Zufällige Punktprozesse: Eine Einführung mit Anwendungsbeispielen

364 Pages·1992·12.592 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Dieter König, Dr. rer. nat. Volker Schmidt (auth.)

Teubner Skripten zur
Mathematischen Stochastik
Dieter Konig und Volker Schmidt
Zufallige Punktprozesse
Teubner Skripten zur
Mathematischen Stochastik
Herausgegeben von
Prof. Dr. rer. nat. Jurgen Lehn, Technische Hochschule Darmstadt
Prof. Dr. rer. nat. Norbert Schmitz, Universitat Munster
Prof. Dr. phil. nat. Wolfgang Weil, Universitat Karlsruhe
Die Texte dieser Reihe wenden sich an fortgeschrittene Studenten,
junge Wissenschaftler und Dozenten der Mathematischen Stochastik.
Sie dienen einerseits der Orientierung uber neue Teilgebiete und
ermoglichen die rasche Einarbeitung in neuartige Methoden und Denk
weisen; insbesondere werden Oberblicke uber Gebiete gegeben, fUr
die umfassende Lehrbucher noch ausstehen. Andererseits werden
auch klassische Themen unter speziellen Gesichtspunkten behandelt.
Ihr Charakter als Skripten, die nicht auf Vollstandigkeit bedacht sein
mussen, erlaubt es, bei der Stoffauswahl und Darstellung die Lebendig
keit und Originalitatvon Vorlesungen und Seminaren beizubehalten und
so weitergehende Studien anzuregen und zu erleichtern.
Zufallige Punktprozesse
Eine Einfuhrung mit Anwendungsbeispielen
Von Prof. Dr. rer. nat. Dieter Konig
und Dr. rer. nat. Volker Schmidt
Bergakademie Freiberg
B. G. Teubner Stuttgart 1992
Prof. Dr. rer. nat. et Dr. sc. techno Dieter Konig
Geboren 1931 in Neudamm. Von 1953 bis 1958 Studium der Mathematik und 1958
Diplom in Mathematik an der Humboldt-Universitat Berlin. Von 1961 bis 1963
Zusatzstudium in Wahrscheinlichkeitstheorie bei den Professoren Kolmogorow
und Gnedenko. Promotion zum Dr. rer. nat. 1964 an der Humboldt-Universitat
Berlin und 1971 zum Dr. sc. techno (Habilitation) im Fachgebiet Statistische
Nachrichtentheorie an der Technischen Hochschule IImenau. Seit 1969 Professor
fOr Wahrscheinlichkeitstheorie/Mathematische Methoden der Operationsfor
schung an der Bergakademie Freiberg. Von 1981 bis 1991 Gastprofessor an
verschiedenen Universitaten in den USA, Japan, Frankreich.
Dr. rer. nat. habil. Volker Schmidt
Geboren 1948 in Chemnitz. Von 1968 bis 1973 Studium der Mathematik und 1973
Diplom in Mathematik an der Universitat Breslau, Promotion zum Dr. rer. nat. 1979
und Habilitation 1988 an der Bergakademie Freiberg. Von 1973 bis 1983 Wiss.
Assistent und seit 1983 Wiss. Oberassistent am Fachbereich Mathematik der
Bergakademie Freiberg.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Konig, Dieter:
Zufallige Punktprozesse : eine EinfUhrung mit
Anwendungsbeispielen I von Dieter Konig und Volker Schmidt.
- Stuttgart: Teubner, 1992
(Teubner-Skripten zur mathematischen Stochastik)
ISBN-13: 978-3-519-02733-1 e-ISBN-13: 978-3-322-89540-0
DOl: 10.1007/978-3-322-89540-0
NE: Schmidt, Volker
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwertung
auBerhalb der eng en Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages
unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fUr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikrover
filmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen System en.
© B. G. Teubner Stuttgart 1992
Herstellung: Druckhaus Beltz, Hemsbach/BergstraBe
Einband: P. P. K, S-Konzepte, Tabea Koch, OstfildernlStuttgart
Vorwort
Die Fachliteratur liber zufallige Punktprozesse und deren Anwendungen hat in
den letzten Jahrzehnten stark zugenommen. Die Anzahl der Lehrbiicher dagegen
ist minimal, und zum Teil von speziellem Charakter, z.B. durch Beschrankung
auf die reelle Achse oder auf den Martingalzugang fUr Punktprozesse. (So wie
hier werden wir, wenn keine Mifiverstandnisse auftreten konnen, oft nur kurz von
"Punktprozessen" sprechen und damit "zufallige Punktprozesse" meinen.)
Wir mochten hiermit eine EinfUhrung in wesentliche Teile der Theorie mar
kierter Punktprozesse im mehrdimensionalen Raum fUr mathematisch sowie an
Anwendungen interessierte Leser anbieten, die Kenntnisse in der Wahrscheinlich
keitstheorie mit ihrem mafi- und mengentheoretischen Aufbau besitzen. Einige
benotigte Grundbegriffe der Mafitheorie werden wir jedoch erklaren; denn unser
Hauptzugang zu Punktprozessen ist derjenige liber Zahlmafie, der auf der Proze
dur des Zahlens zufalliger Anzahlen von Punkten in fest vorgegebenen Intervallen
oder Mengen basiert. Die Darstellung von Punktprozessen als Folgen von Punkten
ergibt sich aber von selbst. U nd fUr Punktprozesse auf der reellen Achse werden
wir noch weitere Darstellungsformen, z.B. als Folgen von Intervallen, darlegen.
Leser, denen Poisson-, Cox-, Erneuerungs-, Cluster- und semi-markowsche
Prozesse auf der reellen Achse vertraut sind, finden in unserem Buch u.a. die De
finition und Darstellung dieser und weiterer Prozesse aus der einheitlichen Sicht
des Punktprozefizuganges. Vorkenntnisse liber die genannten Prozefiklassen wer
den jedoch nicht vorausgesetzt.
Es ist unser Anliegen, dafi sich der Band sowohl als begleitende Hilfe fUr eine
entsprechende Vorlesung (auf diese Weise ist er weitgehend entstanden) als auch
fUr ein selbstandiges Studium eignet und somit eine Treppe zum Einstieg in die
erwahnte Fachliteratur darstellt. U nter diesem Aspekt sind auch die Literatur
hinweise ausgewahlt, wobei keinerlei Vollstandigkeit angestrebt wurde.
Die Beweise der Aussagen werden im allgemeinen vollstandig ausgefUhrt und
entstammen weitgehend der entsprechenden angegebenen Originalliteratur.
Unser mathematisches Wirken besteht seit langerer Zeit in der Untersuchung
stochastischer Modelle und Prozesse mit Hilfe geeigneter Punktprozefimethoden
(vgl. hierzu insbesondere die Monographie "Queues and Point Processes" von
Franken/Konig/ Arndt/Schmidt (1981» sowie in der DurchfUhrung entsprechen-
6
der Vorlesungen fiir Mathematikstudenten. Die wegen des limitierten U mfan
ges des vorliegenden Bandes zu treffende Auswahl an PunktprozeBbegriffen und
-aussagen ist daher besonders durch unsere Erkenntnisse bei dieser Tatigkeit be
einftuBt. Aus Griinden der leichteren Verstandlichkeit befassen sich nach einer
ausfiihrlichen, mit Beispielen, inhaltlichen Darlegungen und einem Uberblick ver
sehenen Einleitung die Kapitel 2 bis 10 mit verschiedenen Aspekten zufalliger
Punktprozesse auf der reellen Achse einschlieBlich des Martingalzuganges. Beson
dere Anliegen dabei sind stationare Punktprozesse (Kapitel 4 und 6), Palmsche
Verteilungen (Kapite13 und 4) sowie die Darlegung und Verwendung von markier
ten Punktprozessen auf der reellen Achse (Kapitel 8). Auf die Spektraldarstellung
von Punktprozessen muBte leider verzichtet werden (siehe hierzu z.B. Daley /Vere
Jones (1988)).
Die schon genannnten speziellen Klassen von Punktprozessen, insbesondere
der Poisson-ProzeB, der rekurrente PunktprozeB, Cox-ProzeB usw., werden in den
verschiedenen Kapiteln immer wieder herangezogen, urn neu eingefiihrte Begriffe
bzw. bewiesene Aussagen auf diese anzuwenden.
Der PunktprozeBzugang eignet sich unseres Erachtens besonders zur Defini
tion und Betrachtung von Klassen zufalliger Prozesse mit stetigem Parameter,
in die zu diskreten zufalligen Zeitpunkten der Zufall zusatzlich eingreift (wie es
A.N. Kolmogorow nannte). Zu solchen ProzeBklassen auf der reellen Achse mit
eingebetteten Punktprozessen gehoren z.B. semimarkowsche, regenerative und se
miregenerative zufallige Prozesse, die sich in Kapitel 9 als Sonderfalle eines speziell
konstruierten Prozesses mit eingebettetem markierten PunktprozeB darstellen.
Anwendungen hiervon auf die Bedienungs- und Zuverlassigkeitstheorie cnt
halt Kapitel 9; bedienungstheoretische Fragestellungen finden sich desgleichen im
Kapite110, wo sie mit Hilfe der Martingal-PunktprozeBtheorie behandelt werden.
Hier werden auch eindimensionale Gibbs-Prozesse eingefiihrt.
Der Ubergang zu Punktprozessen im d-dimensionalen euklidischen Raum bzw.
in polnischen Raumen wird in den Kapiteln 11 und 12 relativ komplikationslos
vollzogen und muB wegen vieler Analogien zu den Aussagen fiir Punktprozesse auf
der reellen Achse nicht an allen Stellen detailliert ausgefiihrt werden. Anderer
seits werden neue Charakteristiken zugefiigt, die erst im Mehrdimensionalen ilue
Bedeutung erlangen, z.B. Nachster-Nachbar-Abstandsverteilung, spharische und
allgemeine Kontaktverteilungen, Richtungsverteilungen, k -Funktion. Als neue
ProzeBklassen treten Geraden-, Ebenen-, Hyperebenenprozesse, mehrdimensio
nale Gibbs- sowie Hard-Core-Prozesse auf. Die Briicke zu zufalligen abgeschlos
senen Mengen wird geschlagen, Stationaritat und Isotropie werden untersucht.
Zufallige markierte Punktprozesse im Rd enthalt Kapitel 13 gemeinsam mit
exemplarischen Anwendungen in der stochastischen Geometrie und Stereologie.
Denn auch in dies ern modernen und sich stark entwickelnden Gebiet, dem wir uns
in den letzten Jahren in unserer Freiberger Forschungsgruppe zu stochastischen
Prozessen und Modellen ebenfalls sehr gewidmet haben (auf die Monographie
7
"Stochastic Geometry and Its Applications" von Stoyan/Kendall/Mecke (1987)
sei besonders verwiesen), sind zufallige Punktprozesse mit groJ3em Gewinn ver
wendbar.
Ein anderes Hauptgebiet unseres Interesses und Wirkens konnten wir hier
allerdings nicht darlegen, namlich Methoden und Ergebnisse zur Statistik von
zufalligen Punktprozessen. Dies erfordert einen gesonderten Band, genau so, wie
das flir die starkere Behandlung von Punktprozessen mit Wechselwirkung zwi
schen den Punkten der Fall ist.
Wir haben allen AnlaJ3, den Herren Professoren Lehn, Schmitz und Weil als
Herausgeber der Teubner Skripten zur Mathematischen Stochastik und den Her
ren Dr. Spuhler und WeiJ3 vom Teubner-Verlag flir die Aufnahme unseres Textes
in diese Serie bzw. die Forderung seiner Drucklegung zu danken. Ebenso gilt un
ser Dank Frau Gugel, Frau Robakowski und Herrn Dipl.-Math. Frenz fiir ihre sehr
hilfreiche Unterstiitzung bei der Entstehung des Buches. Besonders wertvoll wa
ren fiir uns die Ratschlage und Hinweise von Herrn Professor Liese zum gesamten
erst en Entwurf des Manuskripts.
Freiberg, September 1991 D. Konig V. Schmidt
Inhal tsverzeichnis
Vorwort 5
Symbolverzeichnis 12
1 Einleitung und Ubersicht. Grundliteratur 15
1.1 Darstellungsarten von Punktprozessen 15
1.2 Einige Anwendungsbeispiele . 21
1.3 Markierte Punktprozesse. . . 24
1.4 Stationaritat und Ergodizitat 27
1.5 Grundliteratur .... . . . . 28
2 Definition, Existenz und Eindeutigkeit von
zufalligen Punktprozessen 29
2.1 Definition und kanonische Darstellung . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Zufallige Punktfolgen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Darstellungen als ZahlprozeB und als Folge von Intervallen . 37
2.4 Poisson-ProzeB. Rekurrenter PunktprozeB . . . . . . . . . . 38
2.5 Endlichdimensionale Verteilungen. Existenz und Eindeutigkeit 43
2.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Charakteristiken von Punktprozessen 47
3.1 Leerwahrscheinlichkeiten und Kapazitatsfunktional 47
3.2 Intensitatsmal3 und Campbellsche Mal3e . . . . . 51
3.3 Palmsche Verteilungen .............. . 59
3.4 Lokale Charakterisierung Palmscher Verteilungen 64
3.5 Erzeugendes Funktional und Laplace-Funktional 70
3.6 Aufgaben ..................... . 74
4 Stationare Punktprozesse I 76
4.1 Stationaritat und Intensitat 76
4.2 Palmsche Verteilungen stationarer Punktprozesse . . . . . . . . .. 82
4.3 Invarianzeigenschaften der Palmschen Verteilung und Umkehrformeln 87
4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
INHALTSVERZEICHNIS 9
5 Weitere Klassen von Punktprozessen 98
5.1 Rekurrente Punktprozesse (Erneuerungsprozesse) 98
5.2 Cox-Prozesse ..... . 105
5.3 Stationare Cox-Prozesse .. 108
5.4 Cluster-Prozesse ..... . 113
5.5 Stationare Cluster-Prozesse 118
5.6 Aufgaben ......... . 123
6 Stationiire Punktprozesse II 126
6.1 Lokale Charakterisierung der Intensitat. Ordinaritat 127
6.2 Lokale Charakterisierung der Palmschen Verteilungen 132
6.3 Palm-Chintschin-Gleichungen 138
6.4 Aufgaben ................. . 145
7 Ergodizitiit und Mischungseigenschaften 146
7.1 Allgemeiner Ergodensatz fiir dynamische Systeme . 146
7.2 Eigenschaften und Beispiele ergodischer Punktprozesse . 152
7.3 Weitere Charakterisierung der Palms chen Verteilung.
Individuelle Intensitat .................. . 1.57
7.4 Mischende Punktprozesse. Konvergenzsatze und Beispiele 161
7.5 Weitere Mischungseigenschaften . 165
7.6 Aufgaben ............ . 176
8 Markierte Punktprozesse 177
8.1 Definition und kanonische Darstellung. Spezialfalle . . . . . . .. 178
8.2 Intensitatsmafie, Campbellsche Ma13e und Palmsche Verteilungen 180
8.3 Stationare markierte Punktprozesse . . . . . . . . . . . .. 189
8.4 Semimarkowsche markierte Punktprozesse
(Markowsche Erneuerungsprozesse) . . . . . . . . . . 197
8.5 Ergodische und mischende markierte Punktprozesse 201
8.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9 Zutallige Prozesse mit eingebetteten markierten Punktprozessen.
Bedienungsprozesse 208
9.1 Definition und spezielle Klassen eingebetteter Prozesse 209
9.2 Bedienungsprozesse.................... 212
9.3 Intensitatserhaltungssatz................. 221
9.4 Takacs-Formeln fiir Einbedienersysteme. Stationare Verfiigbarkeit 227
9.5 Die Eigenschaften EPSTA und PASTA ................ 234
9.6 Eingebettetstationare und zeitstationare Verteilungen als
Grenzverteilungen 241
9.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10 INHALTSVERZEICHNIS
10 Martingaltechniken fUr Punktprozesse in R+.
Bedingte Punktproze6charakteristiken 248
10.1 Darstellung als Submartingal. Kompensator .. 249
10.2 Kompensatoren einfacher Punktprozesse. Beispiele 254
10.3 Stochastische IntensiUit .............. . 259
10.4 Duale vorhersagbare Projektion. Anwendungen auf
Bedienungsprozesse .................. . 26.5
10.5 Weitere bedingte Charakteristiken von Punktprozessen.
Gibbs-Prozesse 275
10.6 Aufgaben ...................... . 283
11 Punktprozesse im Rd und in polnischen Raumen 285
11.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11.2 Punktprozesse der stochastischen Geometrie . 287
11.3 Darstellung als zufallige Punktfolge und als
zufallige abgeschlossene Menge ... . . . . . . . . . . . . . . 290
11.4 Charakteristiken von Punktprozessen in allgemeinen Raumen 292
11.5 Klassen von Punktprozessen in allgemeinen Raumen 298
11.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
12 Stationare und isotrope Punktprozesse im Rd 302
12.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften ..... . ..... 303
12.2 Palmsche Verteilungen und hiermit zusammenhangende
Charakteristiken ... . . . . . . . . . . . . . . . 307
12.3 Eigenschaften der Palmschen Verteilung ..... 313
12.4 Palmsche Verteilungen fUr spezielle Klassen von
Punktprozessen im Rd . . . . . . . . . . 319
12.5 Ergodizitat und Mischungseigenschaften 328
12.6 Aufgaben ................ . 334
13 Markierte Punktprozesse im Rd. Anwendungen in der
stochastischen Geometrie und Stereologie 336
13.1 Kanonische Darstellung. Markenkovarianzfunktion .. . 336
13.2 Keim-Korn-Prozesse. Beispiele ............. . 338
13.3 Stationare Keim-Korn-Prozesse. Das Boolesche Modell . 342
13.4 Stereologische Formeln 346
13.5 Aufgaben ..... 350
Literat urverzeichnis 352
Sachverzeichnis 359