Zur Geschichte des axiomatischen Vektorraumbegriffs

191 Pages·2005·1.46 MB·German

Zur Geschichte des axiomatischen
Vektorraumbegriffs
Diplomarbeit von Ralf Kr¨omer,
angefertigt 1998 an der Universit¨at des Saarlandes
nach einer Themenstellung von Prof.Dr. E.–U. Gekeler
19. Juni 2000
2
Inhaltsverzeichnis
Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Abku¨rzungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Hinweise zur Benutzung der vorliegenden Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I Quellengeschichte des Vektorraumbegriffs 19
1 Prim¨arquellen 21
2 Lehrbu¨cher 43
II Ideengeschichte des Vektorraumbegriffs 47
3 Strukturmathematik 49
3.1 Das Gewinnen der Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Wechsel des Ausgangspunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1.1 Wechsel der Gegenst¨ande: Objects of Study of their own right. . . 50
3.1.1.2 Wechsel der Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 Instanzen einer Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2.1 Strukturgewinnung aus Instanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2.2 Interpretation von Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Der methodische Sinn von Strukturmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Strukturen und Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Vergleichbarkeitund Hierarchie der Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Grad der Getrenntheit bei der Formulierung einer Struktur . . . . . . . . . 56
3.3.3 Logische Unabh¨angigkeit von Axiomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.4 Logische Unabh¨angigkeit von Axiomen und Getrenntheit der Formulierung
bei Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Strukturgeschichte der Vektorraumtheorie 61
4.1 Der heutige Vektorraumbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 Die Bestandteile der Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2 Die Namen Vektor‘, Vektorraum‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
’ ’
4.2 Die Vektorenmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Status der Elemente der Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1.1 Der genetische Standpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1.2 Koordinatentupel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3
4 INHALTSVERZEICHNIS
4.2.1.3 PostulatorischerZugang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 Die A¨quivalenzrelation auf der Vektorenmenge . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.3 Die Erkl¨arung der M1–wertigen Verknu¨pfungen . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.4 Die Gruppenstruktur auf M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Die Verbindung von M1 und M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1 Die Unterscheidung der Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.2 Die Abh¨angigkeit der jeweiligen Strukturen auf den Mengen untereinander 70
4.3.2.1 Der K¨orper M2 induziert die Gruppenstruktur auf M1 . . . . . . . 70
4.3.2.2 Was induziert M1 auf M2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Die Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.1 Der Begriff der linearen Unabh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.2 Endliche Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.2.1 Teilr¨aume und lineare Hu¨llen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.2.2 Der Zusammenhang von Dimensions- und Basisaxiom . . . . . . . 74
4.4.3 Unendliche Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.3.1 Schritte zur Betrachtung unendlichdimensionaler R¨aume . . . . . 77
4.4.3.2 Die Schauderbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.3.3 Abstrakter Dimensionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5 Lineare Abbildungen und der Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6 Zus¨atzliche Struktur auf einem Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.1 Die affine Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.2 Die metrische Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.2.1 Metrik und Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.2.2 Absehen von Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.6.3 Skalarprodukt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Instanzengeschichte der Vektorraumtheorie 87
5.1 Implizite Vektorraumtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.1 Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.2 Algebrentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.2.1 Quaternionen und Matrizenalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.2.2 Das algebraische Permanenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.2.3 Der Name Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.3 Moderne Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.3.1 Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.3.2 Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.4 Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.4.1 Gleichungssysteme in unendlich vielen Unbekannten . . . . . . . . 93
5.1.4.2 R¨aume von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 Die Wirkung der Instanzen der Skalarmenge auf die Theorie . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.1 Die origin¨are Skalarmenge R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.2 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.3 Aufbau von M2 auf Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.3.1 Kanonische Skalarmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.3.2 Minuszeichenkonvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.4 Beliebige K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.5 Andere Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.6 Auswirkungen der Wahl von M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.7 Wechselseitig abh¨angige Wahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
INHALTSVERZEICHNIS 5
6 Erkenntnistheorie und Axiomatik 101
6.1 Klassische und moderne Axiomatik in der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1 Der geschichtliche Hergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.2 Zur Systematik Hilbertscher Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.1.2.1 Die Anforderungen an die Axiome bei Hilbert . . . . . . . . . . . 103
6.1.2.2 Kritik an Hilbert: Die Diskussion um die impliziten Definitionen . 105
6.2 Moderne Axiomatik in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1 Die Wechselwirkung von Algebra und Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1.1 more geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1.2 Algebraisierung der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1.3 Fusion der beiden Disziplinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.1.4 Die beiden Disziplinen als Modelle fu¨reinander . . . . . . . . . . . 108
6.2.2 Die Anforderungen an die Axiome in der Strukturmathematik . . . . . . . 108
6.2.2.1 Der Terminus Axiom‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
’
6.2.2.2 Strukturmathematik und implizite Definitionen. . . . . . . . . . . 109
6.3 Die Erkenntnishaftigkeitmathematischer Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3.1 Der Anspruch des Realit¨atsbezugs: Anschauung‘ . . . . . . . . . . . . . . . 111
’
6.3.1.1 Die Abkehr von der Anschauung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3.1.2 Strukturen und Anschauung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3.1.3 Die Vers¨ohnung‘ von Strukturmathematik und Anschauung . . . 114
’
6.3.2 Anschauung und Vektorraum: dim>3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Der Einfluß von Kant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
III Akzeptanzgeschichte des Vektorraumbegriffs 119
7 Akzeptanz neuer mathematischer Konzepte allgemein 121
7.1 Mathematiker und Mathematikgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2 Kuhn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2.1 Kuhn und Ontologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2.2 anomalies, crisis und revolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2.3 resistance und conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3 Fruchtbarkeit und Obsoletwerden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.4 normal science und Moratorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8 Akzeptanz und Rezeption des Vektorraumbegriffs 139
8.1 Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.2 Peano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Anhang 144
A Quellen 145
A.1 Grassmanns Ausdehnungslehre von 1862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.2 Hankels Theorie der complexen Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.3 Peanos Calcolo geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A.4 Weyls Raum — Zeit — Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.5 Wieners The Group of the Linear Continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A.6 Dicksons Algebras and their Arithmetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.7 Schauders Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalr¨aumen . . . . . . . . . 176
6
B Verzeichnis der #–Markierungen 179
Literaturverzeichnis 181
Danksagung
Mein erster Dank gilt Herrn Professor Gekeler. Am Saarbru¨cker Fachbereich Mathematik gibt es
weder eine Tradition noch eine Infrastruktur der Mathematikhistoriographie. Herr Gekeler ging
somit in der Themenstellung risikobereit u¨ber das Allt¨agliche‘ hinaus; ich habe das pers¨onlich
’
als Entgegenkommen und Verstandenwerden empfunden. All das war auch in der Zeit der An-
fertigunginzahlreichenGespr¨achenzuspu¨ren. Auchfu¨rdieUnterstu¨tzungdesLehrstuhlsbeiden
anfallenden Kosten bin ich zu Dank verpflichtet.
Ich m¨ochte mich bedanken bei den Mitarbeitern der Universit¨atsbibliothek (insbesondere der
h¨aufig besuchten Fernleihstelle) und der Institutsbibliothek des Fachbereichs Mathematik fu¨r
ihre kompetente und unbu¨rokratische Beratung und Hilfe. Mein Dank gilt ferner den Professoren
SchuppundLorenzundHerrnShahidRahmanfu¨rweiterfu¨hrendeAngaben. BeiderTextverarbei-
tung unterstu¨tzten mich Raphael Coumont, Achim Domma, Anselm Lambert, Ortwin Scheja und
Bodo Wack. Philipp Werner las die Arbeit sorgf¨altig durch, als sie in einem noch sehr unfertigen
Zustand war; manche wissenschaftstheoretischen Schlußfolgerungen dieser Arbeit h¨atte ich ohne
seine Hinweise nicht formulieren k¨onnen. Meine Mutter Ortrud Kr¨omer half mir beim Erfassen
deritalienischenTexte;WolfgangKrautmacherstellteseinnotebookzurVerfu¨gung. MeineFamilie,
Torsten Becker, Christian Belles, Benedikt Betz, Joachim Conrad, Volker Gebhard, Sven Harig,
Sabine K¨onig, Marion Landry, Uwe Peters, Ulrike Schwarz und viele andere hatten immer ein
offenes Ohr fu¨r die Probleme, mit denen ich mich befaßte, und viele Worte der Unterstu¨tzung.
Schließlichisthieristeine guteGelegenheit,einmalderFachschaftMathematikDank zusagen
fu¨r die von ihr angeregtenRingvorlesungenzur Geschichte der Mathematik, die ich als erfreuliche
undnu¨tzliche BereicherungdesVorlesungsangebotserlebthabe. Insbesonderefu¨r dieM¨oglichkeit,
in diesem Rahmen u¨ber meine Arbeit sprechen zu k¨onnen, bin ich sehr dankbar.
7
8
9
Abku¨rzungsverzeichnis
A◦ Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation
A+ Assoziativgesetz der Vektoraddition
A1 Ausdehnungslehre von 1844 (= [71] I.1, S.1–139) bzw. 1878; eine
franz¨osische U¨bersetzung findet man mithilfe von MR 96k 01022.
A2 Ausdehnungslehre von 1862 (= [71] I.2, S.4–379); wegen einer
franz¨osischen U¨bersetzung vgl. oben A1
Am. J. Math. AmericanJournalofMathematics,JohnsHopkinsUniversityPress/
Baltimore
Am. Math. Monthly American Mathematical Monthly, MAA
AMS American Mathematical Society, Providence/Rhode Island
Anm. Anmerkung
Arch. Hist. Ex. Sci. Archive for the History of Exact Sciences, Springer/Berlin
BS Banachs Axiomensystem nach Schauder (vgl. S.176)
Comm. Math. Inst. Rijks- Communications of the Mathematical Institute of the Rijks-
univ. Utrecht universiteit Utrecht
Crelle Journal fu¨r die reine und angewandte Mathematik, De Gruyter/
Berlin
Dl Linksdistributivit¨at‘ (also bezu¨glich der K¨orperaddition)
’
Dr Rechtsdistributivit¨at‘ (also bezu¨glich der Vektorraumaddition)
’
Daub Dauben, Joseph Warren, The history of mathematics from anti-
quity to the present. A selective bibliography, Garland/NY 1985.
Literaturangaben versehen mit Daub‘, gefolgt von einer Ziffer,
’
sind unter dieser Ziffer in Daubens Bibliographie verzeichnet und
besprochen.
DICK Dicksons Axiomensystem (vgl. S.173f)
DMV Deutsche Mathematikervereinigung
ebd. ebenda, in der zuletzt zitierten Quelle
Elem. Math. Elementa Mathematicae, Schweizerische Mathematische Gesell-
schaft, Birkh¨auser/Basel
EPT E´cole Polytechnique
f (bei Seitenangaben) und die folgende (bei MR–items bezeichnet ab
1980 der Buchstabe f das Heft Nr.f des Jahrgangs)
ff (bei Seitenangaben) und die folgenden
10
fs so werden Gesamtausgaben gekennzeichnet, die die originalen
Seitenzahlen (Faksimileausgaben) oder jedenfalls die originalen
Seitenumbru¨che (dann kann man die zugeh¨orige Originalseitenzahl
errechnen oder umgekehrt) beibehalten.
Fund. Math. Fundamenta mathematicae, Polnische Akademie der Wissen-
schaften/ Warschau
GdG Hilbert, David, Grundlagen der Geometrie, in: Festschrift zur
Feier der Enthu¨llung des Gauss–Weber–Denkmals in G¨ottingen,
Teubner/Leipzig 1899, 1–99 (die andere in diesem Band enthalte-
ne Arbeit beginnt allerdings mit den Seitenzahlen von vorn); JFM
52 22
HM Historia mathematica, Academic Press/Orlando
ICM International Congress of Mathematicians
JFM Jahrbuchu¨berdieFortschrittederMathematik,DMV,DeGruyter/
Berlin
K+ Kommutativgesetz der Vektoraddition
(cid:1) links (bei Spaltenangaben)
LAA Peirce, Benjamin, Linear associative algebra (1870); in: Am. J.
Math. 4 (1881), 97–229;JFM 13 82
Lin. Alg. Appl. Linear Algebra and its Applications, North Holland/NY
MAA Mathematical Association of America, Washington/DC
Math. Ann. Mathematische Annalen, Springer/Heidelberg
Math. Intell. Mathematical Intelligencer, Springer/NY
Math. Z. Mathematische Zeitschrift, Springer/Berlin
MR Mathematical Reviews, AMS
n.s. new series
Nieuw Arch. Wisk. Nieuw Archief voor Wiskunde, Math. Centrum/Amsterdam
NORMAT Nordisk matematisk tidskrift, Skand. University Press/Oslo
NTM Schriftenreihe zur Geschichte von Naturwissenschaft, Technik und
Medizin, Birkh¨auser/Basel
NY New York (bei Verlagsangaben)
o oben (bei Seitenangaben)
r rechts (bei Spaltenangaben)
Rend. Circ. Mat. Palermo Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
RZM Weyl, Hermann, Raum, Zeit, Materie, Springer/Berlin 1918; JFM
46 1277. Man beachte, daß die vonmir gegebenen Seitenzahlen auf
die 1. und 2. (unver¨anderte) Auflage bezogen sind.
SCH Schauders Axiomensystem (vgl. S.176)
Stud. Hist. Philos. Sci. Studies in History and Philosophy of Science, Pergamon/Oxford
U Unitarit¨at
u unten (bei Seitenangaben)