Willian Diego Oliveira Zeros da Funç˜ao Zeta de Riemann e o Teorema dos Números Primos

145 Pages·2014·0.77 MB·Portuguese

Willian Diego Oliveira
Zeros da Func¸˜ao Zeta de Riemann e o Teorema
dos Nu´meros Primos
Disserta¸c˜ao de Mestrado
P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas
Rua Cristóvão Colombo, 2265, 15054-000
São José do Rio Preto - SP - Brasil
Telefone: (17) 3221-2444 - Fax: [phone]
Willian Diego Oliveira
Zeros da Func¸˜ao Zeta de Riemann e o
Teorema dos Nu´meros Primos
Orientador:
Prof. Dr. Dimitar K. Dimitrov
Universidade Estadual Paulista“Ju´lio de Mesquita Filho”
Instituto de Biocieˆncias, Letras e Cieˆncias Exatas
Campus de Sa˜o Jose´ do Rio Preto
S˜ao Jos´e do Rio Preto
27 de Agosto de 2013
(cid:1)
(cid:1)
(cid:39)(cid:8)(cid:2)(cid:40)(cid:15)(cid:2)(cid:11)(cid:5)(cid:41)(cid:6)(cid:42)(cid:2)(cid:8)(cid:8)(cid:2)(cid:5)(cid:43)(cid:6)(cid:44)(cid:2)(cid:15)(cid:10)(cid:9)(cid:45)
(cid:46)(cid:15)(cid:11)(cid:9)(cid:33)(cid:6)(cid:17)(cid:5)(cid:6)(cid:1)(cid:32)(cid:43)(cid:47)(cid:34)(cid:9)(cid:6)(cid:46)(cid:15)(cid:7)(cid:5)(cid:6)(cid:17)(cid:15)(cid:6)(cid:38)(cid:2)(cid:15)(cid:31)(cid:5)(cid:43)(cid:43)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:9)(cid:6)(cid:49)(cid:15)(cid:9)(cid:11)(cid:15)(cid:31)(cid:5)(cid:6)(cid:17)(cid:9)(cid:33)(cid:6)(cid:25)(cid:50)(cid:31)(cid:15)(cid:11)(cid:9)(cid:33)(cid:6)(cid:27)(cid:11)(cid:2)(cid:31)(cid:9)(cid:33)
(cid:51)(cid:6)(cid:42)(cid:2)(cid:8)(cid:8)(cid:2)(cid:5)(cid:43)(cid:6)(cid:44)(cid:2)(cid:15)(cid:10)(cid:9)(cid:6)(cid:39)(cid:8)(cid:2)(cid:40)(cid:15)(cid:2)(cid:11)(cid:5)(cid:45)(cid:28)(cid:28)(cid:6)(cid:26)(cid:34)(cid:9)(cid:6)(cid:36)(cid:9)(cid:33)(cid:37)(cid:6)(cid:17)(cid:9)(cid:6)(cid:38)(cid:2)(cid:9)(cid:6)(cid:27)(cid:11)(cid:15)(cid:7)(cid:9)(cid:41)(cid:6)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)
(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:6)(cid:14)(cid:45)(cid:6)(cid:57)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:45)(cid:41)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:16)(cid:33)(cid:45)
(cid:39)(cid:11)(cid:2)(cid:15)(cid:43)(cid:7)(cid:5)(cid:17)(cid:9)(cid:11)(cid:57)(cid:6)(cid:44)(cid:2)(cid:31)(cid:2)(cid:7)(cid:5)(cid:11)(cid:6)(cid:58)(cid:45)(cid:6)(cid:44)(cid:2)(cid:31)(cid:2)(cid:7)(cid:11)(cid:9)(cid:40)
(cid:44)(cid:2)(cid:33)(cid:33)(cid:15)(cid:11)(cid:7)(cid:5)(cid:47)(cid:34)(cid:9)(cid:6)(cid:59)(cid:31)(cid:15)(cid:33)(cid:7)(cid:11)(cid:5)(cid:17)(cid:9)(cid:60)(cid:6)(cid:61)(cid:6)(cid:24)(cid:43)(cid:2)(cid:40)(cid:15)(cid:11)(cid:33)(cid:2)(cid:17)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:6)(cid:23)(cid:33)(cid:7)(cid:5)(cid:17)(cid:32)(cid:5)(cid:8)(cid:6)(cid:27)(cid:5)(cid:32)(cid:8)(cid:2)(cid:33)(cid:7)(cid:5)(cid:6)(cid:62)(cid:36)(cid:50)(cid:8)(cid:2)(cid:9)(cid:6)(cid:17)(cid:15)(cid:6)
(cid:63)(cid:15)(cid:33)(cid:64)(cid:32)(cid:2)(cid:7)(cid:5)(cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:9)(cid:65)(cid:41)(cid:6)(cid:20)(cid:43)(cid:33)(cid:7)(cid:2)(cid:7)(cid:32)(cid:7)(cid:9)(cid:6)(cid:17)(cid:15)(cid:6)(cid:19)(cid:2)(cid:9)(cid:3)(cid:2)(cid:67)(cid:43)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:33)(cid:41)(cid:6)(cid:21)(cid:15)(cid:7)(cid:11)(cid:5)(cid:33)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:2)(cid:67)(cid:43)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:33)(cid:6)(cid:23)(cid:68)(cid:5)(cid:7)(cid:5)(cid:33)(cid:6)
(cid:54)(cid:45)(cid:6)(cid:63)(cid:5)(cid:7)(cid:15)(cid:31)(cid:12)(cid:7)(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:18)(cid:8)(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:17)(cid:5)(cid:45)(cid:6)(cid:52)(cid:45)(cid:6)(cid:49)(cid:15)(cid:9)(cid:11)(cid:2)(cid:5)(cid:6)(cid:17)(cid:9)(cid:33)(cid:6)(cid:43)(cid:50)(cid:31)(cid:15)(cid:11)(cid:9)(cid:33)(cid:45)(cid:6)(cid:55)(cid:45)(cid:6)(cid:25)(cid:50)(cid:31)(cid:15)(cid:11)(cid:9)(cid:33)(cid:6)(cid:18)(cid:11)(cid:2)(cid:31)(cid:9)(cid:33)(cid:45)
(cid:56)(cid:45)(cid:6)(cid:1)(cid:32)(cid:43)(cid:47)(cid:69)(cid:15)(cid:33)(cid:6)(cid:46)(cid:15)(cid:7)(cid:5)(cid:45)(cid:6)(cid:70)(cid:45)(cid:6)(cid:71)(cid:2)(cid:18)(cid:72)(cid:7)(cid:15)(cid:33)(cid:15)(cid:6)(cid:17)(cid:15)(cid:6)(cid:38)(cid:2)(cid:15)(cid:31)(cid:5)(cid:43)(cid:43)(cid:45)(cid:6)(cid:20)(cid:45)(cid:6)(cid:44)(cid:2)(cid:31)(cid:2)(cid:7)(cid:11)(cid:9)(cid:40)(cid:41)(cid:6)(cid:44)(cid:2)(cid:31)(cid:2)(cid:7)(cid:5)(cid:11)(cid:6)(cid:58)(cid:45)
(cid:20)(cid:20)(cid:45)(cid:6)(cid:24)(cid:43)(cid:2)(cid:40)(cid:15)(cid:11)(cid:33)(cid:2)(cid:17)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:6)(cid:23)(cid:33)(cid:7)(cid:5)(cid:17)(cid:32)(cid:5)(cid:8)(cid:6)(cid:27)(cid:5)(cid:32)(cid:8)(cid:2)(cid:33)(cid:7)(cid:5)(cid:6)(cid:73)(cid:36)(cid:50)(cid:8)(cid:2)(cid:9)(cid:6)(cid:17)(cid:15)(cid:6)(cid:63)(cid:15)(cid:33)(cid:64)(cid:32)(cid:2)(cid:7)(cid:5)(cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:9)(cid:73)(cid:45)(cid:6)(cid:20)(cid:43)(cid:33)(cid:7)(cid:2)(cid:7)(cid:32)(cid:7)(cid:9)(cid:6)
(cid:17)(cid:15)(cid:6)(cid:19)(cid:2)(cid:9)(cid:3)(cid:2)(cid:67)(cid:43)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:33)(cid:41)(cid:6)(cid:21)(cid:15)(cid:7)(cid:11)(cid:5)(cid:33)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:2)(cid:67)(cid:43)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:33)(cid:6)(cid:23)(cid:68)(cid:5)(cid:7)(cid:5)(cid:33)(cid:45)(cid:6)(cid:20)(cid:20)(cid:20)(cid:45)(cid:6)(cid:49)(cid:74)(cid:7)(cid:32)(cid:8)(cid:9)(cid:45)
(cid:22)(cid:44)(cid:24)(cid:6)(cid:61)(cid:6)(cid:70)(cid:54)(cid:54)
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:3)(cid:5)(cid:7)(cid:5)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:14)(cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:8)(cid:5)(cid:16)(cid:9)(cid:11)(cid:5)(cid:17)(cid:5)(cid:6)(cid:18)(cid:15)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:2)(cid:16)(cid:8)(cid:2)(cid:9)(cid:7)(cid:15)(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:17)(cid:9)(cid:6)(cid:20)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:6)(cid:28)(cid:6)(cid:22)(cid:29)(cid:31)(cid:18)(cid:32)(cid:33)(cid:6)(cid:17)(cid:15)(cid:6)(cid:26)(cid:34)(cid:9)(cid:6)(cid:36)(cid:9)(cid:33)(cid:37)(cid:6)(cid:17)(cid:9)(cid:6)(cid:38)(cid:2)(cid:9)(cid:6)(cid:27)(cid:11)(cid:15)(cid:7)(cid:9)(cid:6)
Willian Diego Oliveira
Zeros da Func¸˜ao Zeta de Riemann e o Teorema dos Nu´meros Primos
Disserta¸c˜ao apresentada para obten¸c˜ao do t´ıtulo
de Mestre em Matem´atica, ´area de Ana´lise
Aplicada, junto ao Instituto de Biociˆencias,
Letras e Ciˆencias Exatas da Universidade
Estadual Paulista “Ju´lio de Mesquita Filho”,
Campus de Sa˜o Jos´e do Rio Preto.
Banca Examinadora
Prof. Dr. Dimitar Kolev Dimitrov
Professor Doutor
UNESP - Sa˜o Jos´e do Rio Preto
Orientador
Prof. Dr. Ali Messaoudi
Professor Doutor
UNESP - Sa˜o Jos´e do Rio Preto
Prof. Dr. Nicolau Corcao Saldanha
Professor Doutor
PUC - Rio
S˜ao Jos´e do Rio Preto, 27 de Agosto de 2013.
`
A minha ma˜e.
Dedico.
Agradecimentos
AoProf. DimitarKolevDimitrovpormeorientarnessajornadaeporpartilharcomigo
um pouco de sua vasta cultura matem´atica.
A todos os professores que contribu´ıram de forma direta ou indireta `a realizac¸˜ao deste
trabalho. EmespecialaoProf. ClaudioAguinaldoBuzzi, `aatencios´ıssimaProfa. Cleonice
F´atima Bracciali e ao Prof. Alagacone Sri Ranga.
A todos os meus companheiros de estudos. Em especial a Yen Chi Lun, Gislaine
Melega, Let´ıcia Sanches e Robson Alexandrino.
A toda a minha fam´ılia. Em especial `a minha ma˜e C´elia e ao meu avˆo Pedro.
`
A CAPES pelo apoio financeiro.
Resumo
Estudamos va´rias propriedades da func¸˜ao zeta de Riemann. Trˆes provas do Teorema
dos Nu´meros Primos foram fornecidas. Resultados cl´assicos sobre regi˜oes livres de zeros
da fun¸c˜ao zeta, bem como sua relac¸˜ao com o termo do erro no Teorema dos Nu´meros
Primos, foram estudados em detalhes.
Palavras-chave: Func¸˜ao Zeta de Riemann, Teorema dos Nu´meros Primos, Regi˜oes
Livres de Zeros.
Abstract
We studied various properties of the Riemann’s zeta function. Three proofs of the
Prime Number Theorem were provides. Classical results on zero-free region of the zeta
function, as well as their relation to the error term in the Prime Number Theorem, were
studied in details.
Keywords: Riemann Zeta Function, Prime Number Theorem, Zero-Free Regions.
Sum´ario
Nota¸c˜ao p.1
Introdu¸c˜ao p.3
1 Preliminares p.15
1.1 Fun¸c˜oes Harmˆonicas, Logaritmos e o Teorema de Jensen . . . . . . . . . p.15
1.2 Nu´meros e Polinˆomios de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.21
1.3 F´ormula da Soma de Euler-MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.26
1.4 Fun¸c˜ao Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.27
1.5 F´ormula de Stirling com Erro de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.35
1.6 Lemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.41
2 Fun¸c˜ao Zeta de Riemann p.48
2.1 Defini¸c˜ao e Propriedades B´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.48
2.2 Zeros da Fun¸c˜ao Zeta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.54
2.3 Fun¸c˜ao ξ e o Produto de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.56
2.4 Derivada Logar´ıtmica da Func¸˜ao Zeta de Riemann . . . . . . . . . . . . . p.70
2.5 Densidade das Ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.74
3 Zeros da Func¸˜ao Zeta de Riemann p.77
3.1 Zeros na Faixa Cr´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.77
3.2 Regi˜oes Livres de Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.79
3.3 Coment´arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.84
4 Teorema dos Nu´meros Primos p.88
4.1 Formas Equivalentes ao Teorema dos Nu´meros Primos . . . . . . . . . . p.88
4.2 Estimativa para a Derivada Logar´ıtmica da Func¸˜ao Zeta de Riemann . . p.94
4.3 1a Prova do Teorema dos Nu´meros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . p.97
(cid:2)
x
4.4 F´ormula para ψ(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.102
1
4.5 2a Prova do Teorema dos Nu´meros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . p.109
4.6 Generalizac¸˜ao do Teorema dos Nu´meros Primos . . . . . . . . . . . . . . p.110
4.7 Aproximac¸˜oes para π(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.115
4.8 Regi˜oes Livres de Zeros e o Erro no Teorema dos Nu´meros Primos . . . . p.119
4.9 Coment´arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.125
Referˆencias Bibliogr´aficas p.127
Anexo A Teoremas B´asicos de An´alise Complexa p.129