Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej - relatywistycznej teorii pola

175 Pages·2018·3.401 MB·Polish

by  R. Waligóra

********************************************************
Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej - relatywistycznej
teorii pola

CZĘŚĆ I - POLA KLASYCZNE.
ABELOWE I NIEABELOWE POLA CECHOWANIA
******************************************************************************************
Autor : R. Waligóra
data powstania dokumentu : 2018-10-01
ostatnie poprawki z dnia : 2018-11-10
******************************************************************************************

WPROWADZENIE

Przedstawiony tekst ma na celu omówienie podstawowych pojęć i metod stosowanych w klasycznej (w części I )
i kwantowej (w części II ) - relatywistycznej teorii pola. Takie teorie stanowią podstawę konstrukcji wszystkich
współczesnych teorii oddziaływań fizycznych. Sztandarowym tego przykładem jest Model Standardowy fizyki
cząstek elementarnych ( w sktrócie MS ). „Teorio-polowa” jest również grawitacja.
W poniżej przedstawionym tekście omawiane są teorie pól : skalarnych rzeczywistych i zespolonych,
wektorowych, tensorowych i spinorowych. Pola te są od samego początku przyjmowane jako relatywistycznie
niezmiennicze tj. muszą być inwariantne względem grupy przekształceń Poincarego (GP), lub grupy Lorentza
(GL), przy czym oczywiście GP (cid:204) GL – tj. grupa Lorentza jest podgrupą grupy Poincarego. Innymi słowy
żądamy, aby pola przekształcały się zgodnie z odpowiednią reprezentacja podstawową GP.

Jak już powiedziano, we współczesnej fizyce, relatywistyczna teoria pól stanowi fundament na jakim rozwijane są
wszystkie znane teorie fizyczne, począwszy od elektrodynamiki maxwellowskiej, einsteinowskiej teorii grawitacji,
a kończąc na modelu standardowym cząstek elementarnych tj. w szczególności jest to, teoria oddziaływań
elektrosłabych i silnych (chromodynamika – dynamika koloru ).
Sformułowane w ten sposób teorie podlegają oczywiście dalszym modyfikacjom np. w ramach teorii
supersymetrii, lub teorii (super)strun, jednakże pozostają one przy tym nadal relatywistycznie inwariantne.

Dla zrozumienia przedstawionego tekstu konieczna jest znajomość podstaw :
- mechaniki analitycznej (aparatu kanonicznego – ujęcia Lagrange’a i Hamiltona - mechaniki klasycznej )
- STW – szczególnej teorii względności, w szczególności zapisu czterowektorowego
- MQ - mechaniki kwantowej (postulaty MQ, zapis w notacji Diraca – „bra” „ket” )
- elektrodynamiki klasycznej (maxwellowskiej ) – zapis równań Maxwella w postaci relatywistycznej
- rachunku wariacyjnego, równania Eulera- Lagrange’a (w skrócie E-L)
- analizy wektorowej i tensorowej (notacje indeksowe, algebra i analiza wektorów i tensorów )
Innymi słowy, czytelnikowi powinny być znane takie pojęcia jak np. : współrzędne uogólnione, prędkości i pędy
uogólnione, lagranżjan i hamiltonian - układu mechanicznego, reprezentacja grupy Lorentza
(Poincarego ), pochodna kowariantna, komutator pól wektorowych, itp.

W pierwszej kolejności wprowadzę odpowiednie wielkości mechaniki analitycznej dla przypadku
nierelatywistycznego, następnie pojęcia te zostaną rozszerzone na układy o nieskończonej (w granicy ) liczbie
stopni swobody tj. ośrodki ciągłe, dalej uzyskają one zapis relatywistycznie niezmienniczy.
Dla takich układów, współrzędne uogólnione zostają zastąpione (ciągłymi) funkcjami pola, lagranżjan i
hamiltonian zastępujemy odpowiednio gęstością lagranżjanu i gęstością hamiltonianu. Przejście to uwzględnia
polowy charakter zmiennych działania. Oczywiście formalizmowi temu nadajemy relatywistyczną
niezmienniczość wprowadzając tym samym pojecie „pola relatywistycznie niezmienniczego”.

W tekście podkreślono kluczową dla teorii pola (zarówno klasycznego jak i kwantowego ) rolę zasad zachowania
wynikających z istnienia odpowiednich grup symetrii równań wariacyjnych – ciągłych lub dyskretnych.
W pierwszej kolejności rozpatrujemy tzw. symetrie czasoprzestrzenne – geometryczne.
W tym temacie zasadniczą rolę odgrywa twierdzenie podane przez Emme Noether.
W dalszym planie występują symetrie „wewnętrzne” np. związane z prawem zachowania ładunku w
elektrodynamice klasycznej.
Tym sposobem przechodzimy do najważniejszej kwestii dla współczensej teorii pola – symetrii cechowania.

1
W „procesie” kwantowania pól klasycznych otrzymujemy „obraz” korpuskularnych innymi słowy z kazdym
polem wiążemy (lub próbujemy wiązać ) odpowiadjaąca mu cząstkę o własnościach kwantowo-mechanicznych.
Pojęcie pola i cząstek (cząstki) odpowiadających takiemu polu jest we współczesnej fizyce podstawą zrozumienia
zasad funkcjonowania wszechświata – zarówno w skali makro jak i mikro (tego w szczególności).

Jeszcze raz należy podkreślić, że szczególnie istotne są dla nas, pola obdarzone specyficznym rodzajem symetrii -
symetrie cechowania. Współczesnie dużą uwagę przyciągają pola, dla których pojecie symetrii (związanej z
pewnym rodzajem niezmienniczością ) zostało w sposób nietrywialny rozszerzone - mowa tutaj o tzw.
supersymetrii.

Przyjęty schemat postępowania będzie następujący :
Wychodzimy od mechaniki analitycznej i związanego z nią aparatu kanonicznego ( formalizm Lagrange’a i
Hamiltona, przekształcenia kanoniczne , nawiasy Poissona , twierdzenie Noether , współrzędne cykliczne )
Następnie przechodzimy do rozpatrzenia formalizmu kanonicznego dla ośrodków ciągłych wprowadzając pojęcie
pola jako zmiennej funkcjonału działania. W wyniku tego przejścia otrzymujemy charakterystyczną zamianę
wielkości dynamicznych na odpowiadające im gęstości. Rozpatrując niezmienniczość równań polowych ze
względu na grupę ich symetrii ( twierdzenie Noether dla teorii pola ) otrzymujemy odpowiednie wielkości
zachowane tj. zachowane prądy i ładunki Noether. Ostatnie uogólnienie polega na takim sformułowaniu równań
pola aby stały się niezmiennicze względem pewnej reprezentacji grupy Lorentza. Otrzymujemy w ten sposób
relatywistyczna teorię pola (klasycznego ).
W następnym kroku realizujemy procedurę zwaną kwantowaniem pola – tzw. procedura drugiej kwantyzacji.
Zobacz również teks pt. „Szkic o fizyce i jej historii, matematyce i filozofii”

Teoria pola (teorie polowe) – szczególnie pola skwantowanego, jak wspomniałem jest podstawą na której opiera
się cała fizyka teoretyczna. W jej metodach, a zwłaszcza używanych narzędziach matematycznych odbite jest całe
bogactwo i różnorodność fizyki. Należy od razu powiedzieć , że jest to jednak okupione wieloma trudnościami
zarówno natury fizycznej jak i matematycznej. Teoria pola ukazuje w pełni swoje możliwości kiedy zastosujemy
odpowiedni formalizm matematyczny, do arsenału którego nalezą m.in. takie pojęcia jak :
tensor, forma różniczkowa , pochodna kowariantna, pochodna Liego, rozmaitość Riemannowska.

Zalecana literatura wstępna.
Początkującemu czytelnikowi, w pierwszej kolejności proponuje zapoznać się z artykułem pt. :
„Teoria pola” M. Kupczyńskiego napisanym dla „Encyklopedii fizyki współczesnej” PWN 1984.
Wzorcowym przykładem nierelatywistycznej teorii pola, jest teoria newtonowskiego pola grawitacyjnego, dlatego
warto zapoznać się z tekstem pt. „Prawo powszechnego ciążenia”
Drugim „wzorcowym” przykładem relatywistycznej teorii pola jest maxwellowska teoria elektromagnetyzmu,
dlatego warto również przeczytać tekst pt. :
Podstawy elektrodynamiki klasycznej

W dalszej kolejności polecam :
1) „Elementy klasycznej i kwantowej teorii pola” – Jerzy Karaśkiewicz UMCS 2003
2) „Teoria pola” - L. D. Landau, E. M. Lifszyc PWN 1977
3) „Klasyczna teoria pola” – Krzysztof A. Meissner WN-PWN 2002
4) „Elementy mechaniki kwantowej” – Stanisław Szpikowski UMCS 1999
5) “Kwantowa teoria pola w zadaniach” – Voja Radovanovic WN-PWN 2008
6)„Fizyka matematyczna” tom 2 klasyczna teoria pola. – W. Thirring; PWN 1985

******************************************************************************************
Uwagi o zastosowanych skrótach i oznaczeniach.
W prezentowanym tekście zastosowano następujące skrótowe oznaczenia :
MQ – mechanika kwantowa
MK – mechanika klasyczna
CP – czasoprzestrzeń
EM – elektromagnetyczna, elektromagnetycznej itp. Np. fala EM
STW, OTW – odpowiednio - szczególna i ogólna teoria względności
KTP – kwantowa teoria pola (ang. QFT )
KLTP – klasyczna teoria pola
Y-M – ( teoria )Yanga-Millsa
QCD – chromodynamika kwantowa
GUT – teoria wielkiej unifikacji
FD – funkcjonał działania
FCT – feynmanowska całka po trajektoriach
2
IUO, NIUO – odpowiednio – inercjalny i nieinercjalny układ odniesienia
rr – równanie różniczkowe
GP – grupa Poincarego
GL, PL – odpowiednio grupa i przekształcenie Lorentza

Wielkości wektorowe (trój- lub więcej – wymiarowe ) oznaczono pogrubiona czcionką np. r –wektor wodzący
r = (x, y, z ) – w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa lub r = (x1,x2,x3 ), rot H - rotacja pola wektorowego H
Cytaty z rozlicznych książek mają za zadanie pokazać w jaki różnorodny sposób można przedstawić dane
zagadnienie fizyczne lub jego rozwiązanie. Cytaty zawarto w symbolach
.......................................................
zachowując przy tym (o ile to możliwe ), pierwotną numeracje wyrażeń, rysunków i równań matematycznych.

******************************************************************************************

Uwagi o jednostkach stosowanych w KTP
Zazwyczaj, chociaż nie jest to żadnym standardem stosuje się tzw. naturalny układ jednostek, w którym :
stała Plancka/2π ” ħ = c = 1
Jedynym nietrywialnym wymiarem przy takim wyborze jest wymiar masy [m]. Zatem :
Masa [m] = m
Energia [E] = m
Pęd [p] = m
Współrzędna [x] = 1/m
( Fizycznie 1/m jest comptonowską długością fali cząstki o masie m )
Pochodna po współrzędnej [∂µ ] = m
Działanie [S] = 1
Ładunek [q] = 1
Stała grawitacyjna [G] = 1/m–2
Natężenie pola EM [Fµν ] = m2
Potencjał pola [Aµ ] = m

I tak przykładowo jeden z popularnych autorów pisze :
.......................................................
Z tego samego powodu dla którego nie posługujemy się już dla pomiarów odległości stopą królewską,
wykorzystamy jednostki naturalne, w których prędkość światłą c i stała Diraca ħ (* w tekście tłumaczonym będzie
to dla wygody po prostu h *) przyjmowana jest równą 1. Planck zauważył iż w jednostkach naturalnych wszystkie
wielkości fizyczne można wyrazić poprzez masę Plancka :
MPlanck ” 1 / (cid:214) GNewton @ 10 [GeV]
Wielkości c i h nie są zbyt fundamentalne jako czynniki przeliczeniowe. W tym świetle dziwię się specjalistom w
obszarze fizyki materii skondensowanej, którzy operują stałą Boltzmanna k, właściwie niczym nie różniącej się od
współczynnika przeliczenia stopy na metry.

Współrzędne CP xm mają indeksy greckie ( m = 0, 1, 2, 3 ) o współrzędnej czasowej x0 czasami oznaczaną
jako t.
Współrzędne przestrzenne xi mają indeksy łacińskie ( i = 1, 2, 3 ) oraz ¶ m ” ¶ /¶ xm .
Wykorzystuje metrykę Minkowskiego h nm o sygnaturze ( +, - , - ,- ), tak, że h 00 = +1.
Wykorzystuje zapis następujący zapis :
h nm ¶ m j ¶ m j = ¶ m j ¶ m j = (¶j )2 = (¶j /¶ t )2 - S (¶j /¶ xi )2
i
nm nm
Metryka w zakrzywionej CP zawsze jest oznaczana jako g jednakże będę często oznaczał symbolem g
metrykę Minkowskiego, jeśli z kontekstu będzie jasne, że znajdujemy się w płaskiej CP.
Ponieważ w niniejszej książce głownie będziemy mówili o relatywistycznej KTP, będę bez szczególnych
wyjaśnień wykorzystywał język fizyki relatywistycznej. Zatem, jeśli będę mówił o pędzie ( za wyjątkiem
szczególnych przypadków ), to będę miał na myśli energię i pęd.

Również dlatego, że h = 1, nie będę dokonywał rozróżnienia pomiędzy wektorem falowym k i pędem, oraz
pomiędzy częstością w i energią.

3
W teorii pola lokalnego mamy do czynienia głownie z gęstością lagranżjanu £, a nie z samym lagranżjanem :
L = ∫ d3x £
Tak jak to przyjęto w literaturze i swobodnych dyskusjach, często będę wielkość £ nazywał lagranżjanem.
Stosuje również i inne potoczne oznaczenia np. macierz jednostkową oznaczam jako 1 a nie jako I. Wykorzystuje
również ten sam symbol j dla przekształcenia Fouriera j (k) funkcji j (x), za każdym razem, kiedy ryzyko
zamieszania jest niewielkie tj. praktycznie zawsze. Według mnie lepiej jest nieco swobodnie wykorzystywać
terminologie, niż obciążać tekst za każdym razem innymi oznaczeniami i przejawiać zbytni pedantyzm.
Symbol * oznacza sprzężenie zespolone, a† - sprzężenie hermitowskie - pierwsze stosujemy do liczby, drugie do
operatora. Wykorzystuje również skróty dla takich operacji : s.z i s.h
.......................................................

Kwantowa teoria pola w pigułce - Anthony Zee ; Princeton University Press 2003

******************************************************************************************

I. PODSTAWOWE POJĘCIA MECHANIKI ANALITYCZNEJ.
( Zobacz tekst pt. „Wprowadzenie do mechaniki analitycznej” )

1.1 Funkcjonał działania.
Przypomnijmy pewne standardowe oznaczenia stosowane w mechanice analitycznej :
qi(t) - współrzędne uogólnione punktu materialnego lub układu mechanicznego składającego się z wielu
punktów materialnych . i = 1 ... N ; N – liczba stopni swobody układu mechanicznego.
Gdy na układ składający się z n – punktów materialnych , nałożono m – więzów, to : N = 3n - m

W szczególności jako współrzędne uogólnione mogą być wykorzystywane standardowe współrzędne
kartezjańskie x(t), y(t), z(t) – przyjmowane jako zmienne czasu.

Liczba współrzędnych uogólnionych równa jest liczbie stopni swobody.
Współrzędne uogólnione będziemy, kierując się tradycją oznaczać jako :
q1 , ... ,qn ; n = 1, ... ,S
lub w zapisie wektorowym :
q = ( q1 , ... ,qn ), n = 1, ... ,S

Współrzędne uogólnione nie koniecznie muszą mieć wspólne miano, mogą to być np. współrzędne postaci :
długość-kąt ; długość – pole. Zazwyczaj konkretny wybór współrzędnych uogólnionych podyktowany jest
względami prostoty rachunkowej.

Prędkościami uogólnionymi nazywamy pierwsze pochodne względem czasu współrzędnych uogólnionych.
Jeżeli : q1= q1(t) , ... , qn= qn(t) ,to otrzymujemy następujące prędkości uogólnione :
v1= dq1(t) /dt ” q1• , ... , vn= dqn(t) /dt ” qn•
•
(kropka w charakterze indeksu górnego oznacza różniczkowanie po czasie )
W charakterze prędkości uogólnionych możemy przyjąć ich pochodne po czasie :
vx = dx/dt , vy = dy/dt , vz = dz/dt ,

Wielkość określona zależnością :
n n
T = ½ S mi vi2 = ½ S mi vi • vi (kropka • oznacza iloczyn skalarny )
i=1 i=1
nazywa się „energią kinetyczną“ układu n-punktów materialnych. Mamy również zapis o postaci :
T = ½ S mi || q•i ||2 , || q•i || = q•i • q•i
( energię kinetyczną będziemy oznaczali również jako K )
•
W ogólności energia kinetyczna jest dodatnio określoną forma kwadratową zmiennych q i :
n
T = ½ S aik(q) q•i q•k
i,k =1

4
Wielkości :
pi = ¶ T/¶ qi• ( dalej pi = ¶ L/¶ qi• )
nazywamy „pędami uogólnionymi”. W przypadku ogólnym należy posługiwać się taką definicją pędów, które w
przypadku szczególnym będą równe iloczynowi : masa · prędkość.
Generalnie jednakże należy mieć na uwadze iż pędy i prędkości są zadane na różnych przestrzeniach – pęd – na
przestrzeni kostycznej, prędkość – na przestrzeni stycznej.

Warto również mieć na uwadze fakt, iż forma energii kinetycznej zadaje w istocie metrykę na odpowiedniej
przestrzeni, stad czasami energię kinetyczną nazywa się metryką.

Ruch w polu o potencjale newtonowskim.
Wprowadźmy zatem współrzędne uogólnione :
q(t ) = ( q1(t ), ... qn(t) ) ,n = 1, ...
prędkości i pędy uogólnione :
vi ” q•i = dqi /dt
•
pi = mi q i ; i = 1, … , n

Niech taki układ znajduje się w polu o potencjale :
U(q1, ... , qn )
Równanie dynamiki n- cząstek materialnych, we współrzędnych uogólnionych ma postać :
mi q••i = - ¶ U/¶ qi , i = 1, ... , n

Przykładem potencjału w/w potencjału, jest niezależny od czasu potencjał newtonowski :
U(q•i ) = S { - G ( mi mj / || qi - qj || ) }
i, j

Mechanikę klasyczna możemy rozwinąć (czasami równoważnie ) korzystając z różnych przestrzeni
( w sensie matematycznym ):
przestrzeń konfiguracyjna qi
przestrzeń zdarzeń (qi, t )
przestrzeń pędu i energii
przestrzeń fazowa ( qi, pi )
przestrzeń fazowa rozszerzona ( qi, pi , t )
Przestrzeń konfiguracyjną możemy traktować jako pewną rozmaitość różniczkową, oznaczmy ja jako Mn.
( rozmaitość konfiguracyjna, dla układu mechanicznego o n stopniach swobody będzie to rozmaitość n
wymiarowa )
W każdej chwili t, położenie układu mechanicznego reprezentowane jest przez pewien punkt q(t) ˛ Mn.
Dla lokalnego układu współrzędnych określonego na rozmaitości konfiguracyjnej położenie układu możemy
opisywać przez współrzędne uogólnione :
q1(t), ... , qn(t) ˛ Mn.
Ruch układu jest znany, gdy znane jest odwzorowanie :
t fi q(t) ˛ Mn
t ˛ < a, b >
Doświadczenie poucza, że jednoczesna znajomość wszystkich współrzędnych i prędkości uogólnionych
całkowicie określa stan układu i ( z punktu widzenia MK ) pozwala jednoznacznie przewidzieć dalsze jego
zachowanie – jest to oczywiście stwierdzenie o charakterze empirycznym pierwotnie ujęte w II prawie Newtona.

Zbiór wszystkich wektorów stycznych do rozmaitości Mn, tzn. sumę przestrzeni stycznych do tej rozmaitości we
wszystkich jej punktach :
¨
T(M) = Tn ( M)
q ˛ Mn
nazywamy „wiązką styczną” do rozmaitości Mn. Zbiór T(M) w sposób naturalny wyposażony w strukturę
rozmaitości różniczkowej.

Bardzo ważne jest spostrzeżenie, że forma kwadratowa związana z energią kinetyczną T wprowadza na
przestrzeni M strukturę przestrzeni Riemanna.
5
Formalizm Lagrange’a. Lagranżjan
Przestrzeń konfiguracyjna układu mechanicznego wyznaczona jest przez współrzędne uogólnione tego układu.
Każdy układ mechaniczny może być scharakteryzowany poprzez pewną funkcję współrzędnych uogólnionych ,
prędkości uogólnionych i czasu.
.
L = L(qi(t), q i(t) ,t ) ; i = 1, ... , n (1.1.1)
Funkcje tą nazywamy „lagranżjanem” ( w niektórych publikacjach spotyka się pisownie „lagrangian” ) układu
mechanicznego (ogólnie układu fizycznego).

Mechanika Lagrange’a opisuje ruch układu mechanicznego za pomocą przestrzeni konfiguracyjnej. Przestrzeń
konfiguracyjna układu mechanicznego ma strukturę rozmaitości różniczkowej. Na takiej rozmaitości działa grupa
dyfeomorfizmów. Podstawowe pojęcia i twierdzenia mechaniki Lagrange’a są niezmiennicze względem tej grupy.
Układ mechaniczny Lagrange’a określają : rozmaitość (przestrzeń konfiguracyjna ) oraz funkcja na wiązce
stycznej do tej rozmaitości ( funkcja Lagrange’a )
Każdej jednoparametrowej grupie dyfeomorfizmów przestrzeni konfiguracyjnej zachowującej funkcje Lagrange’a,
odpowiada zasada zachowania – całka pierwsza równań ruchu.
Mechanika Lagrange’a pozwala wyczerpująco zbadać szereg ważnych zagadnień mechaniki np. zagadnienia w
teorii małych drgań i w dynamice bryły sztywnej

Funkcjonał działania.
Rozpatrzmy funkcjonał postaci :
t1
S [g ] = ∫ L(qi(t), q.i(t) ,t ) dt (1.1.2)
t0
S [g ] – oznacza zależność funkcjonalną S od g - jest więc funkcjonał – funkcjonał działania w skrócie FD;
g - jest pewną krzywą w przestrzeni konfiguracyjnej.

Funkcjonał o takiej postaci nazywamy „działaniem”.
Wielkość ta reprezentuje sobą pewną całkę krzywoliniową, wzięta wzdłuż linii w przestrzeni konfiguracyjnej
danego układu i zadawanej przez zbiór funkcji qi(t), na pewnym jej skończonym odcinku – od punktu o
współrzędnych qi(t0), do punktu qi(t1).

Jak się okazuje, wszystkie podstawowe prawa fizyki klasycznej można wyprowadzić z jednej, jedynej konstrukcji
matematycznej - FD. Z niej właśnie wynikają klasyczne równania ruchu, a analiza warunków, inwariantności
działania pozwala znaleźć wielkości zachowane przy ruchu klasycznym. Na dodatek, jak pokazali Dirac i
Feynmann, rola pojęcia działania w sposób pełny ujawnia się w fizyce kwantowej.
Dzięki temu zapewniony zostaje jasny i elegancki język użyteczny w opisie przejścia od fizyki klasycznej do
kwantowej, językiem tym jest feynmanowska całka po trajektoriach (FCT )
( ang. Feynman path integral ).

1.2 Zasada stacjonarnego działania
Do podstawowych zasad mechaniki należy zasada stacjonarnego działania, zwana niesłusznie z matematycznego
punktu widzenia zasadą najmniejszego działania. Głosi ona iż :
Rzeczywisty ruch układu mechanicznego w przestrzeni konfiguracyjnej opisywany jest przez taką krzywą g , dla
której działanie (1.1) osiąga ekstremum (w szczególności może to być minimum ).
Tak postawione zagadnienie prowadzi do równań różniczkowych (ogólnie o pochodnych cząstkowych ), które
powinny spełniać funkcje qi(t) i które opisują ruch danego układu.

Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku wariacyjnego możemy powiedzieć :
warunkiem koniecznym, aby działanie S osiągało ekstremum jest spełnienie równania Eulera-Lagrange’a :
. . .
d/dt (¶ L/¶ q i ) - ¶ L/qi = 0 lub p - fi = 0 lub p = fi (1.2.1)
gdzie : fi = ¶ L/qi – jest siłą uogólnioną.
Równanie to wynika z równania wariacyjnego o postaci :
d S = 0 (1.2.2)
.
Rozwiązania równania : p = fi – nazywamy „ekstremalnymi” funkcjonału S.

6
Wprowadzając pojęcie pochodnej wariacyjnej (pochodnej Hamiltona ) :
.
hL /hqi = d/dt (¶ L/¶ q i ) – (¶ L/qi ) (1.2.3)
( literka h symbolizuje różniczkowanie w sensie Hamiltona ) otrzymamy warunek :
hL / hqi = 0
Należy zauważyć, że lagranżjan jest określony niejednoznacznie. Wynika to z tego, że lagranżjan postaci :
L’ = L + d/dt f (qi, t )
również spełnia równania (1.2.3).

Innymi słowy, można pokazać, że lagranżjan o postaci :
L’ = L + d/dt f(qi(t), t )
również określa te same równania ruchu.
Wynika to z faktu, że zasada ekstremalnego działania zadana jest w postaci całkowej, a równania ruchu w postaci
różniczkowej.

W ogólności będziemy mieli następującą niejednoznaczność :
₤ fi ₤’ = ₤ + ¶ m Fm
która nie będzie naruszała działania tj. S = S’ ( zatem i odpowiednich równań ruchu )
Własność ta jest słuszna dla określonych zależności topologicznych.

Działanie jest jedynie pewną konstrukcją matematyczną, a liczba konstrukcji takiego rodzaju jest w zasadzie
nieograniczona. Jednakże działanie powinno opisywać świat fizyczny, który jak zakładamy zbudowany jest w
całkowicie określony sposób. Zatem, pośród wielu możliwych powinien istnieć, ten jeden szczególny FD, który
prawidłowo opisuje to, co przebiega w rzeczywistości.
Pojawia się wobec tego pytanie – jak odróżnić taki szczególny FD od innych ?
Odpowiedź podpowiada nam twierdzenie Noether, wskazujący na związek między symetriami danego układu, a
symetriami FD, którym go opisujemy.
Dobrze są nam znane symetrie w rodzaju tych, które wynikają z STW i ze wszystkich możliwych działań
powinniśmy wybrać tylko te, które odzwierciedlają te symetrie. Inne symetrie, w rodzaju np. zachowania ładunku
elektrycznego, jeszcze bardziej ograniczają postać szukanego FD. Mamy podstawę zakładać, że natura preferuje
określone typy działań, mianowicie te, które posiadają wszelkie inwariantności zmieniającymi się od punktu do
punktu. Inwariantności tego rodzaju prowadzą do teorii z cechowaniem.
Fundamentalną własnością układów fizycznych jest inwariantność FD względem przekształceń należących do
niejednorodnej grupy Lorentza, lub ogólniejszej grupy Poincarego.

Asymptotyczna addytywność lagranżjanu.
Jeżeli będziemy rozpatrywali dwa układy mechaniczne znajdujące się w znacznej odległości jeden od drugiego to
jest oczywiste , że procesy zachodzące w jednym układzie nie powinny wpływać na procesy zachodzące w drugim
układzie. Z drugiej strony jednak, nie można zabronić aby rozpatrywać te dwa układy jako jeden układ złożony z
dwóch odległych przestrzennie części I i II.
Jeżeli pewien układ ( I + II ) rozdzielimy na dwa pod układy I i II w taki sposób , że minimalna odległość między
punktami materialnymi układu I i II rI II fi (cid:181) , to funkcje Lagrange’a układu I + II możemy rozłożyć na dwie
(osobne ) funkcje Lagrange’a :
LI + II fi LI + LII
r I II fi ¥
Jest to warunek asymptotycznej addytywności funkcji Lagrange’a.

Przykład 1.2.1
Rozważmy układ zachowawczy fizyczny (mechaniczny) składający się z jednego punktu materialnego o jednym
stopniu swobody. Dla takiego układu jak wiadomo lagranżjan ma postać :
L = T – U ; gdzie : T – to energia kinetyczna , U – to energia potencjalna.
I odpowiednio, dla energii tych mamy zależności postaci :
T = ½ mv2 ; U = U(x)
Równanie Eulera–Lagrange’a przyjmuje postać :
.
p = fi (jest to uogólniona II zasada dynamiki Newtona )
Dla naszego przypadku mamy jednak :
p = ¶ L/¶ v = mv ; f = ¶ L/¶ x = ¶ U/¶ x
zatem :

7
dp/dt = f ⇒ ma = F ⇒ ma = - ¶ U/¶ x
Co oczywiście pokrywa się z „klasycznie” rozumianym II prawem Newtona.

Przykład 1.2.2
Rozpatrzmy przykład 1 bardziej formalnie.
Zbadamy FD dla elementarnego układu – cząstki punktowej, której wektor położenia w chwili t jest dany
przez funkcje xi(t ) ( i = 1, 2, 3 ) i która porusza się w potencjale niezależnym od czasu V(xi ).

Odpowiedni FD dany jest przez wyrażenie :
t1
S( [xi ] ; t1 , t2 ) ” ∫ dt [ ½ m (dxi /dt ) (dxi /dt ) – V(xi )] (1.1*)
t2
Jest on funkcją chwili początkowej i końcowej t1, t2 i funkcjonałem od trajektorii xi(t ) przy t1< t < t2
( względem powtarzających się indeksów łacińskich prowadzimy sumowanie )
Wszystko to oznacza, że zadanej trajektorii xi(t ) przyporządkowujemy pewną liczbę, nazywaną funkcjonałem
( w danym przypadku S ). Argument funkcjonału będziemy obejmować nawiasem kwadratowym [ ... ].
Przykładowo, długość trajektorii jest funkcjonałem trajektorii.

Zobaczmy teraz jak zmienia się S przy małej deformacji trajektorii :
xi(t ) fi xi(t ) + δxi(t )
Mamy :
t2
S[xi + δxi ] = ∫ dt [ ½ m d(xi δxi )/dt d(xi + δxi )/dt – V(xi + δxi )]
t1
Zaniedbując człony O(δx)2 możemy zapisać :
d(xi δxi )/dt d(xi + δxi )/dt = (dxi /dt ) (dxi /dt ) – 2(d2xi /dt2 ) δxi + 2d/dt (δxi dxi /dt )
V(xi + δxi ) » V(xi ) + δxi ¶ iV
gdzie : ¶ i ” ¶ /¶ xi
Zatem :
t2
S[xi + δxi ] » S[xi] + ∫ dt δxi [ -¶ iV - m(d2xi /dt2 )] + m ∫ dt d/dt [ δxi (dxi/dt )]
t1
Ostatnia składowa jest członem “powierzchniowym”.
Możemy się jej pozbyć, jeśli ograniczymy się do wariacji trajektorii zerujących się w punktach końcowych :
δxi (t1) = δxi( t2 ) = 0
Jeśli przyjmiemy ten warunek, to z wymogu stałości działania S przy dowolnych δxi wynikają klasyczne równania
ruchu danego układu.
Symbolicznie zapiszemy to jako równość zeru pochodnej funkcjonalnej, określonej przez zależność :
S[xi + δxi ] = S[xi] + ∫ dt δxi δS/δxi + …
Zatem, :
δS/δxi = – [m(d2xi/dt2 ) + ¶ iV] = 0
Zatem ustanowiliśmy odpowiedniość wzajemną między równaniami ruchu i warunkiem ekstremalności
działania S.
Zauważmy jednakże, że warunek ekstremalności działania S prowadzi do całej klasy możliwych trajektorii.
Po jakiej z nich w istocie następuje ruch, zależy od warunków brzegowych zadawanych jako wartości początkowe
wielkości xi i dxi /dt .

8
1.3 Formalizm Hamiltona. Równania Hamiltona. Przestrzeń symplektyczna.
Nawiasy Poissona
Mechanika Hamiltona jest w istocie geometrią w przestrzeni fazowej. Przestrzeń fazowa ma strukturę rozmaitości
symplektycznej. Na takiej rozmaitości działa grupa dyfeomorfizmów symplektycznych – tj. przekształceń
zachowujących strukturę symplektyczną.
Hamiltonowski układ mechaniczny określają : rozmaitość parzystego wymiaru (przestrzeń fazowa), struktura
symplektyczna określona na przestrzeni fazowej oraz funkcja zadana na tej rozmaitości – hamiltonian. Każda
jednoparametrowa grupa symplektycznych dyfeomorfizmów przestrzeni fazowej zachowująca funkcje Hamiltona
związana jest z całka pierwsza równań ruchu.
Mechanika Lagrange’a zawiera się w mechanice Hamiltona jako przypadek szczególny ( przestrzenią fazową jest
tutaj wiązka kostyczna rozmaitości konfiguracyjnej, a funkcją Hamiltona – przekształcenie Legendre’a funkcji
Lagrange’a )
Formalizm Hamiltona ma duże znaczenie w teorii zaburzeń (mechanika nieba ) oraz w ogólnym rozumieniu ruchu
w złożonych układach mechanicznych (teoria ergodyczna, mechanika statystyczna), ma również walor
pozwalający dokonywać jej uogólnień na układy kwantowe.

Jak wiemy w mechanice hamiltonowskiej, układ mechaniczny opisywany jest przez współrzędne uogólnione qi i
•
pędy uogólnione p i. I chociaż formalizm Hamiltona nie rożni się od formalizmu Lagrange’a jeśli chodzi o treść
fizyczną, jest on bardziej predysponowany do wyłożenia mechaniki kwantowej, mechaniki statystycznej. W
szczególności wykorzystanie przestrzeni fazowej daje podstawę dla omówienia pojęcia całkowalności i
niecałkowalności oraz dla opisania zjawisk chaotycznych, które mogą mieć miejsce w układach niecałkowalnych.
Powiedziałem iż formalizmy te nie różnią się od siebie – należy jednakże dodać, iż nie równią się w przypadku
szczególnym, kiedy możliwe jest zastosowanie formalizmu przekształceń kanonicznych. Gdy takie
przekształcenie nie jest możliwe, to jednolite formalizmy : Hamiltona i Lagrange’a mogą już nie opisywać
jednego i tego samego układu fizycznego

•
Przejścia od formalizmu Lagrange’a, opartego na zmiennych qi i q i , do formalizmu Hamiltona, możemy
•
dokonać za pomocą standardowego przekształcenia Legendre’a. Z jego pomocą lagranżjan L = L(q, q , t)
• •
przekształcamy względem q do nowej funkcji dla której q wyrażamy w terminach p :
n
H(p, q, t) = S pi q•i - L(q, q•, t) (1.3.1)
i=1

•
Teraz p, q, i q przedstawiają sobą n-wymiarowe wektory : p = (p1, ... , pn ) , q = (q1, ... , qn ) ,
• • •
q = (q 1, ... , q n )
a nowa funkcja H nazywa się hamiltonianem układu.

•
Podstawowa zależność, za pośrednictwem której pi wyrażamy przez qi i q i :
pi(q, q•, t) = ¶ L/¶ q•i (q, q•, t) (1.3.2)
może być, przy warunku :
det | ¶ 2L/ ¶ q•i ¶ q•j | „ 0 (1.3.3)
•
odwracalną, co pozwala wyrazić q i przez pi , rozpatrując qi oraz t , jako parametry.
W charakterze prostego przykładu omawianego przekształcenia rozpatrzmy lagranżjan postaci :
n
L = S ½ mi q•2i – V(q1, ... , qn ) (1.3.4)
i=1

9
Dla takiego lagranżjanu znajdujemy :
pi = (¶ L/¶ q•i ) = mq•i (1.3.5)
a ponieważ warunek (2.2.3) jest spełniony, zależność odwrotna ( trywialna w tym przypadku ) ma postać :
•
q i = pi /mi (1.3.6)

Hamiltonian zapiszemy zatem w następującej postaci :
n n n
S S S
H(p, q )= pi ( pi/mi ) – [ ½ mi ( pi/mi )2 - V(q1, ... , qn ) ] = ( pi2 / 2mi ) + V(q1, ... , qn ) (1.3.7)
i=1 i=1 i=1

Lagranżjan (1.3.4) opisuje ważną klasę układów mechanicznych, jego zależność pi i qi jest jednak niezwykle
prosta, zatem pewne subtelności nie są ujawnione. Standardowym przykładem mniej trywialnego przekształcenia
jest przykład ruchu cząstki pod działaniem siły ciężkości, ograniczonej gładką krzywą o zadanej formie ( Jest to
przykład więzu holonomicznego ).
Równania ruchu Lagrange’a określane są zgodnie z zadanym lagranżjanem układu za pomocą zasady Hamiltona.

Naturalnym jest, że chcielibyśmy teraz otrzymać równania ruchu w ramach formalizmu hamiltonowskiego. Można
to zrobić opierając się na zasadzie wariacyjnej, jednak bardziej poprawna jest następująca droga.
Różniczka funkcji H, zadanej zależnością (2.2.1) ma postać :
dH = S pi dq•i + q•i dpi – (¶ L/¶ q•i ) dq•i - (¶ L/¶ qi ) dqi – (¶ L/¶ t) dt (1.3.8)
i
Pierwsza i trzecia składowa po prawej stronie znoszą się wzajemnie, zgodnie z definicją pi = ¶ L/¶ q•i , a po
uwzględnieniu zależności p•i = ¶ L/¶ qi znajdujemy :
dH = S q•i dpi – p•i dqi – (¶ L/¶ t) dt (1.3.9)
i
Otrzymujemy zatem równania „kanoniczne“ ruchu lub „równania Hamiltona” :
q•i = ¶ H/¶ pi ; p•i = – ¶ H/¶ qi (1.3.10)
a oprócz tego, można również udowodnić, że
dH/dt = ¶ H/¶ t.
Przyrównanie tego wyniku do równań kanonicznych (1.3.10) prowadzi do wniosku, że H i t, formalnie mogą być
rozpatrywane jako para zmiennych kanonicznych. Takie podejście jest dogodne w przypadku hamiltonianów
zależnych od czasu dla których rozpatruje się często (2n + 1)-wymiarową „rozszerzoną” przestrzeń fazową
zmiennych q1, ... , qn ; p1, ... , pn ; t.
¶ H/¶ t = – ¶ L/¶ t (1.3.11)

Układ równań (1.3.10) zawiera w sobie 2n równań pierwszego rzędu, w odróżnieniu od układu n równań drugiego
rzędu, otrzymanego w formalizmie Lagrange’a. Można pokazać, że równanie drugiego rzędu, przykładowo o
postaci :
••
x = f(x)
•
można zapisać w postaci pary równań pierwszego rzędu, wprowadzając nową zmienną : y = x ,
jednak należy podkreślić, że równania te nie koniecznie musza mieć formę hamiltonowską.

Równania Hamiltona (1.3.10) posiadają szereg ważnych własności, na razie ograniczymy ich omówienie dla
przypadku hamiltonianów nie zależnych od czasu. Po pierwsze zbiór 2n zmiennych q1, ... , qn ; p1, ... , pn , który
często nazywamy „zmiennymi kanonicznymi” lub „kanonicznie sprzężonymi” ( „ pi –pęd jest sprzężony z qi )
obrazuje 2n-wymiarową przestrzeń fazową.

Łatwo jest zauważyć, że równania (2.2.15) spełniają warunek „nieściśliwości” :
n
S [ (¶ q•i /¶ qi ) = (¶ p•i /¶ pi ) ] = 0 (1.3.12)
i=1
Wyobraźmy sobie kroplę „cieczy” przestrzeni fazowej – równanie (1.3.12) stwierdza, że objętość tej kropli
pozostaje stała. Zatem, element objętości przestrzeni fazowej w strumieniu fazowym jest zachowany – to właśnie
jest treścią elementarnego twierdzenia Liouville’a, opisuje ono jedną z najważniejszych własności układów
hamiltonowskich

10