Zahlentheorie: Algebraische Zahlen und Funktionen

356 Pages·1997·12.76 MB·German

by  Prof. Dr. Helmut Koch (auth.)

Helmut Koch
Zahlentheorie
Aigebraische Zahlen und Funktionen
vieweg studium
Aufbaukurs Mathematik
Herausgegeben von Martin Aigner, Gerd Fischer,
Michael Gruter, Manfred Knebusch, Rudolf Scharlau, Gisbert Wustholz
Martin Aigner
Diskrete Mathematik
Albrecht Beutelspacher und Ute Rosenbaum
Projektive Geometrie
Manfredo P. do Carmo
DiHerentialgeometrie von Kurven und Flachen
Gerd Fischer
Ebene algebraische Kurven
Wolfgang Fischer und Ingo lieb
Funktionentheorie
Wolfgang Fischer und Ingo lieb
Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionentheorie
Otto Forster
Analysis 3
Manfred Knebusch und Claus Scheiderer
Einfuhrung in die reelle Algebra
Horst Knorrer
Geometrie
Helmut Koch
Zahlentheorie
Ulrich Krengel
Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Stotistik
Ernst Kunz
Algebra
Ernst Kunz
Einfuhrung in die algebraische Geometrie
Reinhold Meise und Dietmar Vogt
Einfuhrung in die Funktionalanalysis
Erich Ossa
Topologie
Alexander Prestel
Einfuhrung in die mathematische Logik und Modelltheorie
Jochen Werner
Numerische Mathematik 1 und 2
jUrgen Wolfart
Einfuhrung in die Zahlentheorie und Algebra
Helmut Koch
Zahlentheorie
Aigebroische Zohlen und Funktionen
Vleweg
Prof. Dr. Helmut Koch
Humboldt-Universitat zu Berlin
Institut ftir Mathematik
Lehrstuhl Zahlentheorie
Jagerstr. 10-11
10117 Berlin
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© FriedT. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1997
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Gedruckt auf saurefreiem Papier
ISBN-13: 978-3-528-07272-8 e-ISBN-13: 978-3-322-80312-2
DOl: 10.1007/978-3-322-80312-2
v
Vorwort
Das vorliegende Buch m6chte den Leser in die algebraische Zahlentheorie einfuh
reno Bei seiner Abfassung habe ich mich von einer Reihe von Gesichtspunkten lei ten
lassen.
1. Es ist meine feste Uberzeugung, daB man ein Gebiet der Mathematik, das
sich wie die Zahlentheorie uber einen langeren Zeitraum entwickelt hat, nur dann
richtig erlernen und verstehen kann, wenn man diese Entwicklung in abgekurzter
Form durchlauft, ahnlich wie ein Organismus bei seiner Entstehung die biologische
Evolution, die zu ihm hingefuhrt hat, verkurzt in seiner embryonalen Entwicklung
durchlauft.
Hieraus ergab sich das Konzept, den Leser von Kapitel zu Kapitel dieses Buches
an der historischen Entwicklung der Zahlentheorie teilnehmen zu lassen. Dies gilt
fur die erst en sieben Kapitel, wahrend die letzten drei Kapitel Anwendungs- bzw.
Ubersichtscharakter haben.
2. Es war eine Erkenntnis von Dedekind und Kronecker in den achtziger Jahren
des vorigen Jahrhunderts, daB man Prinzipien, die fur die Theorie der algebraischen
Zahlen entwickelt worden waren, auch auf die Theorie der algebraischen Funktionen
anwenden kann. Dabei hat bei Dedekind der Wunsch im Vordergrund gestanden,
eine exakte Begrundung der Riemannschen Funktionentheorie zu geben. Er betrach
tete zusammen mit H. Weber [DeWe1882] den Fall, daB die Funktionen Argumente
und Werte haben, die komplexe Zahlen sind. Spater wurde klar [No1927], daB sich
die Theorie von Dedekind und Weber fur algebraische Funktionen uber beliebigen
Konstantenk6rpern entwickeln laBt. Die vollkommenste Analogie zu den algebrai
schen Zahlen tritt dann auf, wenn der Konstantenk6rper endlich ist. In der Tat
befinden wir uns in diesem Fall auf einem ureigensten Gebiet der Zahlentheorie, der
Theorie der Kongruenzen.
So werden in diesem Buch algebraische Zahlen und Funktionen (einer Unbestimm
ten) gleichberechtigt behandelt.
3. Dieses Buch ist nur eine Einfuhrung insofern, als ein Hauptgebiet der algebrai
schen Zahlentheorie, die Klassenk6rpertheorie, nur im Rahmen eines Ausblickes
im zehnten und letzten Kapitel behandelt wird. Unterhalb dieser Schwelle solI der
Leser jedoch zum Einstieg in ein Forschungsthema befahigt werden. Es wird da
her das hierfur notwendige Handwerkszeug bereit gestellt, insbesondere wird die
Differenten- und Diskriminantentheorie und die Theorie der h6heren Verzweigungs
gruppen ausfuhrlich behandelt.
Entsprechend diesen drei Gesichtspunkten ist das Buch wie folgt aufgebaut:
Das erste Kapitel bringt einige Proben aus der elementaren Zahlentheorie und um
faBt die Zeit vor der Entstehung der Theorie der algebraischen Zahlk6rper. Es gibt
zwei Ausnahmen: 1m Abschnitt 1.5 wird die Public Key Cryptology behandelt als
Beispiel fur die Anwendung von Zahlentheorie aus dem vorigen Jahrhundert in der
heutigen Kommunikationstechnik, und im Abschnitt 1.8 wird der Primzahlsatz be-
vi Vorwort
wiesen mit Mitteln, die dem Geiste der Mathematik von Cauchy, Riemann und
Tschebyschew entsprechen, aber in der vorliegenden Ktirze durch Vereinfachungen
aus jtingster Zeit ermoglicht wurden. Ich danke F. Hirzebruch und D. Zagier fur die
Vermittlung dieser Vereinfachungen durch ein Manuskript des letzteren ([Za1997]).
Das zweite Kapitel beschaftigt sich mit dem Teil der algebraischen Zahlentheorie,
der ftir beliebige Ordnungen in algebraischen Zahlkorpern gtiltig ist. Dies entspricht
einerseits dem Stand der Wissenschaft vor Dedekind und insbesondere hat hier
der Dirichletsche Einheitensatz seinen Platz. Andererseits ist unsere Darstellung
nicht streng historisch, sondern wird schon von den Gedankengangen Dedekinds
durchdrungen. Weiter gehort hier die Minkowskische Geometrie der Zahlen hin,
die dem Kapitel seinen Namen gibt. Zahlentheorie hat ihren Ausgangspunkt in
der Beschaftigung mit ganzen rationalen Zahlen. Wir beginnen daher das zweite
Kapitel mit Ausfuhrungen tiber vollstandige Formen, die den Ubergang von Fragen
tiber rationale Zahlen zu Fragen tiber algebraische Zahlen vermitteln.
Mit dem dritten Kapitel sind wir dann bei der eigentlichen Dedekindschen Ideal
theorie, die wir so allgemein entwickeln, daB algebraische Zahl- und Funktionen
korper einheitlich behandelt werden konnen.
Die ringtheoretische Methode von Kapitel 3 wird durch die bewertungstheoreti
sche Methode von Kapitel 4 erganzt.
Mit dem so gewonnenen Rtistzeug stellen wir in Kapitel 5 die Theorie der alge
braischen Funktionen einer Unbestimmten dar, wobei wir uns im wesentlichen auf
H. Hasses Zahlentheorie [Ha1949] sttitzen.
In Kapitel6 betrachten wir die Zerlegungsgruppen und Verzweigungsgruppen nor
maIer Erweiterungen und kommen so erst hier zu der Vollendung der Dedekindschen
und Hilbertschen Theorie der algebraischen Zahlkorper. Diese erlaubt dann auch,
das wichtige Beispiel der Kreisteilungskorper in adaquater Weise zu behandeln. Der
Satz von Kronecker-Weber wird in Form von Ubungsaufgaben prasentiert. Mit der
oberen Numerierung der Verzweigungsgruppen von Hasse und Herbrand haben wir
die Mathematik der dreifiiger Jahre erreicht.
Das Kapitel 7 ist im wesentlichen dem Beweis der Funktionalgleichung ftir die
Heckeschen L-Reihen nach der Dissertation von Tate [Ta1950] gewidmet. Dieses
Ergebnis allein wtirde kaum ein Kapitel dieses Umfangs rechtfertigen, da verhalt
nismafiig wenig Folgerungen daraus gezogen werden. Wenn ich mich trotzdem ent
schlossen habe, dies ausfuhrlich darzustellen, so weil einerseit hierbei gegentiber den
vorhergehenden Kapiteln vollig neue Beweismethoden herangezogen werden, wie
die Analysis auf lokalkompakten abelschen Gruppen einschlief31ich der Pontrjagin
schen Dualitatstheorie, und andererseits die Methode der Tateschen Dissertation
Verallgemeinerungen erlaubt, die ftir die Verbindung von Zahlentheorie und Dar
stellungstheorie reduktiver Gruppen (Langlands-Vermutungen) von fundamentaler
Bedeutung sind.
Kapitel 7 beginnt mit einer sorgfaltigen Darstellung des Zusammenhangs von
Ideleklassen- und Strahlklassengruppen sowie von Hecke- und GroBencharakteren.
Die Grundeigenschaften von Idelen und Adelen werden fur Zahl- und Funktio
nenkorper bewiesen. Beim Beweis der Funktionalgleichung beschranken wir uns
jedoch auf Zahlkorper.
vii
Kapitel 8 enthiilt Anwendungen der analytischen Methoden von Kapitel 7 auf die
Verteilung der Primideale in algebraischen Zahlkorpern. Im Abschnitt uber die Ver
allgemeinerte Riemannsche Vermutung werden auch die Kongruenz-Zetafunktionen
von Artin und F.K. Schmidt betrachtet. Ich danke S. Bocherer und R. Schulze-Pillot
fur die Vermittlung einer Seminarausarbeitung von P.K. Draxl zum Satz von Hecke
uber die Verteilung der Primideale in Kegeln, die eine wesentliche Abrundung von
Kapitel8 ermoglichte.
Kapitel 9 ist den quadratischen Zahlkorpern gewidmet, fur die vieles explizi
ter dargestellt werden kann als im allgemeinen Fall. Das gilt insbesondere fur die
Klassenzahlberechnung und die Bestimmung der Grundeinheit. Hier wird auch die
Brucke zwischen der GauBschen Theorie der quadratischen Formen und der Ord
nungen in quadratischen Zahlkorpern gebaut.
Kapitel 10 gibt schlieBlich einen Ausblick auf die Klassenkorpertheorie.
Bei der Abfassung des Buches schwebte mir ein Leser vor, der gute Kenntnisse
in linearer Algebra besitzt. Diese mussen erganzt werden durch Kenntnisse in der
Korper- und insbesondere Galoistheorie im Umfang der "Algebra" von E. Kunz,
die in der Reihe Aufbaukurs Mathematik des Verlages Vieweg erschienen ist. In
gewisser Weise baut das vorliegende Buch direkt auf der Kunzschen Algebra auf, die
an vielen Stellen zitiert wird. Wenn am Anfang dieses Buches von der "abgekurzten
Entwicklung" die Rede war, so ergibt sich die Abkurzung insbesondere durch die zur
Verfugung stehende moderne Algebra, die manch schwerfalligen Beweis der alteren
Meister vereinfacht.
Als Vorlagen bei der Abfassung dieses Buches haben mir aus der langen Reihe
der Lehrbucher zur algebraischen Zahlentheorie vor allem die Bucher von H. Hasse
[Ha1949] und von Borewicz-Shafarevich [BoSh1966] gedient. Die Konzeption einer
gleichzeitigen Behandlung von Zahl- und Funktionenkorpern findet sich auBer in
dem eben genannten Buch von Hasse auch in den Buchern von Eichler [Ei1963],
Artin [Ar1967] und Weil [We1967]. Aus unterschiedlichen Grunden erscheinen mir
diese Bucher fur den Anfanger wenig geeignet zu sein.
Meine Kollegen S. Boge, G. Frei, W. Hoffmann, S. Kukkuk, W. Narkiewicz und
F. Nicolae haben vorlaufige Fassungen einzelner Kapitel dieses Buches gelesen und
sehr wertvolle Verbesserungen und Fehlerberichtigungen angeregt. Ihnen gilt mein
herzlicher Dank ebenso wie C. Hadan, B. Wust und noch einmal S. Kukkuk und F.
Nicolae fur die Erarbeitung des 'lEX-Files.
Einige der groBten Mathematiker der Vergangenheit, ich nenne nur D. Hilbert
und H. Weyl, haben in der algebraischen Zahlentheorie eine der hervorragensten
SchOpfungen der Mathematik gesehen, die Aufgabe dieses Buches ware erfullt, wenn
es von dieser Begeisterung etwas auf die Leser ubertragen konnte.
Berlin, im Marz 1997 H. Koch
viii
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Pythagorilische Zahlentripel 1
1.2 Die Pellsche Gleichung . . . 3
1.3 Die Fermatsche Vermutung 3
1.4 Kongruenzen . . . . . . 7
1.5 Public Key Cryptology. 10
1.6 Quadratische Reste . 11
1. 7 Primzahlverteilung... 21
1.8 Der Primzahlsatz . . . . 26
2 Die Geometrie der Zahlen 33
2.1 Biniire quadratische Formen . . . . . . . . . . 33
2.2 Vollstandige zerlegbare Formen n-ten Grades 34
2.3 Moduln und Ordnungen . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Vollstandige Moduln in endlichen Erweiterungen von P 40
2.5 Die ganzen Zahlen quadratischer Zahlkorper . . . . . 42
2.6 Weitere Beispiele fur die Bestimmung einer Z-Basis . 43
2.7 Die Endlichkeit der Klassenzahl . . . . . . . . . . . . 44
2.8 Die Einheitengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9 Ansatz zum Beweis des Dirichletschen Einheitensatzes 47
2.10 Der Rang von l(E) . . . . . . 48
2.11 Der Regulator einer Ordnung . . . . . . . 52
2.12 Der Gitterpunktsatz . . . . . . . . . . . . 52
2.13 Die Minkowskische Geometrie der Zahlen 53
2.14 Anwendung auf vollstandige zerlegbare Formen 58
3 Die Dedekindsche Idealtheorie 62
3.1 Grundlegende Definitionen. . . . . . . . . . . . 63
3.2 Der Hauptsatz der Dedekindschen Idealtheorie 65
3.3 Folgerungen aus dem Hauptsatz . 67
3.4 Die Umkehrung des Hauptsatzes 69
3.5 Die Norm eines Ideals 70
3.6 Kongruenzen . . . . . . . . . . . 72
3.7 Lokalisierung . . . . . . . . . . . 74
3.8 Die Zerlegung eines Primideals in einer endlichen Erweiterung . 76
3.9 Die Klassengruppe eines algebraischen Zahlkorpers 79
3.10 Relative Erweiterungen ... 83
3.11 Geometrische Deutung. . . . 87
3.12 Differente und Diskriminante 88
4 Bewertungen 97
ix
4.1 Bewertete Korper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Die Bewertungen des Korpers der rationalen Zahlen 103
4.3 Vervollstandigung.................... 106
4.4 Vollstandige Korper bezuglich einer diskreten Bewertung . 107
4.5 Fortsetzung einer Bewertung eines vollstandigen Korpers . 113
4.6 Endliche Erweiterungen eines vollstandigen Korpers . 116
4.7 Vollstandige Korper mit endlichem Restklassenkorper 121
4.8 Fortsetzung der Bewertung eines beliebigen Korpers . 124
4.9 Die Arithmetik im Kompositum zweier Erweiterungen 128
5 Algebraische Funktionen einer Unbestimmten 131
5.1 Algebraische Funktionenkorper . . . . . . . . . 132
5.2 Die Stellen eines algebraischen Funktionenkorpers . 134
5.3 Der einem Divisor zugeordnete Funktionenraum . 138
5.4 Differentiale............... 143
5.5 Erweiterungen des Konstantenkorpers 147
5.6 Der Satz von Riemann-Roch. . . . . 149
5.7 Funktionenkorper vom Geschlecht 0 153
5.8 Funktionenkorper vom Geschlecht 1 155
6 Normale Erweiterungen 159
6.1 Zerlegungsgruppe und Verzweigungsgruppen . 159
6.2 Neuer Beweis des Dedekindschen Differentensatzes 163
6.3 Primidealzerlegung in einem Zwischenkorper 165
6.4 Kreisteilungskorper.............. 167
6.5 Der erste Fall der Fermatschen Vermutung. . 171
6.6 Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.7 Die obere Numerierung der Verzweigungsgruppen . 177
6.8 Kummersche Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . 182
7 L-Reihen 188
7.1 Von der Riemannschen (-Funktion zu den Heckeschen L-Reihen . 188
7.2 Normierte Bewertungen 192
7.3 Adele ...................... 193
7.4 Idele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.5 Ideleklassengruppe und Strahlklassengruppe . 198
7.6 Hecke-Charaktere............. 202
7.7 Analysis auf lokalen additiven Gruppen ... 203
7.8 Analysis auf der Adelegruppe . . . . . . . . . 207
7.9 Die multiplikative Gruppe eines lokalen Korpers 211
7.10 Die lokale Funktionalgleichung . 213
7.11 Berechnung von p(c) fUr K = lR . . . . . . . . . . 215
7.12 Berechnung von p(c) fur K = C . . . . . . . . . . 218
7.13 Berechnung der p-Faktoren fUr K nicht-archimedisch . 220
7.14 Beziehungen zwischen p-Faktoren . 223
7.15 Analysis auf der Idelegruppe .............. 224
x Inhaltsverzeichnis
7.16 Globale (-Funktionen .... 227
7.17 Die Dedekindsche (-Funktion 231
7.18 Heckesche L-Reihen .... 235
7.19 Kongruenz-Zetafunktionen .. 237
8 Anwendungen der Heckeschen L-Reihen 243
8.1 Die Zerlegung von Primzahlen in algebraischen Zahlk6rpern 243
8.2 Das Nichtverschwinden der L-Reihen an der Stelle 1 . . . . 246
8.3 Die Verteilung von Primidealen in algebraischen Zahlk6rpern 249
8.4 Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung . . . . . . . . . 253
9 Quadratische Zahlkorper 257
9.1 Quadratische Formen und Ordnungen in quadratischen Zahlkorpern 257
9.2 Berechnung der Klassenzahl imaginar-quadratischer Zahlk6rper 263
9.3 Kettenbrtiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.4 Periodische Kettenbrtiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.5 Die Grundeinheit in Ordnungen von reell-quadratischen Zahlk6rpern 275
9.6 Der Charakter eines quadratischen Zahlk6rpers 281
9.7 Die arithmetische Klassenzahlformel . . 283
9.8 Die Berechnung der GauBschen Summe 289
10 Ausblick 294
10.1 Absolut-abelsche Erweiterungen. . . . . . . 294
10.2 Der Klassenk6rper zur Strahlklassengruppe 295
10.3 Lokale Klassenkorpertheorie . . . . . . . . . 299
10.4 Formulierung der Klassenkorpertheorie mit Hilfe von Idelen 300
A Teilbarkeitstheorie 303
A.1 Teilbarkeit in Monoiden 303
A.2 Hauptidealringe. . . . . 305
A.3 Euklidische Ringe. . . . 307
A.4 Endlich erzeugte Moduln tiber Hauptidealringen 309
A.5 Moduln tiber Euklidischen Ringen ..... 315
A.6 Arithmetik von Polynomen tiber Ringen . . 317
B Spur, Norm, Differente und Diskriminante 318
C Harmonische Analyse auf lokalkompakten abelschen Gruppen 322
C.1 Topologische Gruppen . . . . . . 322
C.2 Der Pontrjaginsche Dualitatssatz 322
C.3 Das Haarsche Integral . . . . . . 323
C.4 Das beschrankte direkte Produkt 327
C.5 Die Poissonsche Summenformel 332
Literaturverzeichnis 335
Sachwortverzeichnis 340