Table Of ContentHeinrich Brauner
Differentialgeometrie
Aus dem Programm
Mathematik
Grundlegende Lehrbücher:
Lineare Algebra, von G. Fischer
Analytische Geometrie, von G. Fischer
Analysis 1, von O. Forster
Analysis 2, von O. Forster
Ebene Geometrie, von E. Kunz
Infinitesimalrechnung, von E. Berz
Weiterführende Lehrbücher:
Analysis 3, von O. Forster
Einführung in die kommutative Algebra
und analytische Geometrie, von E. Kunz
Funktionentheorie, von W. Fischer und I. Lieb
Differentialgeometrie, von H. Brauner
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-------------~
Heinrich Brauner
Differentialgeometrie
Mit 44 Abbildungen
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Brauner, Heinrich:
Differentialgeometrie / Heinrich Brauner. - Wiesbaden:
Vieweg, 1981.
Verlagsredaktion: Alfred Schubert
1981
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1981
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und andere Medien.
Satz: H. Becker, Bad Soden / Ts.
ISBN 978-3-528-03809-0 ISBN 978-3-322-89712-1 (eBook)
DOI10.1007/978-3-322-89712-1
Der Erinnerung an
JOHANN RADON
(1887-1956)
gewidmet.
Vorwort
Dieses Buch fußt auf Vorlesungen, die ich seit 1956 an der Universität Wien, der
Technischen Hochschule (Universität) Stuttgart und der Technischen Hochschule
(Technischen Universität) Wien über Differentialgeometrie, Riemannsche Geometrie
und differenzierbare Mannigfaltigkeiten gehalten habe. Herr Prof. Dr. H. Sachs hat
1968/69 bzw. 1969 ein Skriptum meiner Stuttgarter Vorlesung über Differential
geometrie bzw. über Riemannsche Geometrie hergestellt. 1973 wurde von Herrn
Dr. P. Paukowitsch eine Reinschrift einer Wiener Vorlesung ausgearbeitet; auf dieser
Grundlage haben Prof. Dr. H. Schaal in Stuttgart und Prof. Dr. O. Giering in
München Vorlesungen gehalten. Beiden Herren verdanke ich wertvolle Anregungen.
Für das vorliegende Buch wurde das Manuskript völlig neu geschrieben und
inhaltlich stark verändert. Ziel ist eine mit dem mathematischen Wissen eines
Studenten mittlerer Semester gut lesbare Einführung in die Differentialgeometrie, die
bei Berücksichtigung der anschaulichen, klassischen Aspekte durch die Stoffauswahl
und die benützte Sprache einerseits mit modernen Ideen dieses Gebietes vertraut
machen soll und andererseits als Grundlage für weiterführende Vorlesungen oder
Literaturstudien verwendet werden kann. So ist ein Lehrbuch entstanden, daß sich
von der vorhandenen Literatur über Differentialgeometrie nicht unwesentlich unter
scheidet. Kenner werden mühelos jene Stellen auffinden, die methodisch oder
inhaltlich Neues enthalten.
Die Differentialgeometrie der Kurven und der rn-dimensionalen Flächen im n
dimensionalen euklidischen Raum ist so aufgebaut, daß damit eine zwanglose Über
leitung zu der Einführung in die Theorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten und in
die Riemannsche Geometrie des Kapitels 8 möglich ist. Manche dazu nötigen
Begriffsbildungen werden schon in den beiden einleitenden, breiter als üblich gefaßten
Kapiteln über lineare Geometrie und Analysis für den euklidischen Raum entwickelt.
Mit Hilfe der Rückverweisungen ist es jedoch möglich, die Begriffsbildungen der
Analysis erst an jener Stelle zu studieren, wo Verallgemeinerungen im Rahmen der
Differentialgeometrie auftreten. Alle Definitionen sind koordinatenfrei formuliert;
VI Vorwort
um das zur Lösung konkreter geometrischer Einzelfragen nötige Rüstzeug zu ver
mitteln, ist auch stets die koordinatenmäßige Behandlung berücksichtigt. Verzichtet
wurde auf den Differentialformenkalkül, doch wird der Leser keine Schwierigkeiten
haben, sich diese für die moderne Differentialgeometrie wichtige Methode auf der
Grundlage des Buches selbst anzueignen. In einer Einführung sollten nach meiner
Ansicht nicht verschiedene methodische Ansätze verwendet werden.
Der gebotene Stoff geht in Umfang und Inhalt über eine etwa vierstündige Vor
lesung hinaus und gestattet den Anschluß eines weiterführenden Seminars. Die sorg
fältig angebrachten zahlreichen Rückverweisungen ermöglichen es, verschiedenartige
Lehrgänge aus dem Inhalt zusammen zu stellen. Freunde konkreter Geometrie wer
den die Diskussionen im Anschluß an den induzierten Zusammenhang in KapitelS
überschlagen, die Krümmungstheorien in Kapitel 6 nur für Hyperflächen behandeln
und sich vor allem den 2-Flächen in Kapitel 7 zuwenden. Das andere Extrem ist die
Auswahl eines Lehrgangs über differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Riemannsche
Geometrie; dabei kann man mit Kapitel 8 beginnen und die Rückverweisungen dazu
verwenden, Beispiele für die eingeführten Begriffe bereitzustellen. Die Abschnitte
3.3,4.3,5.5 und 6.5 und das Kapitel 7 müssen nicht studiert werden, um jeweils nach
folgende Abschnitte verstehen zu können, der Abschnitt 3.5 wird erst in 8.8 benötigt.
Der Abschnitt 8.8 ist unter Verwendung einzelner Rückverweisungen auch ohne die
vorhergehenden Abschnitte des Kapitels 8 lesbar.
Jedem Kapitel ist eine kurze Inhaltsübersicht vorangestellt, und jeder Abschnitt
schließt mit einer Sammlung von Aufgaben zur Einübung des behandelten Stoffes.
Manchen der insgesamt 440 Aufgaben ist eine kurze Anleitung beigefügt; Hinweise
der Form A 5.2,3 betreffen Aufgaben. Formeln sind in jedem Abschnitt fortlaufend
numeriert. Bei Zitaten innerhalb eines Abschnitts wird nur die Formelnummer an
gegeben.
Ich danke meinen Assistenten F. Anzböck, H. Havlicek, F. Manhart und R. Rie
singer für die kritische Durchsicht des Manuskripts; sie haben mitgeholfen, die An
zahl der Fehler zu verkleinern. Mein besonderer Dank gilt meinem Assistenten
P. Paukowitsch, der in zahlreichen Diskussionen Verbesserungen angeregt und alle
Aufgaben durchgerechnet hat. Weiter danke ich meiner Sekretärin, Frau G. Grotz
für die mühevolle Erstellung der Reinschrift und Herrn A. Schubert vom Vieweg
Verlag für die entgegengebrachte Unterstützung und Geduld, sowie das bereitwillige
Eingehen auf meine Wünsche.
Differentialgeometrie ist meines Erachtens ein Gebiet, das sich wegen zahlreicher
Querverbindungen zu anderen mathematischen Disziplinen und seiner Bedeutung
etwa für die theoretische Physik besonders gut als Vorlesung für den zweiten Studien
abschnitt einer Mathematikerausbildung eignet. Möge dieses Buch ein wenig dazu
beitragen, daß im stärkeren Ausmaß als derzeit Differentialgeometrie an Universitäten
gelehrt wird.
Wien, im Jänner 1981 H. Brauner
Inhaltsverzeichnis
Symbol verzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. IX
1. Lineare Geometrie
1.1 Reelle Vektorräume. ................................... ........... 1
1.2 Tensorräume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Euklidische Vektorräume ......................................... , 12
1.4 Affine Räume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
2. Analysis
2.1 Topologische Räume. . . . ... .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . .. .. 29
2.2 Differenzierbare Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
2.3 Immersionen, Einbettungen, Diffeomorphismen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
2.4 Differenzierbare Vektorfelder. ............................... ~ . . . . .. 54
2.5 Integrale, Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
3. Differentialgeometrie der Kurven in IRn
3.1 Kurvenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66
3.2 Ableitungsvektoren, Bogenlänge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74
3.3 Berührung von Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81
3.4 Ableitungsgleichungen und Hauptsatz .............................. , 90
3.5 Globale Probleme für Kurven in IR2 ..•.......•.......•....•..•....•. 104
4. Flächen in IRn
4.1 Flächenbegriff. ................................................... 116
4.2 Tangentialvektorraum einer Fläche .................................. 126
4.3 Berührung von Flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132
4.4 Blätter in IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141
4.5 Parameterwechsel. ................................................ 151
VIII Inhaltsverzeichnis
5. Geometrie auf Flächen in IRn
5.1 Das metrische Tensorfeld .......................................... 158
5.2 Kovariante Ableitung längs eines Flächenweges ....................... 169
5.3 Der induzierte Zusammenhang ..................................... 186
5.4 Der Krümmungsoperator des induzierten Zusammenhangs ............. 192
5.5 Abbildungen aus einem rn-Blatt in ein rn-Blatt ........................ 200
6. Krümmungstheorie der Flächen in IR
n
6.1 Der Gauß-Operator. .............................................. 215
6.2 Die Weingarten-Abbildung ......................................... 225
6.3 Der Krümmungstensor und der Codazzi-Operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232
6.4 Krümmungstheorie der Hyperftächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 239
6.5 Hauptsatz und Integrabilitätsbedingungen der Hyperftächentheorie ...... 253
7. 2-Flächen in IR3
7.1 Kurven auf 2-Flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 263
7.2 Regelftächen in IR 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 275
7.3 2-Flächen in IR3 mit konstanter Gaußscher Krüm~ung ................ 287
7.4 Minimalftächen ................................................... 300
8. Riemannsche Räume
8.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 313
8.2 Zerlegung der Eins auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ............ 324
8.3 Der Tangentialvektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 330
8.4 Zusammenhänge auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten .............. 345
8.5 Metrische Tensorfelder auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ......... 356
8.6 Das Krümmungstensorfeld eines Riemannschen Raumes ............... 366
8.7 Die Expünentialabbildung, die innere Metrik Riemannscher Räume ...... 375
8.8 Die Integralfürmel von Gauß-Bünnet und globale Probleme für Riemann-
sche 2-Räume .................................................... 395
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 416
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 418
Symbolverzeichnis
lN Menge der natürlichen Zahlen
7L Menge der ganzen Zahlen
JR Menge der reellen Zahlen
JR+ Menge der positiven reellen Zahlen
JRm Menge der reellen rn-Tupe1
<C Menge der komplexen Zahlen
p
leere Menge
0 Ende eines Beweises
1. Lineare Geometrie
W endlichdimensionaler reeller Vektorraum 1
wm rn-dimensionaler reeller Vektorraum 1
IH lineare Hülle 1
15 k 15 15 jk Kroneckersymbol 2
j , jk ,
(tn inverse Matrix zu (tf,) 2
(tjY transponierte Matrix zu (lf,) 2
ker I Kernraum von I 3
Rg (lj) Rang der Matrix (lj) 3
W* zu W dualer Vektorraum 4
(a,(J) Wert der Linearform (J auf a 4
1* zu I transponierter Vektorraumhomomorphismus 5
EB direkte Summe 6
k-Tensorraum über W 6
~kW
® Tensorprodukt 7
6 Gruppe der Permutationen von k Elementen 7
k
Vektorraum der alternierenden k-Tensoren über W 8
AkW
X Symbolverzeichnis
äußeres Produkt 8
det kanonische Determinantenform auf IR m 10
detl Determinante von I 10
sp I Spur von I 10
id identische Abbildung von M 11
M
(\V; g) euklidischer Vektorraum 12
Ilvll Länge von v 12
\Vt orthogonales Komplement von \VI 12
ONB orthonormierte Basis 12
Tl Hauptunterdeterminante von (gjk) 13
j natürliche Injektion 15
Vektorprodukt in \Vm + 1 17
Vektorprodukt in \V2 17
A(\V) affinier Raum über \V 20
(a; A) affines Koordinatensystem 21
T"A(\V) Tangentialvektorraum von A (\V) in a 21
~=(a; v) Tangentialvektor 21
TU Tangentialbündel von U 22
n Projektion 22
T,,*A(\V) dualer Tangentialvektorraum in a 23
T*U duales Tangentialbündel von U 23
':rkTU k-Tensorbündel von U 23
AkTU alternierendes k-Tensorbündel von U 24
JE (\V) euklidischer Raum über \V 24
(M; d) metrischer Raum 25
Sk k-Sphäre 26
Tm
abgeschlossenes rn-dimensionales Intervall 26
Llk+1 k-Simplex 28
2. Analysis
M\A Komplement von A in M 30
A offener Kern von A 30
