheden. op pagina 206. Zij stelt voor om, net als bij maken van keuzes en bij projecten, dat is
‘Laat duidelijk zijn dat het bedrijfsleven gymnastiek, te gaan werken met vakleer- zeker.’ Een duidelijke oproep dus.
natuurlijk in het algemeen niet zit te krachten rekenen. Gek of juist creatief? ‘Overigens, alle begeleiding en advisering
wachten op het afnemen van een eigen ‘Ik aarzel. Het zou iets kunnen zijn, maar heeft z’n beperkingen. Toen ik 17 was werd
rekentoets. Maar ze gaan wel steeds toch moeten we uitgaan van een systeem mij aangeraden de handel in te gaan, mede
vreemder aankijken tegen jongeren die niet in ons land waarbij men zo lang mogelijk omdat mijn docent handelsrekenen één
in staat zijn om – zeg maar – hun eigen wiskunde krijgt. En dan moet dit gewoon brok dynamiek was voor de klas, voor wie
positie te bepalen in de organisatie, dus niet structureel op het vereiste niveau op de je gewoon je huiswerk maakte en waarbij
weten wat er allemaal rondgaat in hoeveel- pabo worden ingebed, omdat het daar je probeerde van alles goed te doen – maar
heden, geld en zo. Dat is geen goede situatie thuishoort in het pakket voor studenten. het heeft toch 34 jaar geduurd voordat ik
omdat het gevolgen kan hebben voor hun Net als de andere basisvakken.’ Kan een daarmee in aanraking kwam.’
arbeidsrelatie.’ oud-minister dat wel roepen? ‘Waarom niet,
ik doe het nu vanuit het bedrijfsleven. We
docenten, overleg en NVvW willen daarover zeker signalen gaan afgeven
In het verlengde van de aandacht voor – dat voelen we wel als een verantwoorde-
de inrichting van het onderwijs en de lijkheid van onze kant.’ Noot
vormgeving van instellingen geef ik aan dat [1] Klaske Blom e.a.: Als ik zeg wiskunde,
ook veel docenten het idee hebben dat ze Motiverende docenten wat zegt u dan? In: Euclides, 82(5),
klem komen te zitten. Ze willen wel, ook Even kijkend naar de persoonlijke situatie: maart 2007
gelet op de wensen van het werkveld, maar Goed in wiskunde geweest? Prettige
de mogelijkheden ontbreken nogal eens. docenten gehad, van invloed op de eigen
Als het werkveld nou vindt dat wiskunde beleving? ‘Ik heb niet het juiste gevoel voor Over de interviewer
en zaken als rekenvaardigheden meer wiskunde op zich, dat is mij wel duidelijk. Hans Daale is lid van de redactie van
aandacht moeten krijgen en men komt Ik heb mede daarom ook voor hbs-A Euclides en betrokken bij ontwikkelingen
met een manifest, hoe dan verder? Heeft gekozen. Maar ik heb motiverende, niet uit binnen het hoger beroepsonderwijs.
MKB-Nederland wel eens gesproken met het boek voor lezende docenten gehad. Dat E-mailadres: [email protected]
2
1 de NVvW? ‘Nee, dat contact heeft nog niet is toch van belang geweest, ook voor mij,
2
plaatsgevonden. Het is zeker iets waarvan om zaken enthousiast aangereikt te krijgen
ik zeg dat het zou moeten kunnen. Het kan en vervolgens tot je te kunnen nemen.’ En
geen kwaad om van elkaar te horen hoe je de kinderen – hoe was het bij het helpen bij
tegen dit soort zaken aankijkt. Dus laten we het huiswerk? ‘Nou, mijn vrouw is heel erg
maar gewoon een afspraak maken.’ goed in wiskunde, dus dan gaan ze toch wel
Maar is Hermans niet bang dat er vervolgens wat meer die kant op…’
wordt geroepen dat het bedrijfsleven weer
zo nodig invloed wil uitoefenen op het competenties
onderwijs en zaken wil voorschrijven? ‘Daar Tenslotte nog iets wat ons allemaal
gaat het ook helemaal niet om. Het gaat er bezighoudt, het competentiegerichte
om aan te geven wat wij onder basiskennis onderwijs. Loek Hermans is daar duidelijk
verstaan en wat belangrijk is om goed te over. ‘Het is geen kwestie van loslaten, maar
functioneren in een baan, ook als beginner. van begeleiden. Niet van zomaar aan de
Natuurlijk formuleren we dit vanuit onze slag laten gaan, maar eerst goed vertellen en
positie gezien, als ontvangende partij. Maar aanleren wat nodig is om zelfstandig bezig
het is nu eenmaal zo dat wij vinden dat te zijn. Kijk maar eens naar het opleiden
vakken als Nederlands, Engels en wiskunde van voetballers zoals Piet Boekhoud als
allemaal zaken betreffen die gewoon nodig voorzitter van het Rotterdamse Albeda

zijn om te kunnen functioneren binnen een College laatst zo treffend verwoordde: eerst
organisatie, en dat geluid willen we laten trainen, vervolgens op de bank gaan zitten,
s horen.’ warmlopen en dan pas het veld in. En ja,
E
d dan kan de trainer tijdens de wedstrijd
Vakleerkracht rekenen? er niet meer steeds naast gaan lopen en
i
Weer terug naar de wiskunde op zich, want aanwijzingen geven.’ Ik voeg er aan toe dat
l
daarvoor zitten we toch bij elkaar. In onze we dan ook meer professionele begeleiders
c vraaggesprekken met diverse mensen over moeten hebben, een soort personal coaches.
hun beleving van wiskunde kwam ook ‘Dit soort onderwijs vraagt natuurlijk om
u
iemand aan het woord die lesgeeft op een de juiste en geschikte mensen voor een
E
basisschool en van zichzelf weet dat ze qua dergelijke aanpak. En dat er meer aandacht