Zur Berechnung gekoppelter Eigenfrequenzen von Schaufeln axialer Turbomaschinen

72 Pages·1966·1.849 MB·German

by  Dipl.-Ing. Otto Kirch, Prof. Dr.-Ing. Karl Lürenbaum (auth.)

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1776
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers
vom Landesamt für Forschung, Düsseldorf
Dipl.-Ing. Olto Kirch
Institut für Maschinengestaltung und Maschinent!Jnamik
der Rhein.-Westf. Techn. Hochschule Aachen
Leiter: Prof. Dr.-Ing. Karl Lürenbaum
Zur Berechnung gekoppelter Eigenfrequenzen
von Schaufeln axialer Turbomaschinen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1966
Verlags-Nr. 011776
ISBN 978-3-663-06708-5 ISBN 978-3-663-07621-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07621-6
© 1966 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprünglich erschienen bei Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen 1966.
Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag
Inhalt
1. Einleitung...................................................... 7
2. Das Verfahren von MYKLESTAD ................................... 8
2.1. Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Einführung der Fliehkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11
2.3. Erweiterung des Verfahrens auf verwundene Balken. . . . . . . . . . .. 12
3. Das Verfahren von RosARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
3.1. Grundgleichungen ........................................ . 17
3.2. Einfaches Beispiel ........................................ . 19
3.3. Erweiterungen des Verfahrens .............................. . 20
3.3.1. Elastische Einspannung ................................... . 20
3.3.2. Einführung der Fliehkraft .................................. . 22
3.4. Praktische Beispiele ....................................... . 26
4. Torsionskopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
4.1. Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
4.2. Das Läsungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
4.3. Die Koeffizienten des Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
4.4. Eigenfrequenzmessungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
4.5. Vergleich: Messung-Rechnung ............................. 49
4.6. Berechnungsergebnisse ..................................... 51
5. Zusammenfassung............................................... 61
6. Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
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1. Einleitung
Bei Turbokompressoren und Turbinen treten manchmal unerwartete Schaufel
brüche in einzelnen Stufen auf. Man kann solche Brüche vermeiden, wenn man
ihre Ursachen erkennt und also auch angeben kann, unter welchen Voraussetzungen
diese Brüche möglich sind, bzw. durch welche Maßnahmen sie verhindert werden
können. Da die thermische und statische Belastung der Schaufeln allein diese
Brüche nicht rechtfertigt, müssen dynamische Belastungen die entscheidende
Ursache sein. Die Turbinenschaufel ist ein sehr schwingungsanfälliges Gebilde,
dessen Bruchgefahr durch Überdimensionierung kaum vermindert wird, denn
die Erregerfrequenzen sind manchmal hohe Vielfache der Läuferdrehzahl, so daß
eine Eigenfrequenzerhöhung die Resonanzgefahr auch vergrößern kann.
Es gilt also zunächst einmal festzustellen, ob die Eigenfrequenzen der Schaufeln
mit einem Vielfachen der Rotordrehzahl zusammenfallen. Da die Betriebsdrehzahl
der Turbomaschine festliegt, müssen die Schaufeln so ausgelegt werden, daß keine
Eigenfrequenz einer Schaufel mit einem Vielfachen der Läuferdrehzahl zusammen
fällt; Die Erregerfrequenzen können das SOfache der Betriebsdrehzahl erreichen,
so daß auch die bis dahin reichenden Oberschwingungen der Schaufel berück
sichtigt werden müssen.
Die Turbinenschaufel ist ein kompliziertes Schwingungsgebilde mit theoretisch
unendlich vielen Freiheitsgraden, und ihre Eigenfrequenzen sind nur selten
explizit dennierbar. Zur Berechnung müssen also Näherungs- oder Iterations
verfahren benutzt werden. Im folgenden werden zwei dieser Verfahren näher
beschrieben. Die bei diesen Verfahren vorausgesetzten Vereinfachungen werden
durch entsprechende Erweiterungen weitgehend eliminiert. Bei der Durchführung
der Berechnungen zeigte es sich, daß bei normalen Anforderungen an die Ge
nauigkeit der Ergebnisse die Rechenarbeit auch mit den modernsten Tischrechen
maschinen nicht mehr zu bewältigen ist. Daher sind für die Durchführung der
Berechnungen digitale elektronische Rechenanlagen erforderlich.
Die zahlenmäßigen Berechnungen wurden auf den Maschinen Zuse Z 22 und
Siemens 2002 des Rechenzentrums der RWTH Aachen durchgeführt.
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2. Das Verfahren von Myklestad
Dieses Verfahren läßt sich durch folgende Grundaufgabe definieren:
Zu berechnen sind die Eigenfrequenzen der Biegeschwingungen eines Krag
balkens mit veränderlichem Querschnitt. Die Biegung erfolgt in einer der Haupt
trägheitsachsen des Querschnitts.
2.1. Grundgleichungen
Es wird angenommen, daß die Masse des Balkens in n diskreten Punkten seiner
Schwereachse konzentriert ist und daß der Balken zwischen diesen Punkten zwar
masselos ist, aber doch die elastischen Eigenschaften des wirklichen Balkens hat
(Abb.1).
Betrachtet man nun den i-ten Abschnitt zwischen dem Punkt i und dem Punkt
+
i 1 mit der Länge li, so ist bei der Querkraft Q am Ende des Abschnitts die
Durchbiegung gegenüber dem ungebogenen Abschnitt (Abb. 1):
UQi = VQi ·li - Ui ;
mit
und
o o a
1----- li -----.j
Abb. 1 Dynamisches Ersatzsystem
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wird
Der Elastizitätskoeffizient für die Querkraftdurchbiegung ist also
Ir
UQi
Q
UQi = = 6 . E . }i '
wobei}i das mittlere Trägheitsmoment des i-ten Abschnitts ist. Entsprechend
lautet der Elastizitätskoeffizient für den Querkraftbiegewinkel:
Ir
VQi -:---=--
VQi = -- =
Q 2·E·}i
Wirkt am i-ten Abschnitt statt der Querkraft ein Moment M, dann ergeben sich
daraus die Elastizitätskoeffizienten für die Momentendurchbiegung :
Ir
UMi = = VQi
2 ·E·}i
und für den Momentenbiegewinkel
Wird der Kragbalken in harmonische Schwingungen versetzt, dann sind am i-ten
Massenpunkt folgende Größen vorhanden:
der Biegewinkel (Xi · cos wt
die Durchbiegung ]i · cos wt
die Querkraft Qi · cos wt
das Moment Mi' cos wt
Mit Hilfe der oben definierten Elastizitätskoeffizienten läßt sich folgendes
Gleichungssystem formulieren:
+
(Xi+1 = (Xi - Qi • VQi Mi . VMi
+
]i+1 = .Yi - (Xi ·Ii Qi • UQi - Mi' tlMi
+
Qi+1 = Qi mi+1 . w2 ']i+1 (2.1)
Mi+1 = .Mi -Qi ·li
Nimmt man nun an, daß am freien Balkenende die Durchbiegungsamplitude
]0 = 1 und die Amplitude des Biegewinkels (xo = rp ist, dann läßt sich zeigen,
daß alle weiteren Größen lineare Funktionen des Winkels rp sind:
(Xi hq;i . rp - hi
+
- gq;i • rp gi
+
- Gq;i' rp Gi (2.2)
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Dabei sind
die sogenannten Amplitudenkoeffizienten. Setzt man nun GI. (2.2) in (2.1) ein
und trennt die Glieder mit und ohne p, so ergibt sich folgendes Gleichungssystem :
+ +
h",Hl h",i VQi • G",i VMi • H",f,
+ +
hiH hi VQi • Gi tMi • H i
+ + +
=
g",Hl g",i li • h",i, tlQi • G",i, UMi • H",i
giH = gi + li • hi + UQi • Gi + UMi • H i
+
G",i miH • w2 • g",i (2.3)
+
Gi miH • w2 • gi
+
=
H",iH H",i li' G",i
+
=
HHI Hf, li • Gi
Zur succesiven Durchrechnung dieser Gleichungen (für alle i) müssen die
Anfangswerte (i = 0) bekannt sein. Für einen Kragbalken ist
0(0 = p, Qo = mo . w2, Mo = 0 und yo = 1.
Damit werden die ersten Amplitudenkoeffizienten
h",o = 1 g",o = 0 G",o = 0
ho = 0 go = 1 Go = mow2 Ho = 0
An der Einspannung (i = 12) muß
Yn = 0 und O(n = 0
sein, wenn weine Eigenfrequenz des Kragbalkens sein soll.
Für die Amplitudenkoeffizienten heißt das:
h",n' p-hn = 0
g",n 'p-gn = 0 (2.4)
Daraus ergibt sich
oder
Zur Berechnung einer Eigenfrequenz We rechnet man die Einspannwerte h",n, hn,
g",n undgn für mehrere w-Werte aus und trägt das Kriterium
h",n' gn -hn
g",n
über w auf. Die Nullstellen dieser Kurve sind die gesuchten Eigenfrequenzen der
Biegeschwingungen des Kragbalkens.
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Das Kriterium
hq;n' gn -hn
gq;n
ist die Determinante des Gleichungssystems (2.4) mit der Matrix
2.2. Einführung der Fliehkraft
Bei den bisherigen Betrachtungen wurde eine spezielle Eigenschaft der Schaufel
schwingungen vernachlässigt: ihre Abhängigkeit von der Fliehkraft. MYKLESTAD
[1] hat die Fliehkraft in einer Erweiterung des Verfahrens eingeführt. Er stellt
aber dabei die Bedingung, daß die Durchbiegungen parallel zur Drehachse
erfolgen (Abb. 2).
Abb. 2 Wirkung der Fliehkräfte
Bei einer Drehwinkelgeschwindigkeit Q gilt für die Fliehkräfte ai:
+
=
ai+l ai mi+l . Q2. Xi+l.
Dabei ist
ao = mo . Xo • Q2,
und die Xi sind die Abstände der Massenpunkte von der Rotationsachse. Für die
Amplituden ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem :
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