Zbirka zadataka iz linearne algebre

229 Pages·1992·6.17 MB·Slovenian

by  Lavoslav Čaklović

Urednik
ZLAKTO ŠPORER
Recenzenti
BRANKNOA JMAN
MIRKOP RIMC
I,.ektor
MARIJRAO ŽIĆ
Katalogiuz paucbiljai kaciji
NCIPa c- ionias lvneau čibliibšlniaoZ taegrkeab.
UDK3 72.851(075.3)(076)
ĆAKLOVILĆa,v oslav
Zbirzkaad atiazLk ian earnaegl ebre
l
LavosĆlaakvl ovi4ć.i .z d-.Z agre:b
-
Školksjkniag 1a9,92 -. 229s tr:.
ilus2tr4.c m
;
Bibliogrsatrfi2.j2 9a.:
ISB8N6 -0-030638-5
920826027
TisakG:T P »Gembarovski••G rNaodviaš ka,
1992.
LAVOSLČAAVK LOVIĆ
ZBIRKAZ ADATAKA
IZL INEARNE
A LGE BRE
tETVRTO IZDANJE
SKOLSKA K-NJZIAGGAR E1B9 92
Predgovor
Ovazb izrakmai šjlekj aeponr aa tzebćiakr nkjapi rgoeSf vt.eo zKaurrae pe
voudl ianreanlug ebru.
U
Zbijrekk,aai o s pomenuudtžib poednjiilekj,en naoa s apma ragOrkaofsan.i cu
zap rvtarp ia ragčrianzfeaa d aiczui d žbeknoijskiuad opunijr eeinšji.e ni
Ovajd io znbaijmrneiejkne pojleza nicziamvar ršanzirhe das rjedšgenk ola
obrazoisv taundjeakn otsjiepim r pavu ist u sur geseć oemtrirjaovmnip i rnoes tora.
Dizob ikrokjseia dčrežtiv pretitši ie, s ptair apgrredavsfalt j caejlinu za
seib em soečž iet naetoivo io ssntoad jlieilmo zvbiimTraek žeji.enš atree jš ajvua n
sistleiamnraena ilbhga ersjkeidhn ardažzbnmiiet mo dašmtnaoe,z naččii tdaal ac
nećnea inćati e zžaed aktokdjeopi u njgurjaudu idvžob .e nika
Sedmi pia roassgamrdiazr faž dea ttokereis jiimesza t o ebičdniifhej raelrniichi
jednadžitb eio grriujape a ,n amijjepe onjnjrpaeeisn jt udepnrrtioidmoas lovno­
-matemfaatlkittučaek.i h
Napo četku psavraakgdorajganepo f pa ioss nodvenfijihain t iecoirkeoimj a
sek oriur sejtšea vzaandjaut uajkeads,nl ouka ža ipoo d jstersttiečk eznnoagn ja
izt odgi jgerlaad Rijveaaš. e nzjadatsaukn aak rjdausa vnaak poagr a.g rafa
Zbirzkaav ršavalt ieporpaiktsouojjrmaepoe s lukžaiiolz av zoard ataka, a
čitamoocžbuei ptuit ouk adza lujponzjnaeajnmvus truvketkutroepr rsoksitho ra
in ejzipnreji emne.
,
Pojedidniej eloves učr iutkadolapikli oisr iai p srniedemb jeK .Č akl,o vić
S.K urepMair,k o,v iNćajmaMn., PriTmacd,ii M ć.MŽ . a bčić.
l. B.
Rukojpeti isp kkaolrae koitb uarvKuio lrjaak Člaa klović.
In ak rajub,i shžen e aljlijtioezo a phvnaalviedteoin siomb ias mvaio mnai ma
kosjuim ir aznsiajmve tpoimmoag uli iz bior rejuš auv zaandjatSavkaak.o m
tkmoe u poozrniab iklaok parvo piulgsirt e bšikćute hvzaalan.
Autor
Zagrleibjp,1 a 9n79.
5
Sadržaj
Predgovor 5
§1V.e ktuor raiv niip nrois toru 9
l.V ektion reiko ep erascn ijjiem a 9
2V.e ktoprrsoksXit0 oL.ri nesaprovnjei k tora lO
3.B azvae krtsokporgo sXt0 o.Kro ao rdisnuasttnaiv i 12
4.N ejneadoksttr okiCu atuac hynjeejnveaadk ost 13
5S.k alparmouidk t. .. . . . .. . 15
.
6P.r ojevkeckitjnoaapr raa vira acv ninu 17
7R.a vniip nraa vuap cro st.o r.u.. . 18
8.D etermimnaatnrdtiracu ag otgrae ćriee gdaa 2i
9D.e sinl jiie kvoio rdisnuasttOnarivi ij.e ntacija 25
10V. ektoprrsokdiu kt 25
l.lV išesptrroduukkit i 26
Rejšenja 28
§2L.i neaorpenria tuo rraiv nKirniiv.du rlujgeor gedaa 53
l.Li neoaprenria ntao rpir os(tMo)r u X 0 53
2S.k up( X0s)v ilhi neaorpneirhap troorsaXt o0r a 55
3.A lg!L'e mbartar diurcgao grae da . . . . 55
.
4.K ontirjaiekd ciatljaecr iavnSivnjoes.t vverniej edsnvoosjtsivt evketnloiir nie arnog
opera.to.ra. . . .. . . . 57
5S.i metorpiečrnauit r oarvin ini 58
6O.r togoonpaelrnaiut roarvin ini 59
7K.v adrraotrnmee 60
8.K ruilvdjreu groegdaa 62
Rejšenja ... . . . 62
§3L.i neaorpenria tnoapr rio stXo0(r EuP) l.o dhreu groedgaa 75
l.L ineoaprenria ntapo rrois Xt o0r u( E) 75
2A.l gembartar tirceaćr eegdaa 76
3.S imetorpiečrnaint apo rrois toru 80
4.O rtogoonpearlantuiorp ir ostoru 81
5P.l odhreu groegdaa 83
Rejšenja . .. . . g3
§4M.a trice 94
l.Si stleimnie aalrbgnaeir hs kih jednadžbi 94
2.L ineakronmab inmaactirjiac a 97
3.P rodukmta trica 99
4.R egulmaartnrei ce 130
Rejšenja 160
§5V.e ktoprrsosktimo artir ica 161
l.V ektoprrsoksimt aotrcriaBi .a zvae ktorpsrkoosgt ora 161
2.P rimvjeekrtio prrsoksitho ra 132
3.L ineaoprenria itm oartir ice 162
4.M inimpaollniin om 128
5.L ineafronrem e 103
6.U nitparronsiRt .o r 133
7.S vojsvtrviejneeid s nvjoossttvviee onkritDi i.j agzoancasilijeimat rimčanter ice 183
Rješenj.a .. . . . . . . .. 141
§6S.i stleimnie aarlngiehha rjsedkniahd žbi 186
l.E lemenmtaatrrnRieac nemg.a t�r ic 186
2.S istleimnie ajrendinha Gdežnbeir. aliinzvierrazn i 117
3.D eterminanta 177
Rješenja 138
§7S.i stoebmiič lniinhea rdniifhe renjcedinjaadlžnbiih 198
lE.k sponenfcuinjkamclaintjara i ce 198
2.S istoebmiičd nieirfhej naclijneidhn adžbi 200
3.V ektoprrsoksritej ošre snijsat leimnae adrienrfiehn cijjeadlnnaiFdhuž nbdia.m entalna
matrica 201
Rješenja 204
§8E.l emetnetoirg irjuep a 210
l.P ojagmr upe. Morfizam grupa 210
2.G ruppae rmuat a.c. i j. . . 214
3.Gr upter ansformacija 216
4.R elaeckivajilave nKcviocjiej.e gnrtunpaa 217
Rješenja 220
Literatura 229
8
§ Vektorria vniip nrio storu
l. u
Vektoirn ie koeep racsni jjiem a
l.
l
Skciijrtvaee kPtQor ra vnMi ankeso u p roakvutknoeo rdtiončaPkt eei Q
dane s:
a)P (10,)Q, = (3, 2)
b)P == (l1,, )Q = (O0),
-
e)P =( 13/,12 /)Q, (t/21,) .
- =
2
Zas vaki vperkvtozogarad anitazkcj art vteea kat oP=r' Qk'o jji edanjke
vektPoQri iu m a hvuat toič(šk11ti.,)e
3
Zas vavkeik itzpor rv ozgaad antarkctaa vjetkeat k oorjj eji e dnvaekku t or
QPi i mhav atui štto(eč- lk,i1 .)
-
4
Korisptaerćail esleko ogijjr era amzoamspv eetk toari bi p mrajo evrniat e
crtiesžtui rneiljtaeoc:si t
a)( a+b )+( -ab )= 2a
b)( a+ b()-a- b)= 2b
e)( a+ b)-a =+ b(a a-)= b.
5
Nekvae ktao,br ,i i maijsupot čie taalki, nnele ekuža ei sjtr oavmm.
Nacjrttpeaa reallodpr ei apzeaspv eetk toar,bi ,m Naa đistvpeer ostdoirjnae­
gontaolgepa a rlapoliepeiid zar aizhpoi mtoeuć v ee. ktao,br ,a
e.
6
NeksauO ,A ,B tirr aizčlittoečuk r ea vnaiA nlBi>1,t akve datj oeč ke
OA=1 A.O� OB1= A.OB gdjjeeA. O=F r ealbarnoD jo.k aždiajt eet ada
AB11 A.AB.
=
9
7
Dokaždiat ev eak=tl o(-rO +A-O Bs)a po četkuo mt oOč ikmiav ruh
2
polovidšutžuiA nBe.
8
NekjaeD taktvoač dkuaž iAnBde a j ed (DA),= A. ·d (BA),iO bilkoo ja
točkua p rostDoorkua.žd iatj eeu toms lučaju -A.D)A + OBA.
OD = (l
(A.j er ealbarjnoi zmeđui 1 )V.rj iedlioi b r?a t
O
9
NeksauO ,A ,B t rmieđ usorbanizočl ittoečN kaec.jr ttseak uspv itho čaCk a
zak ojjeeac = (-tA.) D A+ OBA. kadA. i dpoe skuu rpealbnrjioehv a.
lO
Nekjaet očekn aa p ravAcBuA, =l=t aBk dvaaj eAC = A.CB.D okažite
. - A.OB +DA
da J eO C= ----
A.+1
ll
Kažedmaos eod v ektao,br ,eam ožsea sttarvoiaktkuijot e a ± b± e=
O.
Dokaždiast ee toedž ištnriockAauB tCma o žsea sttarvoikt(uiTt e.ž išnica
trokAuBtCad eifnisreka a ov ektorg dejj eA 'po lovisštatrnei BcCe.
ta ll
Analosgedn feoii nraijt ue žišnii ce
tbt c.)
12
Dokaždiast uve e ktAoBri Ci D ( nmeor ajbui utj ied njor avnjiednnia)k i
akois amaok os es redidšutžaiA nDai B Cp odujdua.ra
13
Koriiss tepe rćethozdandiamtd kokoamž diatje eč etvepraorkaulte logram
akois amaok om u dsjiea gornaaslaepov lajlju.
Veokrtspkrio sXto0rL• i neasrnipo jv ektora
2.
OznčaimsoX 0(E)X 0s kuspv ivhe ktkoorijami a ju potčoečtOka Eik .
= u E
Za vektaot.r:>.ea, . i zX 0i skA.a1,l. a,.A.r ..ev e ktao=A.r 1a 1+ ..+ ..A. a.
zovelmion eakrnoam binvaeckaita jo.ta.r , .a ..s ekifojceintA.i�m.>,a. .KA. a žemo
takodđae rvj eek taor ra stavllijneensa pornjvi e kata o>�r. ,. .a• .
Za veak,1t. o,.r .eav .e ktu oprrsoksoXtgoo k raaž edmaso u l• .i nezavarsinon i
iz
akop ostsokjaelA. a1.r,,.iA. ..t akdvaij eA. a11+ ..+A. ... =a O ib ajred an od
skalA.1a,.r ,a.A. ..n j iej ednanku lVie.k taot.r>.i.a .,i zX 0l ineasrunn eoz avisni
akno isluia nrenzoa visni.
l
Neksau p1 i p 2p roizvoljni vdeaks tuvo erkit.ao= r D1pi+o p k,2a žite
b= p 1- 2p2ie = p1- 4-p2l inezaarnvoi sni.
lO
2
Dokaždiast uev ektao rilb i nezaarnvoi asknois amaok os up ro-
porcionalni.
3
Dokaždiat tese ež itšrnoikcsuejit eaku uj ednjot očki.
NeksauA ,B ,e t rmie đusroabznloti oččiik tteOeo čukp ar osrtaozrluoi dč ita
A,B ,C .N ađistkeus pv tiohč aDkk ao jzea dojvajovula =.IXOA+ {J OB+
uzu jvedtaj eIX + {3 l,+IX �{3 �i � OD yOC
y= O, O y O.
5
l l
Dokaždiat etj oeč Tk ak ojzaa dovo---+l T=j a v--O-+a +A --O-+ +B l-- -+ e
O 3 3 3 o
težitšrtoekA uBtCa.
6
Neksau P t..,.P .kt očpkreo stoPrt.a.,.P .kti a krveia blrnoij deavj ie
p =p 1+ p z+ ..+.P k + Dokaždiapot seto ijj ednistvteončaPk ,ait ot akva
k O. k
daj eL P;liP; O,i d at adzaas vatkouč kuv rjieOd OPi l L P;� -
i=l· = = -pi =l·
TočkPa z ovseeb aricesnrtedtrieičtš kooč aPkt.a.,. P .ko pterećsep n1.i,,.Ph ·.k
U slučdaajj ueP ;m=; m asmaa teritjoačlPkn;eeP, s ez ovser edtiemš asa
sist(etmeažs iišstteem a).
7
Dokaždiat sejr eed imšAtseta r itjouč aPktPa. z P,3 u troPk1uPtzuiP l3i
nan ejgovsitmr aniIco abmraa.tz nas ov,a tkouč Pk uk ojlae už i trokutu ili
nan ejgovsitmr anipocsatommjaae sm et m.z m,3 t,a kvej eP d sar edmiašstae
togsai stIemzabm.oa rsj aje ed nistavkesonez ajhetvdiaab udme1+ mz+ m 3 l.
=
8
NekjaeQ 1 s redimšatsseai stPe .m,a. .sP m aks ammta.. ,.m .kQ; z s redište
massai stPemka+. ,.nP.s m asammkab + . ,m. n Q; s redimšatsseai stQ1emQa,z
.
sm asamm1a+ . b .+.mk m,k l++ . .+m. t.n i P sredimšatsesa i stPetm..a,. nP.
s masmatm..a,.m .nD. o každiat Pej eQ .G eneirzajiltrea.
=
9
Dokaždiat sjeu em a vkeokijtmioa rhjavu a tuis šrtedeip šrtanuvo imgln oo­g
kutaak ,r ajue vver homvnoigmoak juedtan,an kual i.
lO
Nekjae točukp ar ositrl o,rr zur, 3r ,4r ajduise-kvttoorčiaA k,Ba ,e i D .
o
Dokažoivttuev rud:dn ajb it očAk,Be , e ,Dl žealue i stroajv nniunžinj,oei
doovljdnaopo stobjreo jIXetvIX.iz IX ,3 IX,4 ( nsev jied nankui,l t ia)kdoa j e
IX1r1+ IX zr+IXz 3 r+IX3 4 =r 40 i IX1+ IX z+ IX 3+ IX =4
0.
ll