Zeitdiskrete instationäre Lagerhaltungsmodelle mit Markov’schem Preis-Nachfrage-Prozeß PDF
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FORSCHUNGSBERICHT DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN Nr. 2743/Fachgruppe Mathematik/lnformatik Herausgegeben im Auftrage des Ministerprasidenten Heinz Kuhn yom Minister fur Wissenschaft und Forschunll Johannes Rau Wiss. Rat und Prof. Dr. rer. nat. Franz Kolberg Institut fUr Wirtschafts- und Sozialwissenschaften der UniversiHit Munster Zeitdiskrete instationare Lagerhaltungsmodelle mit Markov' schem Preis-N achfrage-Proze13 Westdeutscher Verlag 1978 CIP-Kurztite1au£nahme der Deutschen Bib1iothek Kolberg, Franz Zeitdiskrete instationare Lagerha1tungsmode11e mit Markovschem Preis-Nach£rage-Prozess. - 1. Au£1. - Op1aden: Westdeutscher Ver1ag, 1978. (Forschungsberichte des Landes Nordrhein West£a1en ; Nr. 2743 : Fachgruppe Mathe matik, In£ormatik) ISBN 978-3-531-02743-2 ISBN 978-3-322-88600-2 (eBook) DOl 10.1007/978-3-322-88600-2 © 1978 by Westdeutscher Verlag GmbH, Opladen Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag ISBN 978-3-531-02743-2 Meinem verehrten Lehrer Professor Dr. Hubert Cremer zur Vollendung des achtzigsten Lebensjahres Inhalt I. Einleitung VII 1. Modellbeschreibung und Funktionalgleichungen 1 1.1 Modellbeschreibung: Preis-Nachfrage-ProzeB 1 1.2 Modellbeschreibung: Lagerbilanzgleichung, Bestellpolitik, Lagerbestandspolitik 5 1.3 Modellbeschreibung: Kostenstruktur 8 1.4 Modellbeschreibung: Endlicher Planungs zeitraum, Bellmansche Funktionalgleichung 12 1.5 Modellbeschreibung: Funktionalgleichungen fUr die Modelle A und B 20 2. Struktur einer optimalen Politik: Optimalitats beweise unter den Voraussetzungen von Scarf 32 2.1 Hilfssatze Uber konvexe und k-konvexe Funktionen 32 2.2 Optimale (s,S)-Bestellpolitik fUr Modell A, falls die Nachfrage vorgemerkt wird (back order-case) 38 2.3 Optimale (s,S)-Bestellpolitik fUr Modell B, falls die Nachfrage vorgemerkt wird 57 2.4 Kostenstrukturen, welche die Existenz einer optimalen (s,S)-Bestellpolitik implizieren 82 3. Struktur einer optimalen Bestellpolitik: Optimalitatsbeweis fUr Modell Bunter den Voraus setzungen von Veinott sowie Aufstellung von Schranken fUr die Parameter einer optimal en Politik 88 4. Modelle mit Lieferverzogerung 121 4.1 Modelle mit Vormerkung der Nachfrage 123 4.1.1 Modellbeschreibung: Funktional- gleichungen fUr die Modelle A und B 131 4.2 Modell mit allgemeiner Lagerbilanzgleichung 141 5. Literaturverzeichnis 162 - VII - I. Einleitung Die vorliegende Arbeit behandelt eine gewisse Erweiterung der Mehr-Perioden-Lagerhaltungsmodelle von Arrow - Harris - Marschak [11, Scarf [12), Karlin/Fabens [ 81, Veinott [13 ] sowie Kalymon [7] fur ein einzelnes Gut. Die wesentliche hier betrachtete Verallgemeinerung liegt darin, daB einer seits der Preis (je Mengeneinheit) des zu lagernden Gutes als eine yom Preis und der Nachfrage der vorherigen Periode abhangige Zufallsvariable und andererseits die Periodennach- frage als eine yom Preis in der gegenwartigen Periode und der Nach frage der vorherigen Periode abhangige Zufallsvariable unter stellt werden. Die zugehorigen bedingten Wahrscheinlichkeits verteilungen werden dabei als bekannt aber von Periode zu Periode unterschiedlich (instationar) angenommen. Bei Arrow - Harris - Marschak sowie Scarf hingegen wird der Preis des zu lagernden Gutes als deterministisch unterstellt, ferner ist die Periodennachfrage dort eine von den Nachfragen der vorherigen Perioden unabhangige Zufallsvariable mit fur aIle Perioden gleicher Wahrscheinlichkeitsverteilung. Karlin/Fabens hingegen behandeln ein Einperiodenmodell mit deterministischem Preis aber diskreter stationarer Markov-abhangiger Perioden nachfrage. Veinott schlieBlich betrachtet Mehrperiodenmodelle, bei denen die Preise ebenfalls deterministisch aber von Periode zu Periode unterschiedlich sind und die Periodennachfragen als voneinander unabhangige Zufallsvariable mit von Periode zu Periode unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen an genommen werden (instationares Modell). Kalymon untersucht ein Lagerhaltungsmodell, bei dem der Preis des zu lagernden Gutes eine yom Preis der vorherigen Periode abhangige Zufallsvariable und die Periodennachfrage eine yom Preis der gegenwartigen Periode abhangige Zufallsvariable darstellt. Die zugehorigen bedingten Verteilungsfunktionen konnen dabei - im FaIle eines endlichen Planungshorizonts - von Periode zu Periode unter schiedlich sein (instationares Modell). - VIII - Aus dieser kurzen Beschreibung ist bereits ersichtlich, daB jedes dieser gerade beschriebenen Modelle durch geeignete Spezialisierung aus dem in dieser Arbeit vorgestellten Modell gewonnen werden kann. Ziel der vorliegenden Arbeit ist einerseits die mathematische Beschreibung dieses Modells mit Hilfe von Funktionalgleichun gen und zum anderen die Ermittlung der Struktur einer optimalen Politik sowie die Aufstellung von EinschlieBungssatzen fUr die Parameter einer optimalen Politik. Unter Ausnutzung der in dieser Arbeit erhaltenen Aussagen ist damit eine effiziente Berechnung einer optimalen Politik moglich. Wie bereits erwahnt, bezieht sich das hier beschriebene Modell auf die Lagerhaltung eines einzelnen Gutes. Ferner handelt es sich urn ein Mehrperiodenmodell, d. h. zu Beginn einer jeden Periode - die Anzahl der Perioden kann endlich oder auch unend lich sein, die Lange jeder einzelnen der Perioden werde der Einfachheit halber als gleich, z. B. gleich der betrachteten Zeiteinheit angenommen - ist eine Entscheidung liber die zu bestellende Menge des Gutes unter Ausnutzung der bis dahin vorliegenden Information zu treffen. Der zeitliche Ablauf des Prozesses solI dabei der folgende sein. Zu Beginn jeder Periode wird - z. B. durch einen Produzenten oder einen Produzenten verband - der fUr diese Periode gUltige Preis als Zufalls variable festgelegt, entsprechend einer (bedingten) Wahrschein lichkeitsverteilung unter der Bedingung bekannter Nachfrage und bekannten Preises der Vorperiode. Eine solche Annahme er scheint vernUnftig, da ja zu Beginn einer Periode die Vorgange der Vorperiode bereits realiter abgelaufen sind. Aufgrund des realisierten Preises und des realisierten Anfangslagerbestandes der gegenw&rtigen Periode sowie der realisierten Nachfrage der Vorperiode - die weitere Vergangenheit des Prozesses ist fUr die Festlegung einer optimalen Bestellmenge irrelevant - trifft - IX - der Lagerhalter seine Entscheidung tiber die zu bestellende Menge des Gutes. Je nach Modellvariante wird unterstellt, daS die aufgegebene Bestellung moment an bzw. nach Ablauf einer deterministischen Lieferzeit, die als gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Periodendauer angenommen wird, am Lager eintrifft. Nach Aufgabe der Bestellung setze die Nachfrage ein, welche zu einer Reduzierung des Lagerbe standes ftihrt. Diese Nachfrage sei eine Zufallsvariable, deren (bedingte) Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Bedingung bekannten Preises der laufenden Periode und be kannter Nachfrage der vorherigen Periode gegeben seL Die zur Festlegung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung erforder lichen Informationen kann der Nachfrager z. B. durch Ver braucherverbande erhalten. Anschlie~end erfolgt wieder eine Preisfestsetzung, Festsetzung der Bestellmenge usw. Wie man dieser Beschreibung des Modells entnimmt, wird also unterstellt, da~ es sich bei dem Preis-Nachfrage-Proze~ um einen instationaren Markov-Proze~ handelt. Die detaillierte wahrscheinlichkeitstheoretische Beschreibung des Preis-Nach frage-Proz~sses kann man Abschnitt 1.1 entnehmen. Die folgende Kostenstruktur wird bei unserem Modell unter stellt: Mit der Aufgabe einer Bestellung fallen sowohl fixe Kosten als auch der Bestellmenge proportionale Kosten an. Ferner fallen in jeder Periode Lagerungs- und Fehlbestands kosten an. In Abschnitt 1.3 werden wir Darstellungen fUr die Lagerungs- und Fehlbestandskosten angeben, falls die Nachfrage jeweils am Anfang der Periode auftritt oder die Nachfrage mit konstanter Rate wahrend der Periode erfolgt. Nach Aufstellung der Funktionalgleichungen in Abschnitt 1. wird unter den Voraussetzungen von Scarf in Abschnitt 2 nach gewiesen, daB im FaIle der Vormerkung nicht befriedigter Nach frage (back-order-case) und momentaner Auslieferung einer auf- - x - gegebenen Bestellung eine optimale Bestellpolitik vom Typ (s,8) existiert. Fur den Fall, daB die Auslieferung der aufgegebenen Bestellung momentan erfolgt, betrachten wir insbesondere in Abschnitt 3. den Fall einer allgemeinen Lagerbestandsgleichung. Unter den Voraussetzungen von Veinott wird dort bewiesen, daB im Falle momentaner Auslieferung einer aufgegebenen Bestellung eine optimale Bestellpolitik vom Typ (s,8) existiert. Ferner werden dort 8chranken fUr die Bestellparameter ermittelt. In Abschnitt 4., der ausschlieBlich Modellen mit Lieferzeit gewidmet ist, wird auch fUr den Fall einer allgemeinen Lager bilanzgleichung die Funktionalgleichung des Modells herge leitet, allerdings ergibt sich aus der 8truktur dieser Funk tionalgleichung, daB die Optimalitatsbeweise der Abschnitte 2. und 3. im Falle einer von Null verschiedenen Lieferzeit nur gefUhrt werden konnen, wenn die Nachfrage vorgemerkt wird. Wir betrachten in dieser Arbeit im wesentlichen Modelle mit einem endlichen, aus n Perioden bestehenden Planungshorizont und setzen uns das Ziel, diejenigen Politiken zu bestimmen, fUr welche die erwarteten auf den Beginnzeitpunkt diskontier ten - der Diskontfaktor der i-ten Periode sei a. - Gesamtkosten l minimal sind. Wir unterscheiden dabei zwischen den Modellen vom Typ A bzw. B, je nachdem der am Ende des Planungszeitraums ubrigbleibende Lagerbestand bzw. Fehlbestand mit dem Preis Null bzw. dem Preis Cn+1 zu Beginn der (n+l)-ten Periode zu bewerten ist. - XI - Das entsprechende Modell mit unbegrenztem Planungshorizont, bei dem im FaIle eines Diskontfaktors a, a', 10,11', die gesamten auf den Anfangszeitpunkt diskontierten erwarteten Kosten bzw. im FaIle eines Diskontfaktors a = 1 die durchschnittlichen auf eine Periode entfallenden erwarteten Kosten zu minimieren sind, ist Gegenstand einer weiteren Arbeit r141. Dabei wird naturlich unterstellt, da£ der Preis-Nachfrage-Proze£ stationar ist, also die ihn charakterisierenden bedingten Wahrscheinlichkeitsver teilungen sowie die Kostenstruktur und auch der Diskontfaktor a.:= a fur samtliche Perioden ein und dieselben sind. Mit Hilfe l von Fixpunktsatzen der Funktionsanalysis kann auch hier die Existenz einer optimalen Politik vom (s,S)-Typ nachgewiesen werden. Wie bereits erwahnt, kann das vorgelegte Modell z. B. angewandt werden fur die Lagerhaltung eines Rohstoffes in einem Produk tionsbetrieb. Der Preis des Rohstoffes wird dabei als instabil und fluktuierend unterstellt. Fabian u. a. [ 4J erkannten die NUtzlichkeit einer solchen Anwendung, jedoch erbrachten sie nicht den Nachweis fUr die Optimalitat der ihrem Modell zugrunde J gelegten Bestellpolitik. Kingsman [ 12 betrachtet ein ahnliches Modell fUr den Einkauf und die Lagerung von Rohstoffen. Unter der Voraussetzung eines endlichen Planungshorizonts, deter ministischer Nachfrage sowie entfallenden fixen Bestellkosten bewies er die Optimalitat von Politiken bestimmter Struktur. Kalymon [ 7 ] schlieJHich behandelt ein Modell, bei dem die fUr den Einkauf zu Beginn einer Periode zugrundegelegten Preise einen instationaren Markov-ProzeE bilden - die (bedingte) Wahr scheinlichkeitsverteilung des Preises der i-ten Periode unter der Bedingung gegebener Preise und Nachfragen der vorhergehenden Perioden ist also bei seinem Modell nur abhangig vom Preis der Vorperiode - und die (bedingte) Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nachfrage der i-ten Periode unter der Bedingung bekannten
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