Matemáticas

34 Pages·2017·8.89 MB·Spanish

Matemáticas
aplicadas a las Ciencias Sociales
O
SERIE RESUELVE
T
A
R
El libro Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales,
E
para 2. o curso de Bachillerato, es una obra colectiva concebida,
L
diseñada y creada en el Departamento de Zubia Editoriala, S. L.
L
y Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido I
H
por Teresa Grence Ruiz y Joseba Santxo Uriarte.
C
En su elaboración ha participado el siguiente equipo:
A
José Carlos Gámez Pérez B
Silvia Marín García
Alfredo Martín Palomo
Carlos Pérez Saavedra
Domingo Sánchez Figueroa
EDICIÓN
José Antonio Almodóvar Herráiz
Ana de la Cruz Fayos
Silvia Marín García
Virgilio Nieto Barrera
Laura Sánchez Fernández
EDICIÓN EJECUTIVA
Carlos Pérez Saavedra
Ainhoa Basterretxea Llona
DIRECCIÓN DEL PROYECTO
Domingo Sánchez Figueroa
Joseba Santxo Uriarte
Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso
en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen
son modelos para que el alumno los traslade a su cuaderno.
Índice
UNIDAD SABER
1 Matrices 1. Matrices 10 • Calcular el producto de dos matrices
2. Matriz traspuesta 13 • Calcular el rango de una matriz mediante el método
3. Operaciones con matrices 14 de Gauss
4. Rango de una matriz 18 • Calcular la matriz inversa con el método de Gauss-Jordan
5. Matriz inversa 20 • Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX = B
9 6. Ecuaciones matriciales 22 • Resolver ecuaciones matriciales del tipo XA = B
2 Determinantes 1. Determinantes 36 • Calcular el determinante de una matriz usando
2. Propiedades de los determinantes 37 sus propiedades
3. Menor complementario y adjunto 41 • Calcular un determinante haciendo ceros
4. Desarrollo de un determinante por sus adjuntos 42 • Calcular el rango de una matriz a partir de sus menores
5. Cálculo del rango de una matriz 44 • Calcular la inversa de una matriz con determinantes
6. Cálculo de la inversa de una matriz 46 • Resolver ecuaciones con determinantes
35
3 Sistemas 1. Sistemas de ecuaciones lineales 60 • Resolver un sistema mediante el método de Gauss
de ecuaciones 2. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones 62 • Discutir un sistema de ecuaciones lineales utilizando
3. Método de Gauss para resolver sistemas 63 el teorema de Rouché-Fröbenius
4. Teorema de Rouché-Fröbenius 65 • Resolver un sistema de ecuaciones compatible determinado
utilizando la regla de Cramer
5. Regla de Cramer 67
• Discutir y resolver un sistema de ecuaciones homogéneo
6. Sistemas homogéneos 69
• Discutir un sistema de ecuaciones con parámetros usando
7. Sistemas de ecuaciones con parámetros 70
el teorema de Rouché-Fröbenius
8. Resolución de problemas con sistemas 72
59
4 Programación 1. Inecuaciones 86 • Resolver una inecuación de primer grado
lineal 2. Inecuaciones lineales con dos incógnitas 88 con una incógnita
3. Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas 89 • Resolver una inecuación de segundo grado
con una incógnita
4. Programación lineal 90
• Resolver una inecuación lineal con dos incógnitas
5. Métodos de resolución 94
• Resolver un sistema de inecuaciones con dos incógnitas
6. Tipos de soluciones 96
• Plantear un problema de programación lineal
7. Problema de la producción 99
• Determinar los vértices de una región factible
8. Problema de la dieta 100
• Resolver problemas de programación lineal
9. Problema del transporte 101
85 analíticamente
5 Límites 1. Límite de una función en el infinito 114 • Resolver límites que presentan una indeterminación
y continuidad 2. Operaciones con límites 116 de tipo 33
3. Cálculo de límites 118 • Resolver límites que presentan una indeterminación
4. Resolución de algunas indeterminaciones 120 de tipo 3-3
5. Límite de una función en un punto 123 • Resolver límites que presentan una indeterminación
de tipo 13
6. Continuidad de una función 126
• Resolver los límites de una función en un punto
0
que presentan una indeterminación de tipo
0
113 • Determinar si una función es continua en un punto
6 Derivadas 1. T asa de variación media 140 • Calcular la derivada de una función en un punto
2. D erivada de una función en un punto 141 • Calcular la derivada de funciones compuestas
3. D erivadas laterales 142 • Calcular la derivada de funciones compuestas aplicando
4. D erivabilidad y continuidad 143 la regla de la cadena sucesivamente
5. F unción derivada. Derivadas sucesivas 144 • Determinar la tasa de variación media de una función a partir
de su gráfica
6. O peraciones con derivadas 145
• Interpretar la tasa de variación media en problemas
7. C álculo de derivadas 146
• Determinar la derivada de una función en un punto mediante
8. R egla de la cadena 147
la definición
139 9. D erivada de las funciones elementales 148
2
SABER HACER
• Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX + B = C • Resolver problemas utilizando matrices
• Resolver operaciones con matrices • Transformar tablas en matrices
• Calcular la potencia de una matriz • Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro
• Determinar matrices que cumplan una cierta condición • Calcular la inversa de una matriz que depende de un parámetro
• Calcular las constantes que hacen que se cumpla una igualdad • Resolver un sistema de ecuaciones matriciales
entre matrices
• Resolver ecuaciones en las que aparecen determinantes • Calcular algunos elementos de una matriz para que se cumpla
• Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro una condición
• Estudiar el rango de una matriz cuadrada que depende de un parámetro • Comprobar si una matriz que depende de un parámetro
utilizando determinantes tiene inversa
• Calcular el rango de una matriz no cuadrada que depende de un • Resolver una ecuación matricial del tipo AX = C
parámetro mediante determinantes • Resolver una ecuación matricial del tipo AX + B = C
• Resolver una ecuación matricial en la que hay que sacar
factor común
• Resolver un sistema de ecuaciones con parámetros utilizando la regla • Discutir un sistema que depende de un parámetro con dos ecuaciones
de Cramer y dos incógnitas
• Plantear y discutir un problema real mediante sistemas de ecuaciones • Discutir un sistema que depende de un parámetro con tres ecuaciones
lineales y tres incógnitas
• Resolver un problema real mediante sistemas de ecuaciones lineales • Discutir un sistema homogéneo que depende de un parámetro con tres
• Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX = XA ecuaciones y tres incógnitas
• Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX = B • Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales
• Estudiar un sistema y resolverlo utilizando el teorema • Resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones lineales con
de Rouché-Fröbenius infinitas soluciones
• Resolver problemas de programación lineal gráficamente • Determinar el máximo y el mínimo de una función en una región factible
• Representar una región factible no acotada
• Determinar las restricciones, conocida la región factible • Resolver un problema en el que una de las restricciones es una relación
entre las incógnitas
• Añadir restricciones para obtener una determinada región factible
• Resolver un problema cuando la función objetivo
• Determinar el máximo y el mínimo de una función en una región factible
es del tipo f(x, y) = ax + by + k
acotada
• Resolver un problema cuando la región factible es no acotada
• Extraer conclusiones de la solución óptima de un problema
• Estudiar la continuidad de una función definida a trozos • Determinar si existe o no el límite de una función en un punto
• Interpretar en un problema real el límite de una función • Resolver una indeterminación cuando aparece una expresión
• Calcular el parámetro de una función si está en un límite del tipo f(x)!a
con indeterminación 3-3
• Calcular el parámetro para que exista el límite de una función
• Calcular el parámetro de una función cuando aparece en un límite
en un punto
con indeterminación de tipo 13
• Estudiar la continuidad en un punto de una función definida a trozos
• Calcular el límite del cociente de dos funciones exponenciales
• Calcular los parámetros para que una función sea continua
• Estudiar la continuidad de una función en un problema real
• Hallar la derivada de una función en un punto mediante las fórmulas • Aplicar la regla de la cadena
conocidas • Calcular la derivada de operaciones con funciones
• Determinar una función a partir del valor de su derivada en un punto • Calcular la derivada de operaciones con funciones compuestas
• Estudiar la derivabilidad y continuidad de una función
• Estudiar la continuidad y la derivabilidad en un punto de una función
con parámetros
• Hallar los parámetros de una función para que sea continua y derivable
3
Índice
UNIDAD SABER
7 Aplicaciones 1. Interpretación geométrica de la derivada 160 • Determinar el crecimiento y decrecimiento de una función
de la derivada 2. Crecimiento y decrecimiento 162 • Hallar los máximos y mínimos de una función mediante
3. Máximos y mínimos relativos 163 la derivada primera
4. Concavidad y convexidad 165 • Hallar los máximos y mínimos de una función mediante
5. Puntos de inflexión 166 la derivada segunda
6. Optimización de funciones 168 • Determinar la concavidad y convexidad de una función
• Hallar los puntos de inflexión de una función
• Hallar los puntos de inflexión de una función mediante
la derivada tercera
159 • Resolver un problema de optimización
8 Representación 1. Dominio y recorrido 182 • Hallar el dominio de una función
de funciones 2. Puntos de corte y signo de una función 183 • Calcular los puntos de corte con los ejes
3. Simetrías y periodicidad 184 • Hallar el signo de una función
4. Ramas infinitas. Asíntotas 185 • Determinar si una función es simétrica
5. Monotonía de una función 189 • Calcular las asíntotas verticales de una función
6. Curvatura de una función 190 • Calcular las asíntotas horizontales de una función

7. Funciones polinómicas 191 • Calcular las asíntotas oblicuas de una función
8. Funciones racionales 192 • Estudiar las ramas infinitas de una función
9. Funciones con radicales 193 • Estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función
10. Funciones exponenciales 194 • Estudiar la curvatura de una función
11. Funciones logarítmicas 195
181 12. Funciones definidas a trozos 196
9 Integrales 1. F unción primitiva de una función 210 • Resolver una integral donde falta un factor numérico
2. I ntegral de una función 211 y fl(x)
• Resolver una integral del tipo
3. I ntegrales de funciones elementales 212 fn(x)
4. I ntegral definida 218 • Calcular una integral definida aplicando la regla de Barrow
5. R egla de Barrow 219 • Calcular el área entre la gráfica de una función y el eje X
6. Á rea encerrada por una curva 220 • Calcular el área comprendida entre dos curvas
7. Á rea comprendida entre dos curvas 222 • Calcular una función de la que se conoce su derivada
y un punto por el que pasa
209
10 Probabilidad 1. Métodos de conteo 236 • Calcular el número de posibilidades con variaciones,
2. Espacio muestral. Sucesos 239 permutaciones y combinaciones
3. O peraciones con sucesos 240 • Calcular el suceso contrario de un suceso
4. R egla de Laplace 242 • Calcular la probabilidad de un suceso de manera experimental
5. P ropiedades de la probabilidad 243 • Calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace
6. E xperimentos compuestos 244 • Calcular probabilidades mediante tablas de contingencia
7. P robabilidad condicionada 245
8. T eorema de la probabilidad total 248
235
9. T eorema de Bayes 249
11 Distribuciones 1. P oblación y muestra 262 • Obtener una muestra estratificada
binomial 2. M uestreo 263 • Determinar si una variable aleatoria sigue una distribución
y normal 3. T ipos de muestreo aleatorio 264 binomial y hallar su función de distribución
4. V ariables aleatorias 268 • Calcular probabilidades en variables aleatorias que siguen
5. D istribución binomial 270 una distribución binomial
6. D istribución normal 272 • Calcular probabilidades por medio de tablas en variables
aleatorias que siguen una distribución normal
7. I ntervalos característicos 274
261 8. A proximación de la binomial 275
12 Inferencia 1. T eorema central del límite 288 • Hallar un intervalo de confianza para la media
estadística. 2. D istribución de la media 289 • Hallar un intervalo de confianza para la proporción
Estimación 3. D istribución de la proporción 290 • Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias
4. D istribución de la diferencia de medias 291 • Calcular la media y la varianza de una normal
5. E stimación de parámetros 292 cuando se conocen dos probabilidades

6. I ntervalos de confianza 293 • Calcular la media y la varianza de la media muestral
7. I ntervalos de confianza para la media 294
8. I ntervalos de confianza para la proporción 296
9. I ntervalos de confianza
287 para la diferencia de medias 298
4
SABER HACER
• Resolver un problema de optimización cuando hay que despejar • R epresentar la función derivada de una función a partir de su gráfica
una variable • R esolver un problema de optimización cuando hay que despejar
• Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función una variable
en un punto • R esolver un problema de optimización estudiando los extremos
• Determinar el parámetro de una función cuando no se conoce su recta de los intervalos
tangente • R esolver un problema de optimización cuando hay que determinar
• Determinar una función conocidos sus extremos relativos y un punto la función a optimizar a partir de otra
por el que pasa
• Obtener el valor de un parámetro para que una función
siempre sea cóncava
• Representar una función polinómica • E studiar la monotonía y la curvatura de una función a partir de la gráfica
• Representar una función racional de su derivada
• Representar una función con radicales • R epresentar la gráfica de una función que cumpla determinadas
• Representar una función exponencial condiciones
• Representar una función logarítmica • R epresentar una función simétrica
• Representar una función definida a trozos • R epresentar la gráfica de una función en la que aparece un factor
con valor absoluto
• Calcular el dominio de una función compuesta
• R epresentar gráficamente una función hallando previamente el valor
• Estudiar la simetría de una función compuesta
de sus parámetros
• Calcular parámetros desconocidos a partir de sus asíntotas
• R epresentar una función y obtener información de su gráfica
• Calcular una primitiva que cumple una condición • C alcular el valor de un parámetro conocido el valor de un área
y gl(x) • C alcular el área de un recinto limitado por una función definida a trozos
• Resolver las integrales de tipo
a2-g2(x) • C alcular el área encerrada bajo una curva cuando no se da un intervalo
de integración
yP(x)
• Resolver una integral del tipo donde P(x) es un polinomio • R esolver problemas donde hay que calcular el área encerrada bajo
xn
una curva
• Calcular una integral definida de una función con valor absoluto
• D eterminar el área de una figura delimitada por una curva
• Calcular el valor de una constante, conocido el valor
• C alcular el área encerrada bajo una curva expresada con valor absoluto
de la integral definida
y una recta
• Determinar el espacio muestral de un experimento compuesto • C alcular probabilidades mediante sus propiedades
mediante un diagrama de árbol • R esolver problemas de probabilidad condicionada utilizando tablas
• Operar con sucesos de contingencia
• Calcular probabilidades operando con sucesos • R esolver un problema utilizando el teorema de la probabilidad total
• Determinar probabilidades de sucesos no equiprobables • R esolver un problema utilizando el teorema de Bayes
• Calcular probabilidades con sucesos independientes • R esolver problemas de probabilidad condicionada usando varios
teoremas
• Calcular probabilidades en una variable aleatoria binomial • H allar en una distribución normal el número de datos que cumplen cierta
aproximándola a una normal condición
• Construir todas las posibles muestras utilizando muestreo • C alcular un valor conociendo el número de individuos que cumplen
• Calcular probabilidades en una distribución binomial aproximándola una condición
a una normal • C alcular la media y la varianza de una distribución normal
• Comparar la probabilidad de dos distribuciones normales cuando se conocen dos probabilidades
• Hallar en una distribución normal el valor que acumula • C alcular un intervalo característico centrado en la media
cierta probabilidad
• Calcular la probabilidad de que una media muestral • C alcular el estimador cuando se conoce el intervalo de confianza
esté entre dos valores • D eterminar el tamaño de la muestra, conocida la amplitud del intervalo
• Calcular un intervalo característico centrado en la media de confianza
• Calcular e interpretar un intervalo de confianza con un nivel • C alcular el nivel de confianza cuando se conoce el intervalo de confianza
de confianza distinto de 90 %, 95 % o 99 % • C alcular la proporción de la muestra cuando se conoce el intervalo
• Determinar un intervalo de confianza cuando se tienen los datos de confianza
de la muestra • D eterminar el tamaño de la muestra, conocido el error máximo admisible
5
Competencias básicas
Esquema de la unidad
A lo largo del libro, encontraréis junto a muchos ejercicios los iconos de las
competencias básicas del proyecto HEZIBERRI. Cada uno de esos iconos
nos indica la competencia básica que se trabaja en cada caso.
La estructura de las unidades didácticas es muy Competencias básicas disciplinares Competencias básicas transversales
sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de
Competencia en comunicación Competencia para la comunicación
los contenidos fundamentales, de los ejemplos lingüística y literaria verbal, no verbal y digital
resueltos y de las actividades propuestas. Competencia matemática Competencia para aprender
y para pensar
A lo largo de toda la unidad marcamos con iconos
Competencia científica
Competencia para convivir
aquellos contenidos o actividades en las que se
Competencia tecnológica Competencia para la iniciativa
trabajan de manera particular las competencias y el espíritu emprendedor
básicas. Competencia social y cívica Competencia para aprender
a ser uno mismo
Competencia artística
Competencia motriz
Introducción a la unidad: un texto que motiva Páginas finales de la unidad: un paso más
el estudio de los contenidos. en la aplicación de los contenidos aprendidos.
Se especifican los Esta página, que te
contenidos (Saber) muestra cómo las
maTemÁTicas en Tu viDa
de la unidad. 4 Programación lineal ¿liPnaeraal ?qué sirve la Programación matemáticas
Para optimizar los recursos de los que
se dispone intervienen
Al principio de la unidad hablábamos de un episodio
realmente triste de nuestra historia, la Segunda Gue­
Contenidos rloras Mpauísnedsi anle. cEens ietsatbaa inn torpodtiumcicziaórn l omso rsetcráubrsaomso dse q luoes que disponían. en tu vida,
inecuaciones Pues bien, la programación lineal es una rama de las
icscPMnooirseéonntctg  eouddrmdaaooomcssais soiia nn dncdcceieeóóó s rnggi nel nnilseniiinottceaaleuaussaalcelcisóio nn es mdtFcpmzaaueiaonrrset gaag qea róm gu yr eaeol álJas lltsoolt ióetochsa a enamrass e lvtiqqaoluoiuu tdndlaieaei er arNnn gfqaaeeuo csuuen i emrdóeiav el ea e e Gllnslol aepopn msebg.r uceiuáeínssefriu irncevrpafoeaiumrc dsdeieeiesetnn ta EofttroeeE io q rpp.ms uUao.erasUa i sbs. eeellele clts.ore Ye.en St nlíaoea­, cporninscid¿hEcPgiCieaipsóudsrtóanioao emels sm rsdt ooeatpeuec nml lndaoor cbtinon aehriptódée eapamnaoac on ímmiaeacrd rnl aiiooaell?soi nn t lesEdaa tlu orer nmSg,tls i eioe olamsisn pztdeeeapvo enmpdíln oceeooeáixssdasntt , adíiptlqacae euanou . i rn seadEaai ledspG eiama asdlue i deceeuom.sacn nrS rielgt ra eaon,ae lgsmpt gla Drlaooaria sa rnfclmdainatitabees­­asa r mp qbiacéau ualrnea­­­ niniceicóuna ac iloonse ds iys tsine tbouss pcaubnato esl mdeálx cimonof loic etol m.ínimo, rpde­eprensedienpgdo doue lon nqued tintaeeres a rda aene c adl aa elsatu dio .
y tipos de soluciones de un programación lineal, el ejército de EE. UU. era capaz,
plinroeballema de programación cCoonn eell lmo leon qour eg saes tcoo npsoigsiubilóe ,f udee u cnr edaers glaass tme aeycoonreós­ pérdidas posibles. página inicial de la
mico muy significativo en sus rivales, y por tanto, la
ctioenntdina.ua pérdida de potencial del oponente, lo que desembocó en la victoria del bando aliado en la cuon­nidad. Además,
El texto inicial Tzararos ne la f uintialilz dare llaa pgruoegrrraam, macuiócnh alisn eemal ppraersaa os pctoimmieznar­
sgursa nbdeense feicmiopsr, eys dase henec lhaos hqouye esnu duítai lnizoa sceió cno nncoi bseena fundamental. propone una serie
presenta un
de actividades que
aspecto de la vida La Segunda Guerra Mundial ha sido Guerra Mundial o el nacimiento de la
seguramente uno de los episodios más informática durante la Segunda Guerra
real en el que se thpruoistmteenasnc diiadesa ldma. huEinsndt oeiarllliaea s pr eyac rsiteeic neiptseta idrmoean l aqla use g hruanbdo es Mllao sup nmridmeinaelsr.a aDj ecusor msaenpctruee teatoldlsao ,qr Aau lepa anlor Tas u adrleiensmcgia fcnrraeersó te permitirán
entre 50 y 70 millones de víctimas. enviaban con su máquina Enigma.
La guerra es siempre muy negativa. Las matemáticas no son una excepción, profundizar en el
ucotinlizteanni dlooss que se imtdPeveceEpecini vrnonug oierod due tllhaoea lóqldirn agslureat tiaseesócs,es or hyps .isd  caueLs eaysrreostmsg  scattoer ri edneenuannsiany satestesteví .inffm, nao ie ctnvroonomcimdss ep aapsmee s naer,u ílitfs ooymaed mhsuo aqinsln iuda eos , yeydePfruens  oesdnct sriuleuedc osdsrmoasuasinm arpopcodrosureoca ennellisi ldsfthma.lataianoclis.nt,dt aCoh eojdsunaa ordsg balstaaaéam, dl gypieaco uannso íeu tessdorn ,ccr en ecaup crsl eaaleeiatn psaam tnee oatcaldé optcfoceuonon mnnocidco máuaa tnisímca oqa ees un se t al L123E... E¿¿¿o QQCpYoóuu Cnméée OoseniMs gtp enuuP inedfRi loca Ee alaNgj éuooDrmprciEttieitmmon otidza aeyr r lpE alaEosr.s apU r éqeUruc.d?uéidr ssaiosrvs de?e? su R5A.EP F¿l¿LaAYLI CpE  uqArXnouIagéO r feaNálmbeArmaicceaión tnteo lxsint ciel?raele esn q uunea p cuoemdep aañpílaic aaér rea? aresaple qcutoe dsee la vida
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Páginas de contenidos: SABER y SABER HACER como un todo integrado.
En la parte Saber Nuestra propuesta
hacer aprenderás, para Saber son
paso a paso, los Programación lineal 4 unos textos claros
4.3. Vértices de la región factible 4.4. Solución óptima
pnreocceesdairmioise nptaorsa dLiosst iSvnétAorsBt iscEeeRgsm dHeeAn ltaCo rsEe qgRuióen l ifmacittaibnl ela s roeng lioósn pfaucnttiobsle d.e intersección entre los LcEoaJn EsjMounlPutLocOi dóen póupnttioms ad ed ela u rne gpiróonb fleamctiab dlee qpureo gorpatmimaicziaónn l lai nfueanlc eiósn e lo pbujentitvoo o. el DLoqloaaa upset et sleir ,moe ca losuicdztncreaujiiucmnóecn nláiat nosoó nf pdtudetaenesim c cpdiauóue mnlne ptsopor bleosirjl be plteiuvmnot.ao, yLo ess tErjuecmtupralodso st.e
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Asedceumeánsc,i ascui ón 1A3C. TDdfaIeeVc ttleIaibDr smleAig.i nDuaieE lnoStse vréergtiiócens Y1B1DA X 14. aH)al2xlaxx$ l--os0y ,yvy#é>r$t-i0c0e54s de cada región bfa)c2xtxxxi$b-+-le0.2,yyyy>##$-08054 1A5C. TDóleaInpe Vf ttueieImnsDrtmcaaAi ó iqrnDneua gEef l i( aSóxm n,s a yofx)al iu=cmctiii bóz2alnxe . - y Y115x + 3y = x1 5- y =X 1 16. Hólefaanpa cf tltulliaaimnb slclaaeii gó .qsunuoi eelfu n( xmct,ie óay nxr)e i=m gii ózxna + 2y Y11x + y = 5x - y X= 3 úcotimlesp rpeanrsai ólan de
te permitirá llegar 92 93 los conceptos y
a dominarlos. ES0000000035052 716836_U04_p085_098_47285.indd 92-93 19/4/16 11:53 procedimientos.
66
Páginas de Saber hacer: para aprender a hacer matemáticas.
En estas páginas se muestran los procedimientos
básicos (Saber hacer) de la unidad.
SABER HACER Programación lineal 4
Región factible Región factible Región factible Solución óptima
Representar una región factible Determinar las restricciones, conocida Añadir restricciones para obtener una Determinar el máximo y el mínimo de una función en una región factible acotada
la región factible determinada región factible
Csmraeecase tdioidnvaliituad rpconaridtdóoeu nc ecle anded e liam u qineuane t o Rd plEarneesi m  peixaxaypypinnres ooe#$#$ellrteaarrecos c de uid.eckkkkzu neaeSaqn a""""bccresuteciiao amoidciej :o onRRRRh erlaand eaeeeet dedsa e ggggerdr e iiiiseddm óóóóe l.ealgennnn ail ln ia rlóddddtraea ierneeeep c erclllllo ate ctfapppp actaxr lllla tyeaaaac yyaxxx # gnnnn t = x=iix+oooo$#$ób =k =nqqqq lk ke-y e23uuuu d k eeeeykd1$ ye Yla-eeee1# p-dssssltttt aaáááá1k21n . p1 4o o qru eel rseipsXYrteeYsmenayt =x ka =n kXX gEtdps•••qfld•oaere    ruesescáginRRRR cem tlfupveeeeagir i115588b44eclniué cccciarbmraldttttn==e=r=====enomaaaaeot tic. ts io .qqqqctaceuuS aaaaaaaasaSouuuunenesn ????????eeeee eytmst 11l 55((33eir an s-- th=eppupA u++o ++++iearplaanas11yae( l lrssst ze1le))a grebbabbbebeaaao ++e,nxiAsn 3c 3óm cn1dpppe+ u(nli""1o)aooobbnanaa, , rrr 33 tst c bBd a1od CCAi""ry.y .ó)e(ee (((5yn331 =c= s, i ,,, tD nyy o5a881-(exls))))==-u , cyyy cC u 123-DBBxi(,aó 3(x((+455-cn,23)+,, i 8o551e5x)n)),l +2 4ye2i5n) sDt 52le(i-nrieo1Dar, l1Y4de)se. l1q ApuoelC ígonBoX fa4yl4dcdApsP3qyaare o ee5Ruñ= yuuc=gior lm.eA t nnlar u=tapi e breiidnCxDrdsddllasrae3lax d eeTeaa e+pxodnge o I dd rto.e+iyoiCdcie. nen eeón sS 4ueArsSngsseeidne mag4see yecice hh pc uó "r suctudindaaeilarnnoóeaae aeccaplazsnal dciitzsurcfyaaáa e aeiaapll icoa nrorod=s lacliimausandaeóesnbt znsoen risiniaevzab.neals 3xtj aqqsénoaag dl.pe,u urd ni: eao ltpa iae o ielslnlroc o arser s eerdesil aissese agss tlj :itduaeie óge enmmn nm lop paaasla o r,) a3 x lye#l #og03x3ryxxxyyy+a#+###$+m4xo1yxx23.x$+1Y2y++ p#22114ayy2r14a+ 0 44X AdlFRypstP3yFaere e (6R((e shrxg0ixr m.epAecl ,u,,aa egre-nCdRdCdyly errlrideó aee)T eae)ooxs2 otIns = pgl=..eel)Clc .-ia ior SSgrónfuASe amseexfnuxltBesuca2 a ai+vsr e(tfnn +yc4e iaeulanbladac,pcals l#lyt n li0aoetrtvyac óie ir).dbrutla , neosl ue4elallcCee agsoysfBsC Au(. nn rei-r( p( (ó e4a(xmx t 0n-mula,2gn,n,o 0- +n, 2sáysi d)22áóutdx2x ))o,ox v )s ne2i=2s+éim ymlc( )dr q xo tpo#2eFFFiyuo,ocl xl(((ea ye yr+xxx yp d 1ns + ),,,l mlae 2 eoar 2yyy n, leon í3 )))daynm$pcoy===d eiot# míaiedfnmr0-is04ner nCio2 mie fez-+i d 2id dan+ndoi+na cei20lYi,d3 ha.1 c xsplya ==oh2a,fio u A a4p #er=frn-1e 4xou:+rcciren42"is0i ó lngct2a-"neiitysóó onMo nnx.,$b MBá .j xe íxnitmi.iv mooXo Lappacreosor mcmaecipdttiairivmáñindaie annd cteoas dt qeau e
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102 103
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Páginas de actividades: para practicar y afianzar los conocimientos adquiridos.
Nuestras Actividades finales están secuenciadas para que aproveches
de la mejor forma posible la aplicación de los contenidos estudiados.
Programación lineal 4
ACTIVIDADES
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Matrices
CONTENIDOS
Matrices. Tipos de matrices
Matriz traspuesta
Operaciones con matrices
Rango de una matriz.
Método de Gauss
Matriz inversa. Método
de Gauss-Jordan
Ecuaciones matriciales
Los vehículos modernos vienen equipados al no haber confusiones para llegar al
con todo tipo de extras que sirven para destino final y ser informado tanto del tipo
aumentar la seguridad a la hora de conducir de vía como de su estado y del tráfico que
como, por ejemplo, los sistemas soportaba.
antiderrapaje, los sensores que miden
En principio, el navegador era un artículo
la presión de los neumáticos, los asistentes
de lujo, pero ahora, con el auge de los
de frenada, las ayudas de visión nocturna...
smartphones, se ha convertido en algo
Los fabricantes también se han volcado
tremendamente cotidiano, que nos informa
en el confort y la facilidad de conducir:
tanto del lugar donde estamos como de la
asistentes de aparcamiento, sensores de luz
ruta más corta, más rápida o más ecológica
y lluvia y, en muchos casos, navegador GPS.
que podemos tomar para ir de un sitio
Este último accesorio comenzó a otro.
implantándose en las flotas
Parece fácil y rápido, pero...
de camiones para que
el tiempo en entregar las ¿Cómo elige las rutas apropiadas
mercancías fuera optimizado un navegador GPS?
9
1 Matrices
a11 a12 a13 ... a1n !1.ª
a a a ... a !2.ª s Una matriz de m filas y n columnas es una tabla de m # n números
21 22 23 2n a
f ... ... ... ... ... p ... Fil reales ordenados en m filas y n columnas.
am1 am2 am3 ... amn !m.ª Los números aij son los elementos de la matriz, y en ellos el subíndice i
- - - - indica la fila que ocupan, y el subíndice j, la columna.
1.ª 2.ª 3.ª ... n.ª La dimensión de una matriz de m filas y n columnas es m # n.
Columnas
Se escribe así
EJEMPLOS
Para expresar abreviadamente
una matriz, escribimos: 1 Determina la dimensión de esta matriz e identifica los elementos a23 y a32.
A = (a) 4 5 2 -1
ij
Si queremos añadir la dimensión, A= 0 2 1 5
indicamos: f-2 3 0 -4p
A = (aij)m#n La matriz A está formada por 3 filas y 4 columnas; por tanto, su dimensión es 3 # 4.
Se observan la fila y la columna que indican los subíndices.
a = 1 a = 3
23 32
F F F F
2.ª fila 3.ª columna 3.ª fila 2.ª columna
2 En esta tabla se muestran los partidos jugados por dos equipos de balonmano
durante la liga. Escribe la información en forma de matriz.
Partidos ganados Partidos empatados Partidos perdidos
Equipo A 16 0 8
Equipo B 14 1 9
Se puede escribir la información de la tabla como una matriz de 2 # 3.
16 0 8 !Equipo A
d14 1 9n!Equipo B
- - -

Ganados Empat. Perdidos
a = 16 " El equipo A ha ganado 16 partidos.
11
a = 9 " El equipo B ha perdido 9 partidos.
23
a + a + a = 24 " El equipo A ha jugado en total 24 partidos.
11 12 13
a + a = 15 " El equipo B no ha perdido en 15 partidos.
21 22
a + a = 17 " Entre los dos equipos han perdido 18 partidos.
13 23
ACTIVIDADES
1. Estas son las calificaciones que han obtenido Daniel y Manuel 2. Escribe una matriz de dimensión 2 # 3 donde se
en los cuatro controles de Matemáticas de esta evaluación. cumpla que:
2 si i+j=4
C1 C2 C3 C4 a =
ij )-1 si i+j!4
Daniel 8 7 9 10
Manuel 6 8 10 9 3. Escribe una matriz de dimensión 4 # 3 cuyos
elementos a sean nulos si la suma i + j es un número
ij
Elabora una matriz con estos datos. primo, y 1 en caso contrario.
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