Zahlentheorie für Einsteiger: Eine Einführung für Schüler, Lehrer, Studierende und andere Interessierte

214 Pages·2010·38.28 MB·German

by  Dr. Andreas Bartholomé

Andreas Bartholome I Josef Rung I Hans Kern
Zahlentheorie für Einsteiger
Andreas Bartholome I Josef Rung I Hans Kern
Zahlentheorie
für Einsteiger
Eine Einführung für Schüler, Lehrer, Studierende
und andere Interessierte
Mit einem Geleitwort von Jürgen Neukirch
7., aktualisierte Auflage
STUDIUM
11
VIEWEG+
TEUBNER
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Dr. And ..... BIIrtholom6 und Jo •• Run, unterrichten am Hans-Leinberger-Gymnasium
In Landshut
Anschrift: Jürgen-Schumann-StraBe 20, 84034 Landshut
Dr. Hans Kern unterrichtet am Schyren-Gymnasium in Pfaffenhofen/lJm.
Anschrift: Niederscheyerer Straße 4, 85276 Pfaffenhofen
Online-Service: http://_.andrea.bartholome.de
1. Auflage 1995
2., überarbeitete Auflage 1996
3., verbesserte Auflage 2001
4., durchgesehene Auflage 2003
5., verbesserte Auflage 2006
6., überarbeitete und erweiterte Auflage 2008
7., aktualiaierte Auflage 2010
Alle Rechte vorbehalten
@Vieweg+TeubnerVeriag I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Nastassja Vanselow
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Printed In Germany
ISBN 978-3-8348-1213-1
Geleitwort
;~on der Mathematik habe ich nie etwas verstanden!" Wann immer wir Mathe
matiker uns als Mathematiker zu erkennen geben, wird uns dieses freimütige
Bekenntnis der Ignoranz serviert, meist im Tonfall der Genugtuung und mit
der Gebärde des Triumphes, so als ob man sich damit in die Gemeinschaft der
normalen Menschen einreiht, denen eine menschliche Seele innewohnt und ein
warmes Herz in der Brust schlägt.
An der Mathematik liegt es nicht, dass sie in so misslichem Ansehen steht. Wer
ihr im echten Sinne begegnet ist, weiß, dass sie eine Welt der Wunder und der
Schönheit ist, und wird sich vor dem obigen Ausruf ebenso verwahren wie vor
stolzem BekeIUltnis, nicht zu wissen, wer Beethoven ist. So muss es wohl an der
Art liegen, wie sie unterrichtet wird, die Mathematik.
Das vorliegende Buch von A. Bartholome , J. Rung und H. Kern setzt die
sem Zerrbild unserer Wissenschaft die schöne Wahrheit entgegen. Es ist an die
Schüler und - mit gutem Grund - an die Lehrer des Gymnasiums gerichtet. Ihr
Gegenstand ist die Zahlentheorie, die ,,Königin unter den mathematischen Wis
senschaften". Die Autoren haben für die Schule ein vorbildliches kleines Werk
geschaffen. Es lebt von dem Wissen erfahrener Lehrer, von der Liebe echter Ma
thematiker zu ihrem Metier und von einer heiteren Lebendigkeit der Darstel
lung. Kluge Auswahl und weise Beschränkung des Stoffes zeichnet die Autoren
als treffliche Lehrmeister aus. Nirgendwo werden ,,Klappern" zu billigem Erfolg
herangezogen, überall handelt es sich um echte und wesentliche mathemati
sche Probleme und Ereignisse, die in verständlicher Weise dargestellt werden,
und von denen man sicher sein kann, sie auch im Bereich moderner Forschung
anzutreffen.
Die Darstellung ist in einer schwungvollen, verführerischen Sprache gefasst, die
im jugendlichen Leser eigene Vorstellung und eigene Phantasie hervorzurufen
vermag. Die vielen Aufgaben sind so gestellt, dass sie dem erfolgreichen Bear
beiter zum echten mathematischen Erlebnis werden können. Er wird später mit
Freude berichten: ,,Ich habe einmal die Mathematik verstanden".
Das Buch ist als ein Addendum zum gewöhnlichen mathematischen Unterricht
am Gymnasium zu verstehen. Würde dieser Unterricht von seiner quälenden
Überladenheit befreit und auf allen Stufen in dieser Weise geführt, so könnte
sich das Bild der Mathematik in der Gesellschaft zum Besseren wenden.
Regensburg, Dezember 1994 Prof. Dr. Jürgen Neukirch
Vorwort
Was Sie mir von Ihrer Seite wie im Auftrag von Herrn Euler sagen, ist zweifellos viel
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glänzender. Ich meine das schöne Theorem von Herrn Euler über Primzahlen und seine
Methode, zu testen, ob eine gegebene Zahl, wie groß auch immer sie sein möge, eine
Primzahl ist oder nicht. Was Sie sich bemühten, mir über den Gegenstand zu berichten,
erscheint mir sehr scharfsinnig und Ihr.. grollen Meisters würdig. Aber finden Sie
nicht, dass es für die Primzahlen beinahe zuviel Ehre ist, soviel Gedanken über sie
zu verbreiten, und sollte man nicht Rücksicht auf den verwöhnten Geschmack unserer
Zeit nehmen? Ich unterlasse es nicht, allem, was aus Ihrer Feder kommt, Gerechtigkeit
widerfahren zu lassen, und bewundere Ihre großen Geisteskräfte, um die misslichsten
Schwierigkeiten zu überwinden; aber meine Bewunderung verstärkt sich, wenn das
Thema zu nützlichen Erkenntnissen führen kann. Ich schließe hierin die gründlichen
Untersuchungen über die Stärke von Balken ein, von denen Sie sprechen ... "
soweit Daniel Bernoulli in einem Antwortbrief an Nicolaus F'ui, den Assistenten Eulers
(nach A. Weil).
Wir werden dennoch nicht über die Stärke von Balken berichten, sondern den
Primzahlen die Ehre antun. Dazu wollen wir die Leser dieses Buches im Klas
senzimmer abholen und ins so helle und doch geheimnisvolle Reich der Zahlen
führen. Dieses Buch handelt von dem, was schon die kleinen Kinder können
und kennen: vom Zählen und den natürlichen Zahlen 1,2,3 und so weiter. Das
Buch wurde für die Schulbank geschrieben: für Pluskurse oder Freiwillige Ar
beitsgemeinschaften in Mathematik und Informatik, als Anregung für Jugend
- forscht - Arbeiten oder als Hilfe für das Lösen von Aufgaben aus dem Bun
deswettbewerb Mathematik. (Es wurde in den Schuljahren 1991/92 und 92/93
in einem Pluskurs am Hans-Leinberger-Gymnasium in Landshut verwendet.
Teile von ihm dienten bei der Durchführung eines Proseminars an der U ni
versität Regensburg. ) Dieses Buch möchte etwas von dem spielerischen und
experimentellen Charakter der Zahlentheorie vennitteln, es wird zeigen, wie
man den Computer sinnvoll einsetzen kann- und es soll verdeutlichen, welche
Grenzen diesem Rechenknecht gesetzt sind. Auch der Lehrer und Liebhaber
wird sicher einiges Spannendes in dem Buch entdecken. In der Schule bleiben
ja leider das Rechnen und die Algebra meist im rein Fonnalen. Dagegen ist die
bescheidenste Geometrieaufgabe oft mit einer kleinen Erkenntnis verbunden.
Auch im Algebraunterricht könnte das so sein. Es ist ein Unterschied, ob man
um des Rechnens willen rechnet, oder ob man rechnet, weil man einer aufregen
den Entdeckung auf der Spur ist. Es ist etwas anderes, die binomischen Fbnneln
zu üben um des übens willen, oder ob man mit ihrer Hilfe Erkenntnisse über
die Zahlen sammelt. Wir hoffen, der Leser wird hier einiges finden.
Wer unser Buch studiert, soll dabei viel Handwerkliches mitbekommen, auch
Anwendungen des doch etwas trockenen Algebrastoffes lernen (viele der über
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300 Aufgaben sind Rontine, aber so manche sind sehr schwer nnd fordern alle
Kraft und Phantasie!). Sie oder er soll aber auch ein wenig Theorie mitbekom
men. Denn nur eine gute Theorie zeigt lUlS, "was dahintersteckt".
Schließlich - und vielleicht ist dies das wichtigste - möge das Buch allen zur
Erbauung und zum Trost dienen!
Inhaltlich haben wir uns als Ziel gesteckt, einen wichtigen Primzahltest zu ver
stehen, wie er von fertigen Computerprogrammen zur Zahlentheorie verwendet
wird. Dabei gehen wir nicht immer geradlinig auf das Ziel zu, sondern verwei
len gerne am Wegrand, ja nehmen auch Umwege auf uns, wenn wir dort eine
bunte Blume zu entdecken meinen. An viel Schönem mussten wir vorübereilen
und manch Wichtiges (Überlegungen zur Rechenzeit etwa) achtlos liegen las
sen. Aber der Leser weiß ja, der Mensch ist endlich (besonders die Autoren)
und muss sich mit dem Unvollkommenen zufriedengeben. Dennoch hoffen wir,
der Leser wird sich auf dieser Reise über die vielen schönen Kostbarkeiten von
Herzen freuen.
Den einzelnen Abschnitten dieser ,,Reise" haben wir Zitate aus Sonja Kawa
lewsmjas Jugenderinnernngen vorausgestellt und wir würden uns sehr freuen,
möchte unsere Leserin (Leser) am Ende doch mit Sonja ausrufen: ". .. ungeach
tet all der Klagen und des Jammers (ob der Fehler der Verfasser) war die Fahrt
doch herrlich"(Kowalewski [1968]). Wer sich zu sehr über die Fehler ärgert, mö
ge an das Gebet der heiligen Theresia von Avila denken: ,,Herr! Lehre mich die
wunderbare Weisheit, dass ich mich irren kann".
Viel Verguügen bei der Arbeit mit diesem Buch wünschen die Verfasser.
Andreas Bartholom~, Josef Rung, Hans Kern
Zur sechsten und siebten Auflage
Als wir die sechste Auflage vorbereiteten, haben wir uns entschlossen, die Teile
über das Rechnen mit langen Zahlen und die zugehörigen Pascalprogramme
wegzulassen. Wir haben sie durch Mathematik ersetzt. Unter anderem war es
unser Ziel an ein paar Beispielen das Verallgemeinern zu lehren. Das ist eine
hohe Kunst, die man nur durch Tun lernen kann. So wie man Singen nur durch
Singen lernt. Sehr oft wird ja von den zur Zeit allgemeinsten Voraussetzungen
ausgegangen. Mit diesen werden dann eine Fülle von Sätzen bewiesen und auf
Seite 93 des Buches kommt das erste Ergebnis, welches man ,,mit Händen grei
fen" kann. Erst auf Seite 200 erfährt der gutwillige Leser, das was er eigentlich
schon immer wissen wollte. Mathematik wird oft von ,pben herab" gelehrt. So
lernen Studenten gleich in der ersten Woche ihres Studiums Körper, Vektor
räume, Ringe und Kategorien kennen. Keine anderen Beispiele als Q und lR
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sind ihnen bis dahin begegnet. Sie ahnen nicht, was endliche Körper sind. Eine
spannende Frage zu diesen Begriffen kann ihnen nicht einfallen.
Wir versuchen an manchen Stellen den Weg ,;von unten" zu wandern. Wir lernen
die Primzahlen kennen und den Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung.
Uns begegnen unendlich viele endliche Körper Z/pZ, wenn p eine Primzahl
ist. In einem zweiten Schritt wird gefragt: Kann man ähnliche Argumente in
einer wenig veränderten Situation auch verwenden. So studieren wir den Ring
Z[4>] dabei ist 4> die Zahl des goldenen Schnittes, die Lösung der Gleichung
x2 - x-I = o. Hier gelten ähnliche Gesetze wie in den ganzen Zahlen, den
guten alten Freunden.
So bekommt das Buch zwei Stränge. Einen Lesestrang, der durch Z, die Menge
der ganzen Zahlen, führt. Ein zweiter Lesestrang führt durch Z[4>] den Ring
der "goldenen Zahlen". Abschnitte, die sich mit den goldenen Zahlen befassen
sind mit einem "goldigen" Bildchen verziert. Dieser zweite Weg zeigt sich im
Rückblick. Man kennt den Verlauf des ersten Weges und sieht so leichter wie
andere Pfade verlaufen. Hat man den zweiten Weg studiert, so erfährt man
wieder Neues über die ganzen Zahlen. Neue Fragen nach weiteren Verallgemei
nerungen tauchen auf. In diesem Büchlein können wir Ihnen nicht nachgehen.
Für diesen zweiten Lesestrang ist allein Andreas Bartholom~ verantwortlich.
Für alle dort auftretenden Dunkelheiten und Fehler ist nur er zu beschlmpfen.
In der siebten Auflage haben wir einige Fehler beseitigt und versucht manches
klarer zu schildern.
Auch haben wir uns entschlossen die Programme etwas an den Rand zu drängen.
Wir trennen sie klar ab vom übrigen Stoff. Wen das langweilt überlese sie.
Andererseits helfen sie, sich mit wenig Aufwand eine Fülle von Beispielen zu
verschaffen. Als Programmiersprache haben wir Lisp gewählt. Es ist eine sehr
alte Sprache, die zunäcl1st wegen der vielen Klammern ungewohnt scheint. Aber
diese Sprache ist sehr nahe an der Mathematik. Alles ist Funktion. Man wird
nicht durch unklare Begriffe wie Objekte, Klassen etc. abgelenkt. Für das, was
wir benötigen, reichen jeweils ein paar Zeilen Programm aus. Wir haben nur
Software verwendet die unter der GNU Lizenz steht. Und zwar clisp und ein
Computeralgebrasystem Maxima. Es basiert auf Lisp und ist auch völlig frei.
Die Programme funktionieren in jedem Betriebssystem.
Noch eine Bemerkung zu den Aufgaben: Die Fülle und - manchmal-die Schwie
rigkeit sollen nicht entmutigen. Viele sind zum reinen Üben da. Sie laden zum
Wandern in der geistigen Landschaft ein. Manche der Aufgaben sollen den Leser
anregen die Gedanken im Text in leicht abgewandelten Situationen nachzuvoll
ziehen. Sehr lehrreich ist es, sich selbst Aufgaben zu stellen. Eigene Fragen
bewegen innerlich mehr. Geduldiger denkt man über sie nach und lernt daher
am meisten. Andere Aufgaben ragen wie Wände hoch. Sie sind für die Schwin-
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delfreien, die ihre Kraft am Felsen erproben wollen. Wem sie zu stell erscheinen,
kann und sollte sie als Belebung der Landschaft wahrnehmen und vielleicht erst
beim zweiten Lesen einen Kletterversuch wagen.
Auf der Internetseite http://www.andreasbartholome.de/
kann der Leser zu einigen Aufgaben Lösungen und zu manchen Themen des
Buches Ergänzungen finden. Unsere E-Mail-Adressen sind:
josefrungOgmx.de
andreas.bartholomeOt-online.de
Landshut im Dezember 2009, die Autoren.
Inhaltsverzeichnis
1 Vollständige Induktion 1
1.1 Das kleinste Element 1
1.2 Das Prinzip vom Maximum 10
1.3 Das Induktionsprinzip 10
1.4 Zusammenfassung 21
2 Euklidischer Algorithmus 25
2.1 Teilen mit Rest ... 25
2.2 Stellenwertsysteme 28
2.3 Größter gemeinsamer Teiler 35
2.4 Rechnen mit Kongruenzen 44
2.5 Gruppen und Ringe 50
2.5.1 Gruppen ... 51
2.5.2 Homomorphismen 59
2.5.3 Ringe .. 66
2.6 Geheimniskrämerei 75
2.7 Primzahlen ... 80
2.7.1 Natürliche Primzahlen 80
2.7.2 Ein kleiner Spaziergang zum Primzahlsatz 93
2.7.3 Primelemente in anderen Ringen 95
2.8 Der chinesische Restsatz 101
2.9 Die Euler-Funktion . 113
3 Der kleine Fermatsche Satz 122
3.1 Kleiner Fermat ... 122
3.2 Die Ordnung einer Zahl modulo einer Primzahl 127
3.3 Primitivwurzeln... . . . . . . . . 129
3.4 Quadratische Reste. . . . . . . . . . 135
3.5 S. Germains Beitrag zum Problem von Fermat 147
3.6 Verschlüsseln mit dem Kleinen Fermat 151
3.7 Logarithmieren modulo p .. 153
3.8 Einheiten in Primpotenzmoduln 156
3.9 Fermat in anderen Ringen .. 161
Inhaltsverzeichnis xi
4 Die Jagd nach großen Primzahlen 165
4.1 Der negative Fermat-Test ............... . 165
4.2 Pseudoprimzahlen ................... . 171
4.3 Pseudoprimzahlen zur Basis a und Carmichael-Zahlen 177
4.4 Ein probabilistischer Primzahltest . 179
4.5 Starke Pseudoprimzahlen 181
4.6 Der Lucas Test . . . 188
4.7 RSA-Verschlüsselung ... 192