Zbirka riješenih zadataka iz otpornosti materijala i teorije elastičnosti

222 Pages·2004·2.536 MB·Croatian

by  Sadudin Hodžić

JU UNIVERZITET U TUZLI
RUDARSKO GEOLOŠKO GRAĐEVINSKI FAKULTET

Dr sci. Sadudin Hodžić, redovni profesor
Dr sci. Sunčica Mašić, docent

Zbirka riješenih zadataka iz otpornosti
materijala i teorije elastičnosti

Tuzla 2004. god
Autori:
Dr sci. Sadudin Hodžić, dipl. ing.
redovni profesor

Dr sci. Sunčica Mašić, dipl. ing.
docent

Recenzenti:
1. Dr sci. Mehmed Suljkanović, dipl. ing.
redovni profesor
2. 2. Dr sci. Milan Stević, dipl. ing.
redovni profesor

Izdavač:
Rudarsko-geološko-građevinski fakultet, Tuzla

Računarska obrada teksta:
Dr sci. Sunčica Mašić, dipl. ing.
docent
PREDGOVOR

Ova zbirka zadataka iz «Otpornosti materijala i teorije elastičnosti», pokriva
svojim sadržajem nastavni program iz istoimenog nastavnog predmeta, koji se sluša na
drugoj godini građevinskog odsjeka, na Rudarsko geološko građevinskom fakultetu u
Tuzli, sa fondom sati: 3+3, u zimskom i 3+3 u ljetnom semestru.
Teoretske podloge za rješavanje zadataka iz ove zbirke, nalaze se u knjizi
«Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora dr sci. Sadudina Hodžića
redovnog profesora, na RGGF-u u Tuzli.
Pomenuta knjiga je odlukom Senata JU Univerziteta u Tuzli, određena kao
osnovni udžbenik za nastavni predmet «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti»,
koji se sluša na građevinskom odsjeku RGGF-a, u Tuzli.
Napominjemo da se pri rješavanju zadataka iz ove zbirke, može koristiti i ostala
literatura iz ove oblasti, ali je zbog usaglašenosti oznaka, metodologije i izlaganja,
postupnosti prelaza iz oblasti u oblast, kao i detaljnih objašnjenja kroz matematske
dokaze, najprikladnija preporučena knjiga, autora S. Hodžića.
Broj ponuđenih zadataka u ovoj zbirci nije veliki, ali su prezentirani cjelokupni
zadaci tako odabrani da pokrivaju cjelokupnu materiju iz navedenog nastavnog
predmeta. Osim toga, zadaci su dosta složeni i urađeni sa svim neophodnim detaljima, te
omogućavaju racionalno savlađivanje ove materije. Pod racionalnim savlađivanjem
materije, podrazumijevamo relativno brzo ovladavanje suštinom problematike, što
isključuje potrebu prerađivanja velikog broja zadataka iz iste oblasti.
Zadaci iz ove zbirke, ne nalaze se u klasičnim zbirkama zadataka raznih poznatih
autora kao npr. Rašković, Beljajev, Timošenko itd.
Razlozi za to su slijedeći:
Većina zadataka iz klasičnih zbirki je preko pet decenija u opticaju. Većina zadataka iz
istih zbirki je urađeno na bazi tehničkog sistema mjernih jedinica, koji je 1980. godine i
zakonski zabranjen u Evropi, kada je uveden SI sistem mjernih jedinica. Veoma mali broj
zadataka iz postojećih zbirki je urađen postupno, sa svim detaljima matematske obrade.
U ovoj zbirci nudimo složene, detaljno urađene zadatke, koji su bili na pismenim
ispitima u proteklim godinama, na građevinskom odsjeku RGGF-a. Naravno, neki od
zadataka iz zbirke nisu u cijelosti bili ispitni ito radi obimnosti, pa je samo dio zadatka,
bio «ispitni». Ova zbirka zadataka, uz već pomenutu knjigu «Otpornost materijala sa
teorijom elastičnosti», autora dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora predstavlja
zaokruženu literaturnu cjelinu za uspješno savlađivanje nastavnog programa iz
nastavnog predmeta: «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», koji se sluša na
građevinskom odsjeku RGGF-a u Tuzli. Kako je ovaj nastavni predmet osnova za
izučavanje većine stručnih predmeta iz oblasti građevinarstva, osnovna je težnja autora,
da kroz ovu zbirku olakšaju sticanje potrebnih znanja iz ove oblasti studentima
građevinarstva.
Naravno da zbirka može korisno poslužiti i inženjerima tehničkih struka koji se
bave problemima konstruiranja, kao i studentima mašinstva i rudarstva, čiji se mnogi
stručni predmeti oslanjanu na ovu oblast.

Tuzla, 20004. godine Autori
Sadržaj

1. Prostorno stanje napona 2

2. Dvoosno naponsko stanje 19

3. Aksijalno naprezanje 32

4. Momenti inercije 42

5. Naprezanje na savijanje 64

6. Koso savijanje 77

7. Elastičn e linije 82

8. Kastiljanova teorema 117

9. Torzija 132

10. Savijanje krivih štapova 135

11. Ekscentrični pritisak 140

12. Složena naprezanja 155

13. Izvijanje 162

14. Izvijanje i savijanje 191

15. Savijanje grede na elastičnoj podlozi 194

Dodatak 198

Literatura 211

Popis simbola i skraćenica 212

JU UNIVERZITET U TUZLI
Rudarsko-geološko-građevinski fakultet

Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost
materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na
Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 20 do 24.

1
JU UNIVERZITET U TUZLI
Rudarsko-geološko-građevinski fakultet

1. Prostorno stanje napona
Zadatak 1.1

Za prizmu prikazanu na slici 1. odrediti sile koje djeluju u pravcu osa (x,y,z), ako su poznate
dilatacije u pravcu ovih osa (x,y,z).
ε=0,718⋅ε
y x
ε=0,155⋅ε
z x
ε=0,000224
x
a=10cm
E=21000kN/cm2
µ=0,33
ε=0,000224
x
ε=0,718⋅ε=0,718⋅0,000224=0,000161
y x
ε=0,155⋅ε=0,155⋅0,000224=0,0000348
z x

y

Fy Fz

2a

a

a

x
Fx Fx

z Fz Fy

Slika 1.
Određivanje napona u prizmi:
ε ⋅E=σ -µσ -µσ
x x y z
ε ⋅E=σ -µσ -µσ
y y x z
ε ⋅E=σ -µσ -µσ
z z x y

σ -µσ -µσ =ε ⋅E
x y z x
σ -µσ -µσ =ε ⋅E
y x z y
σ -µσ -µσ =ε ⋅E
z x y z

σ -µσ -µσ =0,000224⋅21000
x y z
σ -µσ -µσ =0,000161⋅21000
y x z
σ -µσ -µσ =0,0000348⋅21000
z x y
σ -µσ -µσ =4,7
x y z
2
JU UNIVERZITET U TUZLI
Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
σ -µσ -µσ =3,38
y x z
σ -µσ -µσ =0,73
z x y

σ -0,33σ -0,33σ =4,7
x y z
σ -0,33σ -0,33σ =3,38
y x z
σ -0,33σ -0,33σ =0,73
z x y

σ -0,33σ -0,33σ =4,7
x y z
-0,33σ +σ -0,33σ =3,38
x y z
-0,33σ -0,33σ +σ =0,73
x y z

1 −0,33 −0,33 1 −0,33 −0,33 1 −0,33
D = −0,33 1 −0,33 = −0,33 1 −0,33−0,33 1

−0,33 −0,33 1 −0,33 −0,33 1 −0,33 −0,33
D =1−0,0359−0,0359−0,109−0,109−0,109−0,0718−0,3267=0,6015

4,7 −0,33 −0,33 4,7 −0,33 −0,33 4,7 −0,33
D = 3,38 1 −0,33 = 3,38 1 −0,333,38 1
x

0,73 −0,33 1 0,73 −0,33 1 0,73 −0,33
D =4,7+0,0795+0,0368+1,11−0,512+0,24=5,985
x

D 5,985
σ = x = =9,95kN/cm2
x D 0,6015

1 4,7 −0,33 1 4,7 −0,33 1 4,7
D = −0,33 3,38 −0,33 = −0,33 3,38 −0,33−0,33 3,38
y
−0,33 0,73 1 −0,33 0,73 1 −0,33 0,73
D =3,38+0,512+0,24+1,55+0,24−0,368=5,554
y

D 5,554
σ = y = =9,2kN/cm2
y D 0,6015

1 −0,33 4,7 1 −0,33 4,7 1 −0,33
D = −0,33 1 3,38 = −0,33 1 3,38−0,33 1
z
−0,33 −0,33 0,73 −0,33 −0,33 0,73−0,33 −0,33
D =0,73+0,368+0,511−0,0795+1,115+1,55=4,194
z

3
JU UNIVERZITET U TUZLI
Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
D 4,194
σ = z = =6,97kN/cm2
z D 0,6015
F
σ = x
x 2a⋅a
F =σ ⋅2a2 =9,95⋅2⋅102 =1990kN
x x
F
σ = y
y 2a⋅a
F =σ ⋅2a2 =9,2⋅2⋅102 =1840kN
y y
F
σ = z
z 2a⋅a
F =σ ⋅2a2 =6,97⋅2⋅102 =697kN
z z

Zadatak 1.2

U nekoj tački napregnutog tijela imamo napone: σ=2kN/cm2; τ =0; τ =1kN/cm2; τ =0;
x xy xz yx
σ=2kN/cm2; τ =1kN/cm2; τ =1kN/cm2; τ =1kN/cm2; σ=1kN/cm2.
y yz zx zy z
-Utvrditi o kakvom se stanju napona radi, tj. dokazati da li je naponsko stanje ravno ili je
prostorno.
-Odrediti pravce i veličine glavnih napona.
-Odrediti kosinuse pravaca glavnih napona.
-Odrediti maksimalni napon smicanja.

Formiramo tenzor napona:
2 0 1
 
S =0 2 1
 
1 1 1
 

Ako je veličina determinante matrice tenzora napona različita od nule, stanje napona je prostorno, a
ako je jednaka nuli, radi se o ravnom naponskom stanju.

Pored toga bar jedan od njenih minora mora biti različit od nule.
2 0 1 2 0
D= 0 2 1 0 2=4+0+0−0−2−2=0

1 1 1 1 1
D=0
2 0
D = =4−0=4
1 0 2
Dakle, vrijednost determinante je jednaka nuli, a jedan od minora je različit od nule.
Prema tome u pitanju je ravno stanje napona.
4
JU UNIVERZITET U TUZLI
Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Veličine glavnih napona σ(i=1,2,3), dobijamo rješavanjem sekularne jednačine karakteristične
i
jednačine (*).

σ3 −I ⋅σ2 + I ⋅σ −I =0.........................(*)
i 1 i 2 i 3

Ovdje su I , I i I , invarijante stanja napona.
1 2 3

kN
I =σ +σ +σ =2+2+1=5
1 x y z cm2

I =σ ⋅σ +σ ⋅σ +σ ⋅σ −τ2 −τ2 −τ2
2 x y y z z x xy yz zx

kN2
I =2⋅2+2⋅1+1⋅2−0−1−1=6
2 cm4

I =σ ⋅σ ⋅σ −σ ⋅τ2 −σ ⋅τ2 −σ ⋅τ2 +2⋅τ ⋅τ ⋅τ
3 x y z x yz y zx z xy xy xz yz
I =2⋅2⋅1−2⋅1−2⋅1−0+0=0
3

Uvrštavanjem invarijanti u karakterističnu jednačinu, dobijamo:

1
σ3 −5⋅σ2 +6⋅σ =0 ⋅
i i i σ
i
σ2 −5⋅σ +6=0
i i
2
5 5 5 1
σ = ±   −6 = ±
1,2 2 2 2 2
6 kN
σ = =3
1 2 cm2
4 kN
σ = =2
2 2 cm2
σ =0 jer je u pitanju ravno naponsko stanje.
3

Da bi našli kosinuse uglova koje glavni napon σ zatvara sa koordinatnim osama, postavljamo uvjet
i
u vidu proporcije:

cosα cosβ cosγ
1 = 1 = 1 = k
( ) ( )
σ −σ τ τ τ τ σ −σ
y i yz yx yz yx y i
( ) ( )
τ σ −σ τ σ −σ τ τ
zy z i zx z i zx zy

( )
σ −σ τ
A = y i yz
i τ (σ −σ)
zy z i
5