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Grundwissen Mathematik 1 H erausgeber G. Hammerlin E Hirzebruch M. Koecher K. Lamotke (wissenschaftliche Redaktion) R. Remmert W. Walter H.-D. Ebbinghaus H. Hermes F. Hirzebruch M. Koecher K. Mainzer 1. Neukirch A. Prestel R. Remmert Redaktion: K. Lamotke Zahlen Zweite, iiberarbeitete und erganzte Auflage Mit 31 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Heinz-Dieter Ebbinghaus Klaus Mainzer Mathematisches Institut Lehrstuhl fUr Philosophie und Universitiit Freiburg Wissenschaftstheorie AlbertstraBe 23 b, 0-7800 Freiburg Universitiit Augsburg UniversitiitsstraBe 10 Hans Hermes 0-8900 Augsburg Mathematisches Institut Universitiit Freiburg Jurgen Neukirch AlbertstraBe 23 b, 0-7800 Freiburg Naturwissenschaftliche Fakultiit I Friedrich Hirzebruch Mathematik Max-Planck -Institut fUr Mathematik U niversitiitsstraBe 31 Gottfried-Claren-StraBe 26 0-8400 Regensburg 0-5300 Bonn 3 Alexander Prestel Max Koecher Fakultiit fiir Mathematik Mathematisches Institut Universitiit Konstanz Universitiit Miinster Postfach 5560,0-7750 Konstanz EinsteinstraBe 62,0-4400 Munster Klaus Lamotke Reinhold Remmert Mathematisches Institut der Mathematisches Institut Universitiit zu Koln Universitiit Munster Weyertal 86-90, 0-5000 Koln EinsteinstraBe 62, 0-4400 M iinster Mathematics Subject Classification (1980): 00 A 05 ISBN-13: 978-3-540-19486-6 e-ISBN-13: 978-3-642-97122-8 001: 10.1007/978-3-642-97122-8 CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Zahlen/H.-D. Ebbinghaus ... Red.: K. Lamotke. - 2., iiberarb. u. erg. Aufl. - Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer, 1988 (Grundwissen Mathematik; 1) NE: Ebbinghaus, Heinz-Dieter [Mitverf.J; GT Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfiiltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugs weiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfiiltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Ur heberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der Fassung vom 24. Juni 1985 zulassig. Sie ist grundsiitzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Straibestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1983, 1988 2144/3140-543210 - Gedruckt auf siiurefreiem Papier Vorwort zur zweiten Auflage Die positive Aufnahme des Zahlenbandes hat Autoren und Herausgeber ange nehm iiberrascht. Die bei einigen von uns vorhandene Skepsis ob der Konzeption des Buches wurde durch die Reaktionen von Studierenden, Kollegen und Rezen senten ausgeraumt. So freuen wir uns, bereits jetzt - viel friiher als erwartet - die zweite Auflage auf den Weg zu bringen. Wir haben gem den Vorschlag von Lesem aufgenommen, ein zusatzliches Kapitel iiber p-adische Zahlen einzufUgen; der Autor ist J. NEUKIRCH. Das Kapitel mit den Satzen von FROBENIUS und HOPF wurde durch den Satz von GELFAND-MAZUR erganzt. 1m iibrigen iiberarbeiteten wir aile Kapitel und verbesserten sie an vielen Stellen. Dabei konnten wir zahl reiche Anregungen aus Zuschriften der Leser verwenden. Ihnen sei an dieser Stelle gedankt. Herr P. ULLRICH (Miinster), der bereits fUr die erste Auflage das Namen- und Sachregister zusammenstellte, hat uns bei der Vorbereitung der zweiten Auflage wieder viel geholfen; auch ihm gilt unser Dank. Oberwolfach, im Marz 1988 Autoren und Herausgeber Vorwort zur ersten Auflage Das Grundwissen Mathematik, welches jeder Mathematiker im Laufe seines Studiums erwirbt, wird erst durch die Vielfalt von Beztigen zwischen den einzelnen mathematischen Theorien zu einem einheitlichen Ganzen. Querverbindungen zwischen den Einzeldisziplinen lassen sich oft durch die historische Entwicklung aufzeigen. Es ist ein Leitgedanke dieser Reihe, dem Leser deutlich zu machen, daB Mathematik nicht aus isolierten Theorien besteht, die nebeneinander entwickelt werden, sondern daB vielmehr Mathematik als Ganzes angesehen werden muB. Das vorliegende Buch tiber Zahlen weicht von den weiteren Banden dieser Reihe dadurch ab, daB hier sieben Autoren und ein Redakteur dreizehn Kapitel zusammentrugen. In Gesprachen miteinander stimmten die Verfasser ihre Beitra ge aufeinander ab, und der Redakteur bemtihte sich, diese Harmonisierung durch kritische Lekttire und Rticksprache mit den Autoren zu fOrdern. Die anderen Bande dieser Reihe konnen unabhangig yom vorliegenden Band studiert werden. Es ist nicht moglich, an dieser Stelle aIle Kollegen zu nennen, die uns durch Hinweise untersttitzten. Hervorheben mochten wir jedoch Herrn Gericke (Frei burg), der vielfach half, die historische Entwicklung richtig darzustellen. K. Peters (damals Springer-Verlag) hatte erheblichen Anteil daran, daB die ersten Herausgeber- und Autorentreffen zustande kamen. Diese Zusammenktinfte wurden durch die finanzielle Unterstiitzung der Stiftung Volkswagenwerk und des Springer-Verlages sowie durch die Gastfreundschaft des Mathematischen For schungsinstitutes in Oberwolfach ermoglicht. Ihnen allen gilt unser Dank. Oberwolfach, im Juli 1983 Autoren und Herausgeber Inhaltsverzeichnis Einleitung, K. Lamotke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Tell A. Von den natiirlichen zu den komplexen ond p-adischen Zahlen 7 Kapitell. Naturliche, ganze und rationale Zahlen, K. Mainzer . . . 9 § 1. Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. Agypten und Babylonien, 2. Griechenland, 3. Indisch-arabische Rechenpraxis, 4. Neuzeit § 2. Natiirliche Zahlen ...................... 13 1. Definition der natiirlichen Zahlen, 2. Rekursionssatz und Einzigkeit von lN, 3. Addition, Multiplikation und Anordnung der natiirlichen Zahlen, 4. PEANos Axiome §3. Ganze Zahlen 18 1. Die additive Gruppe 'I., 2. Der Integritatsring 'I., 3. Die Anordnung in 'I. § 4. Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20 1. Historisches, 2. Der Korper CQ, 3. Die Anordnung in CQ Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Kapitel2. Reelle Zahlen, K. Mainzer . . . . . . . . . . . . . . . . 23 § 1. Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1. HIPPASUS und das Pentagon, 2. EUDOXOS und die Proportionenlehre, 3. Irra tionalzahlen in der neuzeitlichen Mathematik, 4. Prazisierungen des 19. Jahr hunderts § 2. DEDEKINDSche Schnitte .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1. Die Menge lR der Schnitte, 2. Die Anordnung in lR, 3. Die Addition in lR, 4. Die Multiplikation in lR § 3. Fundamentalfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1. Historisches, 2. Das CAUCHYSche Konvergenzkriterium, 3. Der Ring der Fundamentalfolgen, 4. Der Restklassenkorper FIN der Fundamentalfolgen modulo den Nullfolgen, 5. Der vollstandig geordnete Restklassenkorper FIN § 4. Intervallschachtelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1. Historisches, 2. Intervallschachtelungen und Vollstandigkeit § 5. Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen . . . . . . . . . . 39 1. Die natiirlichen, ganzen und rationalen Zahlen im reellen Zahlkorper, 2. Vollstandigkeitssatze, 3. Einzigkeit und Existenz der reellen Zahlen Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 VIII Inhaltsverzeichnis Kapitel3. Komplexe Zahlen, R. Remmert 45 § 1. Genesis der komplexen Zahlen . . . 46 1. CARDANO (1501-1576), 2. BOMBELLI (1526-1572), 3. DESCARTES (1596-1650), NEWTON (1643-1727) und LEffiNIZ (1646-1716), 4. EULER (1707-1783), 5. WAL- LIS (1616-1703), WESSEL (1745-1818) und ARGAND (1768-1822), 6. GAUSS (1777-1855),7. CAUCHY (1789-1857),8. HAMILTON (1805-1865), 9. Ausblick § 2. Der Korper <C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1. Definition durch reelle Zahlenpaare, 2. Die imaginiire Einheit i, 3. Geome ce, trische Darstellung, 4. Nichtanordbarkeit des Korpers 5. Darstellung durch reelle 2 x 2 Matrizen § 3. Algebraische Eigenschaften des Korpers <C . . . . . . . . . . . . 58 ce ce, ce, 1. Die Konjugierung -+ Z f-+ Z, 2. Korperautomorphismen von 3. Das nattirliche Skalarprodukt Re (w Z) und die euklidische Liinge IZ I, 4. Produktregel und "Zwei-Quadrate-Satz", 5. Quadratwurze1n und quadratische Gleichungen, 6. Quadratwurzeln und n-te Wurzeln § 4. Geometrische Eigenschaften des Korpers <C. . . . . . . . . . . . 64 1. Die Identitiit <w,z)2+<iw,Z)2=lwI2IzI2, 2. Cosinussatz und Dreiecks ungleichung, 3. Zahlen auf Geraden und Kreisen. Doppelverhiiltnis, 4. Sehnen vierecke und Doppe1verhiiltnis, 5. Satz von PTOLEMAUS, 6. W ALLAcEsche Ge- rade § 5. Die Gruppen 0 (<C) und SO (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 ce, (ce), 1. Abstandstreue Abbildungen von 2. Die Gruppe 0 3. Die Gruppe SO (2) und der Isomorphismus Sl -+ SO (2), 4. Rationale Parametrisierung eigentlich orthogonaler 2 x 2 Matrizen § 6. Polarkoordinaten und n-te Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . 73 1. Polarkoordinaten, 2. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten, 3. MOIVREsche Formel, 4. Einheitswurzeln Kapitel4. Fundamentalsatz der Algebra, R. Remmert . . . . . . . . . 79 § 1. Zur Geschichte des Fundamentalsatzes. . . . . . . . . . . . . . 80 1. GIRARD (1595-1632) und DESCARTES (1596-1650), 2. LEffiNIZ (1646-1716), 3. EULER (1707-1783), 4. D'ALEMBERT (1717-1783),5. LAGRANGE (1736-1813) und LAPLACE (1749-1827),6. Die Kritik durch GAUSS, 7. Die vier Beweise von GAUSS, 8. ARGAND (1768 -1822) und CAUCHY (1789-1857), 9. Fundamentalsatz der Algebra: einst und jetzt, to. Kurzbiographie von Carl Friedrich GAUSS § 2. Beweis des Fundamentalsatzes nach ARGAND . . . . . . . . . . . 90 1. Der CAucHYsche Minimumsatz, 2. Beweis des Fundamentalsatzes, 3. Beweis der ARGANDSchen Ungleichung, 4. Variante des Beweises, 5. Konstruktive Be weise des Fundamentalsatzes § 3. Anwendungen des Fundamentalsatzes . . . . . . . . . . . . . . 93 1. Lemma tiber die Abspaltung von Nullstellen, 2. Faktorisierung komplexer Polynome, 3. Faktorisierung reeller Polynome, 4. Existenz von Eigenwerten, ce ce, 5. Primpolynome in [Z] und IR [X], 6. Einzigkeit von 7. Ausblick auf" hohere komplexe Zahlen" Anhang: Beweis des Fundamentalsatzes nach LAPLACE. . . . . . . . . 97 1. Hilfsmitte1, 2. Beweis, 3. Historisches Inhaltsverzeichnis IX Kapitel 5. Was ist n?, R. Remmert 100 § 1. Zur Geschichte der Zahl n . . 101 1. Definition mittels Kreismessung, 2. Niiherungswerte aus der Praxis, 3. Me thodische Approximation, 4. Analytische Formeln, 5. Die Definition von BALT ZER, 6. LANDAU und die zeitgen6ssische Kritik § 2. Der Exponentialhomomorphismus exp: <c --+ <c x ••••••••• 106 1. Additionstheorem, 2. Elementare Folgerungen, 3. Epimorphiesatz, 4. Der Kern des Exponentialhomomorphismus. Definition von n, Anhang: Elementa- rer Beweis von Hilfssatz 3 § 3. Klassische Charakterisierungen von n . . . . . . . . . . . . . . 111 1. Definition von cos z und sin z, 2. Additionstheoreme, 3. Die Zahl n und die Nullstellen von cos z und sin z, 4. Die Zahl n und die Perioden von exp z, cos z und sin z, 5. Die Ungleichung sin y > 0 fUr 0 < y < n und die Gleichung ei'f = i, 6. Der Polarkoordinatenepimorphismus p: IR ...... Sl, 7. Die Zahl n und Umfang und Inhalt eines Kreises §4. Klassische Formeln fUr n ................... 116 1. Die LEffiNIzsche Reihe fUr n, 2. Das VIETASche Produkt fUr n, 3. Das EULER- sche Sinusprodukt und das WALLIssche Produkt fUr n, 4. Die EULERschen Reihen fiir n2, n4, ... , 5. Die WEIERSTRASSSche Definition von n, 6. Irrationalitiit von n und Kettenbruchentwicklung, 7. Transzendenz von n Kapitel6. Die p-adischen Zahlen, 1. Neukirch · 126 § 1. Zahlen als Funktionen. . . . . . . . · 126 § 2. Die arithmetische Bedeutung der p-adischen Zahlen .132 § 3. Die analytische Natur der p-adischen Zahlen .135 § 4. Die p-adischen Zahlen · 141 Literatur · 145 Tell B. ReeUe Divisionsalgebren . 147 Einleitung, M. Koecher, R. Remmert . 149 Repertorium. Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren, M. Koecher, R. Remmert ..................... 151 1. Reelle Algebren, 2. Beispiele reeller Algebren, 3. Unteralgebren und Algebra Homomorphismen, 4. Bestimmung aller eindimensionalen Algebren, 5. Divi sionsalgebren, 6. Konstruktion von Algebren tnittels Basen Kapitel7. HAMILTONSche Quaternionen, M. Koecher, R. Remmert . 155 Einleitung . . . . . . . . . . . . . · 155 §1. Die Quaternionenalgebra IH . . . . . . . . . . . . 158 1. Die Algebra lH der Quaternionen, 2. Die Matrixalgebra Yf und der Isomorphismus F: lH ...... Yf, 3. Der Imaginiirraum von lH, 4. Quaternionen produkt, Vektorprodukt und Skalarprodukt, 5. Zur Nichtkommutativitiit von lH. Zentrum, 6. Die Endomorphismen des IR-Vektorraumes lH, 7. Quater nionenmultiplikation und Vektoranalysis, 8. Fundamentalsatz der Algebra fUr Quaternionen X Inhaltsverzeichnis § 2. Die Algebra 1H als euklidischer Vektorraum ........... 169 1. Konjugierung und Linearform Re, 2. Eigenschaften des Skalarproduktes, 3. Der "Vier-Quadrate-Satz", 4. Konjugierungs- und Liingentreue von Auto morphismen, 5. Die Gruppe S3 der Quaternionen der Liinge 1, 6. Die spezielle unitiire Gruppe SU(2) und der Isomorphismus S3 -> SU(2) §3. Die orthogonalen Gruppen 0(3),0(4) und die Quaternionen .... 175 o 1. Orthogonale Gruppen, 2. Die Gruppe (JH). Satz von CAYLEY, 3. Die Gruppe O(Im JH). Satz von HAMILTON, 4. Die Epimorphismen S3 -> SO (3) und S3 x S3 -> SO (4), 5. Drehachse und Drehwinkel, 6. EULERsche Parameterdar stellung der SO (3) Kapitel8. Isomorphiesiitze von FROBENIUS, HOPF und GELFAND-MAZUR M. Koecher, R. Remmert . 182 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 182 § 1. HAMILToNsche Tripel in alternativen Algebren. . . . . . .. . 184 1. Die rein-imaginiiren Elemente einer Algebra, 2. HAMILTONSche Tripe!, 3. Existenz HAMIL TONscher Tripel in alternativen Algebren, 4. Alternative Algebren § 2. Satz von FROBENIUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 1. Lemma von FROBENIUS, 2. Beispiele quadrati scher Algebren, 3. Quaternionen Lemma, 4. Satz von FROBENIUS (1877) §3. Satz von HOPF ........................ 190 1. Topologisierung ree!ler Algebren, 2. Die Quadratabbildung .91 -> .91, X I-> x2. HOPFsches Lemma, 3. Satz von HOPF, 4. Der ursprtingliche HOPFsche Beweis, 5. Beschreibung aller 2-dimensionalen Algebren mit Einselement §4. Satz von GELFAND-MAZUR ................... 197 1. BANAcH-Algebren, 2. Die binomische Reihe, 3. Lokaler Umkehrsatz, 4. Die multiplikative Gruppe .91 x ,5. Satz von GELFAND-MAZUR, 6. Struktur normierter assoziativer Divisionsalgebren, 7. Das Spektrum, 8. Historisches zum Satz von GELFAND-MAZUR, 9. Ausblick Kapitel9. CAYLEY-Zahlen oder alternative Divisionsalgebren M. Koecher, R. Remmert ..... . .205 § 1. Alternative quadratische Algebren. . . . . . . . . . . 205 1. Quadratische Algebren, 2. Satz tiber die Bilihearform, 3. Satz tiber die Kon jugierungsabbildung, 4. Die Dreier-Identitiit, 5. Der euklidische Vektorraum .91 und die orthogonale Gruppe 0 (d) § 2. Existenz und Eigenschaften der CAYLEY-Algebra ([) . . . . . . . . 211 1. Konstruktion der quadratischen Algebra <D der Oktaven, 2. Imaginiirraum, Linearform, Bilinearform und Konjugierung von <D, 3. <D als alternative Divisionsalgebra, 4. " Acht-Quadrate-Satz", 5. Die Gleichung <D = JH EEl JHp, 6. Multiplikationstafel fUr <D §3. Einzigkeit der CAYLEY-Algebra ................. 215 1. Verdopplungssatz, 2. Einzigkeit der CAYLEY-Algebra (ZORN 1933), 3. Beschrei bung von <D durch ZORNsche Vektormatrizen Inhaltsverzeichnis XI Kapitell0. Kompositionsalgebren. Satz von HURWITZ. Vektorprodukt Algebren M. Koecher, R. Remmert .219 § 1. Kompositionsalgebren . 220 1. Historisches zur Kompositionstheorie, 2. Beispiele, 3. Kompositionsalgebren mit Einselement, 4. Struktursatz fUr Kompositionsalgebren mit Einselement § 2. Mutation von Kompositionsalgebren . . . . . . . . . . . . . . 224 1. Mutationen von Algebren, 2. Mutationssatz fUr endlich-dimensionale Kom positionsalgebren, 3. Satz von HURWITZ (1898) § 3. Vektorprodukt-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 1. Der Begriff der Vektorprodukt-Algebra, 2. Konstruktion von Vektorprodukt Algebren, 3. Beschreibung aller Vektorprodukt-Algebren, 4'!' MALcEv-Algebren,. 5. Historische Bemerkung Kapiteill. Divisionsalgebren und Topologie, F. Hirzebruch .233 § 1. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist eine Potenz von 2 . 233 1. Ungerade Abbildungen und der Satz von HOPF, 2. Homologie und Kohomo logie mit Koeffizienten in F;, 3. Beweis des Satzes von HOPF, 4. Historische Bemerkungen zur Homologie- und Kohomologietheorie, 5. Charakteristische Homologieklassen nach STIEFEL § 2. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist gleich 1, 2, 4 oder 8 . . . . 241 1. Die mod 2-Invariante (f), 2. Parallelisierbarkeit der Sphiiren und Divisions (J. algebren, 3. Vektorraumbtindel, 4. Charakteristische Kohomologieklassen nach WmTNEY, 5. Der Ring der Vektorraumbtindel, 6. Die BOTTsche Periodizitiit, 7. Charakteristische Klassen von direkten Summen und Tensorprodukten, 8. SchluB des Beweises, 9. Historische Anmerkungen § 3. Ergiinzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 1. Definition der HOPFschen Invarianten, 2. Die HOPFsche Konstruktion, 3. Der Satz von ADAMS tiber die HOPFsche Invariante, 4. Zusammenfassung, 5. Der Satz von ADAMS tiber Vektorfelder auf Sphiiren Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Teil C. Ausblicke . . . . . . . . . . . . . .253 Kapitel 12. Non-Standard Analysis, A. Pres tel . .255 § 1. Einfiihrung ............ . .255 §2. Der Non-Standard Zahlbereich *1R . . . .259 1. Konstruktion von *R, 2. Eigenschaften von *R § 3. Gemeinsamkeiten von IR und *1R . .264 §4. Differential- und Integralrechnung .269 1. Differentiation, 2. Integration Epilog .274 Literatur .275
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