Algèbre 3 [Lecture notes]

83 Pages·2012·0.78 MB·French

by  Gabor Wiese

Algèbre 3
Semestred’hiver2012/2013
UniversitéduLuxembourg
GaborWiese
[email protected]
Versiondu19décembre2012
Préface
L’objetprincipalducoursseral’étudedesextensionsalgébriquesdescorpscommutatifs.Enpar-
ticulier,lathéoriedeGaloisseradéveloppéeetappliquée.Ellepermetentreautresdedémontrerque
l’équation générale de degré au moins 5 ne peut pas être résolue en radicaux et de résoudre (parfois
demanièrenégative)plusieursproblèmesclassiques(provenantdesanciensGrecs)deconstructionà
larègleetaucompascommelatrisectiond’unangleetlaquadratureducercle.
Au début du cours nous allons finir le traitement de la réduction de Jordan d’une matrice com-
mencéavantl’été.
Littérature
VoiciquelquesréférencessurlathéoriedeGaloisenfrançais:
– Jean-PierreEscoffier:ThéoriedeGalois
– Jean-ClaudeCarrega:Théoriedescorps,larègleetlecompas
– AntoineChambert-Loir:Algèbrecorporelle
– YvanGozard:ThéoriedeGalois
– PatriceTauvel:CorpscommutatifsetthéoriedeGalois
– JosetteCalais:Extensiondecorps,théoriedeGalois
– EvaristeGalois:letexteoriginal!
Voiciquelquesd’autresréférences:
– Siegfried Bosch : Algebra (en allemand), Springer-Verlag. Ce livre est très complet et bien
lisible.
– IanStewart:GaloisTheory.Celivreestbienlisible.LetraitementdelathéoriedeGaloisdans
le cours sera un peu plus général puisque Stewart se restreint dans les premiers chapîtres aux
sous-corpsdesnombrescomplexes.
– Serge Lang : Algebra (en anglais), Springer-Verlag. C’est comme une encyclopédie de l’al-
gèbre;onytrouvebeaucoupdesujetsrassemblés,écritsdefaçonconcise.
1
1 RÉDUCTIONDEJORDAN 2
1 Réduction de Jordan
NouscommençonscecoursparlaréductiondeJordanquenousavonsbienpréparéelesemestre
précédent, mais, pas encore finie. Rappelons d’abord les définitions et résultats principaux déjà mis
enplaceavantl’été.Danstoutecettesection,soitK uncorpscommutatif.
Lethéorèmesuivantestsouventappelléthéorèmefondamentalsurlesmatrices,cequimontreson
rôle fondamental : il dit que – après un choix de bases (pas oublier!!) – chaque application linéaire
peut être décrite de façon unique par une matrice, et que, réciproquement, chaque matrice – encore
pourunchoixdebasesfixé–définituneapplicationlinéaire.
Unmotsurlesnotations:contrairementàl’usageausemestreprécédent,jenoterailesbasesmain-
tenant avec des parenthèses, S = (v ,...,v ), et non avec des accolades car la forme des matrices
1 n
dépenddel’ordredesvecteur.Mais,maintenantilfautseméfierdenepasconfondreSavecunvecteur
(quiestaussinotéavecdesparenthèses).Sinousavonsdeuxsous-espaceW etW d’unespacevec-
1 2
torielV avecdesbasesS = (v ,...,v )etS = (w ,...,w ),onnotera(v ,...,v ,w ,...,w )
1 1 n 2 1 m 1 n 1 m
quand-mêmeparS S .
1 2
∪
Théorème 1.1. Soient V,W deux K-espaces vectoriels de dimensions finies n et m. Rappellons
que nous notons Hom (V,W) l’ensemble de toutes les applications ϕ : V W qui sont K-
K
→
linéaires. Soient S = (v ,...,v ) une K-base de V et T = (w ,...,w ) une K-base de W. Pour
1 n 1 m
ϕ Hom (V,W)et1 i n,levecteurϕ(v )appartientàW,alors,onpeutl’exprimerentant
K i
∈ ≤ ≤
quecombinaisonK-linéairedesvecteursdanslabaseT ainsi:
m
ϕ(v ) = a w .
i j,i j
j=1
X
Nous«rassemblons»lescoefficientsa dansunematrice:
j,i
a a a
1,1 1,2 1,n
···
a a a
 2,1 2,2 2,n
MT,S(ϕ) := ... ... ·.·.·. ... ∈ Matm×n(K).
 
 
am,1 am,2 am,n
 ··· 
 
L’utilitédecettematriceestlasuivante:Soitv V unvecteurquis’écritencoordonnéespour
∈
b
1
b
 2
labaseS commev = . .Alors,leproduitmatriciel
.
.
 
 
bn
 
 
a a a b
1,1 1,2 1,n 1
···
a a a b
 2,1 2,2 2,n 2
···
... ... ... ... ...
  
  
am,1 am,2 am,nbn
 ···  
  
estégaleauvecteurϕ(v)écritencoordonnéespourlabaseT.C’estàdirequenousavonsexprimé
l’imageϕ(v)encoordonnées.Alors,lamatriceM (ϕ)décritl’applicationlinéaireϕencoordon-
T,S
nées.
1 RÉDUCTIONDEJORDAN 3
L’assertionprincipaleduthéorèmec’est:L’application
Hom (V,W) Mat (K), ϕ M (ϕ)
K m×n T,S
→ 7→
estunebijection.ElleestmêmeunisomorphismedeK-algèbres.
Démonstration. Lapreuven’estqu’uncalculassezsimpleetaétédonnéeavantl’été.Ellefaitpartie
decellesquechaqu’un(e)devraitpouvoirreproduire.Alors,c’estlecas?
Dans le reste de cette section nous nous intéressons au cas spécial W = V. Une application
K-linéaireϕ : V V estaussiappelléeendomorphismeetnousécrivons
→
End (V) := Hom (V,V).
K K
Apartird’ici,fixonsunK-espacevectorielV dedimensionfinien.
Définition1.2. Soitϕ End (V).
K
∈
– a K est appellé valeur propre de ϕ s’il existe 0 = v V t.q. ϕ(v) = av (ou équivalent :
∈ 6 ∈
ker(ϕ a id ) = 0).
V
− · 6
– OnposeE (a) := ker(ϕ a id ).Siaestunevaleurpropredeϕ,onappelleE (a)l’espace
ϕ V ϕ
− ·
proprepoura.
– Chaque0 = v E (a)estappellévecteurproprepourlavaleurproprea.
ϕ
6 ∈
– OnposeSpec(ϕ) = a K aestvaleurpropredeϕ .
{ ∈ | }
– OnappelleϕdiagonalisablesiV = E (a).
a∈Spec(ϕ) ϕ
Vousavezdéjàvubeaucoupd’exemplesL,enalgèbrelinéaireetenalgèbre2avantl’été.Rappellons
quand-mêmeuneformulationéquivalentedeladiagonalisabilité(quiexpliquelenom).
Proposition 1.3. Soit ϕ End (V) et Spec(ϕ) = a ,...,a . Les assertions suivantes sont
K 1 r
∈ { }
équivalentes:
(i) ϕestdiagonalisable.
(ii) IlexisteunebaseS deV t.q.
a1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 0 0 a1 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 a2 0 0 0 0 0 0 0
 ... 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
M (ϕ) =  0 0 0 0 0 a2 0 0 0 0 0 .
S,S  ... 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0 ar 0 0 
 ... 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ar
 
Pour1 i r,lavaleura apparaîtdim E (a )foissurladiagonale.
i K ϕ i
≤ ≤
1 RÉDUCTIONDEJORDAN 4
Démonstration. «(i) (ii)»:Pourchaque1 i rnouschoisissons(parexemple,enlacalculant)
⇒ ≤ ≤
unebaseS deE (a )etposonsS = S S S .Puisqueϕestdiagonalisable,V estlasomme
i ϕ i 1 2 r
∪ ∪···∪
directedesE (a );cecineditriend’autrequeS estunebasedeV.Laformediagonaledelamatrice
ϕ i
provientimmédiatementduthéorèmefondamentalsurlesmatrices1.1.
«(ii) (i)» : Ecrivons S = (v ,...,v ) et e pour le nombre de fois que a apparaît sur la
1 n i i
⇒
diagonale.Alors,E (a )estlesous-espacedeV engendréparlespremierse vecteursdeS;ensuite,
ϕ 1 1
E (a )estlesous-espacedeV engendréparlesprochainse vecteursdeS,etc.CecimontrequeV
ϕ 2 2
estbienlasommedirectedesE (a )pour1 i r.
ϕ i
≤ ≤
Définition1.4. – Soit M Mat (K) une matrice. Le polynôme caractéristique de M est
n×n
∈
définicomme
car (X) := det X id M K[X].
M n
· − ∈
– Soitϕ End (V).Lepolynômecaractéris(cid:0)tiquedeϕest(cid:1)définicomme
K
∈
car (X) := car (X).
φ MS,S(ϕ)
Avantl’éténousnoussommesconvaincuesquecar nedépendpasduchoixdelabaseS.Nous
ϕ
avonsaussivuplusieursexemplesquenousn’allonspasrépeterici.
Proposition1.5. Spec(ϕ) = a K car (a) = 0 = a K (X a) car (X) .
ϕ ϕ
{ ∈ | } { ∈ | − | }
Démonstration. C’estfacile,n’est-cepas?
A part le polynôme caractéristique nous avons également introduit le polynôme minimal dont
on rappelle aussi la définition. On se souvient qu’on a démontré que K[X] est un anneau euclidien
(pourladivisioneuclidiennedepolynômes,c’estàdire«avecreste»),alors,commeonl’adémontré
également,K[X]estunanneauprincipal:chaqueidéalestprincipal,c’estàdire,peutêtreengendré
parunseulélément.Nousallonsutilisercefaitmaintenant.
Définition-Lemme1.6. (a) Soit M Mat (K) une matrice. Si f(X) = d a Xi K[X]
∈ n×n i=0 i ∈
est un polynôme, alors nous posons f(M) := d a Mi, ce qui est encore une matrice dans
i=0 i P
Mat (K).
n×n P
(b) L’application«evaluation»
ev : K[X] Mat (K), f(X) f(M)
M n×n
→ 7→
estunhomomorphismed’anneaux(mêmedeK-algèbres).
(c) Le noyau ker(ev ) est un idéal principal non-nul de l’anneau principal K[X], alors, il existe
M
ununiquepolynômenormalisém (X) K[X]quiengendreker(ev ).Onappellem (X)le
M M M
∈
polynômeminimaldeM.
(d) m (X)estlepolynômenormalisédedegréminimalquiannuleM (c’estàdire:m (M) = 0
M M n
où0 estlamatricezérodansMat (K)(qu’ondenotéraaussi0poursimplicité)).
n n×n
(e) Soitϕ End (V).Nousposons
K
∈
m (X) := m (X)
ϕ MS,S(ϕ)
etl’appellonspolynômeminimaldeϕ.CepolynômenedépendpasduchoixdelabaseS.
1 RÉDUCTIONDEJORDAN 5
Démonstration. (a)estclair.
(b)C’estuncalculfacile.
(c) Remarquons que K[X] est de dimension infinie alors que la dimension de Mat (K) est
n×n
finie,cequimontrequeev nepeutpasêtreinjective.Alors,sonnoyauestnon-nuletengendrépar
M
unpolynômequiestuniqueàmultiplicationparK× près,cequinouspermetdelenormaliser.
(d)estclair.
(e) L’indépendence du choix de la base provient du fait que la conjugaison avec la matrice de
changementdebasedécritunisomorphismedeMat (K).
n×n
Lepolynômecaracteristiquecar (X)etlepolynômeminimalm (X)sontliésparlethéorème
M M
deCayley-Hamilton.
Théorème1.7(Cayley-Hamilton). SoitM Mat (K).Alors,
n×n
∈
car (M) = 0 Mat (K).
M n n×n
∈
Enparticulier,m (X)estundiviseurdecar (X).
M M
Démonstration. L’astuceestd’utiliserlesmatricesadjointes.Nousavons
(X id M)adj (X id M) = det(X id M) id d=éf car (X) id . (1.1)
n n n n M n
· − · · − · − · ·
Notez que la matrice X id M est à coefficients dans l’anneau des polynômes K[X]. Mais, il
n
· −
est facile de vérifier que la propriété principale des matrices adjointes que nous venons d’utiliser est
valablepourchaqueanneaucommutativeetpasseulementpourR,lecaspourlequelvousavezvula
preuveenalgèbrelinéaire.
LadéfinitiondelamatriceadjointemontrequelaplusgrandepuissancedeX quipeutapparaître
dansuncoefficientdelamatrice(X id M)adj estn 1.Nouspouvonsalorsécrirecettematrice
n
· − −
entantquepolynômededegrén 1àcoefficientsdansMat (K):
n×n
−
n−1
(X id M)adj = B Xi avec B Mat (K).
n i i n×n
· − ∈
i=0
X
Nousécrivonscar (X) = n a Xi etreprenonsl’équation(1.1):
M i=0 i
P
n n−1
car (X) id = a id Xi = B Xi (X id M)
M n i n i n
· · · · −
i=0 i=0
X (cid:0)X (cid:1)
n−1 n−1
= (B Xi+1 B MXi) = B M + (B B M)Xi+B Xn.
i i 0 i−1 i n−1
− − −
i=0 i=1
X X
Nouscomparonslescoefficients(encoredesmatrices!)pourobtenir
a id = B M, a id = B B M pour1 i n 1 et B = 0.
0 n 0 i n i−1 i n−1
· − · − ≤ ≤ −
1 RÉDUCTIONDEJORDAN 6
Onpeutmaintenantconclurelapreuvedecar (M) = 0 paruncalculsimple:
M n
n n−1
car (M) id = a Mi = B M + (B B M)Mi
M n i 0 i−1 i
· · − −
i=0 i=1
X X
= B M+B M B M2+B M2 B M3+B M3 B Mn−1+B Mn−1 = 0 .
0 0 1 1 2 2 n−2 n−2 n
− − − −···−
Lapropriétécar (M) = 0 montrequecar (X)estdanslenoyaudeev de1.6,alorsm (X)
M n M M M
divisecar (X),carm (X)estungénérateurdel’idéalprincipalker(ev ).
M M M
Le théorème de Cayley-Hamilton reste évidemment vrai si l’on remplace la matrice M par un
endomorphismeϕ End (V).
K
∈
Exemple1.8. Surlafeuilled’exerciceno.1voustrouvezunefaçondecalculerlespolynômesmini-
mauxengénéral,etsurtoutunefaçonpoursouventéviterbeaucoupdecalcul.Lethéorème1.10etla
proposition1.13semontreronttrèsutiles.
Voici des exemples clés pour comprendre la différence entre polynôme minimal et polynôme ca-
ractéristique:
– Lestroismatricessuivantesontlemêmepolynômecaractéristique,(X 1)2 :
−
M := (1 0), M := (1 1), M := (1 691).
1 0 1 2 0 1 3 0 1
LepolynômeminimaldeM estX 1.PuisqueM 1 id = (0 1) = 0 etM 1id =
1 − 2 − · 2 0 0 6 2 3 − 2
(0 691) = 0 ,lepolynômeminimalest(X 1)2danscesdeuxcas.Notezquenousavonsutilisé
0 0 6 2 −
le fait que les seuls diviseurs normalisés non-constants de (X 1)2 sont X 1 et (X 1)2,
− − −
alors,lepolynômeminimaldoitêtreunparmicesdeux.
– Les mêmes arguments donnent les polynômes minimaux des matrices suivantes (mais, notez
qu’ilyaunepossibilitédeplus):
1 0 0 1 1 0 1 1 0
M := 0 1 0 ,M := 0 1 0 ,M := 0 1 1 .
4   5   6  
0 0 1 0 0 1 0 0 1
     
     
LelemmesuivantestnotrepremierpasversladécompositionspectraleetlaformedeJordan.
Lemme1.9. Soitϕ End (V).
K
∈
(a) Soit f K[X] et W := ker(f(ϕ)). Alors, W est un sous-espace de V stable par ϕ, c’est à
∈
dire : pour tout w W on a ϕ(w) W. Ceci nous permet de restreindre ϕ à W ; on notéra
∈ ∈
l’applicationrestreinteparϕ : W W.
W
| →
(b) Soient f,g K[X] deux polynômes premiers entre eux, c’est à dire : pgcd(f(X),g(X)) = 1.
∈
Alors,
ker(f(ϕ) g(ϕ)) = ker(f(ϕ)) ker(g(ϕ)).
· ⊕
=:W =:W1 =:W2
Avantlapreuve,unpetitm|otsurl{aznotatio}n:f|(ϕ){zestu}nea|ppl{iczatio}nK-linéaireV V,alors
→
on peut l’appliquer à un vecteur v V. Notre notation pour ceci c’est : f(ϕ)(v) ou bien f(ϕ)v.
∈
Notezlesrôlesdistinctsdesdeuxpairesdeparanthèsesdanslapremièreexpression.Onpourraitaussi
l’écrire(f(ϕ))(v),mais,jetrouvecetteécritureunpeulourde.
1 RÉDUCTIONDEJORDAN 7
Démonstration. (a) Nous savons que le noyau de chaque application K-linéaire est un sous-espace.
Ecrivonsf(X) = d a Xi.Soitalorsw W,i.e.f(ϕ)w = d a ϕi(w) = 0.Nouscalculons
i=0 i ∈ i=0 i
P d d Pd
f(ϕ)(ϕ(w)) = a ϕi(ϕ(w)) = a ϕi+1(w) = ϕ a ϕi(w) = ϕ(0) = 0.
i i i
i=0 i=0 i=0
X X (cid:0)X (cid:1)
(b)IlestclairqueW W etW W,alorsW +W W.Nousdevonsdémontrer
1 2 1 2
⊆ ⊆ ⊆
– W W = 0(leK-espacevectorielzéro)et
1 2
∩
– W +W = W.
1 2
PuisqueK[X]estunanneaueuclidien,nouspouvonsutiliserl’algorithmed’Euclide(deBézout)pour
obtenir deux autres polynômes a,b K[X] tels que 1 = a(X)f(X) + b(X)g(X). Soit d’abord
∈
w W W .Alors
1 2
∈ ∩
w = id (w) = a(ϕ)f(ϕ)w+b(ϕ)g(ϕ)w = 0+0 = 0,
V
cequimontrelepremierpoint.Pourledeuxièmesoitw W.L’équationqu’onvientd’utilisers’écrit
∈
comme
w = w +w avecw := a(ϕ)f(ϕ)w etw := b(ϕ)g(ϕ)w.
2 1 2 1
Mais,ona
f(ϕ)(w ) = b(ϕ)f(ϕ)g(ϕ)w = b(ϕ)0 = 0 w W
1 1 1
⇒ ∈
et
g(ϕ)(w ) = a(ϕ)f(ϕ)g(ϕ)w = a(ϕ)0 = 0 w W ,
2 2 2
⇒ ∈
achevantladémonstration.
Théorème 1.10 (Décomposition spectrale). Soit ϕ End (V) avec polynôme minimal m (X) =
K ϕ
∈
fe1(X) fe2(X) ... fer(X)oùlespolynômesf (X)sontirréductibles(cesontalorsdeséléments
1 · 2 · · r i
premiers dans l’anneau principal K[X]) et premiers entre eux, c’est à dire pgcd(f ,f ) = 1 pour
i j
tout1 i < j n(sil’onnormaliselesf ,alorslaconditionnerevientqu’àdirequelespolynômes
i
≤ ≤
sontdistincts).PosonsW := ker(f (ϕ)).Alors,lesassertionssuivantessontvraies.
i i
(a) V = r W .
i=1 i
(b) Sil’onchoisitunebaseS dusous-espaceW pour1 i r,alorsS = S S S est
L i i 1 2 r
≤ ≤ ∪ ∪···∪
unebasedeW pourlaquelleona:
M 0 0 ... 0
1
 0 M2 0 ... 0 
MS,S(ϕ) =  ... ... ... ... 
 
 0 ... 0 M 0 
 r−1 
 
 0 ... 0 0 Mr 
 
 
avecM := M (ϕ )pour1 i r.
i Si,Si |Wi ≤ ≤
Démonstration. (a)suitdulemma1.9(b)parrécurrence.
(b) est clair : Ecrivez la matrice selon les règles et vous allez obtenir cette forme. Notez que les
blocsendehorsdeladiagonalesontzérosparcequeϕ(W ) W .
i i
⊆
1 RÉDUCTIONDEJORDAN 8
Le cas le plus important pour nous est celui où f (X) = X a avec a = a pour i = j (ce
i i i j
− 6 6
quiimpliquequelesf sontirréductiblesetdistincts).Ladécompositionspectralen’estenfaitqu’un
i
pas(décisif!)verslaréductiondeJordan.Nousvoyonsdanslaprochainepropostionaussisonutilité
pour la diagonalisation. Pour l’instant nous illustrons l’effet de la décomposition spectrale à l’aide
d’un exemple. Avant cela, il peut être utile de se rappeller comment appliquer les résultats pour les
applicationslinéaireϕauxmatrices.
Remarque 1.11. Soit M Mat (K). On peut appliquer la décomposition spectrale à la ma-
n×n
∈
1 0 0
0 1 0
     
0 0 0
trice M comme suit. Pour la base canonique B := (.,.,...,.) la matrice M décrit
.. .. ..
     
     
0 0 0
     
0 0 1
     
uneapplicationK-linéaireϕetl’onaM = M (ϕ)(voirlethéorème1.1).
B,B
La décomposition spectrale nous donne une base S. Soit C := M (id) la matrice de change-
B,S
mentdebasesentrelabaseS etlabasecanonique.Alors,nousavons
M (ϕ) = C−1MC
S,S
(comme nous l’avons vu avant l’été). Pour être encore un peu plus concret, rappellons comment
écrire la matrice C. Si S = (v ,...,v ) et les vecteurs v sont donnés en coordonnées pour la base
1 n i
standarde,alorslai-ièmecolonnedeC estjustelevecteurv .
i
Alors, la décomposition spectrale peut être utilisée pour calculer une matrice semblable (par
définition, deux matrices A,B sont semblables si l’une est une conjugée de l’autre : il existe une
matriceinversibleC tellequeB = C−1AC)àM delajolieformeduthéorème.
1 2 3
Exemple1.12. SoitM := 0 1 4 àcoefficientsdansQ.Lepolynômecaractéristiqueest(X
 
−
0 0 5
 
1)2(X 5). Il est clair queker(M 5 id ) est de dimension 1; c’est à dire que 5 est une valeur
3
− − ·
propredemultiplicité1(pardéfinition:sonespacepropreestdedimension1).Sanscalculilestclair
quedimker((M id )2) = 3 1 = 2.
3
− −
Lethéorème1.10impliquel’existenced’unematriceC telleque
1 x 0
C−1 M C = 0 1 0
 
· ·
0 0 5
 
 
pourunx Qquiresteàêtredéterminé.
∈
Enfait,onvoitfacilementquex = 0,cardanscecaslepolynômeminimalserait(X 1)(X 5)
6 − −
cequiestfaux(voiraussilaProposition1.13).LethéorèmesurlaréductiondeJordan1.17nousdira
quenouspouvonschoisirC tellequemêmex = 1.
Le polynôme minimal nous permet de donner encore une autre caractérisation de la diagonalisa-
bilité:
1 RÉDUCTIONDEJORDAN 9
Proposition1.13. (a) Spec(ϕ) = a K (X a) m (X) = a K m (a) = 0 .
ϕ ϕ
{ ∈ | − | } { ∈ | }
(b) Soitϕ End (V).Alors,lesassertionssuivantessontéquivalentes:
K
∈
(i) ϕestdiagonalisable.
(ii) m (X) = (X a).
ϕ a∈Spec(ϕ) −
Démonstration. (a)LQadeuxièmeégalitéestclaire:enutilisantladivisioneuclidienneonvoitqu’un
a K est un zéro d’un polynôme f K[X] si et seulement si X a divise f(X). Pour voir
∈ ∈ −
la première égalité supposons d’abord (X a) ∤ m (X). De cela nous déduisons que (X a) et
ϕ
− −
m (X) sont premiers entre eux, ce qui nous permet (par l’algorithme d’Euclide/Bézout) de trouver
ϕ
b,c K[X]telsque1 = b(X)(X a)+c(X)m (X).Soitmaintenantv V t.q.ϕ(v) = av.Nous
ϕ
∈ − ∈
avons
v = id v = b(ϕ)(ϕ(v) av)+c(ϕ)m (ϕ)v = 0+0 = 0,
V ϕ
−
alorsa Spec(ϕ).
6∈
Supposons maintenant (X a) m (X) ce qui nous permet d’écrire m (X) = (X a)g(X)
ϕ ϕ
− | −
pourung K[X].Puisqueledegrédegeststrictementpluspetitqueceluidem (X),ildoityavoir
ϕ
∈
un v V tel que w := g(ϕ)v = 0 (sinon, le polynôme minimal m (X) serait un diviseur de g(X)
ϕ
∈ 6
cequiestabsurde).Nousavonsalors
(ϕ a)w = m (ϕ)v = 0,
ϕ
−
alorsa Spec(ϕ).
∈
(b)OnécritSpec(ϕ) = a ,...,a .
1 r
{ }
«(i) (ii)» : On choisit une base S telle que M := M (ϕ) est diagonale (voir la pro-
S,S
⇒
position 1.3). Un calcul très simple montre que r (M a ) = 0 . Alors, m (X) est un di-
i=1 − i n ϕ
viseur de r (X a ). Mais, (a) montre que pour chaque i on a (X a ) m (X). Donc,
i=1 − i Q − i | ϕ
m (X) = r (X a )(lesdeuxpolynômessontnormalisés).
ϕ Qi=1 − i
«(ii) (i)»:Onappliqueladécompositionspecrale1.10etilsuffitdenoterquelesmatricesM
⇒Q i
sontdiagonalescarW = E (a )estl’espaceproprepourlavaleurproprea .
i ϕ i i
Ilestutilederemarquerquelespropositions1.5et1.13(a)disentquecar (X)etm (X)ontles
ϕ ϕ
mêmesfacteursdedegré1.
1 0 2
Exemple 1.14. Considérons la matrice M := 0 1 3 à coefficients dans Q. Son polynôme
 
0 0 4
 
minimalest(X 1)(X 4),alors,elleestdiagonalisable.
− −
(Pourobtenirlepolynômeminimalilsuffitdevoirquel’espaceproprepourlavaleurpropre1est
dedimension2.)
Nousavonsvudanslaproposition1.3quelesmatricesdiagonalisablessontsemblablesàdesma-
trices diagonales. L’utilité d’une matrice diagonale pour des calculs est évidente. Malheureusement,
les matrices ne sont pas toutes diagonalisables. Notre but maintenant est de choisir une base S de V
defaçonqueM (ϕ)aituneforme«simple,jolieetélégante»etleplusprochepossibledelaforme
S,S
diagonale.
1 RÉDUCTIONDEJORDAN 10
Nous avons aussi vu que la décomposition spectrale 1.10 nous donne une forme diagonale «en
blocs».NotrebutpourlaréductiondeJordanseraderendrelesmatricesdanslesblocsleplussimple
possible.
NousprésentonslaréductiondeJordan(laformenormaledeJordan)d’unpointdevuealgorith-
mique.Lespreuvespeuventêtreabrégéesunpeusiontravaillesanscoordonnées,mais,danscecas,
lecalculdelaréductionn’estpasclair.
Lemme1.15. Soienta K,e N etv V telsque
>0
∈ ∈ ∈
(ϕ a id)e(v) = 0 et (ϕ a id)e−1(v) = 0.
− · − · 6
Nousposons:
v := v,
e
v := (ϕ a id)(v),
e−1
− ·
...
v := (ϕ a id)e−2(v),
2
− ·
v := (ϕ a id)e−1(v).
1
− ·
et v := v ,...,v ,lesous-espacedeV engendréparlesv ,...,v .
ϕ 1 e 1 e
h i h i
(a) Lesv ,...,v sontK-linéairementindépendantset,enconséquence,formentunebaseSde v .
1 e ϕ
h i
(b) Nousavons:
ϕ(v ) = av ,
1 1
ϕ(v ) = v +av ,
2 1 2
ϕ(v ) = v +av ,
3 2 3
...,
ϕ(v ) = v +av .
e e−1 e
(c) ϕ( v ) v .
ϕ ϕ
h i ⊆ h i
a 1 0 0 ... 0
0 a 1 0 ... 0
 
0 0 ... ... ... ...
(d) M (ϕ ) =  .
S,S |hviϕ ... ... ... ... 1 0
 
 
0 0 ... 0 a 1
 
0 0 ... 0 0 a
 
 
Démonstration. (a)Notezquelaplusgrandepuissancedeϕquiapparaîtdansladéfinitiond’undes
v estégaleàe 1.Unecombinaisonlinéairenon-trivialedelaforme0 = e α v seréécritalors
i − i=1 i i
souslaformeg(ϕ)(v) = 0avecunpolynôme0 = g(X) K[X]dedegréaupluse 1.Commele
6 ∈ P −
polynômeminimaldeϕestdedegrée,nousobtenonsunecontradiction.