Weitere Anwendungen der Methode der LIE-Reihen, insbesondere auf Probleme der Schalentheorie

50 Pages·1967·0.98 MB·German

by  Prof. Dr. rer. techn. Fritz Reutter

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1831
Herausgegeben im Auftrage des Ministerprasidenten Heinz Kiihn
van Staatssekretar Professar Dr. h. c. Dr. E. h. Lea Brandt
DK 624.074.4
Prof. Dr. rer. techn. Pritz Reutter
Dipl.-Math. Siegfried Stief
Institut fur Geometrie und Praktische Mathematik
an der Rhein.-Westf Techn. Hochschu/e Aachen
Weitere Anwendungen
der Methode der LIE-Reihen,
insbesondere auf Probleme der Schalentheorie
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
ISBN 978-3-663-06617-0 ISBN 978-3-663-07530-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07530-1
Verlags-Nr.011831
© Springer Pachmedien Wiesbaden 1967
Urspriinglich erschicncn bei Westdeutscher Vcrlag 1967
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag •
Inhalt
Einleitung ........................................................ 5
1. Behandlung spezieller Probleme bei linearen partiellen Differentialglei-
chungen, dargelegt an Problemen aus der Schalentheorie ............. 5
1.1 Randwertprobleme der Schalentheorie ........................ 5
1.1.1 Annahmen der technischen Schalentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Geometrie der Schale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Die Gleichgewichtsbedingungen und der Verformungszustand -
Die Randbedingungen ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Zurückführung der Lösung der Differentialgleichungen für Schnitt
funktionen und Verschiebungen über ein Iterationsverfahren auf
die Behandlung eines einzigen Systems linearer partieller Differential-
gleichungen zweiter Ordnung ............................... 13
1.2 Lösung des Problems durch Lösung des Systems linearer partieller
Differentialgleichungen (aus Abschnitt 1.1.4) mit Hilfe verallge-
meinerter LIE-Reihen ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
1.3 Anwendungen............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
1.3.1 Membrantheorie der Kugelschale unter Winddruck ............. 27
1.3.2 Das Rotationsellipsoid unter Normaldruckbelastung ............ 30
1.3.3 Numerische Auswertung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
2. Auflösung von Gleichungssystemen ............................... 44
2.1 Der Umkehrungssatz ....................................... 44
2.2 Anwendungen............................................. 45
2.2.1 Allgemeines ............................................... 45
2.2.2 Die Fälle 11 = 1 und 11 = 2 .................................. 46
2.3 Beispiel................................................... 47
Zusammenfassung ................................................. 49
Literaturverzeichnis ................................................ 50
3
Einleitung
In einem früheren Forschungsbericht [20] wurden die Ergebnisse von Unter
suchungen über die numerische Behandlung von Anfangswertproblemen ge
wöhnlicher Differentialgleichungssysteme mit Hilfe von LIE-Reihen mitgeteilt
(vgl. hierzu auch [13] bis [16])*. Doch erweist sich die LIE-Reihen-Methode
auch für eine ganze Reihe anderer Probleme aus verschiedenen Gebieten der
Mathematik als ein mitunter recht nützliches Hilfsmittel. Hierher gehört zu
nächst ihre Anwendung zur numerischen Behandlung von Randwertproblemen
gewöhnlicher Differentialgleichungen [7], [24].
Da sich Systeme partieller Differentialgleichungen mit Hilfe der Gleichungen
ihrer Charakteristiken auf gewöhnliche Differentialgleichungssysteme zurück
führen lassen, bietet sich schon auf diesem Wege eine Anwendung der Methode
zur Behandlung von Anfangswertproblemen bei partiellen Differentialgleichungen
an [8].
Der vorliegende Bericht befaßt sich mit zwei Anwendungen der LIE-Reihen
Methode auf zwei voneinander unabhängige Problemkreise. Zunächst wird im
1. Teil eine Anwendung der Methode zur unmittelbaren Behandlung von Rand
wertproblemen bei gewissen linearen partiellen Differentialgleichungen dargelegt.
Die Entwicklung des Verfahrens und seine numerische Erprobung erfolgt am
Beispiel der Grundgleichungen der Schalentheorie. Sodann wird im 2. Teil auf
Grund der schon von W. GRÖBNER [8] gegebenen Anwendung der LIE-Reihen
zur Inversion von Funktionensystemen ein numerisches Verfahren zur Auf
lösung beliebiger (nichtlinearer) Gleichungssysteme aufgezeigt.
Die im 1. Teil benötigten Annahmen und Gleichungen der Schalentheorie werden
zuvor kurz entwickelt (vgl. auch [17], [21]).
1. Behandlung spezieller Probleme
bei linearen partiellen Differentialgleichungen,
dargelegt an Problemen aus der Schalentheorie
1.1 Randwertprobleme der Schalentheorie
1. 1. 1 Annahmen der technischen schalentheorie
Die lineare Schalentheorie befaßt sich mit den Spannungen und Verformungen
dünner Schalen, deren Material dem HooKEschen Elastizitätsgesetz gehorcht.
* Die in [] Klammer gesetzten Ziffern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am
Ende des Berichtes.
5
Dabei soll unter dem Ausdruck »dünn« verstanden werden, daß das Verhältnis A
der konstanten Schalendicke t und der kleinsten anderen Abmessung L der Schale
(z. B. dem kleinsten Krümmungsradius) klein gegen 1 ist. Ferner werden die
Verschiebungen der Schalenpunkte als klein gegen t vorausgesetzt, so daß die
Gleichgewichtsbedingungen für das unverformte Element aufgestellt werden
können.
Des weiteren werden folgende Annahmen gemacht:
1. Alle Größen der Ordnung A werden gegenüber 1 vernachlässigt.
2. Die Gleichgewichtsbedingungen werden gleichsam nur im Mittel erfüllt, d. h.
mit den Schnittkräften und Momenten angesetzt, die durch Integration über
die Schalendicke ermittelt werden.
3. Die Normalspannung T33 in den Schnitten parallel zur Schalenmittelfläche
lassen sich gegenüber den Spannungen T"ß(a, ß = 1,2) vernachlässigen.
4. Es soll die »Normalenhypothese« gelten, die besagt, daß alle Punkte, welche
vor der Verformung auf einer Normalen der unverformten Mittelfläche liegen,
nach der Verformung auf einer Normalen der verformten Mittelfläche liegen.
Diese Annahmen kennzeichnen die technische Schalentheorie im engeren Sinne.l
Für die weiteren Überlegungen soll die Tensorrechnung in der von RICCI an
gegebenen Form Verwendung finden. Treten griechische Buchstaben als Indizes
auf, so läuft der Index bis 2, anderenfalls bis 3. Nach der EINSTElNSchen Summen
konvention wird über jeden gleichzeitig hoch- und tiefgestellten Index summiert.
1.1.2 Geometrie der Schale
Auf einer Schalenmittelfläche bezeichne ut, u2 ein Koordinatennetz, u3 sei der
Abstand eines Schalenpunktes von der Mittelfläche. Ist
(1.12.1)
der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Schalenmittelfläche, so läßt sich der
Ortsvektor für jeden Schalenpunkt P in der folgenden Form darstellen (vgl.
Abb.1)
(2)2
m
Dabei ist L die bereits erwähnte charakteristische Vergleichslänge und (uI, u2)
bezeichnet den Normaleneinheitsvektor im Punkte Lt der Schalenmitteltläche.
1 HEuCK, K., hat in [12] auf Inkonsequenzen dieser Linearisierung hingewiesen und
eine technische Schalentheorie abgeleitet, die in den Anfangsgliedern mit der von
ZER~A [25] abgeleiteten übereinstimmt und zusätzlich zu den Hypothesen der linearen
dreidimensionalen Elastizitätstheorie auf sechs Annahmen beruht.
2 Die Gleichungen sind künftig innerhalb der Unterabschnitte durchnumeriert. Inner
halb des Unterabschnitts werden sie mit der einfachen Nummer (z. B. (2)), in anderen
Unterabschnitten mit Unterabschnittsnumm~r und Gleichungsnummer (z. B. Ab
schnitt 1.1.2, GI. (2)) zitiert.
6
\m(u1,u2)
-----~
Abb.l
Der Parameter u3 durchläuft den Bereich
t t
s:;: 113 s:;:-
2 - - 2'
wenn t die Schalendicke bedeutet.
Es ist zweckmäßig, durch Division mit der Schalendicke t dimensionslose Ko
ordinaten 8i = ui einzuführen. Der Ortsvektor eines beliebigen Schalenpunktes
t
lautet dann
+
9t = L[r(81, 82) Je8391] . (3)
Die Metrik der Schalenmittelfläche wird durch folgende Größen beschrieben:
Kovarianter metrischer Tensor3:
arxß=aßrx=r,rx·r,ß'
dabei sind r . rx und r . ß die kovarianten Basisvektoren a", aß.
Kontravarianter metrischer Tensor:
a"ß = aß" = (-1)"+ß ayo (0:: =F y, ß =F 0)
a
mit
a = det (a"ß) .
Die kontravarianten Basisvektoren lauten:
=
a" a"ßaß·
Unter Verwendung des KRoNEcKER-Symbols
1 für 0:: = ß
aß {
= 0
für 0:: =F ß
und des E-Tensors:
0 -1) (0
( V; V;)
e"ß = - V; E = Va
-1 0 '''ß - 0
3 Kommata bezeichnen hier partielle Ableitungen nach den betreffenden Koordinaten.
7
lassen sich folgende Beziehungen ausschreiben:
a"'ilailß = 0'ß,
a"'ß = e"'Ä r} I-'aÄ I-' a"'ß = e"'ÄeßI-'aÄI-'
e"'ß = a"'ÄaßI-'eÄI-' e"'ß = a"'Ä aß I-' eÄI-'
=
a'" a"'ßaß a", = a"'ßaß
a"'aß = a"'ß a<xaß = a"'ß
a'" X aß = e"'ß91 a<X X aß = a"'ß91
91 X a'" = e"'ßaß 91 X a", = ecxfJaß
[a"'aß91] = e"'ß [a",aß91] = e"'ß
Die Krümmung der Schalenmittelfläche wird durch die zweite Grundform be
stimmt:
Kovarianter Krümmungstensor :
Va-
b"'ß = bp", = t [UtU2U""p] = 91u<X,p
Gemischter ko- und kontravarianter Krümmungstensor :
b'ß = a"'ilbilfJ ·
Für die mittlere und die GAusssche Krümmung gilt:
1
K = - det (bcxß)'
a
Aus [6], [17] und [21] ist bekannt, welche Bedeutung der kovariante Krümmungs
tensor für eine Vereinfachung der Gleichgewichtsbedingungen hat. Bei Ver
wendung von konjugiert-isometrischen Parametern besitzen die Elemente der
zweiten Grundform die folgende Eigenschaft
-i für K> 0
bll = e2b22 = 5, b12 = 0, e2 = { , (4)
+ 1 für K< 0
und die Systeme partieller Differentialgleichungen, welche aus den Gleichge
wichtsbedingungen abgeleitet werden, lassen sich als je eine komplexe Differential
gleichung schreiben und für einige Belastungsfälle und Flächentypen auch leicht
lösen.
Wegen der oft verwendeten kovarianten Ableitungen beliebiger Tensoren werden
die CHRISTOFFEL-Symbole benötigt:
CHRIsToFFEL-Symbole 1. Art:
1
r 2: +
cxfJy = (a",y, ß aßy, cx - acxß, y)
CHRIsToFFEL-Symbole 2. Art:
8
Für die Ableitung von Vektoren 0, die auf kovariante bzw. kontravariante Basis
vektoren bezogen sind,
o = v"o" + v391 = v"o" + v391,
gilt:
0, P = (v"IP- bp"V3) 0" + (V3, P + bpv,,) 91
+ +
= (v"lp- bpV3) 0" (V3, P b"pv) 91 (5)
1.1.3 Die Gleichgewichtsbedingungen und der Verjormungszustand - Die Rand
bedingungen
Mit Hilfe der in (Abschnitt 1.1.1) genannten Annahmen lassen sich die Gleich
gewichtsbedingungen der linearen Schalentheorie ableiten. Eine besonders aus
führliche Ableitung ist in [7] und [23] angegeben. In diesem Abschnitt sollen nur
die Ergebnisse zusammengefaßt und die Definitionen erläutert werden.
Es mägen .ik (i, k = 1,2) bzw. • i3 die Komponenten des Spannungstensors sein,
welche in der Mittelfläche bzw. in Richtung der Flächennormalen wirken. Mit
ihrer Hilfe werden die symmetrischen Flächentensoren n"P und m"P und der
Flächenvektor q" (»Schnittfunktionen«) definiert:
Längskrafttensor:
n"P = / ."PZdf)3
"
Momententensor :
f ~
m"P = A. f)3."PZdf)3
-~
Querkrafttensor:
1
q" = l / .,,3Zdf)3.
-b
Dabei bedeutet Z die Invariante
l/
Z= det(a"p) = [1-2A.f)3H+(lf)3)2K].
V
det (Aik)
Die Gräßen atk bilden den Maßtensor der Schalenmittelfläche, Aik ist der Maß
tensor der (dreidimensionalen) Schale.
An Hand eines Bildes des Schalenelementes (vgl. Abb. 2) erkennt man leicht die
Richtungen der einzelnen Komponenten. Auch die Ableitung der Gleichgewichts
bedingungen kann veranschaulicht werden: Überträgt man nämlich alle Kräfte
und Momente nach der Übertragungsvorschrift des absoluten Parallelismus längs
der Kurven f)I = const und f)2 = const in den Punkt P(f)l, f)2) und bildet die
Resultierende, so muß diese der Resultierenden der äußeren Kräfte und Momente
das Gleichgewicht halten ([19], [26]).
9
e2 + cl e2 = const. p (e' + cl e',e2 + cl e2)
/
Schalenmittelfläche
e' =const. e2 = const.
Abb.2
Bezeichnet I.ß die Belastung der Fläche, so stellt diese sich im Koordinatensystem
01,02,91 dar als
I.ß = (Plel + P2e2 + P3e3) = piOi
(falls 03 = 91 gesetzt wird).
Für eine konstante Normaldruckbelastung p gilt beispielsweise pI = p2 = 0,
p3 = - pL. Bezeichnet man die vektoriellen Schnittkräfte und -momente, die
auf eine Längeneinheit des Schnittes fJ" = const bezogen sind mit 11" und Lm",
so gilt
0 +
11" = l1"ßOß q"03
m" Va"'" = m"ßa3 X aß·
Bei einer Zerlegung in Richtung der Einheitsvektoren der kovarianten bzw.
(0) (0)
kontravarianten Basisvektoren a" bzw. 0"
(0) +
11" = n(" ß) oß q(a) 03
(0)2 + (0)1
Lm" = tJJ("l) 0 tJJ(,,2) 0
I.ß = h,,) (00)" , + P3 03
erhält man Koeffizienten, die keine Tensoren bilden, sie werden als »physikali
sche« Schnitt kräfte, -momente und Lasten definiert:
n _l/Vaß ßn"ß q =_l_ q", (la)
a"" (,,) Va""
("ß) -
1/
tJJ (,,"') = L(-ly+l Vaa""''"' m"'" (für IX =l= ß)
a
==~prx
L
10
Die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente haben die
Form eines Systems von sechs gekoppelten partiellen Differentialgleichungen,
wobei jedoch die letzte dieser Gleichungen wegen der Symmetrie des Spannungs
tensors identisch erfü 11 t ist:
+
n"ßI" - b~qX pß = 0
+ +
n"ßb"ß q"l" p3 = 0
(1)
m"ßI",_qß = 0
E"ß(n"ß - b~neß) = O.
Der Verschiebungszustand der Fläche wird durch den Verschiebungsvektor der
Flächenpunkte gekennzeichnet:
mit
und
Mit Hilfe der KIRCHHOFF-LovEschen Hypothese läßt sich dann der Verzerrungs
tensor y", ß in Abhängigkeit von den Verschiebungsgräßen in folgender Weise
ausdrücken
(2)
Y,,3 = 0,
wobei
1
(X"ß = 2(v"Iß +vßI,,-2b"'ßw),
~ + + (b~ve)I,,]·
w"ß = - [2 wl"'ß (b;ve)Iß
2
Aus dem HooKEschen Gesetz läßt sich unter den Annahmen in (Abschnitt 1.1.1)
ein Elastizitätsgesetz der Schalen in der Form
nxß = DHXßy6(Xy6
(3)
m"ß = BH"ßY6wY6
gewinnen.
Hierin bezeichnen E den Elastizitätsmodul, 1] die Querkontraktionszahl, D und B,
H"ßy6 und H:ßy6 sind Abkürzungen für
B = E AL D = },2 B
1 - r,2' 12
1 + + +
H"'ßy6 = _ [a"Y aß6 ax6 aßY 17(10"'1 Eß6 E"'6EßY)]
2
11