Werke: Fünfter Band

630 Pages·1877·61.857 MB·German

by  Carl Friedrich Gauss (auth.)

CARL FRIEDRICH GAUSS WERKE
BAND V.
CARL FRIEDRICH GAUSS
WERKE
:F' Ü N 1<' T E R B A N D.
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
1877.
ISBN 978-3-642-49320-1 ISBN 978-3-642-49319-5 (eBook) (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-49319-5
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1877
THEORIA ATTRACTIONIS CORPORUM
SPHAEROIDICORUM ELLIPTICORUM HOMOGENEORUM
METHODO NOVA TRACTATA.
1.
Satis quidem constat, problema de attractione corporis sphaeroidici elliptici
homogenei in punctum quodvis exacte determinanda ad quaestiones diffi.cillimas
astronomiae p~ysicae referri, pluresque geometras, inde a NEWTONI temporibus,
acriter iteratisque vicibus illi incubuisse. Primo quidem, investigatione ad sphae
roidem per revolutionem semiellipsis circa alterutrum axem ortam restricta, ipse
summus NEWTON attractionem qua.m patitur punctum in axi situm invenire docuit,
simulque nexum inter attractiones, quas patiuntur puncta intra sphaeroidem in
eadem diametro sita, assignavit (Princip. Lib. I. Prop. XCI). Dein sagax MAC
LAURIN, synthesi perelegante usus, attractionem punctorum in sphaeroidis super
freie vel in prolongatione plani aequatoris positorum determinavit, quo pacto si
mul theoria attractionis punctorum intra sphaeroidem sitorum, quae per NEWTONI
theorema ad attractionem punctorum in superfreie facile referebatur, complete ab
soluta erat (De caussa physica fluxus et refluxus maris, in Recueil des pieces qui
ont remporte les prix de l' acad. 1·oi. des sc. T. IV; Treatise of fluxions B. I. Ch. 14).
Quae MAc LAURIN per synthesin enucleaverat, postea per analysin (cui antea hu
iusmodi quaestiones inaccessibiles visae erant) haud minus eleganter eruere docuit
ill. LAGRANGE, atque sie viam ad ulteriores progressus patefecit (Nouv. Mem. de
l' Acad. de Berlin 17 7 3). ~cilicet adhuc desiderabatur attractio punctorum extra
sphaeroidem neque vero in axis nec in aequatoris prolongatione sitorum enodanda,
1*
4 THEORIA ATTRACTIONIS CORPORUM
quam diffieillimam problematis partem absolvere eontigit ill. LEGENDRE (Recher
ches sur l' attraction des spheroides homogenes, Memoires presentes a l'acad. roi. des
T. X).
SC.
Disquisitionem generalissimam de attraetione sphaeroidum non per revolu
tionem ortarum, sed quarum seetiones eum quolibet plano sunt ellipses, iamiam
inchoaverat MAc LAURIN, sed substiterat in attractione punctorum in aliquo trium
axium positorum. Theorema principale, eui solutio problematis generalissima
praesertim innititur, per induetionem quidem iam coniectaverat ill. LEGENDREin
eommentatione modo laudata, sed ill. LAPLACE primo suceessit, omnia rigorose
demonstrare atque sie solutionem ab omni parte perfeetarn reddere (Hist. de facad.
roi. des sc. de Paris 1782; eadem solutio repetita in operibus Theorie du mouve
ment et de la figure elliptique des planetes, atq ue Mecanique celeste Vol. 2) .
Elegantiam ingeniique subtilitatem in hac ill. LAPLACE solutione eminentem
nemo quidem non mirabitur: nihilominus tarnen ipsa subtilitas arsque admiranda,
per quam arduas difficultates superavit, geometris desiderium liquit solutionis
simplicioris, minus intricatae magisque directae. Nec plane satisfecit huic desi
derio ill. LEGENDRE per novam theorematis principalis demonstrationem (Hist. de
l'acad. roi. des sc. 17 88, Sur les integrales doubles), etiamsi exquisita ars analytica
omnium geometrarum suffragia merito tulerit*). Postea clar. BIOT solutionem al
teram, alteram clar. PLANA simpliciorem reddere conati sunt (Mem. de finstitut
T. VI, Memorie di matematica e di fisica della societa italiana T. XV): sed sie quo
que utramque solutionem ad intricatissimas analyseos applicationes referendam
esse, quisque faeile concedet.
Gratam itaque analystis atque astronomis fore speramus solutionem novam
problematis eelebratissimi per viam plane diversam procedentem, et ni fallimur
ea simplicitate gaudentem, ut nihil amplius desiderandum linquat.
Ipsa quidem solutio nostra paucissimis pagellis continebitur. Operae tarnen
pretium esse eensemus, antequam ad ipsum problema, cui haee eommentatio di
cata est, descendamus, quasdam disquisitiones praeliminares, quae in aliis quo
que occasionibus opportune applieari poterunt, aliquanto generalins exsequi fu
siusque explicare, quam instituti nostri ratio per se spectata postularet.
*) De his duabus solutionibus e. g. ita iudicat ill. LAGBANGE: On ne peut regarder leurs solutions
que comme des chefs-d' oeuvres d' analyse, mais on peut desirer encore une solutionplus directe et plus simple;
et les progres continuels de l'analyse donnentlieu de l'esperer. Nouv. Mem. de l'acad. de Berlin 1793. p. 263.
SPHAEROIDICORUM ELLJPTICORUM HOMOGENEORUM ETC. 5
2.
Considerabimus generalissime corpus finitum figurae cuiuscunque, a reli
quo spatio infinito per superficiem unam continuam vel plures continuas interque
se discretas separatum (si forte corpus cavitatem unam pluresve includat), quarum
complexum simpliciter superficiem corporis dicemus. Concipiatur haec superficies
in infinita elementa d s divisa; sit P punctum elementi d s, cuius coordinatae ad
tria plana inter se perpendicularia relatae denotentur per x,y, :z. Sint PX, PY, PZ
rectae axibus coordinatarum resp. parallelae, atque in plagas eas directae, versus
quas coordinatae incrementa pesitiva capere supponuntur, porro sit P Q super
ficiei normalis extrorsumque directa. Sit M punctum attractum ubicunque libet
situm, ipsius coordinatae a, b, c, atque distantia PM (semper positive 'acci
pienda) ==;= r. Angulos quos facit recta PM cum PX, P Y, P Z denotabimus
per MX,MY,MZ, angulosqueinter PQ atque PX, PY, PZ, PM per
QX, QY, QZ, QM. Haec omnia ad puncta superficiei indefinite referuntur:
quoties de pluribus punctis superficiei determinatis agendum erit, iisdem cha
racteribus accentibus distinctis utemur.
3.
Concipiatur plan um axi coordinatarum x normale, ita tarnen, ut si ipsius
=
aequatio exhibeatur per x a, a sit minor quam valor minimus coordinatae x
in superficie corporis. Corpus in hoc planum proiectum figuram finitam ibi de
signabit, quam in elementa infinita d~ dispertitam supponemus. In elementi
d ~ puncto ll erigatur perpendiculum (sive axi coordinatarum X parallel um),
quod secet corpus in punctis P', P", P"' etc.: horum punctorum multitudo ma
nifesto erit par. Erigantur etiam perpendicula ad planum in singulis punctis cir
cumferentiae elementi d ~, quae formabunt superficiem cylindricam sensu latiori,
atque e superficie corporis elementa ds', ds", ds'" etc. rescindent. Eiementum
d ~ erit proiectio singulorum elementorum ds', ds", ds"' etc., unde patet esse
d~ = +- ds'. cos QX' = +- ds". cos QX" = +- ds"'. cos QX"' etc., signo superiori
vel inferiori valente, prout cosinus anguli acuti vel obtusi adest. Quoniam vero
manifesto perpendiculum in P' corpus ingreditur, in P" e corpore exit, in P"'
rursus intrat etc., facile perspicitur, QX' obtusum esse, QX" acutum, QX"'
obtusum etc. , ita ut habeatur
6 THEORIA ATTRACTIONIS CORPORUM
= = =
d~ -ds'.cos QX' +ds".cosQX" -ds"'.cosQX"' etc.
adeoque propter partium multitudinem parem
ds'. cos QX'+ds". cos QX"+ds"'.cos QX'"+ etc. = 0
Tractando eodem modo omnia reliqua elementa d ~, atque summando,
nanciscimur
'fHEOREMA PRIMUM.
J
Integrale ds cos Q per totam corporis superficiem extensum fit = 0.
Generalius eodem modo invenitur, integrale
j(Tcos QX+UcosQY+Vcos QZ)ds
evanescere, si T, U, V resp. designent functiones rationales solarum y, z so
larum x, z solarumque x, y.
4.
Quum volumina partium cylindri a plano nostro usque ad puncta P', P", P'"
etc.resp. sint =d~.(x-a), d~.(x"-a), d~.(x"'-a)etc., pars voluminis cor
poris ea, q uae intra cylindrum sita est , erit
= -x'd~+x"d~-x"'d~+ etc.
= ds'.x'cos QX'+ds".x" cos QX"+ds"'.x"' cos QX"'+ etc.
unde summando pro omnibus d ~ obtinemus
THEOREMA SECUNDUM.
J
Volumen integrum corporis exprimitur per integrale d s. x cos Q X' per totam
super.ficiem extensum.
J J
Manifesto idem volumen etiam per ds .y cos QY vel per ds. z cos Q Z
exprimere licebit.
5.
Concipiatur iam primo cylinder totus materia uniformiter densa repletus,
videamusque quantam singula eius elementa attractionem in punctum M exer-
SPHAEROIDICORUM ELLIPTICORUM HOMOGENEORlJM ETC. 7
ceant. Dividatur cylinder per plana infinite sibi proxima basique parallela in cy
e' c'
lindros elementares' qualium unus' ad punctum cuius coordinatae sunt 1j'
per d~. dE exprimi poterit. Huius distantia a puncto M erit
e
unde ipsius attractio in punctum M exhiberi poterit per d ~ . d .fp , denotante
e
functione fp legem attractionis. Quare quum _per totum cylindrum sola tam
=
quam variabilis spectanda sit, erit pdp -(a-E)dE, et proin attractio ele
= -
menti Pf[a· d Pe·)d'E. Qua resoluta in tres attractiones partiales axibus coor
dinatarum x, y, z parallelas atque oppositas, prima erit = -fp. dp. d~. Hinc
J
designando integrale f p. d p per F p, attractio cylindri a basi d ~ usque ad
punctum cuius coordinata prima = E in punctum M secundum axem coordina
tarum x erit = -(Fp-Const.)d~ = -(Fp-FR)d~, si R supponitur de
signare distantiam basis d~ a puncto M. Hinc sequitur, eandem attractionem
partialem omnium partium corporis, quae intra cylindrum iacent, fieri
=
(Fr'-Fr'+Fr"'-etc.)d-~
= -Fr'.ds'.cosQX'-Fr". ds". cosQX"-Fr"'.ds"'.cosQX"'- etc.
Extendendo haec ratiocinia ad omnia elementa d~, colligimus
THEOREMA TERTIUM.
Attractio corporis in punctum M, axi coordinatarum x parallela atque oppo
-J
sita, exhibetur per integrale Fr. ds. cos Q X per totam superficiem extensum.
Prorsus simili modo manifesto attractio secundum duas reliquas directiones
principales exprimetur per integralia -JFr. ds. cos Q Y, - J Fr. ds. cos QZ.
6.
=
Iarn rern alia via aggrediemur. Concipiatur superficies sphaerica radio 1
circa centrum M descripta, atque in elernenta infinite parva dispertita. Sit Il
punctum huius superficiei ad spatiolurn d~ in eadern pertinens; ducatur radins
MIT, atque si opus est ultra sphaerae superficiern indefinite producatur. Sint
P', P", P"' etc. puncta, in quibus hic radins superficiern corporis nostri deinceps
secat, excluso tarnen ipso puncto M, si forte in ipsa superficie iacet. Horurn
8 THEORIA ATTRACTIONIS CORPORUM
itaque punctorum multitudo par erit vel impar, prout M situm est extra solidi
tatem corporis vel intra, patetque casum ubi M in ipsa corporis superfreie iacet.
annumerari debere vel casui priori vel posteriori, prout radius MIT ab initio vel
a corporis soliditate recedit, vel eam intrat. Concipiantur porro rectae a M ad
peripheriam spatioli d~ ductae, quae formabunt superficiem conicam (sensu la
tiori), atque in superficie corporis nostri ad puncta P', P", P"' etc. resp. spatiola
ds', ds", ds"' etc. definient. Denique describantur per puncta P', P" P"' etc.
1
portiunculae superfreierum sphaericarum e centro M radiis
MP' = r', MP" = r" MP"' = r"' etc.
1
sintque spatiola quae conus ex illis exsecat, da', da", da"' etc. Omnia haec
1
spatiola d~, ds', da' etc. tamquam positiva spectabimus. His praemissis habemus
da' == 'd'a"" == ,.d.".a.-"-;'; ;
d ~ = -,, etc.
rr rr rr
Spatiolum da' considerari potest tamquam proiectio spatioli ds' in planum, cm
recta P'M est normalis. Hinc erit da'= +ds'. cosMQ', signo superiori vel
inferiori accepto prout M Q' acutus est vel obtusus: casus prior locum habet,
1
quoties recta a P' ad M ducta a corpore recedit, i. e. quoties M iacet extra cor
pus, casus posterior vero, quoties recta P'M in P' corpus intrat, i. e. quoties M
iacet intra corpus. Perinde erit da"= +ds"cosMQ", da"'=+ ds"'. cos MQ"' etc.
1
unde patet,
I. Si M iaceat extra corpus, haberi
ds'. cosMQ' = +r'r'd~
ds".cosMQ"= -r"r"d~
ds'".cosMQ"'= +r"'r"'d~
etc.
II. Si vero M iaceat intra corpus, fieri
ds'.cosMQ' = -r'r'd~
ds".cosMQ"= +r"r"d~
ds"'.cosMQ"'=
-r'"r"'d~
etc.
In casu I itaque erit (propter aequationum multitudinem parem)