Z-Transformation für Ingenieure: Grundlagen und Anwendungen in der Elektrotechnik, Informationstechnik und Regelungstechnik

258 Pages·1995·6.02 MB·German

by  Dr.-Ing. habil. Fritz Bening (auth.)

z-
Transformation
für Ingenieure
Grundlagen und Anwendungen
in der Elektrotechnik, Informations
technik und Regelungstechnik
Von Dr.-Ing. habil. Fritz Bening
Professor an der Universität Rostock
B. G. Teubner Stuttgart 1995
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Bening, Fritz :
Z-Transformation für Ingenieure : Grundlagen und
Anwendungen in der Elektrotechnik, Informationstechnik und
Regelungstechnik / von Fritz Bening. - Stuttgart : Teubner,
1995
ISBN 978-3-519-06159-5 ISBN 978-3-322-99752-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-99752-4
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© B. G. Teubner Stuttgart 1995
Gesamtherstellung: Präzis-Druck GmbH, Karlsruhe
Vorwort
Wozu eigentlich Z-Transformation? Diese Frage hört man häufig von Studenten,
die bereits Grundregeln der F ourier- und der Laplace-Transformation verstanden
haben und sich -wenn auch nach anfänglichem Zögern - sogar damit anfreunden
konnten. Nun schon wieder eine neue Transformation? Ist sie wirklich nötig? Wo
kann ich sie anwenden und welche Vorteile bringt sie mir?
Diese Einfiihrung versucht, solche und ähnliche Fragen leicht faßlich und präzise
zu beantworten. Sie richtet sich zuerst an den Anfänger, den weniger mathemati
sche Grundsatzfragen interessieren, der vielmehr das breit gefächerte Anwen
dungsspektrum der Z-Transformation kennenlernen möchte und nützliche Hin
weise sowie praxisbezogene Rechenbeispiele erwartet. Darüber hinaus wird auch
der Fortgeschrittene angesprochen, der den Gebrauch der Z-Transformation in
der Technik kennenlernen und sich in diese Thematik einarbeiten möchte, um
daraus fiir eigene Problemstellungen Nutzen zu ziehen.
Denn eines ist unbestritten: dynamische Vorgänge in zeitdiskreten technischen
Anwendungen werden vorwiegend mit Methoden der Z-Transformation behan
delt; diese lineare Funktionaltransformation hat sich als leistungsfähiges Hilfs
mittel zur rechnerischen Behandlung solcher Problemkreise durchgesetzt.
Dies gilt insbesondere fiir digitale AufgabensteIlungen der Systemtheorie, der
Regelungs- und Automatisierungstechnik sowie der allgemeinen Elektrotechnik.
Vorwiegend dort, wo Rechentechnik einsetzbar ist, hat sich die Z-Transformati
on bei numerischen Untersuchungen bewährt. So ist beispielsweise die Analyse
von Meßwertreihen selten an kontinuierliche Funktionen geknüpft, sie erfolgt
vielmehr an Hand von gemessenen "Zahlenkolonnen", deren Verarbeitung eine
Domäne der Z-Transformation darstellt.
Zum Inhalt:
Das 1. Kapitel stellt mathematische Grundlagen vor, soweit sie fiir den rechnen
den Ingenieur unverzichtbar sind. Grundlegenden Definitionen folgt die Z-Abbil
dung einfacher und zusammengesetzter Signale; Transformationseigenschaften
und Rechengesetze werden erläutert.
Das 2. Kapitel befaßt sich mit der inversen Operation, der Z-Rücktrans/ormation
und stellt in der Rechenpraxis bewährte Methoden vor. Vorwiegend werden
(gebrochen-) rationale Funktionen von z, die bei Signalen und in Systemen mit
konzentrierten Bauelementen vorherrschen, behandelt.
Das 3. Kapitel beschreibt Systeme mit Hilfe der Gewichts- und der Über
tragungs/unktion. Unterschiede bei der Anwendung der Z-Transformation auf
(getastete) kontinuierliche und diskrete Systeme werden herausgearbeitet. Auch
die Reaktion auf verschiedene Signaltypen, wie aperiodisch, periodisch und
amplitudenmoduliert, wird ausfUhrlich besprochen. Den Abschluß bildet die
IV Vorwort
erweiterte Z-Transformation; sie erlaubt bei kontinuierlichen Zeitfunktionen die
Berechnung beliebig vieler Zwischenwerte innerhalb einer Tastperiodendauer .
Das 4. Kapitel stellt weitere Kennjunktionen im z-Frequenzbereich, wie den kom
plexen Frequenzgang mit seinen technisch bedeutsamen Komponenten Ortskur
ve, Amplituden- und Phasengang vor und geht auf die graphische Konstruktion
dieser Kennfunktionen aus dem P-N-Plan ein.
Das 5. Kapitel ist dem Zusammenspiel zwischen DifJerenzengleichungen und der
Z-Transformation, also dem Zusammenwirken von Zeitbereich und Bildbereich
gewidmet. Sowohl Analyse-als auch Syntheseprobleme werden betrachtet.
Das 6. Kapitel behandelt am Beispiel technischer AufgabensteIlungen ausgewähl
te numerische Verfahren, die auf die Z-Transformation als Rechenhilfe zurück
greifen.
Das 7. Kapitel enthält eine Aufgabensammlung samt Lösungen, die aus studenti
schen Rechenübungen zusammengestellt wurden und querschnittsmäßig den ge
samten behandelten Stoff widerspiegeln.
Das 8. Kapitel beinhaltet Hilfsprogramme, welche die Z-Rücktransformation und
die Systemanalyse im Zeit- und Bildbereich erleichtern. Es umfaßt Demonstra
tionen zum Thema Anwendungen der Z-Transformation und bietet Lösungshilfen
zu Beispielen und Aufgaben an.
Das 9. Kapitel stellt wichtige Bezeichnungen, Formeln, Sätze und Korresponden
zen zusammen, soweit sie in den vorangegangenen Kapiteln benutzt wurden.
Das Buch entstand aus Vorlesungen und Übungen, die der Autor am Fachbereich
Elektrotechnik der Fakultät fiir Ingenieurwissenschaften an der Universität
Rostock gehalten hat. Die inhaltliche Gestaltung und die Auswahl der eingefiig
ten Beispiele sind betont anwendungsorientiert gehalten. Sie geben dem Leser
Gelegenheit, den Umgang mit den Elementen der Z-Transformation an Hand
technischer Standardaufgaben zu üben.
Wünschenswert fiir die mühelose Lektüre sind Vorkenntnisse in der Mathematik,
der Elektrotechnik und der Signal- und Systemtheorie, wie sie im Grundstudium
wissenschaftlicher Studiengänge vermittelt werden. Das Buch wendet sich vor
wiegend an Studenten technischer Fachrichtungen und an Ingenieure. Um das
Verständnis beim Leser zu fördern, sind zahlreiche vollständig durchgerechnete
Aufgaben eingearbeitet. Dem Studierenden sollen Grundlagen vermittelt und
technische Anwendungen der Z-Transformation nahe gebracht werden. Diese ein
fiihrende Darstellung versucht, den Ansprüchen an ein kombiniertes Lehr- und
Übungsbuch zu genügen und ist nach Meinung befragter Studenten und des Au
tors zum Selbststudium geeignet.
Rostock, im Sommer 1995 Fritz Bening
Inhalt
Vorwort ........................................................................................................................ III
Formelzeichen und Symbole ........................................................................................ IX
1 Z-Transformation ................................................................................................ 1
1.1 Definition und Vereinbarungen ................................................................. 1
1.1.1 Wege zur Z-Transformation ..................................................... l
Laplace-und Z-Transformation ................................................ 3
Diskrete Fourier-und Z-Transformation .................................. 5
1.1.2 Ein-und zweiseitige Z-Transformation .................................. 6
Kausalität .................................................................................. 7
Konvergenz ............................................................................... 7
1.2 Abbildung einfacher Signale ...................................................................... 10
1.2.1 Elementarsignale ...................................................................... 10
Sprungfunktion ......................................................................... 10
Potenzfunktion .......................................................................... 11
Exponentialfunktion ................................................................. 11
Harmonische Funktion ............................................................. 11
1.3 Rechenregeln und Sätze ............................................................................. 12
1.3.1 Linearitätssatz. .......................................................................... 12
1.3.2 Verschiebungssätze .................................................................. 13
Verschiebungs satz-links für Schaltfunktionen ......................... 13
Verschiebungssatz-rechts für Schaltfunktionen ....................... 15
Verschiebungs satz-rechts für Nicht-Schaltfunktionen ............. 16
1.3.3 Skalierung im z-Bereich ........................................................... 17
1.3.4 Differentiation .......................................................................... 18
Differentiation mittels Vorwärtsdifferenzen ........................... 18
Differentiation mittels Rückwärtsdifferenzen .......................... 19
1.3.5 Integration ................................................................................ 22
1.3.6 Faltung ...................................................................................... 24
1.3.7 Grenzwertsätze ......................................................................... 26
VI Inhalt
Anfangswertsatz ....................................................................... 26
Endwertsatz .............................................................................. 26
1.4 Abbildung zusammengesetzter Signale .................................................... 28
1.4.1 Zerlegung in Elementarsignale ................................................. 28
1.4.2 Periodisch fortgesetzte Signale ................................................ 33
2 Z-Rücktransformation. ........................................................................................ 37
2.1 Umkehrintegral ........................................................................................... 37
2.2 Partialbruchentwicklung und Korrespondenztafel ..................................... 39
Anpassung von F(z) an die Korrespondenztafel... .................... 40
Nullstellenüberschuß ................................................................ 44
Polstellenüberschuß .................................................................. 46
2.3 Reihenentwicklung ..................................................................................... 47
2.4 Allgemeine Rekursionsforrnel... .............................................................. 49
Differenzengleichungs-Methode ............................................................ 53
3 Systeme und Systemreaktionen .......................................................................... 55
3.1 Diskrete Systeme ........................................................................................ 55
3.1.1 Kennfunktionen im z-Bereich .................................................. 55
Einheitsimpuls, Gewichtsfolge ................................................. 55
Übertragungsfunktion ............................................................... 57
3.2 Kontinuierliche Systeme .......................................................................... 59
3.2.1 Kennfunktionen im z-Bereich .................................................... 60
3.2.2 Getastete Systeme ohne Halteglied: Pulssysteme .................... 61
3.2.3 Übertragungsmodell von Pulssystemen ................................... 62
Tastelement und Dirac-Funktion .............................................. 62
Spektrale Betrachtung ............................................................... 66
3.2.4 Getastete Systeme mit Halteglied: Abtastsysteme ................... 71
3.2.5 Übertragungsmodell von Abtastsystemen ................................ 72
Ergänzung: Gges(z) aus Übergangsfunktion ............................. 75
3.3 Systemreaktion auf ausgewählte Signale ................................................. 77
3.3.1 Aperiodische Eingangssignale (Tsignal > T) ............................. 77
Kurze Rechteckimpulse (Tsignal < T) ...................................... 78
3.3.2 Periodische nichtharrnonische Eingangssignale ..................... .
(Tsignal> T) .............................................................................. 81
3.3.3 Modifizierte ~ewichtsfunktion (Tsignal < T) ........................... 84
Modifizierte Ubertragungsfunktion .......................................... 87
Forrnierglied ............................................................................. 88
3.4 Erweiterte Z-Transforrnation und kontinuierliche Systeme ..................... 92
Nutzung der Standard-Korrespondenzen .................................. 92
Berechnung von Zwischenwerten a[(n+&)T] ............................ 94
Listing: Zwischenwertberechnung ........................................... 99
4 Pol-Nullstellen-Geometrie im z-Bereich ............................................................. 101
4.1 P-N-Pläne im z-Bereich ............................................................................. 101
Inhalt VII
4.1.1 Pollage u. Stabilität .................................................................. 101
4.1.2 P-N-Geometrie von Systemen .................................................. 102
Polkoordinaten und Systemeinschwingvorgang ....................... 104
4.1.3 P-N-Geometrie von Signalen ................................................... 106
4.2 Z-Übertragungsfunktion und Komplexer Frequenzgang .......................... 109
4.2.1 Ortskurve, Amplituden-und Phasengang ................................ 109
4.2.2 Graphische Konstruktion von Amplitudengang IGI und
Phasengang <p aus Z-P-N-Plan ................................................. 113
Amplitudengang, graphisch ...................................................... 114
Phasengang, graphisch ............................................................. 115
5 Systeme und Differenzengleichungen ............................................................... 119
5.1 Differenzengleichungen und z-Transformation ......................................... 119
Differenzen ............................................................................... 119
Differenzengleichungen ............................................................ 120
5.1.1 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten
Koeffizienten ............................................................................ 120
Elektrische Schaltungen und Differenzengleichungen ............. 120
Annäherung von Differentialgleichungen durch
Differenzengleichungen ............................................................ 122
5.1.2 Lösungsmethoden :fiir Differenzengleichungen im
z-Bereich ................................................................................... 124
Typen von Differenzengleichungen: Ordinaten-und
Differenzenform ....................................................................... 124
Offene Lösung im Zeitbereich .................................................. 125
Geschlossene Lösung im z-Bereich ......................................... 127
5.2 Systembeschreibung mittels Differenzengleichungen ............................... 129
5.2.1 Z-Übertragungsfunktion aus Differenzengleichung ................. 129
5.2.2 Differenzengleichung aus z-Übertragungsfunktion ................. 136
5.2.3 Übergang von kontinuierlichen zu diskreten Systemen ........... 137
Methode der Impuls-Invarianz ................................................. 138
Methode der Rückwärtsdifferenzen .......................................... 140
Methode der Bilinear-Transformation ...................................... 144
6 Ausgewählte Numerische Verfahren .................................................................. 149
6.1 Zur Wahl der Tastperiodendauer ............................................................ 149
Abtasttheorem :fiir gefensterte Funktionen ............................... 152
Betrachtung im Frequenzbereich .............................................. 156
Kurze Signale ........................................................................... 157
6.2 Periodischer Schalter ............................................................................ 158
Aufstellen der Differenzengleichung :fiir die
Kondensatorspannung .............................................................. 160
Berechnung von Zwischenwerten ............................................ 162
Listing: Periodischer Schalter ................................................... 164
VIII Inhalt
6.3 Zur Systemsynthese mittels Differenzengleichungen ............................ 165
Entwurf eines diskreten Tiefpaß 2. Ordnung ............................ 166
Auswirkung der Periodizität von Frequenz-
Kennfunktionen ........................................................................ 175
6.4 Treppenförmige Eingangssignale ............................................................... 180
Das Übertragungsmodell .......................................................... 181
6.5 Z-Transformation und inverse Laplace-Transformation ......................... 184
7 Aufgabensammlung ............................................................................................. 189
7.1 Übungsaufgaben .... __ ................................................................................... 189
7.1.1 Z-Transformation ..................................................................... 189
7.1.2 Z-Rücktransformation .............................................................. 190
7.1.3 System-Kennfunktionen, Systemreaktion ................................ 191
7.1.4 Übertragungsmodell, Z-P-N-Plan ........................................... 192
7.1.5 Differenzengleichungen u. Z-Transformation .......................... 193
7.1.6 Differenzengleichungen u. System-Funktionen ....................... 194
7.1.7 Systeme mit Rückfiihrung .......... ~ ............................................. 195
7.1.8 Kontinuierliche Systeme mit diskreter Rückfiihrung ............... 196
7.2 Lösungen der Übungsaufgaben .................................................................. 198
7.3 Lösungen der Kontrollfragen / -aufgaben .................................................. 204
8 Rechnerprogramme ............................................................................................. 209
8.1 Z-Rücktransformation: zJueck.m ............................................................. 209
Listing des Programms zJ ueck.m ........................................... 211
8.2 Analyse diskreter Systeme: d_analys.m ..................................................... 214
Listing des Programms d_analys.m .......................................... 219
9 Anhang: Tabellen ................................................................................................. 231
9.1 Einige Elementarfunktionen ...................................................................... 231
9.2 Ausgewählte Korrespondenzen und Sätze ................................................. 232
9.2.1 Korrespondenzen zur Z-Transformation ................................. 232
9.2.2 Korrespondenzen zur Z-Transformation ................................. 233
9.2.3 Sätze zur Z-Transformation .................................................... 234
9.2.4 Korrespondenzen zur L -Transformation ............................... 235
9.2.5 Sätze zur L-Transformation .................................................... 236
9.2.6 Vergleichende Korrespondenzen im Z-, L-u. Zeitbereich ....... 237
9.3 Anwendung der Z-Transformation auf diskrete / kontinuierliche
Systeme bei verschiedenen Signaltypen .................................................... 238
9.4 System-Kennfunktionen ............................................................................. 239
9.4.1 Zeitkontinuierliche Systeme .................................................... 239
9.4.2 Zeitdiskrete Systeme ............................................................... 240
9.5 Polwinkel cP = ffioT und Zeitfunktion f(nT) ............................................... 241
Literaturverzeichnis ..................................................................................................... 242
Sachwortverzeichnis .................................................................................................... 245
Formelzeichen IX
Formelzeichen und Symbole
00 = 21tf Kreisfrequenz [rad/sec]
OOA Abtastfrequenz [rad/sec]
<p( eirol) Phasengang diskreter Systeme
<p(oo) Phasengang kontinuierlicher Systeme
~(nT) Einheits-Impuls, Kronecker-Delta
~Trr relative Einschaltdauer
~[f(nT)] Differenz I.Ordnung
~oo Abstand der Spektrallinien
o(t) Dirac-Funktion
I G(eirol) I Amplitudengang diskreter Funktionen
I GGoo) I Amplitudengang kontinuierlicher Funktionen
I (nT) diskrete Sprungfunktion
I(t) kontinuierliche Sprungfunktion
a(nT) diskretes Ausgangssignal
a(t) kontinuierliches Ausgangssignal
A(z) Ausgangssignal im Z-Bereich
DFT Diskrete F ouriertransformation
DGL Differentialgleichung
Diff.-Gl. Differenzengleichung
e(nT) diskretes Eingangssignal
e(t) kontinuierliches Eingangssignal
E(z) Eingangssignal im Z-Bereich
f Frequenz [Hz]
f(nT) diskretwertige Wertefolge, T -Abstand, n-natürliche Zahl
f(t) Funktion der kontinuierlichen Zeit t
F(m~oo) Spektrum der Diskreten Fouriertransformation
F(z) Rationale Funktion im Z-Bereich
F-l{FGoo)} F ourier-Rücktransformation
F{f(t)} F ourier-Transformation
fmax höchste enthaltene Frequenzkomponente
g(nT) Gewichtsfolge, Einheits-Impulsreaktion
g(t) Gewichtsfunktion, Dirac-Reaktion
X F onnelzeichen
GGc.o) komplexer Frequenzgang kontinuierlicher Systeme
G(p) Übertragungsfunktion im Laplacebereich
G(z) Übertragungsfunktion im Z-Bildbereich
GH(P) L-Transfonnierte des Haltegliedes O. Ordnung
i(t) Strom
Im Imaginärteil
k Konstante, Verstärkungsfaktor von G(z)
L-l{F(P)} Laplace-Rücktransfonnation
L{~t)} Laplace-Transfonnation
m Grad des Zählerpolynoms, Tastverhältnis, Zählvariable
n Grad des Nennerpolynoms, natürliche Zahl
p = cr+jc.o komplexe Variable bei der Laplace-Transfonnation
Re Realteil
si(x) Spaltfunktion si(x) = sin(x) / x
t kontinuierliche Zeitvariable
T Tastperiodendauer
T Fensterlänge (Beobachtungsdauer) eines Funktionsausschnitts
F
Tmax höchstzulässige Tastperiodendauer
To Periodendauer
TP Tietpaß, Verzögerungsglied
u(t) Spannung
ü(t) Übergangsfunktion, Sprungreaktion
v Verstärkung
z,/ Nullstellen des Zählerpolynoms
Nullstellen des Nennerpolynoms
zl1
Z-l{F(z)} Z-Rücktransfonnation
Z{~nT)} Z-Transfonnation