26mai 2011. Nouvelle introduction: 6janvier 2012. Deux extensions de Théorèmes de Hamburger (portant sur l’équation fonctionnelle de la fonction zêta) Jean-FrançoisBurnol12 UniversitéLille1,UFRdeMathématiques,CitéScientifiqueM2,F-59655Villeneuved’Ascq,France 2 1 0 2 Résumé n Nous proposons deux types d’extensions aux théorèmes de Hamburger sur les séries de a Dirichlet avecéquationfonctionnelle commecelledelafonction zêtadeRiemann,sous J deshypothèses plusfaibles. Cecireposesurledictionnaire entrelesfonctions méro(cid:127) 7 morphesmodéréesaveccetteéquationfonctionnelleetlesdistributionstempéréesavec la condition desupport S-étendue. ] T N Two extensions of Hamburger’s theorems . (on the functional equation of the zeta function) h t a Abstract m WeproposetwotypesofextensionstoHamburger’stheoremsontheDirichletserieswith [ functionalequationliketheoneoftheRiemannzetafunction,underweakerhypotheses. This builds upon the dictionary between the moderate meromorphic functions with func(cid:127) 2 tional equation and thetempered distributions with extended S-support condition. v 9 Keywords:RiemannZetafunction,Dirichletseries,HamburgerTheorem,functionalequa(cid:127) 4 tions, co-Poisson formula, Poisson formula. 7 MSC2000:11M06, 11F66. 4 . 6 0 1 1 Introduction et présentation des résultats 1 : v Le Théorèmede Hamburger[7] dità peuprès quedeuxfonctionsf(s)et g(s), Xi méromorphes dans le plan complexe, qui admettent chacune pour Re(s) ≫ 1 une représentationsousformedesériedeDirichlet ∞ a n(cid:21)s,etsontreliéespar r n=1 n a l’équationfonctionnelle P π(cid:21)2sΓ(s)g(s)=π(cid:21)12(cid:21)sΓ(1(cid:21)s)f(1(cid:21)s), 2 2 sont alors nécessairementégales à un multiple de la fonction zêta de Riemann ζ(s). Ce résultat fameux illustre une certaine rigidité de l’équation fonc(cid:127) tionnelledelafonctionzêta.Notrebuticiest,enutilisantquelquesnotions 1. burnol@math.univ-lille1.fr 2. L’auteurremercieleC.R.M.deBarcelonepourl’hospitalitédesonaccueilenmai2011,lors d’unséjourpendantlequelcetravailaétéconçuetrédigé. 2 DeuxextensionsdeThéorèmesdeHamburger communes de la théorie des distributions,de le reprouver sous des hypothèses nettementplus faiblesque cellesd’origine.En particuliernous n’auronspas besoin de demander à g d’admettre une représentation en série de Dirichlet, mais seulement de tendre rapidement vers une limite lorsque Re(s) → ∞. Et lorsque l’on supposera seulement g bornée dans un demi-plan alors f sera né(cid:127) cessairementune combinaisonlinéairefinie de ζ(s), ζ(s+2), ζ(s+4), ... . L’article se veut accessible à tout lecteur disposant du bagage usuel de base de la théoriedes distributions: il faut y ajouter quelquesélémentsqui ont été développés dans le chapitre IV de [3], chapitre qui peut être lu avec les mêmes pré-requis : il y est construit une notion de «fonction méromorphe modérée avec équation fonctionnelle» dont nous rappellerons les principaux éléments. Il est plus commode pour cet article de mettre l’équation fonctionnellede la fonction zêta sous la forme ζ(s)=χ(s)ζ(1(cid:21)s) avec χ(s)= π(cid:21)12(cid:21)sΓ(1(cid:21)2s) π(cid:21)2sΓ(s2) La fonction méromorphe χ(s) est à croissance au plus polynomiale dans toute bande verticalede largeurfinie.Voici tout d’abordl’énoncéorigineldémon(cid:127) tré par Hamburger: Théorème (Hamburger, [7]). Soitf unefonctionméromorphedansleplancom(cid:127) plexetoutentier,etd’ordrefini(festO(e|s|k)avecuncertainentierkpour |s|→∞,enparticuliernepossèdeauplusqu’unnombrefinidepôles).Sif(s) estreprésentéepourRe(s)>1parunesériedeDirichlet ∞ a n(cid:21)s absolument n=1 n convergente,etsilafonctionméromorphe P g(s)=χ(s)f(1(cid:21)s) admetelleaussi,pourRe(s)≫1,unereprésentationsouslaformed’unesérie deDirichletconvergente ∞ b n(cid:21)s,alorsfestunmultipledelafonctionzêta. n=1 n Enparticuliersif(s)estreprésentéepourRe(s)>1parunesériedeDirichlet P absolumentconvergente ∞ a n(cid:21)s etvérifiel’équationfonctionnelle n=1 n P π(cid:21)2sΓ(s)f(s)=π(cid:21)12(cid:21)sΓ(1(cid:21)s)f(1(cid:21)s), 2 2 alorselleestunmultipledelafonctionzêtadeRiemann. Énonçonsmaintenantnotre résultat principal: Théorème 1. Soitf(s)= ∞ an unesériedeDirichletquiconvergepourRe(s) n=1 ns suffisammentgrand.OnsPupposeque: (1) elleadmetunprolongementméromorpheauplancomplexetoutentier,avec unnombrefinidepôles, (2) danstoutebandeverticaledelargeurfinieetpourtoutǫ > 0 onaf(s) = O(eexpǫ|s|) lorsque|Im(s)|→∞, surl’équationfonctionnelledelafonctionζdeRiemann 3 (3) lafonctionméromorpheg(s)=χ(s)f(1(cid:21)s)vérifie 1 ∃N∈N,∃y> , g(s)=O(|s|Ny(cid:21)s) pourRe(s)→+∞. 2 Alorsf(s)estunesommefinie: f(s)= c ζ(s(cid:21)2k) k Xk∈Z Nous voyons que le Théorème 1 fait des hypothèses analytiques nettement plus faibles en ce qui concerne le comportement analytique de f(s) et celui deχ(s)f(1(cid:21)s).Laconclusionn’estplus,dansl’immédiat,quef estzêta,mais il suffit d’être un peu plus exigeantenvers la fonction g : Corollaire1. AveclesnotationsduThéorème1,si(1),(2),etsi (3′) lafonctionméromorpheg(s) = χ(s)f(1(cid:21)s) estbornéepourRe(s) ≫ 1 ou mêmevérifieseulement 1 ∃y> g(s) = O(y(cid:21)s), 2 Re(s)→+∞ alorsf estunecombinaisonlinéairefiniedeζ(s),ζ(s+2),ζ(s+4)... Corollaire2. Si(1),(2),(3),et (4) ilexistec telquepoursigmaréeltendantvers+∞ onag(σ) = c+O(σ(cid:21)k) pourtoutk∈N, alorsf(s)=cζ(s). Un deuxièmethéorème de Hamburgerenglobeson premier. Il demande toujours que f(s) soit une série de Dirichlet au sens strict, mais autorise g(s) à être +un∞e.sériede Dirichletgénérale,c’est-à-direde la forme P∞n=1 bλsnn avec0<λn → Théorème(Hamburger,[8]). Soitfunefonctionméromorphedansleplancomplexe toutentier,d’ordrefini,etégalepourRe(s) > 1 àlasommed’unesériede Dirichletabsolumentconvergente.Silafonction g(s)=χ(s)f(1(cid:21)s) admetpour Re(s) suffisammentgrandunereprésentationsous la formed’une sériedeDirichletgénérale3 ∞ b g(s)= n, Re(s)≫0,0 1,avecb = b etdeplus,pour1 6 j < k ona n+k n n+k n lessymétriesb = b ,y +y = 1.Ainsi,sitouslesy sont> 1,c’estque j k(cid:21)j j k(cid:21)j n k=1etquef estunmultipledelafonctionzêta.Engénéralona ∞ 16j6kbjcos(2πyjn) f(s)= , 00lorsque|Im(s)|→∞, (3) lafonctionméromorpheg(s) = χ(s)f(1(cid:21)s) estaussi,pourRe(s) ≫ 0 la sommed’unesériedeDirichletgénérale ∞ bn. n=1 ys n AlorslesassertionssuivantessontéquivalePntes: (i) l’ensemble{x |a , 0} estcontenudansunnombrefinideprogressions n n arithmétiquesderaison1, (ii) l’ensemble{y |b , 0} estcontenudansunnombrefinideprogressions n n arithmétiquesderaison1, (iii) ilexisteunnombrefinidecouplesréels(d,e) telsquelasérief(s) soitdelaforme: exp(2πiex) exp((cid:21)2πiex) f(s)= c(d,e) + xs xs ! X x≡dXmod1 x≡(cid:21)Xdmod1 x>0 x>0 Sil’onconnaîtapriorilenombreNdesuitesarithmétiquesnécessairespour f alors on n’a plus besoin de supposer que g soit aussi une série de Dirichlet générale,il suffit d’en contrôlerle «début» : Théorème 3. Soit ∞ a n f(s)= xs Xn=1 n unesériedeDirichletgénérale(0 < x < ∞,x → ∞)quiconvergepourRe(s) n n suffisammentgrand.Onsupposeque: surl’équationfonctionnelledelafonctionζdeRiemann 5 (1) f admetunprolongementméromorpheauplancomplexetoutentier,avecun nombrefinidepôles, (2) danstoutebandeverticaledelargeurfinieona f(s) = O(eexpǫ|s|) pour toutǫ>0lorsque|Im(s)|→∞, (3) l’ensemble{±x |a ,0}⊂RestcontenudansunnombrefiniNdetranslatés n n deZ, (4) ilexisteY>N,ainsique(y ,b )∈]0,+∞[×C,16n6M,telsque n n g(s)≔χ(s)f(1(cid:21)s) = bny(cid:21)ns+O(Y(cid:21)s). Re(s)→+∞16Xn6M Alorsenfaitgestlasommed’unesériedeDirichletgénéraleetconformément authéorèmeprécédentilexisteunereprésentation: exp(2πiex) exp((cid:21)2πiex) f(s)= c(d,e) + xs xs ! X x≡dXmod1 x≡(cid:21)Xdmod1 x>0 x>0 Voiciquelquesréférences,parnécessitétrèsbrèves,àlalittérature.Les résultats de Hamburger [7, 8, 9] (qui incluent aussi des énoncés semblables avec des équations fonctionnelles formées avec π(cid:21)s+21Γ(s2+1)) sont bien connus et ont eu une postérité riche et assez variée. En particulier les travaux de Hecke [11] et de Weil [17], sur le lien important avec l’invariance modulaire surledemi-plandePoincaré,etdoncd’unemanièregénéraleaveclesfonctions automorphes,onteuuneforteinfluencemotivantl’établissementde«converse theorems»deplusenplussophistiquésdanslecadreduprogrammedeLanglands. Également et de manière liée, l’étude des axiomes de Selberg est intimement concernée par des théorèmes inverses comme celui de Hamburger : ainsi Kaczo(cid:127) rowski, Molteni et Perelli ont caractérisé les conducteurs pour lesquels les fonctionsdeDirichletL(s,χ)sontlesseulesavecleuréquationfonctionnelle dans une certaine classe [12]. Il s’agit là de questions d’une nature infini(cid:127) ment plus arithmétique que celles que nous examinerons ici-même, puisqu’il faut déterminer les caractères de Dirichlet partageant la même parité et la mêmesommedeGauss.Molteniaobtenudans[14,15]desrésultatsétendantceux de [12] à une classe plus large de conducteurs. Pour en revenir au contexte originel, Hamburger avait déjà insisté [10] sur la variété des écritures équivalentes de l’équation fonctionnelle comme formule sommatoire. On peut y voir comme une anticipation du point de vue des distributions,quidéplacelafocalisationdela«fonctiontest»verslaforme linéairesurcesfonctionstests(mêmesiondoitgarderprésentàl’espritque ce n’est là qu’une façon d’appréhender la réalité d’une distribution). Ceci est dit uniquement dans la perspective de l’équation fonctionnelle, car pour d’autres propriétés, on ne saurait préjuger de ce qui s’avérera plus ou moins utile.ParexemplechezHamburger[10]etSiegel[16]l’équationfonctionnelle devient un développement en éléments simples d’une certaine transformée de Laplace. Cette écriture fut généralisée par Bochner et Chandrasekharan[1]; et par Chandrasekahran et Mandelbrojt [5, 6]. On considère des séries de Dirichlet 6 DeuxextensionsdeThéorèmesdeHamburger anλ(cid:21)ns et bnµ(cid:21)ns reliées par des équations fonctionnelles d’un certain type Pet on posePla question : étant donnés les λn et les µn peut-on en fonction de leurspropriétésmajorerladimensiondel’espacedeschoixpossiblespourles a et b ? Kahane et Mandelbrojt ([13]) interprètent l’équation fonctionnelle n n comme une formule de transformée de Fourier pour des distributions « quasi(cid:127) périodiques». Ils prennent ensuite comme point de départ une telle paire de Fourier,etprouventdanscecontextedesénoncéssurlesupportetlespectre: pour certainsde leurs résultats,ils reviennentà des fonctionsanalytiques, via une transformée de Laplace-Carleman, pour d’autres ils mettent en plus à l’oeuvre des techniques de fonctions quasi-périodiques. Sous l’hypothèse d’une densité supérieure de répartition finie pour les µn, ils prouvent que les λn sont combinaisons linéaires à coefficientsentiers d’un nombre fini de nombres réels (ce qui généraliseun résultatde [5]). Ils ne s’attardentpas à considérer des supports limités d’emblée à un nombre fini de suites arithmé(cid:127) tiques,celaneseraitchezeuxqu’unexercicefacileetimmédiatunefoisdans le contexte des distributions, mais obtiennent des critères qui a posteriori donnent cette situation.4 Lorsque les λn sont a priori des entiers (ou placés surun nombrefinide translatésde Z)la difficultéestde fairelatraduction vers les distributions : car après il n’est même plus alors besoin d’outils avancés. Après tous les travaux cités, et d’autres encore certainement,il est donc devenudeplusenplus«bienconnu»quel’équationfonctionnelletraduitl’in(cid:127) variance de la distribution n∈Zδ(x(cid:21)n) sous la transformation de Fourier5. Mais c’est avec l’idée de co-Poisson [2] que nous obtenons une vision plus P complète de cette correspondance. C’est sur la base de l’idée de co-Poisson que le chapitre IV de [3] établit un dictionnaire (allant dans les deux sens) entre une certaine classe de fonctions méromorphes et une certaine classe de distributionstempérées. Desquestionsfines(commelerésultatdeKahane-Mandelbrojt)apparaissent lorsque l’on veut étudier en général des mesures ou des distributions à sup(cid:127) port discret D et dont la transformée de Fourier F(D) est encore à support discret6; l’objet du présent travail n’est aucunement une telle étude géné(cid:127) rale. Au contraire, nous bénéficierons (comme Hamburger) dès notre point de départ de la simplification énorme apportée par l’hypothèse que la distribu(cid:127) tion D = n>1an(δxn +δ(cid:21)xn) associée à la fonction analytique f est une mesure supportéePsur les entiers Z ou un nombre fini de ses translatés. Mais le dic(cid:127) tionnaire général de [3, Chap. IV] nous donne les moyens d’affaiblirconsidé(cid:127) rablement les hypothèsesfaites par Hamburger et d’en étendre ses énoncés, et c’est là tout l’objet de la présente rédaction. 4. Cheznous,lessuitesarithmétiquessontrestreintesàlaraison1. 5. La transformation de Fourier est définie ici avec le noyau exp(2πixy). Suivant que l’on étudiel’équationfonctionnelleforméeavecΓ(s)ouΓ(s+1)ilfaudraconsidérerdesfonctionset 2 2 distributionspairesouimpaires. 6. Cf.[4]pourunrésultatd’unicitédansRn,lorsquel’onadeuxmesuresdiscrètespositives dontl’uneestdelaforme kδxk. P surl’équationfonctionnelledelafonctionζdeRiemann 7 2 Preuves Le chapitre IV de [3] établit une correspondancegénérale via la transfor(cid:127) ∞ mationdeMellindroite« D(x)x(cid:21)sdx»entredesfonctionsf(s)avecunnombre 0 fini de pôles dans tout lRe plan complexe et une certaine condition de crois(cid:127) sance(pourtoutdemi-planRe(s)>σonal’existenced’unentierNetd’unréel A > 0 avec, loin des pôles, f(s)= O(|s|NARe(s)), condition qui doit aussi être imposée à χ(s)f(1(cid:21)s)), et, d’autre part, les distributions tempérées paires D(x), nulles dans un voisinage de l’origine et dont la transformée de Fourier E(x) est, non pas forcément nulle (cela serait le cas si f(s) et χ(s)f(1(cid:21)s) n’avaientpas de pôles),maisquasi-homogènedans un voisinagede l’origine. UnedistributionQ(x)estditequasi-homogènesilesQ(tx),t,0engendrent unespacevectorieldedimensionfinie.Parexemplelog|x|estquasi-homogène. Lesdistributionshomogènessontessentiellementles|x|w(cid:21)1(jenem’occuperai que de distributions paires), avec w ∈ C, à ceci près que pour w = 0, w = (cid:21)2, w=(cid:21)4,...ilfautenfaitprendreδ(x),δ′′(x),δ(4)(x),....Plusprécisément, soit : |x|w(cid:21)1 Q (x)= w π(cid:21)2wΓ(w2) Lorsque 0 < Re(w) cela définit directement une distribution homogène de x, et pour Re(w) 6 0 on peut prouver que Q se prolonge comme fonction analytique à w valeurs dans les distributions (tempérées). On notera que la restriction de la distribution Q à x , 0 est précisément la fonction donnée par la formule w ci-dessus, donc identiquementzéro si w est un pôle de la fonction Gamma.7 On 2 dispose de la formule utile F(Q ) = Q , et par exemple F(Q ) = Q = 1 ce qui w 1(cid:21)w 0 1 permet de voir Q0 =δ. Les homogènes sont des vecteurs propres de la dérivation d x, et on peut dx aussi définir les quasi-homogènes comme celles qui sont annulées par des po(cid:127) lynômes en cet opérateur.Pour plus de détails,voir [3, IV]. ∞ Rappelonsaussice que l’on entendpar D(x)x(cid:21)sdx, lorsqueD est une dis(cid:127) 0 tribution tempérée paire. Nous ne faisonsRcette définition que lorsque D res(cid:127) treinte à un intervalle ](cid:21)a,a[ est quasi-homogène.8 Il est important que les ∞ identitésd’Euler n∈Zqn =0 et 0 xs(cid:21)1dx=0 indiquentquelestransforméesde Mellin des distribPutions quasi-Rhomogènes sont identiquement nulles. On com(cid:127) mence donc par soustrairela partie quasi-homogènede D (qui pour x>0 est une 7. La fonction1/|x| n’est pas une distributionmais il y a une infinitéde distributionsqui se restreignent sur x , 0 à cette fonction; parmi celles-ci il y a la transformée de Fourier de (cid:21)2log|x|.Cesdistributionssonttoutesquasi-homogènes,maisaucunen’esthomogène,etlaseule (à un multiple près) distribution avec l’homogénéité de 1/|x| c’est le Dirac à l’origine. Par contre la fonction 1/x elle est une distribution homogène; elle est impaire, et c’est la valeur principaledeCauchy. 8. DanslavraievieonabiensûrbesoindecalculerdestransforméesdeMellinplusgénérales, par exemple ∞f(x)x(cid:21)sdx lorsque f ∈ L2(0,+∞;dx) mais alors ce Mellin n’est ni moins ni mieux 0 qu’une fonctRion de carré intégrable pour Re(s) = 1. Si l’on veut de l’analyticité, il se trouve 2 que la conditionde support considéréeest la plus simple ayant déjà une utilité.Le faitque la conditiondesupportpuissefairebonménageavecFourierestdéjàensoiunfaitremarquable. 8 DeuxextensionsdeThéorèmesdeHamburger fonction analytique combinaison linéaire d’expressions (logx)Nxw(cid:21)1, N ∈ N, w ∈ C\((cid:21)2N); on fait la soustractionde cette expression analytique sur tout l’intervalle]0,+∞[),doncon peutsupposerDnullesur]0,a[(ilpeutrester desDiracà l’origine,quel’onoublie).On peutalorsécrireD pourx>0comme la dérivée Ne d’une fonction continue C à croissance polynomiale, nulle sur ]0,a[, et on pose ([3, 4.11]) : ∞ D(s)=s(s+1)...(s+N(cid:21)1) C(x)x(cid:21)s(cid:21)Ndx, Re(s)≫0 Za b Toutes les formules raisonnablesmarchent avec cette définition. Par exemple ([3, 4.20])siD estde laforme nan(δ(x(cid:21)xn)+δ(x+xn)),01anx(cid:21)ns. P P b Venons-en à la démonstration du Théorème 1. Soit D la distribution paire n∈Zanδn avec a0 = 0 et a(cid:21)n = an. Comme la série de Dirichlet converge quelque pPart les an ont croissance polynomiale et D est une distribution tempérée. Et nous venons de préciser que la série de Dirichlet est aussi la transformée de Mellin, en notre sens, de D. Ensuite, par hypothèse χ(s)f(1(cid:21)s) est pour Re(s) = σ à croissance poly(cid:127) nomiale lorsque σ ≫ 0 donc f(s) = χ(s)χ(1(cid:21)s)f(s) est à croissance polyno(cid:127) miale sur toute droite Re(s) = (cid:21)σ avec σ ≫ 0. Si on va suffisamment loin à droite f(s) est bornée. Fixons donc deux telles droites verticales Re(s) = (cid:21)σ et Re(s) = +σ avec σ ≫ 0. Entre les deux on a l’hypothèse a priori (modulo un nombrefini de pôles)d’une croissanceen O(exp(eǫ|s|)). Soit P(s) un polynôme correspondantauxpôles,prenonsA≫0etMentiersuffisammentgrand;lepro(cid:127) duitP(s)f(s)/(s+A)MtendverszérosurchacunedesdeuxdroitesRe(s)=±σet estO(exp(eǫ|s|))entre,pourtoutǫ>0.ParPhragmén-LindelöfP(s)f(s)/(s+A)M est borné dans cette bande, et f y est à croissance polynomiale. Comme f est donnée par une série de Dirichlet elle est bornée pour Re(s)≫0, donc f est à croissancepolynomialedans tout demi-plandroit. La fonction f(s) est donc une fonction méromorphe modérée au sens de [3, Déf. 4.27]. Considérons la fonction g(s) = χ(s)f(1 (cid:21) s). Par ce qui a déjà été établi pour f elle est à croissance polynomiale dans toute bande verti(cid:127) cale de largeur finie. Et par hypothèse elle est O(|s|NY(cid:21)s), pour Re(s) > σ0, lorsque σ0 ≫ 0 est bien choisi, avec N entier et Y > 12. Les pôles de g(s)=πs(cid:21)21Γ(1(cid:21)2s)Γ(s2)(cid:21)1f(1(cid:21)s),misàpartceuxquiproviennentdef,nepeuvent être qu’en 1(cid:21)s = 0, (cid:21)2, (cid:21)4, ..., mais comme il n’y en a pas pour Re(s) ≫ 0, c’est donc que g n’a qu’un nombre fini de pôles dans tout le plan complexe. Soit Q(s) un polynôme correspondant à ces pôles, pour Re(s) > (cid:21)σ0 la fonction analytiqueYsQ(s)g(s)està croissancepolynomiale:carellel’estd’unepart pour |Re(s)| 6 σ0 et d’autre part pour Re(s) > σ0. Et cela est vrai pour tout σ0, donc g est aussi une fonctionmodéréeau sens de [3]. Par [3, Thm. 4.54] : ladistributionD dontf estlatransforméedeMellin aunetransformationdeFourierE dontlarestrictionauncertainintervalle ](cid:21)Y ,Y [estquasi-homogène;depluslatransforméedeMellindeladistribu(cid:127) 0 0 tiontempéréepaireE estégaleàg(s)=χ(s)f(1(cid:21)s). surl’équationfonctionnelledelafonctionζdeRiemann 9 On dispose d’une information complémentaire importante [3, Rem. 4.29] : notons Q la composante quasi-homogène de E, et soit E = E(cid:21)Q, donc cet E est 1 1 identiquement nulle dans un certain intervalle ](cid:21)Y ,Y [. Si on prend pour Y 0 0 0 le plus petit point positif du support de E alors : 1 1 (cid:21)logY0 =limsup log|g(σ)| σ→+∞ σ Nous avons dans notre cas Y > Y > 1. 0 2 Comme D est une mesure supportéesur Z elle vérifie l’équation exp(2πix)D(x)=D(x) Donc, et cela sera fondamentalévidemment: E(x+1)=E(x) et ainsi Q(x+1)(cid:21)Q(x)=E (x)(cid:21)E (x+1) 1 1 La restrictionde la partie quasi-homogèneQ à x ,0 est une certaine fonc(cid:127) tion q(x). Cette fonction est paire. Pour x > 0 elle est une expression finie de la forme q(x)= q (logx)nxw(cid:21)1, en particulierelle est analytiquesur n,w n,w C\](cid:21)∞,0] avec crPoissance polynomiale à l’infini. Regardons ǫ avec 0 < ǫ < 1, 2 12+ǫ6Y0.Sur 21(cid:21)ǫ0.Laconclusionestqueq(x)=P(|x|)avecPunpolynôme qui vérifie P(x)=P(1(cid:21)x). Considérons la fonction (continue) 1-périodique B(x) qui vaut P(x) pour 0 < x < 1. Nous avons B(x) = q(x) pour 0 < x < 1 puis, pour (cid:21)1 < x < 0 : B(x) = B(x+1) = q(x+1) = q(x). Les polynômes de Bernoulli d’indices pairs B =1, B =x2(cid:21)x+ 1, ...formentune basede l’espacevectorieldes polynômes 0 2 6 invariantspar x7→1(cid:21)x, et (à une constantemultiplicativeprès) la fonction 1-périodique B ({x}) (pour n > 1) est la transformée de Fourier de la dis(cid:127) 2n tribution k∈Z\{0}k(cid:21)2nδk. Ainsi, quitte à retirer de notre série de Dirichlet d’origineuPnecombinaisonlinéairefiniedeζ(s+2),ζ(s+4),...onpeutfaire en sorte que la fonction 1-périodique B(x) soit réduite à une constante. La transforméede Fourierde k,0δk est k,0δk+δ(cid:21)1, etquitteà retireren plus unmultipledeζ(s)(àlasePriedeDiriPchletoriginellementconsidérée)onpeut réduireB(x)àlafonctionnulle(auprixd’unDiracàl’origine).Nousn’avons fait que modifier notre distribution D en lui ajoutant une mesure supportée sur Z\{0} doncelle resteune mesuresupportéesur Z et sa transforméede Fou(cid:127) rier E reste 1-périodiqueet paire. Maintenant la restrictionde E à ]0,1 +ǫ[ 2 est identiquementnulle. Donc E restreinteà ](cid:21)1 (cid:21)ǫ,1 +ǫ[ est une combinaison 2 2 linéaire finie de δ, δ′′, .... Mais E est 1 périodique,donc en fait d E=P( ) δ (x) k dx Xk∈Z 10 DeuxextensionsdeThéorèmesdeHamburger avecunpolynômePpair.CequisignifiequeDquiestsatransforméedeFourier estdelaformeR(x) k∈Zδk(x)= k∈ZR(k)δk(x)avecRuncertainpolynômepair, quidoitenfaitêtrenulàl’originepuisquenotreDestnullesur](cid:21)1,1[.Ainsi P P notre f(s) du départ a été réduit à une combinaisonlinéairefinie de ζ(s(cid:21)2), ζ(s(cid:21)4), ... En conclusion, les hypothèses (1), (2), et (3) ont comme conséquence que la série de Dirichlet de départ est une combinaison linéaire finie f(s) = k∈Zckζ(s(cid:21)2k) et le Théorème1 est démontré. P Soit, pour k ∈ Z, fk(s) = ζ(s(cid:21)2k) et gk(s) = χ(s)fk(1(cid:21)s). Par la relation Γ(s+1)=sΓ(s) et l’équationfonctionnelleon a : s(s+1)···(s+2k(cid:21)1) g (s)= ζ(s+2k) (k>0) k ((cid:21)4π2)k ((cid:21)4π2)(cid:21)k g (s)= ζ(s+2k) (k<0) k (s+2k)(s+2k+1)···(s(cid:21)1) Donc, pour tout k donné, et tout σ ≫ 0 on a g (s) ≍ ((cid:21)4π2)(cid:21)ks2k pour Re(s) = σ, k |s| → ∞. Il en résulte qu’une combinaison linéaire ne pourra être bornée, sur une droitequelconqueprisesuffisammentà droite,que si elle ne comporte que des k 6 0. Ceci montre qu’en effet la condition (3′) du Corollaire est équivalenteà ce que f(s) soit une combinaisonlinéairedes ζ(s(cid:21)2k), k60. Et comme g (σ) ∼ ((cid:21)4π2)(cid:21)kσ2k pour σ → +∞, si on fait l’hypothèse 4 qu’une k combinaison linéaire se rapproche d’une limite c plus vite que tout polynôme inverseneserapprochedezéro,alorsenparticulierellerestebornéelorsque σtendvers+∞parvaleursréelles,nepeutcomporterquedestermesaveck60, et finalementque le seul terme avec k=0. Ainsi f=cζ. Nous débutons maintenant les preuves des Théorèmes 2 et 3. Soit D (x) = 0 p∈Zδ(x(cid:21)p) la distributionde Poisson,qui est sa propre transforméede Fou(cid:127) Prier (cf.l’Annexe). Considérons p∈Ze2πi(d+p)eδ(x(cid:21)d(cid:21)p) = e2πiexD0(x(cid:21)d). Sa transforméede Fourier est e2πidee2PπidxD0(x+e). Nous définironsdonc D (x)=e(cid:21)πidee2πiexD (x(cid:21)d) d,e 0 de sorte que F agit comme la rotationd’angle π dans le plan des (d,e) : 2 F(D )=D , d,e (cid:21)e,d Considérons les distributions paires : T (x) = 1D (x)+ 1D ((cid:21)x). Comme d,e 2 d,e 2 d,e D ((cid:21)x)=D (x),onaT = 1D +1D etsatransforméedeFourierest: d,e (cid:21)d,(cid:21)e d,e 2 d,e 2 (cid:21)d,(cid:21)e F(T )=T d,e (cid:21)e,d Compte tenu de T = e(cid:21)πieT , T = eπidT et de T = T , on peut d+1,e d,e d,e+1 d,e (cid:21)d,(cid:21)e d,e toujours se ramener à 0 < d 6 1, 0 < e 6 1, 0 < d+e 6 1, et, pour d+e = 1, par exemple 1 6d61. 2 La transforméede Mellinf(s)de la distributionpaireT est donnéepar : d,e 1 e2πiex 1 e(cid:21)2πiex f(s)= e(cid:21)πide + e(cid:21)πide 2 xs 2 xs x≡dmXod1,x>0 x≡(cid:21)dmXod1,x>0

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