wittgenstein no contexto da grundlagenkrise

243 Pages·2013·2.07 MB·Portuguese

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SAO CARLOS
ˆ
DEPARTAMENTO DE FILOSOFIA E METODOLOGIA DAS CIENCIAS
´ ˜
PROGRAMA DE POS-GRADUAC¸AO EM FILOSOFIA
´
A MATEMATICA DAS
PHILOSOPHISCHE BEMERKUNGEN:
WITTGENSTEIN NO CONTEXTO DA
GRUNDLAGENKRISE
Anderson Luis Nakano
UFSCar - Sa˜o Carlos - Brasil
2015
˜
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SAO CARLOS
ˆ
DEPARTAMENTO DE FILOSOFIA E METODOLOGIA DAS CIENCIAS
´ ˜
PROGRAMA DE POS-GRADUAC¸AO EM FILOSOFIA
´
A MATEMATICA DAS
PHILOSOPHISCHE BEMERKUNGEN:
WITTGENSTEIN NO CONTEXTO DA
GRUNDLAGENKRISE
Anderson Luis Nakano
Tese apresentada ao Programa de P´os-
gradua¸c˜ao em Filosofia do Departamento de
Filosofia e Metodologia das Ciˆencias da Uni-
versidade Federal de S˜ao Carlos, para a ob-
ten¸ca˜o do t´ıtulo de Doutor em Filosofia
Orientador: Prof. Dr. Bento Prado de Almeida Ferraz Neto
UFSCar - Sa˜o Carlos - Brasil
2015
Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária UFSCar
Processamento Técnico
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
Nakano, Anderson Luis
N163m A matemática das Philosophische bemerkungen :
Wittgenstein no contexto da Grundlagenkrise /
Anderson Luis Nakano. -- São Carlos : UFSCar, 2015.
234 p.
Tese (Doutorado) -- Universidade Federal de São
Carlos, 2015.
1. Filosofia da matemática. 2. Wittgenstein. 3.
Crise dos fundamentos da matemática. I. Título.

Ao Alt´ıssimo
Agradecimentos
Gostaria de deixar meu enorme agradecimento `aqueles que contribu´ıram, direta ou
indiretamente,paraqueestetrabalhofosseposs´ıvel. Emprimeirolugar,ameuorientador,
o Prof. Dr. Bento Prado de Almeida Ferraz Neto, que exerceu enorme influˆencia na
minha forma¸c˜ao e em meu modo de enxergar e dar relevˆancia `as quest˜oes que me
ocuparam durante todos esses anos. Agrace¸co a meus pais pelo apoio constante.
Agrade¸co a minha querida esposa Alice pela companhia e pelo carinho em todos esses
anos. Agrade¸co ao Prof. Dr. Jean-Philippe Narboux pela acolhida e pelo di´alogo
durante minha estadia em Bordeaux. Agradec¸o aos professores e funciona´rios do DFMC
da Universidade Federal de S˜ao Carlos. Por fim, agrade¸co `a FAPESP pelos apoios
financeiros, tanto no Brasil como no exterior.
Resumo
A tese fornece uma leitura e interpreta¸c˜ao dos escritos de Wittgenstein sobre a ma-
tem´atica no in´ıcio do seu “per´ıodo intermedi´ario” (mais precisamente, nos “cap´ıtulos
matema´ticos” das Philosophische Bemerkungen), situando estes escritos no contexto de
duas crises. A primeira, interna ao pensamento do autor, diz respeito a inconsistˆencias
referentes `aquilo que o Tractatus prescrevera como resultado da aplica¸c˜ao da l´ogica
e a an´alise l´ogica efetiva de certos dom´ınios do real, o que configurava, aos olhos de
Wittgenstein, uma crise nos fundamentos da lo´gica. Por outro lado, controv´ersias acerca
dos fundamentos da matem´atica se acirraram ao longo da d´ecada de 1920, e debates
entre trˆes escolas que buscavam impor o seu modo na˜o apenas de conceber a matema´tica,
mas tamb´em de fazˆe-la tornavam-se cada vez mais frequentes. Essa crise, que recebera o
codinome de Grundlagenkrise der Mathematik, constitui um importante pano de fundo
hist´orico-conceitual para estes primeiros escritos de Wittgenstein ap´os seu retorno `a
filosofia em 1929. Se, no Tractatus, Wittgenstein se posiciona apenas em rela¸c˜ao ao
logicismo de Frege e Russell, nestes escritos ele procura, a seu modo, contrapor seu pen-
samento em relac¸a˜o a`s tendˆencias dominantes de sua ´epoca: o intuicionismo de Brouwer
e Weyl, o formalismo de Hilbert e, por fim, o logicismo renovado de Ramsey. A tese
desenvolve, em seu Cap´ıtulo conclusivo, uma reflex˜ao sobre a postura de Wittgenstein
ante estas trˆes escolas cl´assicas e ante os problemas por elas enfrentados.
Palavras-chave: Wittgenstein, filosofia da matem´atica, crise dos fundamentos da
matem´atica.
Abstract
This thesis provides a reading and interpretation of Wittgenstein’s writings on mathe-
matics at the beginning of his “middle period” (more precisely, at the “mathematical
chapters” of Philosophische Bemerkungen), placing these writings in the context of two
crises. The first, internal to his thought, consists of inconsistencies regarding what the
Tractatus prescribed as the result of the application of logic and the effective logical
analysis of certain domains of reality, which characterized, in Wittgenstein’s view, a
crisis in the foundations of logic. On the other hand, controversies about the foundations
ofmathematicswereintensifiedthroughoutthe1920s, anddebatesbetweenthreeschools
who attempted to impose their way not only of conceiving mathematics, but also of
doing it, became increasingly frequent. This crisis, also called Grundlagenkrise der
Mathematik, is an important historical and conceptual background for these early wri-
tings immediately after Wittgenstein’s return to philosophy in 1929. If in the Tractatus
Wittgenstein had positioned himself only with regard to Frege’s and Russell’s logicism,
in these writtings he tries in his own way to contrast his thought with the prevailing
trends of his time: the intuicionism of Brouwer and Weyl, Hilbert’s formalism and,
finally, Ramsey’s renewed logicism. This thesis develops, in its concluding Chapter, a
reflection on Wittgenstein’s posture with respect to these three classical schools and
with respect to the problems faced by them.
Keywords: Wittgenstein, philosophyofmathematics, fondationalcrisisofmathematics.
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
Contextualizac¸˜ao da obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
O desmantelamento do Tractatus e a composi¸ca˜o das PhBm . . . . . . . . . 3
As controv´ersias acerca dos fundamentos da matema´tica . . . . . . . . . . . 7
Sinopse dos cap´ıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 Os contornos filos´oficos da aritm´etica do Tractatus 19
Frege e o paradigma aritm´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A generaliza¸ca˜o do conceito de func¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Valores de verdade como referˆencias de proposi¸c˜oes . . . . . . . . . . . 24
Russell e a primazia da noc¸˜ao de fun¸c˜ao proposicional . . . . . . . . . . . . . 26
A fun¸c˜ao matema´tica como fun¸ca˜o descritiva . . . . . . . . . . . . . . . 28
Constantes lo´gicas como casos particulares de fun¸co˜es proposicionais . . 31
A ramifica¸ca˜o das constantes l´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Wittgenstein e a distin¸ca˜o entre func¸˜ao e opera¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . 34
As constantes l´ogicas como operac¸˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A no¸c˜ao de c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
O nu´mero como o expoente de uma opera¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 A aritm´etica das Philosophische Bemerkungen 53
O nu´mero na proposic¸˜ao elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A introdu¸ca˜o do sinal extens´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Uma constru¸ca˜o no interior da proposi¸c˜ao elementar . . . . . . . . . . 62
Dois n´ıveis distintos da dicotomia intensa˜o/extensa˜o . . . . . . . . . . . 69
O nu´mero como propriedade interna de uma classe . . . . . . . . . . . . . . 72
A teoria da identidade de Ramsey e a no¸c˜ao de fun¸ca˜o em extensa˜o . . 77
A pluralidade dos contextos de aplica¸c˜ao do nu´mero . . . . . . . . . . . 85
Nu´mero, esquema e aplica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3 A assim chamada “proposi¸c˜ao matem´atica” 99
O elo forte entre a proposic¸˜ao matema´tica e sua prova . . . . . . . . . . . . 106
A prova como proposic¸˜ao matema´tica completamente analisada . . . . 108
v
SUMA´RIO SUMA´RIO
Prova e demonstra¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Demonstra¸ca˜o, generalidade e nega¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A defesa de uma teoria intensional do infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Apresentac¸˜ao × descri¸ca˜o: a critica a` teoria dos conjuntos . . . . . . . 123
A separa¸ca˜o entre aritm´etica e a´lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A nega¸ca˜o e o falso na aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Nega¸ca˜o e indeterminac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
O falso e as provas indiretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4 A tem´atica dos nu´meros reais 143
Nu´meros reais e aplica¸ca˜o geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
O crit´erio da comparabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
O crit´erio da s´erie evidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
A completude dos nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A cr´ıtica ao ponto de vista extensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5 Wittgenstein e as trˆes escolas cl´assicas 167
Wittgenstein e o logicismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Equa¸co˜es e tautologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Aplicabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Wittgenstein e o intuicionismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Infinito, Generalidade, Decidibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Sequˆencias de escolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Wittgenstein e o formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Consistˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Metamatema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Apˆendice A 205
Apˆendice B 225
Referˆencias 234
vi
Introdu¸c˜ao
CONTEXTUALIZAC¸A˜O DA OBRA
O leitor que se depara com a afirmac¸a˜o de Wittgenstein, escrita poucos dias depois de
seu retorno a Cambridge em 1929 e ap´os mais de uma d´ecada afastado do trabalho
filos´ofico, de que ele precisaria voltar, contra a sua vontade, `a aritm´etica∗, mal pode
imaginar a importˆancia que as discuss˜oes sobre a aritm´etica assumiriam ao longo de
seus manuscritos. A centralidade deste tema nos manuscritos de 1929 e 1930 contrasta
com a brevidade com a qual ele foi considerado no Tractatus† (menos de trˆes p´aginas
em pouco mais de setenta). Com efeito, pelo menos metade de suas observa¸c˜oes nos
MS 105 a 108 tem como alvo temas matem´aticos.
Destes manuscritos, Wittgenstein selecionou uma coletˆanea de entradas que
deram origem a dois textos datilografados, etiquetados posteriormente como TS 208 e
209. No primeiro deles, a ordem das entradas em relac¸a˜o aos manuscritos foi mantida,
enquanto, no segundo, as observa¸c˜oes retiradas dos manuscritos foram reestruturadas
em uma disposic¸a˜o inteiramente nova. Este u´ltimo, segundo Rush Rhees‡, foi entregue
como um relat´orio de aproveitamento, a fim de garantir a continuidade de sua bolsa
fornecida pelo Trinity College§. Treze anos apo´s a morte de Wittgenstein, este texto foi
editado e publicado por Rhees sob o t´ıtulo de Philosophische Bemerkungen¶.
Rush Rhees, em seu trabalho editorial, dividiu o texto em vinte e dois cap´ıtulos.
No geral, as divis˜oes s˜ao bem fundadas e espelham descontinuidades tem´aticas do
∗LudwigWittgenstein: WienerAusgabe; StudienTexte,ed.porMichaelNedo,vol.1,Wien/New
York: Springer Verlag, 1999 (doravante citado como WAi), p. 7. Os Wiener Ausgabe trazem a
transcric¸a˜o dos manuscritos de Wittgenstein. Os volumes 1 e 2 correspondem aos manuscritos MS 105
a 108, base para a constituic¸a˜o das Philosophische Bemerkungen e, portanto, sa˜o de grande relevaˆncia
para este trabalho. Informac¸o˜es de cara´ter filolo´gico acerca destes manuscritos podem ser encontrados
em WAi, pp. vii-xiv.
†Idem: Tractatus Logico-Philosophicus, trad. por Luis Henrique Lopes dos Santos, S˜ao Paulo:
EdUSP, 1993 (doravante citado como Tractatus).
‡Cf. o Ammerkung des Herausgebers, ao fim das Philosophische Bemerkungen.
§Ha´, no entanto, controv´ersias se o texto entregue para avaliac¸a˜o foi o TS 108 ou o TS 109. Para
umadiscussa˜omaisdetalhada,cf. JosefG. F.Rothhaupt: WittgensteinatWork: Creation,Selection
and Composition of ‘Remarks’, em: Nuno Venturinha (ed.): Wittgenstein After His Nachlass,
Basingstoke: Palgrave Macmillan, 2010, pp. 51–63 e Alois Pichler: Untersuchungen zu Wittgensteins
Nachlaß, Bergen: Wittgenstein Archives, 1994.
¶LudwigWittgenstein: PhilosophischeBemerkungen,ed.porRushRhees,Frankfurt: Suhrkamp,
1964 (doravante citado como PhBm).
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