Table Of ContentGrundwissen Mathematik 1
H erausgeber
G. Hammerlin E Hirzebruch M. Koecher
K. Lamotke (wissenschaftliche Redaktion)
R. Remmert W. Walter
H.-D. Ebbinghaus H. Hermes F. Hirzebruch
M. Koecher K. Mainzer 1. Neukirch A. Prestel
R. Remmert Redaktion: K. Lamotke
Zahlen
Zweite, iiberarbeitete und erganzte Auflage
Mit 31 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Heinz-Dieter Ebbinghaus Klaus Mainzer
Mathematisches Institut Lehrstuhl fUr Philosophie und
Universitiit Freiburg Wissenschaftstheorie
AlbertstraBe 23 b, 0-7800 Freiburg Universitiit Augsburg
UniversitiitsstraBe 10
Hans Hermes 0-8900 Augsburg
Mathematisches Institut
Universitiit Freiburg
Jurgen Neukirch
AlbertstraBe 23 b, 0-7800 Freiburg
Naturwissenschaftliche Fakultiit I
Friedrich Hirzebruch Mathematik
Max-Planck -Institut fUr Mathematik U niversitiitsstraBe 31
Gottfried-Claren-StraBe 26 0-8400 Regensburg
0-5300 Bonn 3
Alexander Prestel
Max Koecher
Fakultiit fiir Mathematik
Mathematisches Institut
Universitiit Konstanz
Universitiit Miinster
Postfach 5560,0-7750 Konstanz
EinsteinstraBe 62,0-4400 Munster
Klaus Lamotke Reinhold Remmert
Mathematisches Institut der Mathematisches Institut
Universitiit zu Koln Universitiit Munster
Weyertal 86-90, 0-5000 Koln EinsteinstraBe 62, 0-4400 M iinster
Mathematics Subject Classification (1980): 00 A 05
ISBN-13: 978-3-540-19486-6 e-ISBN-13: 978-3-642-97122-8
001: 10.1007/978-3-642-97122-8
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Zahlen/H.-D. Ebbinghaus ... Red.: K. Lamotke. - 2., iiberarb. u. erg. Aufl. - Berlin;
Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer, 1988
(Grundwissen Mathematik; 1)
NE: Ebbinghaus, Heinz-Dieter [Mitverf.J; GT
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heberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der Fassung
vom 24. Juni 1985 zulassig. Sie ist grundsiitzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen
unterliegen den Straibestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1983, 1988
2144/3140-543210 - Gedruckt auf siiurefreiem Papier
Vorwort zur zweiten Auflage
Die positive Aufnahme des Zahlenbandes hat Autoren und Herausgeber ange
nehm iiberrascht. Die bei einigen von uns vorhandene Skepsis ob der Konzeption
des Buches wurde durch die Reaktionen von Studierenden, Kollegen und Rezen
senten ausgeraumt. So freuen wir uns, bereits jetzt - viel friiher als erwartet - die
zweite Auflage auf den Weg zu bringen. Wir haben gem den Vorschlag von Lesem
aufgenommen, ein zusatzliches Kapitel iiber p-adische Zahlen einzufUgen; der
Autor ist J. NEUKIRCH. Das Kapitel mit den Satzen von FROBENIUS und HOPF
wurde durch den Satz von GELFAND-MAZUR erganzt. 1m iibrigen iiberarbeiteten
wir aile Kapitel und verbesserten sie an vielen Stellen. Dabei konnten wir zahl
reiche Anregungen aus Zuschriften der Leser verwenden. Ihnen sei an dieser Stelle
gedankt. Herr P. ULLRICH (Miinster), der bereits fUr die erste Auflage das
Namen- und Sachregister zusammenstellte, hat uns bei der Vorbereitung der
zweiten Auflage wieder viel geholfen; auch ihm gilt unser Dank.
Oberwolfach, im Marz 1988 Autoren und Herausgeber
Vorwort zur ersten Auflage
Das Grundwissen Mathematik, welches jeder Mathematiker im Laufe seines
Studiums erwirbt, wird erst durch die Vielfalt von Beztigen zwischen den einzelnen
mathematischen Theorien zu einem einheitlichen Ganzen. Querverbindungen
zwischen den Einzeldisziplinen lassen sich oft durch die historische Entwicklung
aufzeigen. Es ist ein Leitgedanke dieser Reihe, dem Leser deutlich zu machen, daB
Mathematik nicht aus isolierten Theorien besteht, die nebeneinander entwickelt
werden, sondern daB vielmehr Mathematik als Ganzes angesehen werden muB.
Das vorliegende Buch tiber Zahlen weicht von den weiteren Banden dieser
Reihe dadurch ab, daB hier sieben Autoren und ein Redakteur dreizehn Kapitel
zusammentrugen. In Gesprachen miteinander stimmten die Verfasser ihre Beitra
ge aufeinander ab, und der Redakteur bemtihte sich, diese Harmonisierung durch
kritische Lekttire und Rticksprache mit den Autoren zu fOrdern. Die anderen
Bande dieser Reihe konnen unabhangig yom vorliegenden Band studiert werden.
Es ist nicht moglich, an dieser Stelle aIle Kollegen zu nennen, die uns durch
Hinweise untersttitzten. Hervorheben mochten wir jedoch Herrn Gericke (Frei
burg), der vielfach half, die historische Entwicklung richtig darzustellen.
K. Peters (damals Springer-Verlag) hatte erheblichen Anteil daran, daB die
ersten Herausgeber- und Autorentreffen zustande kamen. Diese Zusammenktinfte
wurden durch die finanzielle Unterstiitzung der Stiftung Volkswagenwerk und des
Springer-Verlages sowie durch die Gastfreundschaft des Mathematischen For
schungsinstitutes in Oberwolfach ermoglicht.
Ihnen allen gilt unser Dank.
Oberwolfach, im Juli 1983 Autoren und Herausgeber
Inhaltsverzeichnis
Einleitung, K. Lamotke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Tell A. Von den natiirlichen zu den komplexen ond p-adischen Zahlen 7
Kapitell. Naturliche, ganze und rationale Zahlen, K. Mainzer . . . 9
§ 1. Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1. Agypten und Babylonien, 2. Griechenland, 3. Indisch-arabische Rechenpraxis,
4. Neuzeit
§ 2. Natiirliche Zahlen ...................... 13
1. Definition der natiirlichen Zahlen, 2. Rekursionssatz und Einzigkeit von lN,
3. Addition, Multiplikation und Anordnung der natiirlichen Zahlen,
4. PEANos Axiome
§3. Ganze Zahlen 18
1. Die additive Gruppe 'I., 2. Der Integritatsring 'I., 3. Die Anordnung in 'I.
§ 4. Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
1. Historisches, 2. Der Korper CQ, 3. Die Anordnung in CQ
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Kapitel2. Reelle Zahlen, K. Mainzer . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§ 1. Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1. HIPPASUS und das Pentagon, 2. EUDOXOS und die Proportionenlehre, 3. Irra
tionalzahlen in der neuzeitlichen Mathematik, 4. Prazisierungen des 19. Jahr
hunderts
§ 2. DEDEKINDSche Schnitte .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1. Die Menge lR der Schnitte, 2. Die Anordnung in lR, 3. Die Addition in lR,
4. Die Multiplikation in lR
§ 3. Fundamentalfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1. Historisches, 2. Das CAUCHYSche Konvergenzkriterium, 3. Der Ring der
Fundamentalfolgen, 4. Der Restklassenkorper FIN der Fundamentalfolgen
modulo den Nullfolgen, 5. Der vollstandig geordnete Restklassenkorper FIN
§ 4. Intervallschachtelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1. Historisches, 2. Intervallschachtelungen und Vollstandigkeit
§ 5. Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen . . . . . . . . . . 39
1. Die natiirlichen, ganzen und rationalen Zahlen im reellen Zahlkorper,
2. Vollstandigkeitssatze, 3. Einzigkeit und Existenz der reellen Zahlen
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
VIII Inhaltsverzeichnis
Kapitel3. Komplexe Zahlen, R. Remmert 45
§ 1. Genesis der komplexen Zahlen . . . 46
1. CARDANO (1501-1576), 2. BOMBELLI (1526-1572), 3. DESCARTES (1596-1650),
NEWTON (1643-1727) und LEffiNIZ (1646-1716), 4. EULER (1707-1783), 5. WAL-
LIS (1616-1703), WESSEL (1745-1818) und ARGAND (1768-1822), 6. GAUSS
(1777-1855),7. CAUCHY (1789-1857),8. HAMILTON (1805-1865), 9. Ausblick
§ 2. Der Korper <C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1. Definition durch reelle Zahlenpaare, 2. Die imaginiire Einheit i, 3. Geome
ce,
trische Darstellung, 4. Nichtanordbarkeit des Korpers 5. Darstellung durch
reelle 2 x 2 Matrizen
§ 3. Algebraische Eigenschaften des Korpers <C . . . . . . . . . . . . 58
ce ce, ce,
1. Die Konjugierung -+ Z f-+ Z, 2. Korperautomorphismen von 3. Das
nattirliche Skalarprodukt Re (w Z) und die euklidische Liinge IZ I, 4. Produktregel
und "Zwei-Quadrate-Satz", 5. Quadratwurze1n und quadratische Gleichungen,
6. Quadratwurzeln und n-te Wurzeln
§ 4. Geometrische Eigenschaften des Korpers <C. . . . . . . . . . . . 64
1. Die Identitiit <w,z)2+<iw,Z)2=lwI2IzI2, 2. Cosinussatz und Dreiecks
ungleichung, 3. Zahlen auf Geraden und Kreisen. Doppelverhiiltnis, 4. Sehnen
vierecke und Doppe1verhiiltnis, 5. Satz von PTOLEMAUS, 6. W ALLAcEsche Ge-
rade
§ 5. Die Gruppen 0 (<C) und SO (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
ce, (ce),
1. Abstandstreue Abbildungen von 2. Die Gruppe 0 3. Die Gruppe SO (2)
und der Isomorphismus Sl -+ SO (2), 4. Rationale Parametrisierung eigentlich
orthogonaler 2 x 2 Matrizen
§ 6. Polarkoordinaten und n-te Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . 73
1. Polarkoordinaten, 2. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten,
3. MOIVREsche Formel, 4. Einheitswurzeln
Kapitel4. Fundamentalsatz der Algebra, R. Remmert . . . . . . . . . 79
§ 1. Zur Geschichte des Fundamentalsatzes. . . . . . . . . . . . . . 80
1. GIRARD (1595-1632) und DESCARTES (1596-1650), 2. LEffiNIZ (1646-1716),
3. EULER (1707-1783), 4. D'ALEMBERT (1717-1783),5. LAGRANGE (1736-1813)
und LAPLACE (1749-1827),6. Die Kritik durch GAUSS, 7. Die vier Beweise von
GAUSS, 8. ARGAND (1768 -1822) und CAUCHY (1789-1857), 9. Fundamentalsatz
der Algebra: einst und jetzt, to. Kurzbiographie von Carl Friedrich GAUSS
§ 2. Beweis des Fundamentalsatzes nach ARGAND . . . . . . . . . . . 90
1. Der CAucHYsche Minimumsatz, 2. Beweis des Fundamentalsatzes, 3. Beweis
der ARGANDSchen Ungleichung, 4. Variante des Beweises, 5. Konstruktive Be
weise des Fundamentalsatzes
§ 3. Anwendungen des Fundamentalsatzes . . . . . . . . . . . . . . 93
1. Lemma tiber die Abspaltung von Nullstellen, 2. Faktorisierung komplexer
Polynome, 3. Faktorisierung reeller Polynome, 4. Existenz von Eigenwerten,
ce ce,
5. Primpolynome in [Z] und IR [X], 6. Einzigkeit von 7. Ausblick auf" hohere
komplexe Zahlen"
Anhang: Beweis des Fundamentalsatzes nach LAPLACE. . . . . . . . . 97
1. Hilfsmitte1, 2. Beweis, 3. Historisches
Inhaltsverzeichnis IX
Kapitel 5. Was ist n?, R. Remmert 100
§ 1. Zur Geschichte der Zahl n . . 101
1. Definition mittels Kreismessung, 2. Niiherungswerte aus der Praxis, 3. Me
thodische Approximation, 4. Analytische Formeln, 5. Die Definition von BALT
ZER, 6. LANDAU und die zeitgen6ssische Kritik
§ 2. Der Exponentialhomomorphismus exp: <c --+ <c x ••••••••• 106
1. Additionstheorem, 2. Elementare Folgerungen, 3. Epimorphiesatz, 4. Der
Kern des Exponentialhomomorphismus. Definition von n, Anhang: Elementa-
rer Beweis von Hilfssatz 3
§ 3. Klassische Charakterisierungen von n . . . . . . . . . . . . . . 111
1. Definition von cos z und sin z, 2. Additionstheoreme, 3. Die Zahl n und die
Nullstellen von cos z und sin z, 4. Die Zahl n und die Perioden von exp z, cos z
und sin z, 5. Die Ungleichung sin y > 0 fUr 0 < y < n und die Gleichung ei'f = i,
6. Der Polarkoordinatenepimorphismus p: IR ...... Sl, 7. Die Zahl n und Umfang
und Inhalt eines Kreises
§4. Klassische Formeln fUr n ................... 116
1. Die LEffiNIzsche Reihe fUr n, 2. Das VIETASche Produkt fUr n, 3. Das EULER-
sche Sinusprodukt und das WALLIssche Produkt fUr n, 4. Die EULERschen Reihen
fiir n2, n4, ... , 5. Die WEIERSTRASSSche Definition von n, 6. Irrationalitiit von n
und Kettenbruchentwicklung, 7. Transzendenz von n
Kapitel6. Die p-adischen Zahlen, 1. Neukirch · 126
§ 1. Zahlen als Funktionen. . . . . . . . · 126
§ 2. Die arithmetische Bedeutung der p-adischen Zahlen .132
§ 3. Die analytische Natur der p-adischen Zahlen .135
§ 4. Die p-adischen Zahlen · 141
Literatur · 145
Tell B. ReeUe Divisionsalgebren . 147
Einleitung, M. Koecher, R. Remmert . 149
Repertorium. Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren,
M. Koecher, R. Remmert ..................... 151
1. Reelle Algebren, 2. Beispiele reeller Algebren, 3. Unteralgebren und Algebra
Homomorphismen, 4. Bestimmung aller eindimensionalen Algebren, 5. Divi
sionsalgebren, 6. Konstruktion von Algebren tnittels Basen
Kapitel7. HAMILTONSche Quaternionen, M. Koecher, R. Remmert . 155
Einleitung . . . . . . . . . . . . . · 155
§1. Die Quaternionenalgebra IH . . . . . . . . . . . . 158
1. Die Algebra lH der Quaternionen, 2. Die Matrixalgebra Yf und der
Isomorphismus F: lH ...... Yf, 3. Der Imaginiirraum von lH, 4. Quaternionen
produkt, Vektorprodukt und Skalarprodukt, 5. Zur Nichtkommutativitiit
von lH. Zentrum, 6. Die Endomorphismen des IR-Vektorraumes lH, 7. Quater
nionenmultiplikation und Vektoranalysis, 8. Fundamentalsatz der Algebra fUr
Quaternionen
X Inhaltsverzeichnis
§ 2. Die Algebra 1H als euklidischer Vektorraum ........... 169
1. Konjugierung und Linearform Re, 2. Eigenschaften des Skalarproduktes,
3. Der "Vier-Quadrate-Satz", 4. Konjugierungs- und Liingentreue von Auto
morphismen, 5. Die Gruppe S3 der Quaternionen der Liinge 1, 6. Die spezielle
unitiire Gruppe SU(2) und der Isomorphismus S3 -> SU(2)
§3. Die orthogonalen Gruppen 0(3),0(4) und die Quaternionen .... 175
o
1. Orthogonale Gruppen, 2. Die Gruppe (JH). Satz von CAYLEY, 3. Die Gruppe
O(Im JH). Satz von HAMILTON, 4. Die Epimorphismen S3 -> SO (3) und
S3 x S3 -> SO (4), 5. Drehachse und Drehwinkel, 6. EULERsche Parameterdar
stellung der SO (3)
Kapitel8. Isomorphiesiitze von FROBENIUS, HOPF und GELFAND-MAZUR
M. Koecher, R. Remmert . 182
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 182
§ 1. HAMILToNsche Tripel in alternativen Algebren. . . . . . .. . 184
1. Die rein-imaginiiren Elemente einer Algebra, 2. HAMILTONSche Tripe!,
3. Existenz HAMIL TONscher Tripel in alternativen Algebren, 4. Alternative
Algebren
§ 2. Satz von FROBENIUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
1. Lemma von FROBENIUS, 2. Beispiele quadrati scher Algebren, 3. Quaternionen
Lemma, 4. Satz von FROBENIUS (1877)
§3. Satz von HOPF ........................ 190
1. Topologisierung ree!ler Algebren, 2. Die Quadratabbildung .91 -> .91, X I-> x2.
HOPFsches Lemma, 3. Satz von HOPF, 4. Der ursprtingliche HOPFsche Beweis,
5. Beschreibung aller 2-dimensionalen Algebren mit Einselement
§4. Satz von GELFAND-MAZUR ................... 197
1. BANAcH-Algebren, 2. Die binomische Reihe, 3. Lokaler Umkehrsatz, 4. Die
multiplikative Gruppe .91 x ,5. Satz von GELFAND-MAZUR, 6. Struktur normierter
assoziativer Divisionsalgebren, 7. Das Spektrum, 8. Historisches zum Satz von
GELFAND-MAZUR, 9. Ausblick
Kapitel9. CAYLEY-Zahlen oder alternative Divisionsalgebren
M. Koecher, R. Remmert ..... . .205
§ 1. Alternative quadratische Algebren. . . . . . . . . . . 205
1. Quadratische Algebren, 2. Satz tiber die Bilihearform, 3. Satz tiber die Kon
jugierungsabbildung, 4. Die Dreier-Identitiit, 5. Der euklidische Vektorraum .91
und die orthogonale Gruppe 0 (d)
§ 2. Existenz und Eigenschaften der CAYLEY-Algebra ([) . . . . . . . . 211
1. Konstruktion der quadratischen Algebra <D der Oktaven, 2. Imaginiirraum,
Linearform, Bilinearform und Konjugierung von <D, 3. <D als alternative
Divisionsalgebra, 4. " Acht-Quadrate-Satz", 5. Die Gleichung <D = JH EEl JHp,
6. Multiplikationstafel fUr <D
§3. Einzigkeit der CAYLEY-Algebra ................. 215
1. Verdopplungssatz, 2. Einzigkeit der CAYLEY-Algebra (ZORN 1933), 3. Beschrei
bung von <D durch ZORNsche Vektormatrizen
Inhaltsverzeichnis XI
Kapitell0. Kompositionsalgebren. Satz von HURWITZ. Vektorprodukt
Algebren
M. Koecher, R. Remmert .219
§ 1. Kompositionsalgebren . 220
1. Historisches zur Kompositionstheorie, 2. Beispiele, 3. Kompositionsalgebren
mit Einselement, 4. Struktursatz fUr Kompositionsalgebren mit Einselement
§ 2. Mutation von Kompositionsalgebren . . . . . . . . . . . . . . 224
1. Mutationen von Algebren, 2. Mutationssatz fUr endlich-dimensionale Kom
positionsalgebren, 3. Satz von HURWITZ (1898)
§ 3. Vektorprodukt-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
1. Der Begriff der Vektorprodukt-Algebra, 2. Konstruktion von Vektorprodukt
Algebren, 3. Beschreibung aller Vektorprodukt-Algebren, 4'!' MALcEv-Algebren,.
5. Historische Bemerkung
Kapiteill. Divisionsalgebren und Topologie, F. Hirzebruch .233
§ 1. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist eine Potenz von 2 . 233
1. Ungerade Abbildungen und der Satz von HOPF, 2. Homologie und Kohomo
logie mit Koeffizienten in F;, 3. Beweis des Satzes von HOPF, 4. Historische
Bemerkungen zur Homologie- und Kohomologietheorie, 5. Charakteristische
Homologieklassen nach STIEFEL
§ 2. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist gleich 1, 2, 4 oder 8 . . . . 241
1. Die mod 2-Invariante (f), 2. Parallelisierbarkeit der Sphiiren und Divisions
(J.
algebren, 3. Vektorraumbtindel, 4. Charakteristische Kohomologieklassen nach
WmTNEY, 5. Der Ring der Vektorraumbtindel, 6. Die BOTTsche Periodizitiit,
7. Charakteristische Klassen von direkten Summen und Tensorprodukten,
8. SchluB des Beweises, 9. Historische Anmerkungen
§ 3. Ergiinzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
1. Definition der HOPFschen Invarianten, 2. Die HOPFsche Konstruktion, 3. Der
Satz von ADAMS tiber die HOPFsche Invariante, 4. Zusammenfassung, 5. Der
Satz von ADAMS tiber Vektorfelder auf Sphiiren
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Teil C. Ausblicke . . . . . . . . . . . . . .253
Kapitel 12. Non-Standard Analysis, A. Pres tel . .255
§ 1. Einfiihrung ............ . .255
§2. Der Non-Standard Zahlbereich *1R . . . .259
1. Konstruktion von *R, 2. Eigenschaften von *R
§ 3. Gemeinsamkeiten von IR und *1R . .264
§4. Differential- und Integralrechnung .269
1. Differentiation, 2. Integration
Epilog .274
Literatur .275
