Table Of Content

Zbiór zadań z matematyki dyskretnej Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Instytut Informatyki Zbiór zadań z matematyki dyskretnej Andrzej Krajka Lublin 2012 Instytut Informatyki UMCS Lublin 2012 Andrzej Krajka Zbiór zadań z matematyki dyskretnej Recenzent: Ryszard Smarzewski Opracowanie techniczne: Marcin Denkowski Projekt okładki: Agnieszka Kuśmierska Praca współﬁnansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja bezpłatna dostępna on-line na stronach Instytutu Informatyki UMCS: informatyka.umcs.lublin.pl. Wydawca Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiejw Lublinie Instytut Informatyki pl. Marii Curie-Skłodowskiej 1, 20-031 Lublin Redaktor serii: prof. dr hab. Paweł Mikołajczak www: informatyka.umcs.lublin.pl email: [email protected] Druk FIGARO Group Sp. z o.o. z siedzibą w Rykach ul. Warszawska 10 08-500Ryki www: www.ﬁgaro.pl ISBN: 978-83-62773-22-0 Spis treści Łącznie 350 zadań z matematyki dyskretnej 1 Wstęp 1 1 Indukcja (35) 3 2 Wstęp do rekurencji, metoda repertuaru (22) 15 3 Sumy i ich obliczanie, metoda czynnika sumacyjnego (36) 23 4 Funkcje całkowitoliczbowe (25) 37 5 Teoria liczb (84) 45 6 Kombinatoryka (53) 63 7 Funkcje tworzące (35) 77 8 Wstęp do analizy algorytmów (15) 91 9 Grafy (27) 103 10 Zadania przekrojowe (18) 119 Rozwiązania 125 Rozdział 1. Indukcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Rozdział 2. Wstęp do rekurencji, metoda repertuaru . . . . . . . . 137 Rozdział 3. Sumy i ich obliczanie, metoda czynnika sumacyjnego . 147 Rozdział 4. Funkcje całkowitoliczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Rozdział 5. Teoria liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Rozdział 6. Kombinatoryka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Rozdział 7. Funkcje tworzące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Rozdział 8. Wstęp do analizy algorytmów . . . . . . . . . . . . . . 213 vi SPIS TREŚCI Rozdział 9. Grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Rozdział 10. Zadania przekrojowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Bibliografia 235 Wstęp Niniejszy zbiór zadań powstał w oparciu o materiały, które przygotowy- wałem do zajęć z Matematyki Dyskretnej na kierunku Informatyka Uniwer- sytetu im. Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie. Wykłady do tych zajęć zo- stałyopublikowanew[12],zbiórzadaństanowiuzupełnienietychwykładów. Treść i układ zadań ściśle odpowiada układowi wykładów w [12], jednak w kilku miejscach przekroczyłem ramy teoretyczne zakreślone w skrypcie[12]. Bardzo rozbudowany został rozdział dotyczący indukcji matematycznej. Materiał ten powinien być opanowany przez studentów w gimnazjum lub liceum. W moim zamyśle pierwszy rozdział jest przypomnieniem i nawiąza- niem do znanych faktów teoretycznych. W rozdziale 5 dotyczącym teorii liczb, w stosunku do [12], rozwinąłem teorię rozwiązywania układu kongruencji. Myślę, że pozwoli to czytelnikowi lepiej zrozumieć znaczenie kongruencji w teorii liczb. W rozdziale 7 dotyczącym funkcji tworzących dodatkowo opisałem pro- blemy związane z wielomianami wieżowymi. Ta metoda wydawała mi się bardziej intuicyjna i obrazowa przy opisywaniu idei funkcji tworzących niż rozważanie wykładniczych czy trygonometrycznych funkcji tworzących, co jeszczedodatkowowymagałobywprowadzeniasilniejszegoaparatumatema- tycznego. Chociaż bardzo polecam studiowanie zbioru zadań łącznie z podręczni- kiem [12], to jednak aby częściowo uniezależnić zbiór od podręcznika rozpo- czynam poszczególne rozdziały bardzo krótkim przypomnieniem podstawo- wych faktów teoretycznych. Prawie wszystkie (poza kilkoma oczywistymi) zadania rozwiązane zo- stały w ostatnim rozdziale. Zadania trudniejsze oznaczone są gwiazdką. Wszystkie programy w tekście opisane są w ”pseudokodzie,” który jest zro- zumiały dla każdego, kto ma choć odrobinę praktyki programistycznej. Mam nadzieję, że zbiór ten będzie pomocny zarówno dla studentów jak i wykładowców prowadzących zajęcia z Matematyki Dyskretnej. Rozdział 1 Indukcja (35) 4 Indukcja 1o Zasada indukcji matematycznej Niech S(n),n , będzie stwierdzeniem logicznym (to znaczy takim, o ∈ N którym możemy powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe). Jeżeli 1. S(k ) jest prawdziwe, o 2. dla każdej liczby naturalnej k k : z prawdziwości S(k) wynika praw- o ≥ dziwość zdania S(k+1), to zdanie S(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n ,n ∈ N ≥ k . o Krok 1 nazywamy krokiem początkowym, a krok 2 krokiem indukcyj- nym. Indukcja matematyczna może nie tylko dotyczyć całego zbioru liczb naturalnych, ale jego podzbioru (nawet skończonego) lub nadzbioru (np. liczb wymiernych). Jednak wszystkie te zbiory są skończone lub przeliczal- ne, a więc mogą być ustawione w ciąg. Przykład 1.1. Udowodnij nierówność 1 1 1 S(n): 1+ + +...+ > √n,n 2. √2 √3 √n ≥ 1. Nierówność dla najmniejszego n, dla którego ma być prawdziwa teza S(n), to znaczy k = 2, sprawdzamy bezpośrednio: o 1 √2+1 1+1 1+ = > = √2. √2 √2 √2 2. Załóżmy teraz, że teza zachodzi dla pewnego k (S(k)). Wówczas dla k+1 otrzymujemy 1 1 1 1 z zał. indukcyjnego 1 1+ + +...+ + > √k+ √2 √3 √k √k+1 √k+1 k(k+1)+1 = √k+1 p k+1 > √k+1 = √k+1, co dowodzi S(k +1), a więc na mocy zasady indukcji S(n) jest prawdziwe dla wszystkich naturalnych n 2. ≥ Przykład 1.2. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 0, liczba 2n32n 1 jest podzielna przez 17. − 1. n = 1. Liczba 2132 1= 2 9 1 = 17 jest podzielna przez 17. − · −