Zur Darstellungstheorie von Darstellungsringen

67 Pages·1999·0.634 MB·German

by  Markus Deiml

Zur Darstellungstheorie von
Darstellungsringen
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)
vorgelegt dem Rat der Fakult(cid:127)at fu(cid:127)r Mathematik und Informatik der
Friedrich-Schiller-Universit(cid:127)at Jena
von Dipl.-Math. Markus Deiml
geboren am 28.7.1968 in Augsburg
Gutachter
1. Prof. Dr. Burkhard Ku(cid:127)lshammer, Jena
2. Prof. Dr. Adalbert Kerber, Bayreuth
3. Dr. habil. Robert Boltje, Augsburg
Tag des Rigorosums: 1. Dezember 1997
Tag der (cid:127)o(cid:11)entlichen Verteidigung: 15. Dezember 1997
Inhaltsverzeichnis
Einleitung iii
Notation vi
Kapitel 1. Geschlossene Algebren 1
1. De(cid:12)nition und Eigenschaften 1
2. Idempotente 3
3. Bl(cid:127)ocke und Halbeinfachheit 7
Kapitel 2. Der Burnside-Ring 10
1. Der gew(cid:127)ohnliche Fall 10
2. Der modulare Fall 13
3. Das Radikal 17
4. p-Gruppen 19
5. Symmetrie 22
Kapitel 3. Der Charakterring 28
1. Der gew(cid:127)ohnliche Fall 28
2. Der modulare Fall 29
3. Ein Induktionssatz 32
4. Radikal und Sockel 34
Kapitel 4. Der Grothendieck-Ring 39
1. Der gew(cid:127)ohnliche Fall 39
2. Der modulare Fall 41
Kapitel 5. Der Trivial-Source-Ring 44
1. Der gew(cid:127)ohnliche Fall 44
2. Verschiedene Charakteristiken 47
3. Gleiche Charakteristiken 48
4. Bl(cid:127)ocke 52
i
INHALTSVERZEICHNIS ii
Literaturverzeichnis 54
Lebenslauf 56
Selbst(cid:127)andigkeitserkl(cid:127)arung 57
Einleitung
Gegenstand derDarstellungstheorievonendlichenGruppenistdieKlassi(cid:12)kationderA(cid:127)hn-
lichkeitsklassen von Darstellungen einer endlichen Gruppe G u(cid:127)ber einem K(cid:127)orper F oder,
(cid:127)aquivalentdazu,derIsomorphieklassenvonFG-Moduln.EineM(cid:127)oglichkeit,andieseAufga-
beheranzugehen,istdasStudiumvonDarstellungsringen.ManbetrachtetdazudieMenge
a(FG) der Isomorphieklassenvon virtuellen\ FG-Moduln,diedurch direkte Summeund
"
Tensorprodukt eine wohlde(cid:12)nierte Ringstruktur erh(cid:127)alt. Diese Konstruktion wurde zuerst
vonJ.Greeneingefu(cid:127)hrtundwirddaheroftalsGreen-Ringbezeichnet. NachdemSatzvon
Krull-Schmidtista(FG) einfreierZ-ModulmitdenIsomorphieklassenvon unzerlegbaren
FG-Moduln als Basis.
Ist F ein algebraisch abgeschlossener K(cid:127)orper der Charakteristik 0, so sind die unzerlegba-
ren FG-Moduln zugleich einfach, und die Abbildung, die jedem FG-Modul den zugeh(cid:127)ori-
gen Charakter zuordnet, ist ein Ringisomorphismuszwischen a(FG) und dem Charakter-
ring R(G) von G.
Im Fall, da(cid:25) F die positive Charakteristik q besitzt, ist der Green-Ring jedoch meistens
zu gro(cid:25), um ihn (vernu(cid:127)nftig) beherrschen zu k(cid:127)onnen. Z.B. ist nach D. Higman [13] die
Anzahl der Isomorphieklassen von unzerlegbaren FG-Moduln (und damit der Z-Rang
von a(FG)) genau dann endlich, wenn G eine zyklische q-Sylowgruppe besitzt. Statt-
dessen betrachtet man daher gewisse Teil- und Faktorringe von a(FG), etwa den Ring
a(FG;Triv) der FG-Moduln mit trivialer Quelle oder den Grothendieck-Ring c(FG) der
Kategorie der FG-Moduln. Nicht zuletzt z(cid:127)ahlt auch der Burnside-Ring b(G), n(cid:127)amlich der
Grothendieck-Ring derKategorie derendlichenG-Mengen, zu denDarstellungsringen.Sie
alle sind kommutative Z-Ordnungen, die eine eigene Darstellungstheorie besitzen, die es
zu untersuchen gilt.
Um diese Aufgabe zu erleichtern, erweitert man u(cid:127)blicherweise den Koe(cid:14)zientenring Z
zu einem K(cid:127)orper k mit der Eigenschaft, da(cid:25) die entstehende k-Algebra zerf(cid:127)allt. Auf diese
Weiseerh(cid:127)altmanAk(FG):=k(cid:15)Za(FG); Ck(FG):=k(cid:15)Zc(FG),usw.ImFallchark =0
ist die Struktur dieser Algebren meist bekannt. So folgt bereits aus den Arbeiten von
R. Brauer, da(cid:25) CC(FG) halbeinfach ist. BQ(G) und AC(FG;Triv) sind nach L. Solomon
[21] bzw. S. Conlon [6] ebenfalls halbeinfache Algebren, und dies tri(cid:11)t auch fu(cid:127)r AC(FG)
zu, wenn G eine zyklische q-Sylowgruppe besitzt (J. Green [11] und M. O’Reilly [20]).
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher auf dem Fall chark = p > 0, sozusagen der
modularen DarstellungstheorievonDarstellungsringen.DiebeidenCharakteristikenpund
q von k bzw. F k(cid:127)onnen dabei sowohl gleiche wie auch verschiedene Primzahlen sein.
Zun(cid:127)achst werden wir dazu im ersten Kapitel den Begri(cid:11) einer geschlossenen Algebra
einfu(cid:127)hren. Er erm(cid:127)oglicht es, allgemeine Ergebnisse fu(cid:127)r die Darstellungsringe, die wir un-
tersuchen wollen, zu formulieren. Durch eine geeignete Wahl des Koe(cid:14)zientenrings wird
iii
EINLEITUNG iv
n(cid:127)amlich jeder dieser Darstellungsringe zu einer geschlossenen Algebra. Es wird gezeigt,
da(cid:25) jede geschlossene R-Algebra A u(cid:127)ber dem Zerf(cid:127)allungsk(cid:127)orper von R halbeinfach ist,
und es wird beschrieben, wie die Bl(cid:127)ocke nach Reduktion modulo p zusammenfallen. Eine
wichtige Rolle spielen vor allem die Species von A, d.h. die R-Algebrenhomomorphismen
vonAnachR.Dennnotwendigdafu(cid:127)r,da(cid:25)Aeinegeschlossene Algebraist,istdieExistenz
von genu(cid:127)gend vielen\ Species.
"
Der Rest der Arbeit widmet sich der Reihe nach dem Burnside-Ring, Charakterring,
Grothendieck-Ring und dem Trivial-Source-Ring. Durchwegs behandelt dabei der jeweils
erste AbschnittinjedemKapiteldenFallchark =0 undstellteineZusammenfassungvon
bekannten Tatsachen dar.
DieSpeciesdesBurnside-RingssinddiesogenanntenMarkenhomomorphismen,diebereits
W. Burnside eingefu(cid:127)hrt hat. Sie z(cid:127)ahlen die Fixpunkte von G-Mengen unter jeweils einer
festen Untergruppe von G, unddurch sie wirdb(G) zu einer geschlossenen Z-Algebra. Die
modulareDarstellungstheoriedesBurnside-Rings(cid:12)ndetihrenAusgangspunktbeiA.Dress
[9], der die Primideale von b(G) beschrieben hat. Dies hat T. Yoshida [24] dazu benutzt,
um die primitiven Idempotente von Bk(G) anzugeben. Davon ausgehend untersuchen wir
in Kapitel 2 einzelne Bl(cid:127)ocke von Bk(G). Sie sind indiziert u(cid:127)ber die Konjugationsklassen
von p-perfekten Untergruppen von G, und wir nennen BH den zu H (cid:20) G geh(cid:127)origen
Block, falls H p-perfekt ist. Wir geben eine kanonische k-Basis von BH an, mit deren
Hilfe wir das Jacobson-Radikal JBH von BH beschreiben (Satz 2.16) und die Loewy-
r
L(cid:127)ange l(BH) von BH nach oben durch r+1 absch(cid:127)atzen k(cid:127)onnen, wenn jNG(H) : Hjp =p
ist (Satz 2.18). Ist G eine p-Gruppe, so ist Bk(G) eine lokale Algebra, und wir (cid:12)nden
auch eine Absch(cid:127)atzung der Loewy-L(cid:127)ange nach unten: Bezeichnet (cid:8)(G) die Frattinigruppe
von G, so gilt l(Bk(G)) (cid:21) r + 1, wobei r der Rang der elementarabelschen p-Gruppe
G=(cid:8)(G)ist(Satz2.20). IstGzus(cid:127)atzlichabelsch,sowirddieseAbsch(cid:127)atzungzurGleichheit.
Abschlie(cid:25)end geben wir ein Kriterium an, wann ein Block von Bk(G) fu(cid:127)r eine beliebige
endliche Gruppe G eine symmetrische Algebra ist. Dabei kommt es darauf an, genu(cid:127)gend
Elemente im Sockel eine(cid:45)s Blocks zu (cid:12)nden. Es stellt sich heraus, da(cid:25) BH genau dann
2
symmetrischist,fallsp jNG(H) : Hjist(Satz 2.27). Fu(cid:127)rBk(G) selbstwar eine(cid:127)ahnliches
Kriterium bereits bekannt (siehe [12]).
In Kapitel 3 untersuchen wir den Charakterring. Wir betrachten dabei R(G) u(cid:127)ber einem
Koe(cid:14)zientenring O, der die Werte aller Charaktere von G enth(cid:127)alt. Wir sind dann in der
Lage, Speciesdes Charakterringszude(cid:12)nieren,indemwirdieCharaktere jeweilsaneinem
festen Gruppenelementauswerten. Auf diese Weise k(cid:127)onnen wir die Ergebnisseaus Kapitel
1 auf den Charakterring anzuwenden. Wir geben die primitiven Idempotente von Rk(G)
explizit an (Satz 3.2 und 3.5) und zeigen, da(cid:25) Rk(G) genau dann halbeinfach ist, wenn
p die Gruppenordnung von G nicht teilt (Satz 3.6). Genauer charakterisiert Satz 3.6 die
einfachen Bl(cid:127)ocke. Nebenbei erhalten wir an dieser Stelle ein bekanntes Ergebnis, das auf
S. Berman [4] zuru(cid:127)ckgeht: Der Charakterring enth(cid:127)alt au(cid:25)er 0 und 1 keine Idempotente.
Alsn(cid:127)achstes stellenwirfest, da(cid:25)Rk(G)imGegensatz zuBk(G)injedemFalleinesymme-
trische k-Algebra ist (Satz 3.8), und wirbeweisen einen Induktionssatz fu(cid:127)r Rk(G), der auf
den p-quasielementaren Untergruppen von G basiert (Satz 3.11). Au(cid:25)erdem beschreiben
wir das Radikal von Rk(G) als Kern der Zerlegungsabbildung (Satz 3.14) und den Sockel
als Ring der projektiven Charaktere (Satz 3.19). Leider k(cid:127)onnen wir keine obere Schran-
ke fu(cid:127)r die Loewy-L(cid:127)ange von Rk(G), dafu(cid:127)r aber immerhin fu(cid:127)r den Nilpotenzgrad eines
Radikal-Elements angeben. Sie wird gegeben durch den p-Exponenten von G (Satz 3.16).
EINLEITUNG v
Anstelle der gew(cid:127)ohnlichen Charaktere benutzt man beim Grothendieck-Ring die Brauer-
charaktere von G, um Species zu de(cid:12)nieren. Sie zeigen, da(cid:25) c(FG) u(cid:127)ber einem K(cid:127)orper
der Charakteristik 0, der die Brauercharakterwerte enth(cid:127)alt, ein halbeinfacher Faktorring
des Green-Rings ist. Der modula(cid:45)re Grothendieck-Ring Ck(FG) dagegen ist genau dann
halbeinfach, wenn p = q oder p jGj ist (Satz 4.5). Bei der Untersuchung von Ck(FG)
beschr(cid:127)ankenwirunsansonstenaufdieBeschreibung derprimitivenIdempotente (Satz 4.2
und 4.4), dem Nachweis, da(cid:25) Ck(FG) eine symmetrische Algebra ist (Satz 4.7), und ei-
ner U(cid:127)bertragung der Nilpotenzaussagen des Charakterrings auf den Grothendieck-Ring
(Satz 4.8).
ImletztenKapitelbetrachten wirdenTrivial-Source-Ringoder denRingderq-Permutati-
onsmodulna(FG;Triv). Die Speciesdes Trivial-Source-Ringswurdenzum ersten Mal von
S.Conlonangegeben.WirbestimmeneinKriteriumdafu(cid:127)r,wanndieseSpeciesnachderRe-
duktion modulop zusammenfallen undmu(cid:127)ssen dazu die F(cid:127)alle p6= q und p=q unterschei-
den. Die Ergebnisse sind in Satz 5.7(cid:45)und Satz 5.11 zu (cid:12)nden. Es folgt, da(cid:25) Ak(FG;Triv)
genau dann halbeinfach ist, wenn p jGj ist (Satz 5.13). Diese Aussage beruht wie beim
Charakterring auf der Charakterisierung der einfachen Bl(cid:127)ocke von Ak(FG;Triv). Schlie(cid:25)-
lich zeigen wir, da(cid:25) auch a(FG;Triv) au(cid:25)er 0 und 1 keine Idempotente besitzt.
Bedanken m(cid:127)ochte ich mich abschlie(cid:25)end bei der Universit(cid:127)at Augsburg, die einen Teil mei-
ner Promotionszeit mit einem Stipendium unterstu(cid:127)tzt hat, und natu(cid:127)rlich bei meinem Be-
treuer Prof. Dr. B. Ku(cid:127)lshammerfu(cid:127)r viele lehrreiche Stunden undfu(cid:127)r seine Unterstu(cid:127)tzung,
die mir immer gewi(cid:25) war.
Notation
Allgemeines
N Halbring der natu(cid:127)rlichen Zahlen
Z Ring der ganzen Zahlen
Q K(cid:127)orper der rationalen Zahlen
C K(cid:127)orper der komplexen Zahlen
Fp Galois-Feld mit p Elementen
0 0
np;np p- bzw. p-Anteil einer natu(cid:127)rlichen Zahl n
Gruppen
jGj Ordnung einer Gruppe G
Z(G) Zentrum von G
(cid:8)(G) Frattinigruppe von G
0 0
Gp;Gp p- bzw. p-Elemente von G
0 0
gp;gp p- bzw. p-Faktor von g 2G
hgi (cid:46) von g erzeugte Untergruppe von G
(cid:24)G; G konjugiert bzw. subkonjugiert in G
jG: Hj Index einer Untergruppe H in G
G=H Menge der Linksnebenklassen von G nach H
NG(H) Normalisator von H in G
CG(H) Zentralisator von H in G
p
O (H) p-Residuum von H
g g (cid:0)1 (cid:0)1
h; H ghg bzw. gHg
G
ResH Restriktion von G nach H
G
IndH Induktion von H nach G
G
InfH In(cid:13)ation von G=H nach G
Ringe und Algebren
SpecR Primideal-Spektrum eines kommutativen Rings R
RP Lokalisierung von R nach einem Primideal P
rkRA R-Rang einer freien R-Algebra A
JA Jacobson-Radikal von A
n n
J A (JA) h(cid:127)ohere Radikalpotenzen von A
SocA Sockel von A
l(A) Loewy-L(cid:127)ange von A
vi
NOTATION vii
Kapitel 1 Seite
SpR(A) Menge der Species einer R-Algebra A 1
Supp(’;P) Tr(cid:127)ager von ’ bei P 1
’ (cid:24)P P-A(cid:127)quivalenz von Species ’; 2
RP Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die P-A(cid:127)quivalenzklassen von SpR(A) 2
e’ primitives Idempotent von AK 4
’ (cid:24) Zusammenhang von Species ’; 4
R Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Zusammenhangsklassen von SpR(A) 5
f’ primitives Idempotent von AP 6
S’ einfacher Ak-Modul 8
Kapitel 2
b(G) Burnside-Ring von G 10
BO(G) O(cid:15)Zb(G) 10
[X] Isomorphieklasse einer G-Menge X 10
S Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von
Untergruppen von G 10
’H Markenhomomorphismus von H 10
eH primitives Idempotent von BK(G) 11
P Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von
p-perfekten Untergruppen von G 13
p
SH fI 2S: O (I) (cid:24)G Hg (cid:45) 13
SH Element aus SH mit p jNG(SH)=SHj 14
fH primitives Idempotent von Bk(G) 14
BH Block Bk(G)fH von Bk(G) 15
0 (cid:46)
b(G;H) I2S;H6 IZ[G=I] 15
L
Kapitel 3
R(G) Charakterring von G 28
RO(G) O(cid:15)ZR(G) 28
Irr(G) Menge der irreduziblen Charaktere von G 28
(cid:27)g Species von RO(G) 28
C Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von G 28
eg primitives Idempotent von RK(G) 28
Cp0 Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die p0-Konjugationsklassen von G 29
Cg fh 2C: hp0 (cid:24)G gg 29
’S Brauercharakter eines kG-Moduls S 30
IBr(G) Menge der irreduziblen Brauercharaktere von G 30
fg primitives Idempotent von Rk(G) 30
(cid:31)^ zu (cid:31) dualer Charakter 32
Z Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von
zyklischen Untergruppen von G 32
NOTATION viii
Seite
0
E;Ep;Ep Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von
elementaren, p-elementaren bzw. p-quasielementaren
Untergruppen von G 32
p
R (G) Brauercharakterring von G 34
p
d Zerlegungsabbildung R(G) !R (G) 34
n
n-ter Adams-Operator 35
IPr(G) Menge der unzerlegbar projektiven Charaktere von G 38
pr
R (G) der von IPr(G) erzeugte Teilring von R(G) 38
Kapitel 4
c(FG) Grothendieck-Ring der Kategorie der FG-Moduln 39
CO(FG) O(cid:15)Zc(FG) 39
JMK A(cid:127)quivalenzklasse eines FG-Moduls M in c(FG) 39
S Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Isomorphieklassen von einfachen
FG-Moduln 39
(cid:27)g Species von CO(FG) 40
Cq0 Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die q0-Konjugationsklassen von G 40
eg primitives Idempotent von CK(FG) 40
Cfp;qg0 Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die fp;qg0-Konjugationsklassen von G 41
Cq0;g fh 2Cq0 : hp0 (cid:24)G gg 41
fg primitives Idempotent von Ck(FG) 41
Kapitel 5
a(FG;Triv) Trivial-Source-Ring von FG 44
AO(FG;Triv) O(cid:15)Za(FG;Triv) 44
[M] Isomorphieklasse eines q-Permutationsmoduls M in a(FG;Triv) 44
Sq(G) Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von
q-Untergruppen von G 44
PQ Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Isomorphieklassen von unzerlegbar
projektiven F[NG(Q)=Q]-Moduln 44
Y kanonische Basis von a(FG;Triv) 44
(cid:27)Q;g Species von AO(FG;Triv) 45
0
X f(Q;g) : Q ist q-Untergruppe von G; g 2NG(Q)q g 46
X Repr(cid:127)asentantensystem fu(cid:127)r die Konjugationsklassen von X 46
eQ;g primitives Idempotent von AK(FG;Triv) 46
X0;X0;XQ;g siehe Seite 52
fQ;g primitives Idempotent von Ak(FG;Triv) 52