INTRODUZIONE ALLA FISICA DEL PLASMA Appunti dal corso di Fisica del plasma Claudio Chiuderi March 4, 2010 1 1 Introduzione I plasmi possono a buon titolo essere considerati il quarto stato della materia: infatti essi posseggonocaratteristicheunicherispettoaglialtristatitradizionali,solido,liquidoegassoso. Cos`ı come le transizioni solido-liquido e liquido-gas si ottengono portando il sistema in esame a temperature sempre piu` elevate, anche la transizione gas-plasma si ottiene scaldando il sistema. A temperature sufficientemente alte, le molecole o gli atomi del gas si scindono nelle loro componenti primarie, cioè elettroni e ioni positivi, formando una gas ionizzato. Nel gas sono quindi presenti cariche elettriche libere di muoversi e di generare densita` di carica e di corrente, che a loro volta generano campi elettrici e magnetici. Un gas ionizzato è un esempio di plasma ed è anche il tipo di plasma piu` frequente in natura. Si calcola che oltre il 95 % della materia nell’Universo si trovi nello stato di plasma. Da questo punto di vista, l’ambiente terrestre rappresenta un’eccezione. La definizione di plasma richiede alcune precisazioni che saranno esaminate tra poco. Una prima definizione abbastanza generale è la seguente: Si dice plasma un sistema la cui dinamica è dominata dalle forze elettromagnetiche: il plasma è l’insieme delle particelle cariche e dei campi da esse generate. E’ importante sottolineare quest’ultimo aspetto: anche se talvolta puo` essere conveniente separare le particelle cariche dai campi, solo il loro insieme rappresenta il plasma nella sua totalita`. Questa affermazione risulta piu` chiara se la si inquadra in uno schema quantistico. In meccanica quantistica anche i campi possono essere rappresentati da particelle e cio` permette di descrivere un plasma come in insieme di particelle discrete, che comprende appunto sia le particelle ”vere” (elettroni, ioni, atomi), sia le particelle che rappresentano il campo elettromagnetico (fotoni) o le eccitazioni del sistema (plasmoni, fononi...). Lo schema quantistico permette di comprendere meglio la natura delle interazioni tra le varie componenti del plasma: da questo punto di vista l’interazione onda-onda, cioè, ad esempio, plasmone- plasmone, nondifferiscesostanzialmentedallescatteringelettrone-ioneoelettrone-plasmone. Queste considerazioni contribuiranno a rendere piu` trasparente il concetto di smorzamento non collisionale, che verrà discusso in seguito. In questo testo tuttavia faremo esclusivamente uso di una descrizione classica. In base alla nostra definizione, anche gli elettroni di conduzione in un metallo formano un plasma. Infatti gli ioni del reticolo cristallino formano semplicemente uno ”sfondo” immobile e la dinamica del ”gas” elettronicoè governata per intero dalle interazioni elettromagnetiche. Inquestocorsotuttaviaconsidereremoquasiesclusivamenteplasmicostituitidagasionizzati. A questo punto viene naturale chiedersi quale debba essere il grado di ionizzazione di un gas per poterlo considerare un plasma. Una risposta a questa domanda può venire dal cal- colo elementare della conducibilità elettrica di un gas parzialmente ionizzato. Consideriamo quindi un plasma composto di elettroni, ioni positivi e atomi neutri. Supponendo che ioni e atomi siano immobili, l’equazione di moto degli elettroni (carica −e e massa m ) in presenza e 2 di un campo elettrico costante, E, si scrive: dv m = −eE−m ν v e e c dt cioè dv e +ν v = − E. c dt m e ν rappresenta l’effetto frenante dovuto alle collisioni degli elettroni con le altre particelle. c La soluzione stazionaria della precedente equazione è: e v = − E. m ν e c Definendo la densità di corrente come J = −en v, e ricordando la relazione che definisce la e conducibilita` elettrica, σ, cioè J = σE, otteniamo : e2n e σ = , (1.1) m ν e c dove n è la densita` numerica degli elettroni. Resta da valutare ν . Le collisioni che ci e c interessano sono quelle tra gli elettroni e gli ioni e quelle tra gli elettroni e gli atomi: ν = νi +νa. c c c D’altra parte, v¯ ν = = nσ v¯ = αn; α = σ v¯, c c c λ dove v¯ è la velocita` media degli elettroni (tipicamente la velocità termica), λ il cammino libero medio, σ la sezione d’urto per il processo considerato e n la densità numerica dei c centri di scattering. Potremo dunque scrivere: αan ν = αin +αan = αin (1+ a). c i a i αi n i Introducendo il grado di ionizzazione,χ, n 1 i χ = = , n +n 1+ na i a ni si ottiene: αa1−χ ν = αin (1+ ), c i αi χ e finalmente, tenendo conto che n = Zn , dove Ze è la carica degli ioni, e i Ze2 1 σ max σ = = , m αi1+ αa1−χ 1+ αa1−χ e αi χ αi χ 3 dove σ è il valore massimo che assume la conducibilita` in corrispondenza alla completa max ionizzazione, χ = 1. Per stimare l’effetto del grado di ionizzazione sulla conducibilita` possiamo calcolare il valore χ per cui σ = σ /2. Ricaviamo cos`ı: 0 max αa1−χ 0 = 1. αi χ 0 Poichè αa σ (a) c = , αi σ (i) c e poichè la sezione d’urto per lo scattering elettrone-atomo neutro è molto minore di quella per lo scattering elettrone-ione (sperimentalmente si trova che questo rapporto vale circa 10−2) se ne deduce che è sufficiente un grado di ionizzazione dell’ordine dell’ 1% per avere una conducibilita` pari alla metà di quella di un gas completamente ionizzato. Con un grado di ionizzazione dell’8% la conducibilita` è pari a 0.9σ . max 1.1 L’equazione di Saha Il grado di ionizzazione dipende dai parametri fisici che caratterizzano lo stato di equilibrio termodinamico di un plasma. Per determinare χ consideriamo un insieme di particelle di energia E alla temperatura T. La loro densità numerica, n , è data dalla formula di m m Boltzmann: n = g exp(−E /kT), m m m dove g è il fattore di degenerazione, cioè il numero di stati che corrisponde all’energia E e m m k è la costante di Boltzmann. Quindi il rapporto R delle densita` degli stati corrispondenti lm rispettivamente alle energie E e E è : l m n g l l R = = exp[−(E −E )/kT]. lm l m n g m m Se identifichiamo lo stato l come quello di una coppia elettrone-ione e lo stato m come lo stato fondamentale dell’atomo neutro , avremo n g i i = exp[−I/kT], n g 0 0 dove I è l’energia di ionizzazione. L’espressione per i fattori di degenerazione, g, ci è fornita dalla meccanica quantistica, che, con buona approssimazione, dà: g (cid:18)m kT(cid:19)3/2 1 T3/2 i (cid:39) e (cid:39) 2.4×1015 , g 2π(cid:126)2 n n 0 i i Utilizzando la precedente espressione si ottiene la equazione di Saha T3/2 n /n (cid:39) 2.4×1015 exp(−I/kT). (1.2) i 0 n i 4 Χ 1 0.8 0.6 0.4 0.2 T 7000 8000 9000 10000 11000 12000 Figure 1: χ in funzione di T per n = 1013cm−3 tot Nel caso dell’idrogeno ricordando che l’energia di ionizzazione è 13.6eV, si ha T3/2 n /n (cid:39) 2.4×1015 exp(−1.58×103/T) i 0 n i . Infine, introducendo il grado di ionizzazione: n n i i χ = = n +n n 0 i tot e usando l’equazione di Saha, si ottiene: 1−χ (cid:39) 4.14×10−16n T−3/2exp(1.58×103/T). χ2 tot Nelle formule precedenti ed in tutto il testo i valori numerici si intendono riferiti al sistema cgs misto, cioè un sistema in cui tutte le quantità elettromagnetiche si misurano in unità del sistema cgs elettromagnetico, tranne la carica elettrica che è misurata nel sistema cgs elettrostatico. Questo porta all’apparizione di fattori c nelle formule, ma questo inconveniente è compensato dal fatto che nel sistema misto vi sono tre sole grandezze fondamentali, lunghezze (cm), masse (g) e tempi (s), cio` che semplifica considerevolmente le verifiche dimensionali. Le temperature vengono misurate in gradi Kelvin (K). Un grafico del grado di ionizzazione dell’idrogeno in funzione della temperatura per una densita` n = 1013cm−3 è riportato in Fig. 1.1. Come si vede, la ionizzazione è pressochè tot totale anche per temperature notevolmente inferiori a T (cid:39) I/k (cid:39) 1.58×105K. 5 1.2 La lunghezza di Debye La presenza di un grado di ionizzazione piu` o meno elevato non è una condizione sufficiente per considerare il gas un vero e proprio plasma. Bisogna infatti completare la nostra definizione tenendo presente una caratteristica fondamentale dei plasmi, la condizione di quasi-neutralità. Una carica in un plasma è, in linea di principio, in grado di interagire con tutte le altre attraverso le interazioni coulombiane, che sono interazioni a grande raggio d’azione. Il potenziale di una carica nel vuoto decresce infatti ”lentamente”, cioè come 1/r. Tuttavia le cariche sono libere di muoversi e questo fa s`ı che nell’intorno di una carica positiva vi sia una rarefazione di cariche positive ed un addensamento di cariche negative, per cui la carica positiva risulta circondata da una regione a carica prevalentemente negativa. Di conseguenza a una certa distanza la carica risulta schermata e di fatto il potenziale è nullo o quasi. Se indichiamo con r il valore della distanza alla quale l’azione di schermo s diviene importante, ne consegue che volumi di dimensioni lineari maggiori di r saranno s elettricamente neutri. Detta Q(r) la carica contenuta nella sfera di raggio r, la condizione di quasi-neutralita` puo` essere espressa da Q(r ) (cid:39) 0. s Cerchiamo ora di determinare l’ordine di grandezza di r . Supponiamo di introdurre in s plasma di idrogeno una carica aggiuntiva e > 0 nel punto r = 0. Questa generera` un campo 0 elettrico dato da: ∇·E = −∇2Φ = 4πq = 4πe(n −n )+4πe δ(r), i e 0 dove e è la carica del protone e si è introdotto il potenziale elettrostatico Φ, legato al campo elettrico da : E = −∇Φ In condizioni di equilibrio a temperatura T la densita` degli elettroni sarà data dalla distribuzione di Boltzmann: n = n exp[−(−eΦ)/kT] (1.3) e 0 dove n è la densita` in assenza della carica aggiuntiva. Analogamente, i protoni saranno 0 distribuiti come n = n exp[−(eΦ/kT)] (1.4) i 0 L’equazione per Φ risulta quindi: ∇2Φ = 4πn e[exp(eΦ/kT)−exp(−eΦ/kT)] −4πe δ(r) 0 0 = 8πn e sinh(eΦ/kT)−4πe δ(r) (1.5) 0 0 (cid:39) 8πn e(eΦ/kT)−4πe δ(r) 0 0 dove si è supposto eΦ/kT << 1 , approssimazione sulla cui validita` torneremo tra poco. Esplicitando la precedente equazione in coordinate polari sferiche: 1 ∂ ∂Φ (r2 ) = 8πn e(eΦ/kT)−4πe δ(r) r2∂r ∂r 0 0 (1.6) Φ = −4πe δ(r) λ2 0 6 dove si è posto (cid:114) kT λ = 8πn e2 0 . La precedente equazione puo` anche essere scritta nella forma: d2 rΦ (rΦ) = −4πe rδ(r) dr2 λ2 0 da cui, poichè l’ultimo termine è identicamente nullo: exp(−r/λ) Φ = e (1.7) 0 r dove siè imposta la condizione che nel vuoto, (n = 0,λ → ∞) il potenziale sia quello usuale. 0 In fisica del plasma si definisce la lunghezza di Debye , λ , come D (cid:114) kT √ λ = = 2λ (cid:39) 6.9T1/2n−1/2 (1.8) D 4πn e2 0 0 . In Fig. 1.2 è mostrato il confronto tra l’andamento del potenziale coulombiano (curva tratteggiata) e del potenziale schermato, Eq. (1.7). 7 Φ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) e0 ΛD(cid:4)0.07 100 80 60 40 20 r 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Figure 2: Confronto tra il potenziale coulombiano e il potenziale schermato Q 1 0.8 0.6 0.4 0.2 r (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Λ 1 2 3 4 5 D Figure 3: La carica contenuta all’interno della sfera di raggio r L’effetto di schermo appare evidente se si calcola la carica contenuta all’interno della sfera di raggio r, (cid:90) (cid:90) r (cid:90) r Q(r) = qdV = 4πqr2dr = (−∇2Φ)r2dr V 0 0 (cid:90) r Φ (cid:90) = − ( )r2dr+e δ(r)dV λ2 0 (1.9) 0 V e (cid:90) r 0 = − rexp(−r/λ)dr +e λ2 0 0 = e exp(−r/λ)(1+r/λ) 0 Come si vede dalla Fig. 1.3 la carica contenuta nella sfera di raggio r è praticamente nulla per valori di r pari a qualche unita` di λ. E’ importante sottolineare che l’uso della meccanica statistica, cioè delle funzioni di distribuzione di Boltzmann per descrivere la densita` delle particelle in regioni di dimensioni ¯ ¯ lineari dell’ordine della lunghezza di Debye, ha senso solo se d << λ , dove d è la distanza D media tra le particelle. Ricordando che d¯ (cid:39) n−1/3 , la precedente condizione può essere scritta nella forma: nλ3 >> 1 (1.10) D 8 che rappresenta l’espressione formale della condizione di quasi-neutralità. ¯ ¯ Se ora calcoliamo il rapporto eΦ/kT per r = d, tenendo conto che d << λ, otteniamo: e2 exp(−d¯/λ) e2 1 e2 (cid:18)d¯(cid:19)2 (eΦ/kT) = (cid:39) (cid:39) n1/3 (cid:39) << 1 d¯ kT d¯ kT d¯ kT λ e vediamo che l’approssimazione eΦ/kT << 1 usata precedentemente è pienamente giustifi- cata per un plasma. 1.3 Parametri caratterisitici dei plasmi La lunghezza di Debye introdotta nel paragrafo precedente costituisce un primo esempio di stima dei parametri caratteristici di un plasma. Possiamo ora cercare di individuarne alcuni altri. Come velocità caratteristica si considera abitualmente la velocità termica delle particelle, definita come: (cid:112) v = 3kT/m. T Un tempo caratteristico, τ , si ottiene dalla combinazione λ /v . Una frequenza caratteris- p D T tica, proporzionale all’inverso di τ , è la frequenza di plasma è definita da : p (cid:114) 4πe2n ω = (1.11) p m Nell’equazioneprecedentecompaionosialacaricachelamassadellaparticellaconsiderata e quindi bisognera` distinguere la frequenza di plasma degli elettroni, ω , da quella dei pe protoni, ω e cos`ı via. Nel caso degli elettroni si ha: pi ω (cid:39) 5.64×104n1/2. pe e La frequenza di plasma, da noi ottenuta da considerazioni puramente dimensionali, ha tuttavia un preciso significato fisico. Per vederlo, consideriamo il caso di un plasma in cui, in condizioni di equilibrio, sia n = n = n = cost.. Supponiamo ora di introdurre una piccola e i 0 perturbazione nella distribuzione degli elettroni, n = n +n(cid:48) con |n(cid:48)| << n . Supponiamo e 0 e e 0 inoltre che la distribuzione degli ioni non subisca variazioni, cioè che gli ioni costituiscano semplicemente uno sfondo immobile. L’equazione di moto per gli elettroni (in una dimen- sione) si puo` quindi scrivere: ∂v m = −eE (1.12) e ∂t con il campo elettrico dato dall’equazione: ∂E ∇·E = 4πq → = −4πen(cid:48) ∂x e 9 L’equazione di continuità , tenendo conto che n(cid:48) , v e E sono quantita` piccole del primo e ordine, si scrive: ∂n(cid:48) ∂v e +n = 0. 0 ∂t ∂x Derivando la (1.12) rispetto a x e utilizzando le due equazioni successive, si puo` ricavare un’equazione per v che risulta: ∂2v 4πe2n = − 0v = −ω2 v. ∂t2 m pe e Gli elettroni eseguono quindi un moto armonico con frequenza ω . Questo moto ordi- pe nato è la conseguenza della nascita di un campo elettrico dovuto alla violazione locale della neutralita` di carica. Un’altra frequenza importante è la frequenza di collisione. Una maniera approssimata di calcolarla è la seguente. Definiamo collisione (binaria) l’interazione che avviene tra due particelle quando la loro distanza scende al disotto di una lunghezza caratteritica, b, per esempio quella in cui l’energia elettrostatica sia pari all’energia cinetica del moto relativo. Si osservi che questa condizione non è in contrasto con quella precedentemente utilizzata che imponeva che l’energia elettrostatica fosse molto minore dell’energia termica quando le ¯ particelle si trovano ad una distanza pari alla distanza media d. Ciò significa semplicemente ¯ che b << d. Se le particelle in questione hanno cariche Z e e Z e e masse m e m , avremo: 1 2 1 2 Z Z e2 3 1 2 (cid:39) kT, b 2 La sezione d’urto per collisioni sara` quindi: 4πZ2Z2e4 σ = πb2 = 1 2 , c (3kT)2 e la frequenza di collisione: 4πZ2Z2e4n ν = nσ v = 1 2 . (1.13) c c T m1/2(3kT)3/2 Le precedenti formule approssimate hanno la corretta dipendenza dai parametri delle particelle che collidono: una trattazione esatta deve però tener conto che in realta` in un plasma le collisioni non vanno pensate come un singolo evento che coinvolge due sole particelle, poichè, all’interno della sfera di Debye, ogni particella interagisce con tutte le altre. Le modifiche alla precedente espressione consistono nell’introduzione di fattori numerici e, soprattutto, in quella di un termine moltiplicativo, il cosiddetto logaritmo coulombiano, lnΛ. La formula corretta per la frequenze di collisione per una coppia elettrone-elettrone è: 4πe4n e ν = 1.43 lnΛ ee m1/2(3kT)3/2 ee (1.14) e (cid:39) 3.75n T−3/2lnΛ . e ee 10

introduzione alla fisica del plasma

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