Algebra Petr KovÆř 2020 Petr KovÆř Algebra ⃝c Petr KovÆř, 2020 (cid:218)vodem Text, kter(cid:253) prÆvě čtete, vznikÆ jako př(cid:237)prava přednÆ„ek a cvičen(cid:237). Současně obsahuje řadu poznÆmek a postřehů souvisej(cid:237)c(cid:237)ch s předmětem Algebra pro bakalÆřskØ či magisterskØ studium na technickØ vysokØ „kole. Při v(cid:253)běru tØmat a př(cid:237)pravě textu jsem vychÆzel z osnov předmětu, z knihy Contemporary Abstract Algebra Josepha Galliana [G], z knihy A Book of Abstract Algebra Charlese Pintera [P], a celØ řady dal„(cid:237)ch zdrojů. Pokud mÆte pocit, (cid:190)e v textu je nějakÆ nesrovnalost, dejte mi vědět. Je velmi pravděpodobnØ, (cid:190)e se jednÆ o chybu nebo překlep. Budu rÆd, kdy(cid:190) mne upozorn(cid:237)te i na mØně srozumitelnØ pasÆ(cid:190)e, abych je v dal„(cid:237)ch verz(cid:237)ch textu mohl vylep„it. PoděkovÆn(cid:237) Děkuji Matějovi Krbečkovi za pečlivØ přečten(cid:237) jednØ z verz(cid:237) tohoto textu. Odhalil mnoho chyb a překlepů, jeho připom(cid:237)nky přispěly ke srozumitelnosti celØho textu. Největ„(cid:237) d(cid:237)k patř(cid:237) Pavlu Jahodovi, jeho(cid:190) při- pom(cid:237)nky pomohly k zpřesněn(cid:237) několika čÆst(cid:237) textu a od kterØho jsem převzal mnoho ře„en(cid:253)ch př(cid:237)kladů i cvičen(cid:237). V Krmel(cid:237)ně 19. března 2020. i Petr KovÆř, TeoretickÆ algebra 22. května 2020 ii Petr KovÆř, Obsah 22. května 2020 Obsah (cid:218)vodem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Přehled pojmů a označen(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.1. Dělitelnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2. Mno(cid:190)iny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.3. Relace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.4. Zobrazen(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.5. Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 0.6. Operace na mno(cid:190)ině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 0.7. ModulÆrn(cid:237) aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0.8. Co se neve„lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0.9. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1. Symetrie a dihedrÆln(cid:237) grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1. Symetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2. DihedrÆln(cid:237) grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3. Dal„(cid:237) př(cid:237)klady symetri(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2. AlgebraickØ struktury s jednou operac(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1. Grupoidy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Pologrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3. Monoidy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4. Grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5. Dal„(cid:237) vlastnosti grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3. Podgrupy a komplexy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1. De(cid:12)nice pojmů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2. Ověřen(cid:237) podgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3. Centrum grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4. Komplexy v grupě a operace s nimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5. Grupy zbytkov(cid:253)ch tř(cid:237)d modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4. Rozklady grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1. Rozklad grupy podle podgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2. ŘÆd grupy a index podgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3. Lagrangeova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5. NormÆln(cid:237) podgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.1. NormÆln(cid:237) podgrupa a faktorovÆ grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2. Vlastnosti normÆln(cid:237)ch podgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3. NormalizÆtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6. CyklickØ grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1. K symbolice mocnin a nÆsobků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2. De(cid:12)nice cyklickØ grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.3. ŘÆd cyklickØ grupy a řÆd prvku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4. Struktura cyklick(cid:253)ch grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.5. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7. Grupy permutac(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.1. De(cid:12)nice grupy permutac(cid:237) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.2. ŘÆd permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.3. Parita permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.4. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8. Homomor(cid:12)smy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.1. De(cid:12)nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.2. JÆdro homomor(cid:12)smu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.3. SklÆdÆn(cid:237) homomor(cid:12)smů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.4. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 iii Petr KovÆř, Obsah 22. května 2020 9. Izomor(cid:12)smy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.1. De(cid:12)nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.2. Klasi(cid:12)kace cyklick(cid:253)ch grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.3. Cayleyho věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.4. Dal„(cid:237) vlastnosti homomor(cid:12)smů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10. Okruhy, obory integrity a tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10.1. Okruh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10.2. Vlastnosti okruhů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.3. Podokruhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.4. Obor integrity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.5. Tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.6. DoplňkovÆ tØmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Rejstř(cid:237)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 OtÆzka copyrightů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 U(cid:190)itečnØ tabulky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Přehled pou(cid:190)it(cid:253)ch symbolů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 iv Petr KovÆř, Přehled pojmů a označen(cid:237) 22. května 2020 Přehled pojmů a označen(cid:237) Tato œvodn(cid:237) kapitola slou(cid:190)(cid:237) jako přehled a připomenut(cid:237) někter(cid:253)ch znÆm(cid:253)ch pojmů a řady tvrzen(cid:237). Měly by čtenÆřům b(cid:253)t znÆmy ze středn(cid:237) „koly, př(cid:237)padně z œvodn(cid:237)ch kurzů vysoko„kolskØ matematiky. V dal„(cid:237)ch kapitolÆch budeme předpoklÆdat jejich dobrØ zvlÆdnut(cid:237). Princip dobrØho uspořÆdÆn(cid:237) NÆsleduj(cid:237)c(cid:237) tvrzen(cid:237) se často pou(cid:190)(cid:237)vÆ v důkazech. Věta 0.1. Princip dobrØho uspořÆdÆn(cid:237) Ka(cid:190)dÆ neprÆzdnÆ mno(cid:190)ina nezÆporn(cid:253)ch cel(cid:253)ch č(cid:237)sel mÆ nejmen„(cid:237) prvek. V„imnětesi,(cid:190)etototvrzen(cid:237)jesilněj„(cid:237),ne(cid:190)axiomv(cid:253)běru,kter(cid:253)(opětvnejjednodu„„(cid:237)formě)ř(cid:237)kÆ,(cid:190)ezka(cid:190)dØ neprÆzdnØ mno(cid:190)iny mů(cid:190)eme vybrat nějak(cid:253) prvek. Důkaz neuvÆd(cid:237)me, proto(cid:190)e se jednÆ o princip, tedy o tvrzen(cid:237), jeho(cid:190) platnost předpoklÆdÆme a pova(cid:190)ujeme jej za za axiom pro př(cid:237)slu„nou matematickou discipl(cid:237)nu. 0.1. Dělitelnost Pojmydělen(cid:237)adělitelnostjsouněkdychybnězaměňovÆny. Připomeňme,(cid:190)edělen(cid:237) jeoperace,kterÆněkter(cid:253)m dvěma č(cid:237)slům (v danØm pořad(cid:237)) z předepsanØ č(cid:237)selnØ mno(cid:190)iny přiřad(cid:237) v(cid:253)sledek operace dělen(cid:237) a:b, kterØmu ř(cid:237)kÆme pod(cid:237)l. Operace formÆlně popisujeme na straně 14. V„imněte si, (cid:190)e v(cid:253)sledek operace dělen(cid:237) zÆvis(cid:237) namno(cid:190)iněč(cid:237)sel,sekteroupracujeme. Poč(cid:237)tÆme-linapř(cid:237)kladsreÆln(cid:253)mineboracionÆln(cid:237)mič(cid:237)slya=7,b=2, tak v(cid:253)sledek dělen(cid:237) a:b= 7, zat(cid:237)mco při poč(cid:237)tÆn(cid:237) s cel(cid:253)mi č(cid:237)sly nen(cid:237) pod(cid:237)l a:b de(cid:12)novÆn, proto(cid:190)e v(cid:253)sledek 2 obvyklØho dělen(cid:237) cel(cid:253)ch č(cid:237)sel nemus(cid:237) b(cid:253)t celØ č(cid:237)slo. Naproti tomu dělitelnost nen(cid:237) operace se dvěma č(cid:237)sly, ale relace mezi dvěma č(cid:237)sly. Pro dvojici č(cid:237)sel a, b (vdanØmpořad(cid:237))plat(cid:237),(cid:190)ebuď(cid:254)aděl(cid:237)b(cid:255)bezezbytkunebo(cid:254)aneděl(cid:237)b(cid:255)(resp.zbytekpodělen(cid:237)č(cid:237)slabč(cid:237)slem a je nenulov(cid:253).) De(cid:12)nice Mějme dvě celÆ č(cid:237)sla a, b. Řekneme, (cid:190)e a děl(cid:237) b, jestli(cid:190)e existuje takovØ celØ č(cid:237)slo k, (cid:190)e a(cid:1)k =b, co(cid:190) zapisujeme a j b. V opačnØm př(cid:237)padě ř(cid:237)kÆme, (cid:190)e a neděl(cid:237) b, co(cid:190) zapisujeme a ∤ b. Č(cid:237)slu a ř(cid:237)kÆme dělitel č(cid:237)sla b a č(cid:237)slu b ř(cid:237)kÆme nÆsobek č(cid:237)sla a. Př(cid:237)klad 0.1. Pro nÆzornost uvedeme několik př(cid:237)kladů dělen(cid:237). 1) Plat(cid:237) 2j4, 2j6, ale takØ 2j(cid:0)4, 2j(cid:0)2 a 2j0. 2) DÆle plat(cid:237) (cid:0)2j2, (cid:0)6j(cid:0)6, (cid:0)4j0. 3) Naproti tomu 4∤2, 2∤5, 4∤(cid:0)6, 0∤1. 4) Nulou sice nemů(cid:190)eme dělit, av„ak nula mů(cid:190)e b(cid:253)t dělitelem, byť je dělitelem pouze nuly. Plat(cid:237) 0 j 0, neboť 0=k0, dokonce pro libovolnØ k 2Z. Prvoč(cid:237)slem nazveme ka(cid:190)dØ přirozenØ č(cid:237)slo, kterØ mÆ prÆvě dva přirozenØ dělitele, a to jedničku a sebe sama. V„echna přirozenÆ č(cid:237)sla vět„(cid:237) ne(cid:190) 1 jsou buď prvoč(cid:237)sla, nebo č(cid:237)sla slo(cid:190)enÆ, tj. maj(cid:237) je„tě nějakØho dal„(cid:237)hokladnØhodělitelevět„(cid:237)hone(cid:190)1. Nula,zÆpornÆč(cid:237)slaanidesetinnÆč(cid:237)slapochopitelněnejsouprvoč(cid:237)sla. V„imněte si, (cid:190)e podle de(cid:12)nice č(cid:237)slo 1 nen(cid:237) prvoč(cid:237)slo. V některØ, zejmØna informatickØ literatuře č(cid:237)slo 1 mezi prvoč(cid:237)sla zahrnuj(cid:237). To mÆ svÆ œskal(cid:237), např(cid:237)klad pokud bychom č(cid:237)slo 1 za prvoč(cid:237)slo pova(cid:190)ovali, tak slo(cid:190)enÆ č(cid:237)sla nebudou m(cid:237)t jednoznačně určen(cid:253) rozklad na prvoč(cid:237)sla, tj. nebude platit ZÆkladn(cid:237) věta aritmetiky 0.8. uvedenÆ v dal„(cid:237) čÆsti. Největ„(cid:237) společn(cid:253) dělitel a nejmen„(cid:237) společn(cid:253) nÆsobek V nÆvaznosti na pojem dělitelnosti mů(cid:190)eme zavØst dal„(cid:237) znÆmØ pojmy jako největ„(cid:237) společn(cid:253) dělitel (NSD) a nejmen„(cid:237) společn(cid:253) nÆsobek (NSN) dvou nebo v(cid:237)ce č(cid:237)sel. Společn(cid:253)m dělitelem č(cid:237)sel a ;a ;:::;a je takovØ 1 2 n celØ č(cid:237)slo m, (cid:190)e m j a , m j a , :::, m j a . Společn(cid:253)m nÆsobkem č(cid:237)sel a ;a ;:::;a je takovØ celØ č(cid:237)slo m, 1 2 n 1 2 n (cid:190)e a jm, a jm, :::, a jm. 1 2 n De(cid:12)nice Největ„(cid:237) společn(cid:253) dělitel Mějme dvě nenulovÆ celÆ č(cid:237)sla a, b. Největ„(cid:237) společn(cid:253) dělitel č(cid:237)sel a, b je takov(cid:253) kladn(cid:253) společn(cid:253) dělitel m č(cid:237)sel a, b, kter(cid:253) je děliteln(cid:253) jejich libovoln(cid:253)m společn(cid:253)m dělitelem. Znač(cid:237)me je NSD(a;b) nebo jen (a;b). Jestli(cid:190)e nav(cid:237)c (a;b)=1, ř(cid:237)kÆme, (cid:190)e a a b jsou nesoudělnÆ. 1 Petr KovÆř, Přehled pojmů a označen(cid:237) 22. května 2020 De(cid:12)nicinejvět„(cid:237)hospolečnØhodělitelejesnadnØroz„(cid:237)řitipropř(cid:237)pad, kdyalespoňjednozč(cid:237)seljenulovØ (Cvičen(cid:237)0.1.1.). Jezaj(cid:237)mavØsiuvědomit,(cid:190)enejvět„(cid:237)společn(cid:253)děliteldvoukladn(cid:253)chč(cid:237)selaabnikdynemů(cid:190)e b(cid:253)t vět„(cid:237) ne(cid:190) a či b. Pro zÆpornÆ nebo nulovÆ č(cid:237)sla tomu tak b(cid:253)t nemus(cid:237) (Cvičen(cid:237) 0.1.3.). De(cid:12)nice Nejmen„(cid:237) společn(cid:253) nÆsobek Mějme dvě nenulovÆ celÆ č(cid:237)sla a, b. Nejmen„(cid:237) společn(cid:253) nÆsobek č(cid:237)sel a, b je takov(cid:253) kladn(cid:253) společn(cid:253) nÆsobek m č(cid:237)sel a, b, kter(cid:253) je dělitelem jejich libovolnØho společnØho nÆsobku. Znač(cid:237)me jej NSN(a;b) nebo [a;b]. De(cid:12)nici nejmen„(cid:237)ho společnØho nÆsobku je takØ mo(cid:190)no roz„(cid:237)řit i pro př(cid:237)pad, kdy alespoň jedno z č(cid:237)sel je nulovØ (Cvičen(cid:237) 0.1.2.). Celoč(cid:237)selnØ dělen(cid:237) se zbytkem Často vyu(cid:190)(cid:237)van(cid:253)m tvrzen(cid:237)m je, (cid:190)e pro libovolnÆ dvě celÆ č(cid:237)sla mů(cid:190)eme jednoznačně naj(cid:237)t jejich pod(cid:237)l a zbytek. Později ukÆ(cid:190)eme zobecněn(cid:237) tohoto tvrzen(cid:237) i pro jinØ mno(cid:190)iny ne(cid:190) jsou celÆ č(cid:237)sla. Věta 0.2. Věta o jednoznačnosti pod(cid:237)lu a zbytku Pro ka(cid:190)dØ celØ č(cid:237)slo z a ka(cid:190)dØ přirozenØ č(cid:237)slo m existuj(cid:237) takovÆ jednoznačně určenÆ celÆ č(cid:237)sla q a r, kde 0(cid:20)r a > a :::. Proto(cid:190)e 2 3 4 zbytek po dělen(cid:237) je v(cid:190)dy nezÆpornØ č(cid:237)slo, bude posloupnost kladn(cid:253)ch cel(cid:253)ch č(cid:237)sel a ;a ;a ;::: konečnÆ a 2 3 4 po jistØm počtu kroků bude ak =0, přičem(cid:190) ak(cid:0)1 ̸=0. Z de(cid:12)nice č(cid:237)sel a3;a4;:::;ak a z Věty 0.2. v(cid:237)me, (cid:190)e existuj(cid:237) takovÆ č(cid:237)sla q1;q2;:::;qk(cid:0)2, (cid:190)e plat(cid:237) a =q (cid:1)a +a 1 1 2 3 a =q (cid:1)a +a 2 2 3 4 . . . (2) ak(cid:0)3 =qk(cid:0)3(cid:1)ak(cid:0)2+ak(cid:0)1 ak(cid:0)2 =qk(cid:0)2(cid:1)ak(cid:0)1+0: Nyn(cid:237) si v„imneme, (cid:190)e z posledn(cid:237) rovnosti (2) ak(cid:0)1 j ak(cid:0)2. Potom z předposledn(cid:237) rovnice ak(cid:0)1 j ak(cid:0)3. Analogicky z ka(cid:190)dØ předchoz(cid:237) rovnice dostaneme, (cid:190)e ak(cid:0)1 j ak(cid:0)4;ak(cid:0)5:::;a1. To znamenÆ, (cid:190)e ak(cid:0)1 je společn(cid:253)m dělitelem č(cid:237)sel a , a . Naopak, z prvn(cid:237) rovnice (2) vid(cid:237)me, (cid:190)e libovoln(cid:253) společn(cid:253) dělitel č(cid:237)sel a , 1 2 1 a2 děl(cid:237) a3 =a1(cid:0)q1a2. Potom z druhØ rovnice tento dělitel děl(cid:237) i a4 =a2(cid:0)q2a3, stejně tak a5;a6;:::ak(cid:0)1. To znamenÆ, (cid:190)e ak(cid:0)1 je největ„(cid:237)m společn(cid:253)m dělitelem č(cid:237)sel a1, a2. □ DůkazVěty0.5. jekonstruktivn(cid:237)aopravdupopisujealgoritmus, kter(cid:253)mmů(cid:190)emenejvět„(cid:237)hospolečnØho dělitele dvou č(cid:237)sel naj(cid:237)t. Algoritmus lze popsat nÆsleduj(cid:237)c(cid:237)m pseudok(cid:243)dem. Algoritmus 0.6. Euklidův algoritmus Mějme dvě přirozenÆ č(cid:237)slo a , a . 1 2 int NSD(int a_1, int a_2) { int t; while (a_2 != 0) { t = a_2; a_2 = a_1 % a_2; a_1 = t; } return a_1; } V prvn(cid:237)m kroku algoritmu (pokud nen(cid:237) dělitel nulov(cid:253)), děl(cid:237)me dělitele se zbytkem. V ka(cid:190)dØm dal„(cid:237)m kroku pak v(cid:190)dy děl(cid:237)me dělitele předchoz(cid:237)ho kroku zbytkem předchoz(cid:237)ho kroku. ProměnnÆ t slou(cid:190)(cid:237) k dočasnØmu (cid:254)zapamatovÆn(cid:237)(cid:255) dělitele. O něco elegantněj„(cid:237) je vyu(cid:190)it(cid:237) rekurze. Cel(cid:253) algoritmus pak nepotřebuje pomocnou proměnnou expli- citně, ale vyu(cid:190)ije se předÆvÆn(cid:237) hodnotou. 3 Petr KovÆř, Přehled pojmů a označen(cid:237) 22. května 2020 Algoritmus 0.7. Rekurzivn(cid:237) Euklidův algoritmus Mějme dvě přirozenÆ č(cid:237)slo a , a . 1 2 int NSD(int a_1, int a_2) { if (a_2 == 0) { return a_1; } return NSD(a_2, a_1 % a_2); } Př(cid:237)klad 0.3. Najděte největ„(cid:237) společn(cid:253) dělitel č(cid:237)sel 78 a 210. Postupujeme u(cid:190)it(cid:237)m Euklidova algoritmu. Označ(cid:237)me a = 210, a = 78. Podle Věty 0.2. zap(cid:237)„eme a = 1 2 1 =qa +r =qa +a , co(cid:190) dÆvÆ 2 2 3 210=2(cid:1)78+54: MÆme a =78, a =54 a postup opakujeme. Dostaneme 2 3 78=1(cid:1)54+24: MÆme a =54, a =24, postup opakujeme. Dostaneme 3 4 54=2(cid:1)24+6: MÆme a =24, a =6, postup opakujeme. Konečně dostaneme 4 5 24=4(cid:1)6+0; co(cid:190) znamenÆ a =6, a =0. Podle Euklidova algoritmu je NSD(a ;a )=NSD(210;78)=a =6. ✓ 5 6 1 2 5 Pokud bychom v předchoz(cid:237)m př(cid:237)kladu označili a =78, a =210, tak po prvn(cid:237)m kroku bychom měli 1 2 78=0(cid:1)210+78 a dÆle by a =210 a a =78. Za a proto vol(cid:237)me vět„(cid:237) z obou č(cid:237)sel, u„etř(cid:237)me jeden krok algoritmu. 2 3 1 ZÆkladn(cid:237) věta aritmetiky Důle(cid:190)itou vlastnost(cid:237) (kladn(cid:253)ch) přirozen(cid:253)ch č(cid:237)sel je, (cid:190)e je um(cid:237)me jednoznačně rozlo(cid:190)it na součin prvoč(cid:237)sel. To shrnuje nÆsleduj(cid:237)c(cid:237) věta. Věta 0.8. ZÆkladn(cid:237) věta aritmetiky Ka(cid:190)dØ přirozenØ č(cid:237)slo vět„(cid:237) ne(cid:190) 1 je buď prvoč(cid:237)slo, nebo jej lze zapsat jako součin prvoč(cid:237)sel, přičem(cid:190) tento součin je jednoznačn(cid:253) a(cid:190) na pořad(cid:237) činitelů. Důkaz. Nejprve ukÆ(cid:190)eme existenci prvoč(cid:237)selnØho rozkladu, Tj. (cid:190)e ka(cid:190)dØ č(cid:237)slo vět„(cid:237) ne(cid:190) 1 je buď prvoč(cid:237)slo, nebo jej lze zapsat jakosoučin prvoč(cid:237)sel. Postupujemesilnou indukc(cid:237). Nejmen„(cid:237) př(cid:237)pustnØ č(cid:237)slo je 2, kterØ je prvoč(cid:237)slem a pro něj tvrzen(cid:237) plat(cid:237). PředpoklÆdejme, (cid:190)e v„echna celÆ č(cid:237)sla vět„(cid:237) ne(cid:190) 1 a men„(cid:237) ne(cid:190) n um(cid:237)me rozlo(cid:190)itnasoučinprvoč(cid:237)sel. Ka(cid:190)dØ(vět„(cid:237))přirozenØč(cid:237)slonjebuďprvoč(cid:237)slem(atvrzen(cid:237)plat(cid:237))neboječ(cid:237)slem slo(cid:190)en(cid:253)m a plat(cid:237) n = ab, přičem(cid:190) 1 < a;b < n. Podle indukčn(cid:237)ho předpokladu um(cid:237)me č(cid:237)sla a i b napsat jako součin prvoč(cid:237)sel a = p p ;:::;p a b = q q (cid:1)(cid:1)(cid:1)q , a proto takØ n = ab = p p (cid:1)(cid:1)(cid:1)p q q (cid:1)(cid:1)(cid:1)q je součin 1 2 k 1 2 l 1 2 k 1 2 l prvoč(cid:237)sel a proto ka(cid:190)dØ přirozenØ č(cid:237)slo vět„(cid:237) ne(cid:190) 1 je mo(cid:190)no napsat jako součin prvoč(cid:237)sel. DÆleukÆ(cid:190)eme,(cid:190)erozkladč(cid:237)slannaprvoč(cid:237)slajejednoznačn(cid:253)a(cid:190)napořad(cid:237)činitelů. Postupujemesporem. PředpoklÆdejme,(cid:190)epřirozenØč(cid:237)slon,kden>1,um(cid:237)merozlo(cid:190)itnasoučinprvoč(cid:237)seldvěmarůzn(cid:253)mizpůsoby: n=p p (cid:1)(cid:1)(cid:1)p =q q (cid:1)(cid:1)(cid:1)q 1 2 k 1 2 l UkÆ(cid:190)eme, (cid:190)e k = l a prvoč(cid:237)sla p ;p ;:::;p jsou přeuspořÆdÆn(cid:237)m prvoč(cid:237)sel q ;q ;:::;q . Proto(cid:190)e p je 1 2 k 1 2 l 1 prvoč(cid:237)slo a p děl(cid:237) n, tak p děl(cid:237) podle Euklidova Lemmatu 0.4. některØ z prvoč(cid:237)sel q ;q ;:::;q . Bez œjmy 1 1 1 2 l na obecnosti (po vhodnØm přeuspořÆdÆn(cid:237) a přeznačen(cid:237)) mů(cid:190)eme předpoklÆdat, (cid:190)e p j q . Proto(cid:190)e q je 1 1 1 prvoč(cid:237)slo a mÆ jen dva dělitele: 1 a q , plat(cid:237) p =q . Ihned vid(cid:237)me, (cid:190)e 1 1 1 n =p p (cid:1)(cid:1)(cid:1)p =q q (cid:1)(cid:1)(cid:1)q p 2 3 k 2 3 l 1 4

Algebra (extended version)

Similar Algebra (extended version)