Wirtschaftsmathematik für das Bachelor-Studium: Lehr- und Arbeitsbuch

366 Pages·2013·2.93 MB·German

by  Thomas Christiaans

FOM-Edition
FOM Hochschule für Oekonomie & Management
Thomas Christiaans • Matthias Ross
Wirtschaftsmathematik für
das Bachelor-Studium
Lehr- und Arbeitsbuch
Prof. Dr. Th omas Christiaans Prof. Dr. Matthias Ross
Siegen, Deutschland Hamburg, Deutschland
Dieses Werk erscheint in der FOM-Edition, herausgegeben von FOM Hochschule für Oekonomie &
Management.
ISBN 978-3-658-02171-9 ISBN 978-3-658-02172-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-02172-6
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benutzt werden dürft en.
Lektorat: Angela Pfeiff er
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Vorwort
DiesesLehrbuchrichtetsichanStudierendederwirtschaftswissenschaftlichenStudiengän-
ge an Universitäten und (Fach-)Hochschulen. Es beinhaltet die mathematischen Grundla-
gen,dieanfastallenwirtschaftswissenschaftlichenFachbereichengelehrtwerden.Darüber
hinauswerdenBezügezuvielenbetriebs-undvolkswirtschaftlichenFragestellungenherge-
stellt,dieeinedirekteAnwendungdervermitteltenMethodenaufdiejeweiligenwirtschaft-
lichenAspekteermöglichen.
VieleStudierendederWirtschaftswissenschaften empfindendieMathematik als schwierig
undkönnengeradezuBeginndesStudiumsgarnichtabsehen,warumsieerforderlichist.
InweitenTeilendiesesBuchesziehenwirdeshalbanschaulicheökonomischeFragestellun-
genals Motivation für das Erlernenentsprechender mathematischer Techniken heran, die
dannankonkretenwirtschaftswissenschaftlichenAufgabenerprobtwerden.Beispielhaftsei-
enhierdieZins-,Tilgungs-undRentenrechnung,festverzinslicheWertpapiere,dieProduk-
tionsplanung,dieKostenminimierungunddieGewinnmaximierunggenannt.
DieAbschnittesindmehrheitlichaneinerökonomischenFragestellungaufgehängtundstel-
lenanschließenddiepassendemathematischeMethodikvor,diedannanhandvonweiteren
BeispieleninderBreiteveranschaulichtwird.DiejeweilsfolgendenÜbungsaufgabenorien-
tierensichzuerstdirektan denBeispielenund nehmen dann langsam an Komplexitätzu.
DieeinfachenAufgabentragenzueinerVerinnerlichungderMethodikbeiunddieschwie-
rigerenAufgaben vermittelndie eigenständigeNutzung der verschiedenenTechniken für
neueFragestellungen.DamitdereigeneKenntnisstandunmittelbarüberprüftwerdenkann,
haben wirdieteilweiseausführlichenLösungenfortlaufendindenTextintegriert.Dawir
derfestenÜberzeugungsind,dasseineigenständigesVerständnisdermathematischenMe-
thodennurdurchdieAnwendungmöglichist,stellendierund800Übungsaufgabeneinen
zentralenAspektdiesesLehrbuchsdar.
Gerade in den fortgeschrittenen Abschnitten verwenden wir vornehmlich Beispiele und
Übungsaufgaben,dieehereinfachzuberechnensind.Wirglauben,dassEinsteigersobesser
einVerständnisdesStoffeserreichenkönnen,alswennsiedurchunnötigschwierigeBerech-
nungendenÜberblicküberdenKernderArgumentationverlieren.Insgesamtkonzentrieren
wirunsaufdiefürdieWirtschaftswissenschaftenrelevantenThemen.Soersetzenwirzum
BeispieldieTheoriederGrenzwerte,dievonvielenStudierendenalsäußerstschwierigange-
sehenwirdunddiekaumdirekteökonomischeAnwendungenhat,durchPlausibilitätsargu-
mente.TrigonometrischeFunktionen,mitdenendertypischeStudierendeallenfallseinmal
am Rande konfrontiert wird, wenn er einen fortgeschrittenen Kurs über Konjunkturtheo-
riebesucht,werdengarnichtbehandelt.DerSchwerpunktdesBuchesliegtnichtaufeiner
mathematischexaktenDarstellungnachdemMusterAnnahmen–Satz–Beweis,sondernauf
einerVermittlungderfürdiewirtschaftswissenschaftlichenAnwendungenzentralenMetho-
den(ohnedabeiübermäßigzuvereinfachen).
FürvieleStudierendeliegtdieSchulmathematikaufgrundeinerAusbildungoderBerufstä-
tigkeitbereitsmehrereJahrezurück.DiesesLehrbuchenthältdaherrelativvielSchulmathe-
matikundbeginntmiteinemGrundlagen-Kapitel,mitdemdiegrundlegendenschulischen
Rechentechnikenwiederholtundeingeübtwerdenkönnen.EntsprechendvorgebildeteStu-
dierendekönnendiesesKapitelauchgerneüberspringenodernurTeilbereichenacharbeiten.
WirsindderMeinung,dassestrotzeinerteilsvereinfachtenDarstellungsinnvollundmög-
lichist,diezentralenmathematischenMethodenfürWirtschaftswissenschaftlerabzudecken.
V
VI
DasBuchenthälteinigemiteinemSterngekennzeichneteAbschnitte,diefortgeschrittenere
Themenbehandeln,undeinErgänzungskapitel,indemBereichewiedieIntegralrechnung
unddieWahrscheinlichkeitsrechnungkurzdargestelltwerden,diezwarinEinführungsvor-
lesungenoftnichtodererstspäterimRahmenderStatistikbehandeltwerden,abertrotzdem
fürStudierendehöhererSemesterwichtigsind.SchließlichgebenwirAusblickeaufeinefort-
geschritteneDarstellunginkleingedrucktenAnmerkungen.AmEndejedesKapitelsfinden
sich einige wenige, kommentierte Literaturhinweise, die denjenigen Lesern, die sich wei-
tergehend mit mathematischen Methoden beschäftigen möchten, Anregungen geben. Die
zitierteLiteraturistdabeisoausgewählt,dasssiemitdemVorwissenausdemvorliegenden
Buchzubewältigenist.Siestelltnureinekleine,subjektiveAuswahlohnejeglicheWertung
inBezugaufnichtzitierteLiteraturdar,weilwiresnichtfürsinnvollhalten,Einsteigermit
zuvielenHinweisenzukonfrontieren.
DiefolgendeÜbersichtzeigt,dassdieeinzelnenKapitelweitgehendunabhängigvoneinan-
dergelesenwerdenkönnen.DasKapitel1enthältgrundlegendeRechentechniken.Lediglich
dieKapitel4,5und6(FunktioneneinerundmehrererVariablen)bauennaturgemäßaufein-
anderauf.BeidenFunktionenmehrererVariablenwirdaneinigenStellendielineareAlge-
braausdemKapitel3benötigt,derAbschnittüberdieIntegralechungimErgänzungskapitel
7setztdieKenntnisderDifferentialrechnungausdemKapitel5voraus.
Kapitel2
Kapitel3
Kapitel1
Kapitel4 Kapitel5 Kapitel6
Kapitel7
Unsere Kollegen Torsten Finke, Matthias Gehrke, Gerd von Harten, Bianca Krol, Karsten
Lübke,NilsMahnke,EvaSchwarzenbergundKlemensWaldhörhabenTeiledesBuchesge-
lesen und uns wertvolle Hinweise zur Verbesserung gegeben. Die Leiter der Module mit
mathematischenInhaltenanderFOMHochschule,TorstenFinke,MatthiasGehrkeundMi-
chael Göke, haben uns bei der Abstimmung des Stoffes auf die Lehrinhalte an der FOM
Hochschuleunterstützt.IhnenallengiltunserherzlicherDank.WärenwirallenHinweisen
gefolgt,hättenwirsichereinzuumfangreichesLehrbuchgeschrieben.Schließlichmöchten
wirdemProrektorfürForschungderFOMHochschule,ThomasHeupel,unddemSpringer
Gabler-VerlagfürdieAufnahmedesBuchesindieReiheFOM-Editiondanken.
TrotzallerSorgfaltsindwirnichtsovermessenzuglauben,dassdasBuchausdemStand
heraus fehlerfreiist. Wir bitten daher jeden, der (auch kleinere)Fehler, Unklarheiten oder
andereUnzulänglichkeitenfindet,sieunsmitzuteilen( ).
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SiegenundHamburg ThomasChristiaans
MatthiasRoss
Inhalt
Symbole ......................................................................... IX
1 Grundlagen................................................................... 1
1.1 Zahlenmengen,IntervalleundSymbole .................................... 1
1.2 GrundrechenartenundKlammern ......................................... 3
1.3 Bruchrechnung ........................................................... 5
1.4 Potenzrechnung,WurzelnundLogarithmen................................ 8
1.5 GleichungenundUngleichungen .......................................... 12
1.6 Prozentrechnung.......................................................... 20
1.7 DasSummenzeichen...................................................... 22
1.8* Stellenwertsysteme........................................................ 24
Literaturhinweise.............................................................. 28
2 Finanzmathematik............................................................. 29
2.1 GanzjährigeZins-undZinseszinsrechnung................................. 29
2.2 UnterjährigeZins-undZinseszinsrechnung................................. 32
2.2.1 UnterjährigeZinsrechnung.......................................... 32
2.2.2 GemischteVerzinsungundnichtganzzahligeExponenten............. 35
2.2.3 UnterjährigerZinseszinsundEffektivzins............................ 39
2.3 DasÄquivalenzprinzip.................................................... 46
2.4 Rentenrechnung .......................................................... 52
2.4.1 End-undBarwerteperiodischerZahlungen.......................... 52
2.4.2 Tilgungsrechnung.................................................. 62
2.4.3 FestverzinslicheWertpapiere........................................ 72
Literaturhinweise.............................................................. 74
3 LineareAlgebra ............................................................... 75
3.1 LineareGleichungssysteme................................................ 75
3.2 Matrizen ................................................................. 83
3.2.1 Matrixalgebra...................................................... 83
3.2.2* DerRangeinerMatrix.............................................. 93
3.2.3* Determinanten..................................................... 95
3.3 LineareProduktionsmodelle............................................... 99
3.3.1 LineareProduktionsprozesse........................................ 99
3.3.2 DasLeontief-Modell................................................ 105
3.3.3 LineareProduktionsprozesseunddasLeontief-Modell................ 110
3.4 LineareOptimierung...................................................... 113
Literaturhinweise.............................................................. 118
4 FunktioneneinerVariablen.................................................... 119
4.1 Grundbegriffe ............................................................ 119
4.2 EigenschaftenvonFunktionen............................................. 124
4.3 WichtigeFunktionstypen.................................................. 133
4.3.1 LineareFunktionen................................................. 133
4.3.2 Polynome.......................................................... 139
4.3.3 GebrochenrationaleFunktionen..................................... 148
4.3.4 Potenzfunktionen .................................................. 151
4.3.5 Exponential-undLogarithmusfunktionen............................ 153
Literaturhinweise.............................................................. 160
VII
VIII Inhalt
5 Differentialrechnung.......................................................... 161
5.1 DifferentialquotientundAbleitung......................................... 161
5.1.1 DieAbleitungvonFunktionen ...................................... 161
5.1.2* TangentengleichungundDifferentiale ............................... 166
5.1.3 WichtigeAbleitungsregeln.......................................... 170
5.2 Kurvendiskussion......................................................... 179
5.3 ÖkonomischeAnwendungen.............................................. 188
5.4 EinausführlichererBlickaufExtremwerte.................................. 204
Literaturhinweise.............................................................. 214
6 FunktionenmehrererVariablen................................................ 215
6.1 GrundlegendeDarstellungsformen......................................... 215
6.1.1 Horizontalschnitte.................................................. 215
6.1.2 Vertikalschnitte..................................................... 223
6.2 Differentialrechnung...................................................... 225
6.3 ImpliziteFunktionen...................................................... 236
6.3.1 EineabhängigeVariable ............................................ 236
6.3.2* MehrereabhängigeVariablen ....................................... 240
6.4* HomogenitätundKonkavität.............................................. 244
6.4.1* Homogenität....................................................... 244
6.4.2* KonkavitätundKonvexität.......................................... 246
6.5 Optimierungsprobleme.................................................... 249
6.5.1 OptimierungohneNebenbedingungen .............................. 249
6.5.2 OptimierungmitNebenbedingungen................................ 254
6.5.3* Umhüllendensätze ................................................. 262
6.5.4* HinreichendeBedingungenundVerallgemeinerungen................ 266
6.6 ÖkonomischeAnwendungen.............................................. 269
6.6.1 Gewinnmaximierung............................................... 269
6.6.2* DieProduktionsfunktion............................................ 275
Literaturhinweise.............................................................. 278
7 ErgänzungenimÜberblick..................................................... 279
7.1 Logik .................................................................... 279
7.1.1 Aussagenlogik..................................................... 279
7.1.2 Prädikatenlogik.................................................... 288
7.1.3 MathematischeBeweistechniken .................................... 291
7.2 Mengen.................................................................. 294
7.3 IterativeNullstellenbestimmung........................................... 300
7.4 Integralrechnung.......................................................... 304
7.4.1 DasunbestimmteIntegral........................................... 304
7.4.2 DasbestimmteIntegral ............................................. 308
7.4.3 Differentialgleichungen............................................. 313
7.5 Wahrscheinlichkeitsrechnung.............................................. 316
7.5.1 Grundlagen........................................................ 316
7.5.2 BedingteWahrscheinlichkeiten...................................... 322
7.5.3 Kombinatorik...................................................... 329
7.5.4 Zufallsvariablen.................................................... 334
7.6 Software.................................................................. 347
Literaturhinweise.............................................................. 348
Literatur ......................................................................... 349
Index ............................................................................ 351
Symbole
AllgemeineHinweise
DieseListeenthältnurdiehäufigverwendetenSymbole.InderMengenlehrewerdenGroß-
buchstabengenerellfürMengen,KleinbuchstabenfürElementeverwendet.Analogesgiltin
der Wahrscheinlichkeitsrechung für Ereignisseund Ergebnissesowie in der Matrizenrech-
nungfürMatrizenundVektoren.Funktionenwerdenallgemeinalsy= f(x)geschrieben,in
Anwendungen jedochmit aussagekräftigerenSymbolen. In einerNachfragefunktion steht
etwaxfürdieMengeundpfürdenPreis.Stattx= f(p)schreibenwirdannx=x(p).
Vergleichssymbole
= gleich (cid:2) größerodergleich
≈ ungefährgleich < kleiner
(cid:3)= ungleich (cid:3) kleinerodergleich
> größer
HäufigverwendetegriechischeBuchstaben
α alpha π pi
β beta Π Pi
γ gamma ρ rho
δ delta σ sigma
Δ Delta Σ Sigma
(cid:6),ε epsilon φ phi
η eta Φ Phi
λ lambda ω omega
μ mü Ω Omega
ν nü
MengenundLogik
(a,b) offenesIntervallvonabisb ∪ Vereinigungsmenge
[a,b] abgeschlossenesIntervall \ DifferenzvonMengen
(a,b] halboffenesIntervall A¯ KomplementderMengeA
[a,b) halboffenesIntervall ∅ leereMenge
{a,b} MengemitdenElementena ∈ Elementvon
undb ∧ logisches„und“
N Mengedernatürlichen ∨ logisches„oder“
Zahlen p¯ Negationvonp
N0 natürlicheZahlen → Konditional
einschließlich0 ↔ Bikonditional
R MengederreellenZahlen ⇒ Implikation
R2 reelleZahlenebene ⇔ Äquivalenz
Z MengederganzenZahlen ∀ füralle
⊂ Teilmenge ∃ esgibt
∩ Schnittmenge
IX
X Symbole
Finanzmathematik
A Annuität q=1+i Aufzinsungsfaktor
i Zinssatz r nachschüssigeRentenrate
inom Nominalzinssatz r(cid:16) vorschüssigeRentenrate
ieff Effektivzinssatz R0,Rn Bar-undEndwert
(cid:16)
i konformerPeriodenzinssatz nachschüssigeRente
(cid:16) (cid:16)
K0 Startkapital R0,Rn Bar-undEndwert
Kt KapitalzumZeitpunktt vorschüssigeRente
Kn Endkapital S Kreditbetrag
n Laufzeit Z Zinsen
LineareAlgebra
A Matrix x Spaltenvektor
AT transponierteMatrix xT Zeilenvektor
A−1 inverseMatrix xTy Skalarproduktzweier
det(A) DeterminantederMatrixA Vektoren
|A| DeterminantederMatrixA x·y Skalarproduktzweier
Rg(A) RangderMatrixA Vektoren
E Einheitsmatrix ∑ Summenzeichen
Funktionen
D Definitionsbereich Δy,Δx Änderungen
e =2,71828... EulerscheZahl f(x ,x ) Funktion f vonx undx
1 2 1 2
lim Grenzwert fx1(x1,x2) partielleAbleitungnachx1
ln natürlicherLogarithmus ∂y
partielleAbleitungnachx
f(x) Funktion f vonx ∂x1 1
f(cid:16)(x) ersteAbleitung d(cid:2)y,dx1,dx2 Differentiale
dy Integral
dx ersteAbleitung η,ε Elastizität
dy,dx Differentiale ∞ unendlich
Wahrscheinlichkeitsrechnung
A Ereignis E(X) ErwartungswertvonX
P(A) WahrscheinlichkeitvonA μ(X) ErwartungswertvonX
P(A|B) bedingteWahrscheinlichkeit Var(X) VarianzvonX
n(cid:3)! (cid:4) Fakultät σ2(X) VarianzvonX
n
Binomialkoeffizient X∼B(n;p) Xistbinomialverteilt
k
X∼ N(0;1) Xiststandardnormalverteilt
X Zufallsvariable
P(X(cid:3)x) Wahrscheinlichkeit,dassX Φ(x) Verteilungsfunktionder
kleinerodergleichxist Standardnormalverteilung