Zbiór zadań z mechaniki : metodyka rozwiązań

324 Pages·2001·3.43 MB·Polish

by  Józef GIERGIEL

(cid:5)
(cid:2)
(cid:4)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
1631 pozycja wydawnictw dydaktycznych
Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanis(cid:225)awa Staszica w Krakowie
© Wydawnictwa AGH, Kraków 2001
ISSN 0239-6114
Redaktor Naczelny Uczelnianych Wydawnictw
Naukowo-Dydaktycznych: prof. dr hab. in(cid:298). Andrzej Wichur
Z-ca Redaktora Naczelnego: mgr Beata Barszczewska-Wojda
Recenzent: prof. dr hab. in(cid:298). Zbigniew Engel
(cid:5)
(cid:2)
(cid:4)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
Projekt ok(cid:225)adki i strony tytu(cid:225)owej: Beata Barszczewska-Wojda
Opracowanie edytorskie: zespó(cid:225) redakcyjny UWND
Korekta: Danuta Harnik
Sk(cid:225)ad komputerowy: „Andre”, tel. [phone]
Redakcja Uczelnianych Wydawnictw Naukowo-Dydaktycznych
al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków
tel. [phone], tel./fax [phone]
Spis tre(cid:286)ci
(cid:5)
Przedmowa........................................................................................................ 5
Wst(cid:266)p ................................................................................................................ 7
(cid:20).Statyka................................................................(cid:2).............................................. 9
1.1. Uwagi metodyczne dotycz(cid:261)ce rozwi(cid:261)zywania zada(cid:276) ze statyki............... 9
1.2. P(cid:225)aski (cid:286)rodkowy uk(cid:225)ad si(cid:225).......................................................................... 10
1.3. Przestrzenny (cid:286)rodkowy uk(cid:225)ad si(cid:225)..(cid:4)............................................................. 21
1.4. P(cid:225)aski dowolny uk(cid:225)ad si(cid:225)............................................................................ 29
1.5. P(cid:225)aski uk(cid:225)ad si(cid:225) równoleg(cid:225)ych ................................................................... 37
1.6. Przestrzenny dowolny uk(cid:225)(cid:3)ad si(cid:225)................................................................. 41
1.7. Przestrzenny uk(cid:225)ad si(cid:225) (cid:3)równoleg(cid:225)ych ........................................................ 50
1.8. Tarcie.....................(cid:2).................................................................................... 55
1.9. (cid:285)rodki ci(cid:266)(cid:298)ko(cid:286)ci ........................................................................................ 63
2.Kinematyka...................................................................................................... 71
2.1. Uwagi metodyczne dotycz(cid:261)ce rozwi(cid:261)zywania zada(cid:276) z kinematyki ......... 71
(cid:1)
2.2. Kinematyka punktu ................................................................................... 72
2.2.1. Wyznaczanie równa(cid:276) ruchu, pr(cid:266)dko(cid:286)ci, przyspiesze(cid:276) oraz toru ..... 72
2.3. Kinematyka bry(cid:225)y...................................................................................... 88
2.3.1.Ruch post(cid:266)powy i obrotowy............................................................ 88
2.3.2.Ruch p(cid:225)aski...................................................................................... 93
2.3.3.Ruch kulisty..................................................................................... 116
2.4. Ruch z(cid:225)o(cid:298)ony punktu................................................................................. 128
2.5. Sk(cid:225)adanie ruchów post(cid:266)powych i obrotowych.......................................... 146
3.Dynamika......................................................................................................... 151
3.1. Uwagi metodyczne dotycz(cid:261)ce rozwi(cid:261)zywania zada(cid:276) z dynamiki ............ 151
3.2. Dynamika punktu materialnego ................................................................ 152
3.2.1.Ró(cid:298)niczkowe równania ruchu – wyznaczanie si(cid:225) ........................... 152
3.2.2. Ró(cid:298)niczkowe równania ruchu – wyznaczanie równa(cid:276)
sko(cid:276)czonych ruchu.......................................................................... 157
3.2.3. P(cid:266)d, kr(cid:266)t, zasada równowarto(cid:286)ci energii kinetycznej i pracy,
zasada zachowania energii .............................................................. 168
3.2.4.Dynamika punktu w ruchu wzgl(cid:266)dnym .......................................... 181
3.2.5.Dynamika punktu o zmiennej masie............................................... 197
4 STATYKA
3.3. Dynamika uk(cid:225)adu punktów materialnych ................................................. 207
3.4. Dynamika bry(cid:225)y......................................................................................... 225
3.4.1.Ruch post(cid:266)powy, obrotowy i p(cid:225)aski................................................ 225
3.4.2.Reakcje dynamiczne w ruchu obrotowym...................................... 274
3.4.3.Ruch kulisty – przybli(cid:298)ona teoria (cid:298)yroskopów............................... 283
3.5. Dobór mocy nap(cid:266)du w wybranych uk(cid:225)adach mechanicznych.................. 290
3.6. Elementy mechaniki analitycznej – zasada prac przygotowanych........... 306
3.7. Podstawy teorii zderze(cid:276)............................................................................. 314
Literatura .................................................................................................................. 325
(cid:5)
(cid:2)
(cid:4)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
5
Przedmowa
(cid:5)
Skrypt Zbiór zada(cid:276) z mechaniki. Metodyka rozwi(cid:261)za(cid:276) sk(cid:225)ada si(cid:266) z trzech cz(cid:266)(cid:286)ci:
statyki, kinematyki i dynamiki. Zawarty w nim materia(cid:225) jest uzupe(cid:225)nieniem skryptu [3]
oraz zbiorów zada(cid:276) [7, 8] i przeznaczony jest dla stud(cid:2)entów wydzia(cid:225)ów mechanicznych
wy(cid:298)szych uczelni technicznych. Ze skryptu mog(cid:261) równie(cid:298) korzysta(cid:252) studenci innych
wydzia(cid:225)ów.
W skrypcie rozwi(cid:261)zano 127 zada(cid:276) z (cid:4)uwzgl(cid:266)dnieniem metodyki post(cid:266)powania.
Uk(cid:225)ad skryptu wynika z za(cid:225)o(cid:298)onego przez autorów celu, tzn. pokazania ró(cid:298)nych metod
rozwi(cid:261)zywania tego samego problemu.
(cid:3)
Autorzy b(cid:266)d(cid:261) wdzi(cid:266)czni za uwagi krytyczne dotycz(cid:261)ce zakresu i sposobu przedsta-
(cid:3)
wienia problemów zawartych w skrypcie.
(cid:2)
Autorzy
(cid:1)
(cid:5)
(cid:2)
(cid:4)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
Wst(cid:266)p
(cid:5)
Mechanika jest dzia(cid:225)em fizyki zajmuj(cid:261)cym si(cid:266) prostsz(cid:261) form(cid:261) ruchu materii, tj. prze-
mieszczeniami jednych cia(cid:225) lub ich cz(cid:261)stek wzgl(cid:266)dem drugich oraz przyczynami po-
wstawania tych zjawisk. (cid:2)
Mechanik(cid:261) ogóln(cid:261) nazywamy wszystkie te dzia(cid:225)y mechaniki, w których maj(cid:261) za-
stosowanie prawa Newtona, a w w(cid:266)(cid:298)szym znaczeniu zbiór zagadnie(cid:276) z mechaniki cia(cid:225)
sztywnych i ich punktowych modeli (punkt(cid:4)ów materialnych) przystosowanych do po-
trzeb techniki.
Punktem materialnym nazywamy punkt geometryczny, który ma pewn(cid:261) sko(cid:276)-
(cid:3)
czon(cid:261) mas(cid:266).
(cid:3)
Cia(cid:225)em sztywnym nazywamy takie cia(cid:225)o materialne, w którym wzajemne odle-
g(cid:225)o(cid:286)ci cz(cid:261)stek nie ulegaj(cid:261) zm(cid:2)ianie. Jest to cia(cid:225)o nieodkszta(cid:225)calne. W rzeczywisto(cid:286)ci
wszystkie cia(cid:225)a s(cid:261) odkszta(cid:225)calne, je(cid:298)eli jednak odkszta(cid:225)cenia s(cid:261) ma(cid:225)e, mo(cid:298)na je przy
badaniu w(cid:225)a(cid:286)ciwo(cid:286)ci ruchowych cia(cid:225)a pomin(cid:261)(cid:252) i traktowa(cid:252) takie cia(cid:225)o jak sztywne.
Sztywne cia(cid:225)o mate(cid:1)rialne nazywamy bry(cid:225)(cid:261). Przez stan ruchowy bry(cid:225)y rozumiemy ruch,
tj. zmian(cid:266) po(cid:225)o(cid:298)enia jednej bry(cid:225)y wzgl(cid:266)dem innych bry(cid:225), lub spoczynek.
Zmiana stanu ruchowego bry(cid:225)y, czyli przej(cid:286)cie ze spoczynku w ruch lub z ruchu
w spoczynek, oraz zmiana sposobu poruszania si(cid:266) bry(cid:225)y mog(cid:261) nast(cid:261)pi(cid:252) przez oddzia(cid:225)y-
wanie na bry(cid:225)(cid:266) innymi bry(cid:225)ami.
Tego rodzaju oddzia(cid:225)ywanie jednej bry(cid:225)y na drug(cid:261) nazywamy si(cid:225)(cid:261); na przyk(cid:225)ad ci(cid:266)-
(cid:298)ar cia(cid:225)a jest si(cid:225)(cid:261), z jak(cid:261) na to cia(cid:225)o oddzia(cid:225)ywuje kula ziemska. Si(cid:225)(cid:261) jest równie(cid:298) od-
dzia(cid:225)ywanie magnesu na kawa(cid:225)ek stali lub przewodnik, w którym p(cid:225)ynie pr(cid:261)d.
Przy oddzia(cid:225)ywaniu wzajemnym wi(cid:266)cej ni(cid:298) dwóch bry(cid:225) b(cid:266)dziemy rozpatrywali
uk(cid:225)ad si(cid:225).
Przekszta(cid:225)caniem oraz równowag(cid:261) uk(cid:225)adów si(cid:225) zajmuje si(cid:266) dzia(cid:225) mechaniki zwany
statyk(cid:261). Drugim dzia(cid:225)em mechaniki jest kinematyka.
Kinematyka zajmuje si(cid:266) badaniem ruchu cia(cid:225) niezale(cid:298)nie od przyczyn, które go
wywo(cid:225)uj(cid:261). Przy ruchu cia(cid:225) wzgl(cid:266)dem siebie odleg(cid:225)o(cid:286)ci mi(cid:266)dzy punktami tych cia(cid:225) zmie-
niaj(cid:261) si(cid:266). Zmiany te okre(cid:286)la si(cid:266) w stosunku do pewnego uk(cid:225)adu odniesienia (uk(cid:225)adu
wspó(cid:225)rz(cid:266)dnych), który podczas badania ruchu zast(cid:266)puje jedno z cia(cid:225). Je(cid:298)eli wybrany
uk(cid:225)ad wspó(cid:225)rz(cid:266)dnych przyjmuje si(cid:266) umownie za nieruchomy, to ruch pozosta(cid:225)ych
w stosunku do tego uk(cid:225)adu odniesienia nazywamy ruchem bezwzgl(cid:266)dnym (absolutnym).
8 STATYKA
Kinematyka odró(cid:298)nia si(cid:266) od geometrii przede wszystkim tym, (cid:298)e przy rozpatrywa-
niu przemieszcze(cid:276) cia(cid:225) (lub odpowiadaj(cid:261)cych im geometrycznych modeli: punktu, bry-
(cid:225)y), bierzemy pod uwag(cid:266) równie(cid:298) czas przemieszczenia. Dlatego kinematyka nazywana
jest cz(cid:266)sto „geometri(cid:261) czterech wymiarów”; nazwa „czwarty wymiar” dotyczy czasu.
W mechanice klasycznej czas uwa(cid:298)any jest za ten sam dla dowolnych uk(cid:225)adów
odniesienia, co jest wystarczaj(cid:261)cym dok(cid:225)adnym przybli(cid:298)eniem w stosunku do rzeczy-
wisto(cid:286)ci wtedy, gdy pr(cid:266)dko(cid:286)ci rozpatrywanych ruchów s(cid:261) ma(cid:225)e w porównaniu z pr(cid:266)d-
ko(cid:286)ci(cid:261) (cid:286)wiat(cid:225)a.
Za jednostk(cid:266) czasu przyjmuje si(cid:266) sekund(cid:266). Chwili pocz(cid:261)tkowej, któr(cid:261) mo(cid:298)emy
obiera(cid:252) dowolnie, przypisujemy warto(cid:286)(cid:252) równ(cid:261) zeru, a ka(cid:298)dej nast(cid:266)pnej liczb(cid:266) t, której
bezwzgl(cid:266)dna warto(cid:286)(cid:252) równa jest liczbie sekund, jakie up(cid:225)yn(cid:266)(cid:225)(cid:5)y pomi(cid:266)dzy tymi dwiema
chwilami.
Ka(cid:298)de cia(cid:225)o, którego ruch badamy, mo(cid:298)e by(cid:252) uwa(cid:298)ane za uk(cid:225)ad punktów material-
nych. W kinematyce punkt materialny traktujemy ja(cid:2)ko punkt w poj(cid:266)ciu geometrycz-
nym, któremu przypisujemy pewn(cid:261) sko(cid:276)czon(cid:261) mas(cid:266).
Je(cid:298)eli odleg(cid:225)o(cid:286)ci pomi(cid:266)dzy punktami uk(cid:225)adu nie zmieniaj(cid:261) si(cid:266), to taki uk(cid:225)ad punk-
tów materialnych nazywamy bry(cid:225)(cid:261) lub cia(cid:225)e(cid:4)m sztywnym.
Ruch dowolnego uk(cid:225)adu punktów wzgl(cid:266)dem zadanego uk(cid:225)adu odniesienia b(cid:266)dzie
okre(cid:286)lony, je(cid:286)li b(cid:266)dziemy zna(cid:252) ruch ka(cid:298)dego punktu wzgl(cid:266)dem tego uk(cid:225)adu odniesienia.
Badanie ruchu uk(cid:225)adu punktów(cid:3) musi by(cid:252) poprzedzone badaniem ruchu punktu.
Dlatego kinematyk(cid:266) dzielimy, (cid:3)ze wzgl(cid:266)dów dydaktycznych, na kinematyk(cid:266) punktu
i kinematyk(cid:266) bry(cid:225)y. (cid:2)
Trzeci dzia(cid:225) mechaniki obejmuje analiz(cid:266) ruchu pod wp(cid:225)ywem dzia(cid:225)ania si(cid:225) i nazy-
wa si(cid:266) dynamik(cid:261).
(cid:1)
9
(cid:20). Statyka
(cid:5)
(cid:20).(cid:20). Uwagi metodyczne dotycz(cid:261)ce rozwi(cid:261)zywania zada(cid:276)
ze statyki
(cid:2)
W statyce wyró(cid:298)ni(cid:252) mo(cid:298)na dwie zasadnicze grupy zada(cid:276):
1) zadania zwi(cid:261)zane ze stanem równowagi uk(cid:225)adów si(cid:225),
(cid:4)
2) zadania zwi(cid:261)zane z redukcj(cid:261) uk(cid:225)adów si(cid:225).
W grupie pierwszej wyznacza si(cid:266) si(cid:225)y, najcz(cid:266)(cid:286)ciej nieznane si(cid:225)y reakcji lub inne
(cid:3)
wielko(cid:286)ci, np. parametry geometryczne. W grupie drugiej zada(cid:276) poszukuje si(cid:266) najpro-
stszych uk(cid:225)adów si(cid:225) zast(cid:266)puj(cid:261)cyc(cid:3)h zadane uk(cid:225)ady si(cid:225), wykorzystuj(cid:261)c w tym celu metody
redukcji. Zarówno w grupie (cid:2)pierwszej, jak i w grupie drugiej stosuje si(cid:266) metody anali-
tyczne i graficzne, przy czym metody graficzne wykorzystuje si(cid:266) najcz(cid:266)(cid:286)ciej do roz-
wi(cid:261)zywania p(cid:225)askich uk(cid:225)adów pr(cid:266)towych typu kratownic.
Ze wzgl(cid:266)du na(cid:1) szeroki zakres zastosowa(cid:276) oraz dok(cid:225)adno(cid:286)(cid:252) oblicze(cid:276) powszechnie
wykorzystuje si(cid:266) analityczne metody rozwi(cid:261)zywania uk(cid:225)adów si(cid:225).
W przypadku rozwi(cid:261)zywania zada(cid:276) zwi(cid:261)zanych ze stanem równowagi si(cid:225) nale(cid:298)y
kierowa(cid:252) si(cid:266) nast(cid:266)puj(cid:261)cym tokiem post(cid:266)powania:
– okre(cid:286)li(cid:252), czy badany uk(cid:225)ad jest uk(cid:225)adem prostym (jedna bry(cid:225)a), czy z(cid:225)o(cid:298)onym
(kilka bry(cid:225) po(cid:225)(cid:261)czonych ze sob(cid:261));
– w przypadku uk(cid:225)adu z(cid:225)o(cid:298)onego nale(cid:298)y my(cid:286)lowo rozdzieli(cid:252) ca(cid:225)y uk(cid:225)ad na uk(cid:225)a-
dy proste (jest to metoda stosowana najcz(cid:266)(cid:286)ciej), pami(cid:266)taj(cid:261)c o przy(cid:225)o(cid:298)eniu do
nich w miejscu rozdzielenia si(cid:225) wzajemnego oddzia(cid:225)ywania (dwójki zerowe);
– przy(cid:225)o(cid:298)y(cid:252) wszystkie si(cid:225)y czynne;
– przy(cid:225)o(cid:298)y(cid:252) wszystkie si(cid:225)y reakcji w zale(cid:298)no(cid:286)ci od rodzaju wi(cid:266)zów wyst(cid:266)puj(cid:261)-
cych w badanym uk(cid:225)adzie;
– zakwalifikowa(cid:252) otrzymany uk(cid:225)ad albo uk(cid:225)ady si(cid:225) do odpowiedniej grupy (p(cid:225)a-
ski, przestrzenny, (cid:286)rodkowy, równoleg(cid:225)y);
– przyj(cid:261)(cid:252) uk(cid:225)ad odniesienia (uk(cid:225)ad wspó(cid:225)rz(cid:266)dnych) najwygodniej dla danego
przypadku, kieruj(cid:261)c si(cid:266) zasad(cid:261) otrzymania najprostszego uk(cid:225)adu równa(cid:276) rów-
nowagi;
– korzystaj(cid:261)c z odpowiedniego warunku równowagi si(cid:225), u(cid:225)o(cid:298)y(cid:252) równania równo-
wagi wszystkich si(cid:225) czynnych i reakcji;
10 STATYKA
– rozwi(cid:261)za(cid:252) równania równowagi i obliczy(cid:252) szukane wielko(cid:286)ci,
– sprawdzi(cid:252) wymiary wyznaczonych wielko(cid:286)ci,
– przeprowadzi(cid:252) dyskusj(cid:266) nad rozwi(cid:261)zanym zadaniem.
Szczegó(cid:225)owe uwagi metodyczne podano przy rozwi(cid:261)zaniach poszczególnych zada(cid:276).
(cid:20).2. P(cid:225)aski (cid:286)rodkowy uk(cid:225)ad si(cid:225)
ZADANIE (cid:20).2.(cid:20)
Skrzynia o ci(cid:266)(cid:298)arze Q podnoszona jest dwiema linami CAD i BC (rys. 1.2.1). Lina
BC przyczepiona jest w punkcie B do nieruchomej (cid:286)ciany, lina CAD przerzucona jest
(cid:5)
przez kr(cid:261)(cid:298)ek A, przy czym obie liny przymocowane s(cid:261) w punkcie C do ci(cid:266)(cid:298)aru Q. Li-
na BC tworzy z poziomem k(cid:261)t 60o, natomiast cz(cid:266)(cid:286)(cid:252) AC liny CAD k(cid:261)t α. Wyznaczy(cid:252) k(cid:261)t
α, przy którym si(cid:225)a S w linie CAD b(cid:266)dzie najmniejsza, oraz stosunek si(cid:225) w linach dla
wyznaczonego k(cid:261)ta α. (cid:2)
(cid:4)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
Rys. (cid:20).2.(cid:20)
Rozwi(cid:261)zanie
Przy(cid:225)ó(cid:298)my wszystkie si(cid:225)y dzia(cid:225)aj(cid:261)ce na rozwa(cid:298)any uk(cid:225)ad, tzn. si(cid:225)y czynne (w tym
przypadku jest to si(cid:225)a ci(cid:266)(cid:298)ko(cid:286)ci Q skrzyni) oraz si(cid:225)y reakcji (bierne) pochodz(cid:261)ce od
wi(cid:266)zów. Ze wzgl(cid:266)du na to, (cid:298)e wi(cid:266)zami s(cid:261) liny (wi(cid:266)zy typu ci(cid:266)gien), si(cid:225)y reakcji dzia(cid:225)aj(cid:261)
wzd(cid:225)u(cid:298) wi(cid:266)zów. Si(cid:225)y te przy(cid:225)o(cid:298)ono w punkcie C, przez który przechodzi równie(cid:298)
si(cid:225)a Q (rys. 1.2.1a). Si(cid:225)a S w cz(cid:266)(cid:286)ci AC liny CAD ma t(cid:266) sam(cid:261) warto(cid:286)(cid:252) co si(cid:225)a S, po-
niewa(cid:298) kr(cid:261)(cid:298)ek A zmienia jedynie kierunek si(cid:225)y, a nie jej warto(cid:286)(cid:252). Uwolnienie od wi(cid:266)-
zów polega w tym przypadku na wykonaniu my(cid:286)lowych przekrojów przez liny BC i AC
i przy(cid:225)o(cid:298)eniu dwójek zerowych odpowiednio do ka(cid:298)dej z lin (rys. 1.2.1a).
Rozwa(cid:298)ania sprowadzone zosta(cid:225)y w ten sposób do badania si(cid:225) Q,F,S' tworz(cid:261)-
S
cych uk(cid:225)ad (cid:286)rodkowy p(cid:225)aski (rys. 1.2.1b). Szukany k(cid:261)t α oraz stosunek si(cid:225) wyzna-
F
czono metod(cid:261) analityczn(cid:261), wykorzystuj(cid:261)c w tym celu analityczny warunek równowagi
uk(cid:225)adu p(cid:225)askiego (cid:286)rodkowego si(cid:225).