Theórie de l’inte´gration JeanJACOD 2002-2003 Table des matie`res 1 Introduction-Lanotiondemesure 3 1.1 Rappelssurlesensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Theóriedelamesureettheóriedel’inte´gration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Laclassedesensemblesmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Lesmesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 LamesuredeLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 L’inte´grationparrapporta` unemesure 15 2.1 Lesfonctionsmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 L’inte´graledesfonctionsmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 L’inte´graledesfonctionsa` valeurscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 L’inte´graleparrapporta` lamesuredeLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Inte´gration:quelquescomple´ments 29 3.1 Ensemblesne´gligeablesetcomple´tiondetribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Theóre`medeconvergencedomineé:laversionde´finitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Lesmesuresavecdensite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Lesfonctionsinte´grablesausensdeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Produitsdemesures 38 4.1 Quelquesre´sultatsd’unicite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Produitd’espacesmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Produitdemesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4 Laformuledechangementdevariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5 Leproduitdeconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5 LesespacesLp 54 5.1 Lesde´finitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2 LesespacesLppour1≤p≤∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3 L’espaceL2etlesespacesdeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.4 Letheóre`medeRadon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.5 Ladualite´ desespacesLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6 LatransformeédeFourier 69 6.1 De´finitionetproprie´te´se´le´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.2 Injectivite´ etformuled’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.3 Quelquesre´sultatsdedensite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.4 LatransformeédeFourierdansL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2 Chapitre 1 Introduction - La notion de mesure 1.1 Rappels sur les ensembles Conside´ronsunensembleE,c’est-a`-direunecollectiond’objetsappele´sles“e´le´ments”,oules“points”,deE.L’ap- partenanced’unpointxa` l’ensembleE estnoteéx∈E,etx∈/E signifiequelepointxn’appartientpasa` E. UnepartiedeE estaussiunensemble,appele´ sous-ensembledeE :onećritF ⊂E (onditaussiqueF est“inclus” dansE)lorsqueF estunsous-ensembledeE. Rappelonslesope´rationse´le´mentairessurlespartiesd’unensemble: Intersection:A∩Bestl’intersectiondesensemblesAetB,i.e.l’ensembledespointsappartenanta` lafoisa` Aeta` B. Reúnion:A∪BestlareúniondesensemblesAetB,i.e.l’ensembledespointsappartenantaàumoinsl’undecesdeux ensembles. Comple´mentaire:SiA ⊂ E,soncomple´mentaire(dansE)estl’ensembledespointsdeE n’appartenantpasa` A;on lenoteAc,ouparfoisE\A. Diffe´rencesyme´trique:A∆B estl’ensembledespointsappartenanta` l’undesdeuxensemblesAouB,maispasaux deux;onadoncA∆B =(A\(A∩B))∪(B\(A∩B)). Ensemblevide:C’estl’ensemblenecontenantaucunpoint;onlenote∅. Ensemblesdisjoints:LesensemblesAetBsontditsdisjointssiA∩B =∅. Lareúnionetl’intersectionsontdesope´rationscommutativesetassociatives:onaA∪B =B∪AetA∩B =B∩A, etaussiA∪(B∪C)=(A∪B)∪C etA∩(B∩C)=(A∩B)∩C,ensemblesqu’onnotenaturellementA∪B∪C et A∩B∩C.Plusgeńe´ralementsionaunefamille(A ) d’ensembles,indexeéparunensemblequelconqueI,onnote i i∈I ∪ A (resp.∩ A )lareúnion(resp.l’intersection)decettefamille,i.e.l’ensembledespointsappartenantaàumoins i∈I i i∈I i l’undesA (resp.appartenanta` touslesA ):l’ordred’indexationdesA n’apasd’importance. i i i Lesensemblessuivantsserontutilise´ssanscesse: IN =ensembledesentiersnaturels:0,1,2,... IN∗=ensembledesentiersnaturelsnonnuls:1,2,... ZZ =ensembledesentiersrelatifs:...,−2,−1,0,1,2,... QQ=ensembledesrationnels IR=ensembledesreéls=]−∞,∞[ IRd=espaceeuclidienreéldedimensiond(doncIR1 =IR) I¯R¯ = [−∞,∞] IR = [0,∞[ + I¯R¯ = [0,∞] + CC =ensembledesnombrescomplexes. L’ensembledespointsa indexe´sparunensembleI estnote´ {a :i∈I}.Sionaunnombrefinidepointsa ,...,a ,on i i 1 n ećritaussi{a ,a ,...,a }. 1 2 n Onseraamene´tre`ssouventa`fairedesope´rationsfaisantintervenir+∞(qu’onećritsouvent,demanie`replussimple, ∞)ou−∞.Pourquecesope´rationsaientunsensprećis,onferatoujourslesconventionssuivantes: +∞+∞=+∞, −∞−∞=−∞, a+∞=+∞, a−∞=−∞ sia∈IR, (1) 3 www.Les-Mathematiques.net 0×∞=0, a∈]0,∞] ⇒ a×∞=+∞, a∈[−∞,0[ ⇒ a×∞=−∞. (2) Les ensembles deńombrables :onditqu’unensembleE estdeńombrables’ilestenbijectionavecIN,c’est-a`- diresionpeuteńume´rersespointsenunesuite(x ) (cequiimpliquenotammentquex 6=x sin6=m):c’estle n n∈IN n m casdeIN lui-meˆme,oudeIN∗,deZZ,deQQ,ouencoredesentierspairs,oudetoutesuitestrictementcroissanted’entiers. Cen’estpaslecasnideIR,nidesintervalles[a,b]lorsquea0telqu’onaitl’inclusion]x−ε,x+ε[⊂A.Lecomple´mentaired’unouvertestce qu’onappelleunferme´,ouunepartiefermeé. 8 www.Les-Mathematiques.net Les intervalles ouverts (resp. ferme´s) sont des ouverts (resp. des ferme´s); l’ensemble vide et IR lui-meˆme sont des ouverts, et donc aussi des ferme´s, mais il n’existe pas d’autre partie de IR qui soit a` la fois ouverte et fermeé; les intervallessemi-ouverts[a,b[et]a,b]nesontniouvertsniferme´slorsquea,b∈IRetaN ⇒x ∈A);parailleurs,elles’e´tenda` desespacesplusabstraitsqueIR.Onaalorslere´sultatsuivant: n Proposition8 a) Tout ouvert non vide A de IR est reúnion deńombrable d’intervalles ouverts, et aussi reúniondeńombrabled’intervallesferme´s. b)Latribubore´lienneRestlatribuengendreéparlaclassedesouverts,etaussilatribuengendreéparla classedesferme´s. Preuve. a)SoitAunouvertnonvide.SoitA(resp.B)lafamilledesintervalles]a,b[(resp.[a,b])quisontcontenusdans Aetquisontd’extre´mite´saetbdansl’ensembledesrationnelsQQ.L’ensembledecesintervallesestdeńombrable.Sipar ailleursx∈Ailexisteε>0avec]x−ε,x+ε[⊂A,doncilexistedeuxrationnelsa,bavecx−ε 0telquetouslespointsy situe´sa` unedistanceinfe´rieurea` εdexsontdansA (ladistanceesticiladistanceeuclidienneusuelle).La` encore,unesuite(x ) convergeversunelimitexdansIRd si n n≥1 etseulementsipourtoutouvertAcontenantx,onax ∈Apourtoutnassezgrand. n Proposition11 LatribuRd estlatribuengendreéparlesouvertsdeIRd,etaussicelleengendreéparles boulesouvertesdeIRd(onappellebouleouvertedecentrexetderayona>0l’ensembledesy ∈IRdqui sonta` unedistancestrictementinfe´rieurea` adex). Preuve. SoitAetBlestribusengendreésparlesouverts,etparlesboulesouvertes,respectivement.Toutebouleouverte e´tantunouvert,onaB ⊂A. Exactement comme dans la proposition 8, un ouvert A est la reúnion (deńombrable) de toutes les boules ouvertes contenuesdansA,dontlerayonaestrationneletdontlecentrexadescoordonneésquisontrationnelles:celaimplique queA⊂B,doncB =A. Parailleursonvoitqu’unrectangleouvertestunouvert(ve´rificationimme´diate),desortequeRd ⊂ B.Enfin,ilest faciledeve´rifierqu’unebouleouverteBestlareúnion(deńombrable)detouslesrectanglesouvertsQd ]a ,b [quisont i=1 i i contenusdansBettelsquelesa etb sontdesrationnels:celaimpliquequeB ⊂Rd,doncfinalementB =Rd. (cid:3) i i 1.4 Les mesures Nousallonsmaintenantdonnerunsensmathe´matiqueprećisa`lanotiondemesure.Danstoutceparagraphe,l’espace debaseE estfixeétmunid’unetribuE e´galementfixeé(onditparfoisquelecouple(E,E)estunespacemesurable,ce quiexprimebienqu’onalesingre´dientsnećessairea` laconstructiondesmesures). De´finition12 Unemesuresur(E,E)estuneapplicationµdeE dansI¯R¯ =[0,∞],ve´rifiant“l’axiomede + σ-additivite´”suivant: P (SA) σ-additivite´ : µ(∪ A ) = µ(A ) pour toute suite (A ) d’e´le´ments de E qui n∈IN∗ n n∈IN∗ n n n≥1 sontdeux-a`-deuxdisjoints(i.e.A ∩A =∅sin6=m), n m ainsiquel’axiomesuivant: (O) µ(∅)=0. Lamesureµestditefinie,oudemassetotalefinie,siµ(E)<∞. (cid:3) Une mesure est donc une application sur la tribu E; mais par abus de langage la quantite´ µ(A) pour un A ∈ E s’appellela“mesuredel’ensembleA”(ouparfois:la“valeurdeµsurA”) Dansl’axiomedeσ-additivite´(SA),lareúnion∪ A nede´pendpasdel’ordreparlequelonnume´rotelesA ;graˆce n n n P a` laproprie´te´ (S6),lasomme µ(A )nede´pendpasnonplusdel’ordredesommation! n n Onverraplusloinquelesproprie´te´s(SA)et(O)impliquentlaproprie´te´d’additivite´(A),cequin’estpascomple`tement e´videnta-priori.UneapplicationdeE dansI¯R¯ quive´rifieseulement(A)s’appelleunemesureadditive,bienquecene + soit pas nećessairement une mesure! Intuitivement parlant, la notion de mesure additive est plus naturelle que celle de mesure, que ce soit pour les mesures “de volume”, “de masse”, etc... e´voqueés plus haut, ou dans le cadre de la theóriedesprobabilite´s.Maiselleaunde´fautre´dhibitoire:laclassedesmesuresadditivesaunestructuremathe´matique extreˆmement pauvre, ne permettant en particulier pas de de´finir une notion satisfaisante d’inte´grale par rapport a` ces mesuresadditives.Onestdoncconduita` utiliserlesmesuresausensdelade´finition12;etc’estlaformedel’axiome deσ-additivite´ (SA)quinousobligea` conside´rercommeclassed’ensembles“mesurables”unetribuaulieudelanotion plussimpled’alge`bre. Le fait que µ(A) ≥ 0 pour tout A est une restriction propre a` ce cours : il conviendrait d’appeler la notion de´finie ci-dessusunemesurepositive,maispourdesraisonsdesimplicite´ nousneleferonspasengeńe´ral. Lefaitqueµ(A)puisseeˆtreinfinipourcertainsAestindispensablepourlesapplications.ParexemplesiE = IRet siµrepre´sentelamesuredelongueur,µ(IR)(quiestla“longueurtotale”deIR)vaut+∞. Exemples: 10

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