Wege in euklidischen Ebenen Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie: Eine Auswahl geometrischer Themen mit Beiträgen zu deren Ideen-Geschichte

245 Pages·1999·20.333 MB·German

by  Prof. Dr. Peter Dombrowski (auth.)

Dombrowski
Wegein euklidischen Ebenen
KinematikderSpeziellenRelativitätstheorie
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Peter Dombrowski
Wege
in euklidischen Ebenen
Kinematik
der Speziellen Relativitätstheorie
EineAuswahlgeometrischerThemenmitBeiträgen
zu deren Ideen-Geschichte
UnterVerwendung von Vorlesungenvon
Heinz Hopf)Willi Rinow)Erhard Schmidt
Mit 41 Zeichnungen
Springer
Prof. Dr. Peter Dombrowski
Universităt zu Koln
Mathematisches Institut
Weyertal 86-90
D-50931 Koln
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Dombrowald.Peter:
Wege in euldidischen Ebenen: Kinematik der Speziellen Relativititstheorie I Peter Dombrowski.
Berlin; HeideIberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Santa Clara; Singapur;
Tokio: Springer, 1999
ISBN 978-3-540-66055-2 ISBN 978-3-642-58501-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-58501-2
Mathematics Subject Classification (1991): 53A04. 57N05. 83A05. 53B30. 01A60
ISBN 978-3-540-66055-2
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O Springer-Verlag Berlin HeideIberg 1999
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1999
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MEINER FRAU GEWIDMET
Einführung
Anliegen: Das Grundstudiumder Mathematikan deutschen Universitäten
vermittelt in den Kursen über Reelle Analysis und Lineare Algebra meist
nicht sehr viel an geometrischen Ideen und Resultaten, andererseits: Elemen
tare differentialgeometrische Kenntnisse sind für Studierende der Mathema
tik und der Physik in verschiedenen Wahlgebieten ihres Hauptstudiums (z.B.
Variationsrechnung, .. , Optik, Relativitätstheorie,..) ausgesprochen nützlich.
Allgemeiner gewinnen in den letzten Jahrzehnten (differential-)geometrische
Methoden innerhalb der Theoretischen Physik zunehmend an Bedeutung. -
Deshalb, aberauch als"Vorspann" undWerbungfür einenjeweilsanschließen
den Differentialgeometrie-Kurs, habe ich an der Universität zu Köln zwischen
1970und 1993wiederholt eine4-stündigeVorlesung"Geometrie vom höheren
Standpunkt" angeboten. Diese richtete sich an Studierende der Diplom-Stu
diengänge Mathematik oder Physik des 4-ten Semesters sowie an Lehramts
Studierende des 4-ten und 6-ten Semesters: Neben klassischen Geometrie
Gebieten, zu denen es eine reiche Lehrbuchliteratur gibt, habe ich in diesen
Vorlesungen auch gern "Wege in euklidischen Ebenen" und die "Kinematik
der Speziellen Relativitätstheorie" behandelt. Eine Darstellung letzterer zwei
Themen liegt hier vor: Sie ist eine Überarbeitung diverser Skripten, die ich
anläßlichdieser Vorlesungen (bzw. Anfangder 70-er Jahre zu mathematischen
Seminaren für Physiker) ausgegeben hatte. -
Zwei (aus meiner Sicht) positive Aspekte dieser geometrischen Themen sei
en noch herausgestellt: Sie sind fernab einer "reinen", sich selbst genügenden
Geometrie. Im Kapitel über ebene Wege spielen analytische und elementar
topologische Methoden eine maßgebliche Rolle; umgekehrt fördert dieser Ge
genstand ein anschaulicheres, vertieftes Verständnis der im Grundstudiumge
lerntenAnalysis. Aber auchphysikalischeGrundbegriffe (Geschwindigkeit,Be
schleunigung, Winkelgeschwindigkeit, kinetische Energie, ..), die heute einer
größeren Zahl von Mathematik-Studierenden nicht mehr vertraut sind, kom
men anläßlich dieser Themen zur Sprache. Die Fassung von EINSTEINS "Ki
nematikder Speziellen Relativitätstheorie" durch MINKOWSKI und WEYL als
Geometrie eines affinen Raumes mit einem indefiniten inneren Produkt für
dessen Richtungsvektorraum ist darüber hinaus eine gute Ergänzung zur Li
nearen Algebrades Grundstudiums. Schließlichsind beideThemen vorzüglich
geeignet, aufeinem elementaren Niveau leitende Ideen der begrifflichen bzw.
historischen Entwicklung einiger grundlegender mathematischer und physika
lischer Konzepte zu vermitteln. -
Voraussetzungen: Für das vorliegende Buch werden Vertrautheit und
Übungserfahrung mitfolgenden Themendes Grundstudiumsder Analysis und
LinearenAlgebraerwartet: NormenunddiekanonischeTopologieendlich-dirn.
IR-Vektorräume, metrische Räume, Grundbegriffe der mengentheoretischen
Topologie (insbes. Kompaktheit, Zusammenhang,wegweiser Zusammenhang),
VIII Einführung
Grundtatsachen der Differentialrechnung für Abbildungen endlich-dirn. IR
Vektorräume, Lebesgue-Integralrechnung für Funktionen einer reellen Verän
derlichen (nur am Rande auch für Funktionen des IRm), Kurvenintegrale,
Vektoralgebra, euklidischeVektorräume,Grundeigenschaften der linearenAb
bildungen und der Multilinearformen endlich-dirn. IR-Vektorräume, Determi
nanten und Matrizen. -
Zum Inhalt: Da dieses Buch aus dem Kanon der Geometrieliteratur her
ausfällt, weisen wir auffolgende Besonderheiten hin: "Tangenten" und "Glatt
heit" von Wegen in rn-dirn. IR-Vektorräumen werden geometrisch definiert.
- Die Idee, die "Länge" stetiger Wege in IEm als Supremum der elementar
geometrischen Längen einbeschriebener Polygonwege zu definieren, wird als
"nur für ein-dimensionale Inhalte geeignet" ausgewiesen: Der analoge Ansatz
für k-dim. krumme Flächen in IEm versagt für 2<k <rn wie mit dem
"ScHwARzsehen Stiefel" gezeigt wird. [Auch gerät m~n,falls k~3, mit ei
nemelementargeometrischenInhaltsbegrifffür k-dim. Polyeder, welcher - wie
für kE{I,2} - die Zerlegungs-Kongruenz solcher Polyeder "messen" soll, in
Schwierigkeiten, wie mit Resultaten zu HILBERTs ,,3. Problem" belegt wird.]
- Für differenzierbare Wege c:I -t V von (nur) beschränkter Geschwindig
keit 11c'11 in rn-dirn. normierten IR-Vektorräumen wird die DarsteIlbarkeit
von c selbst bzw. seiner Länge als Lebesgue-Integral über c' bzw. über 11c'11
bewiesen (i.w. ohne Mehraufwand gegenüber dem Cl-Fall beim Riemann
Integral). - Die "Ableitung nach der Weglänge von c" wird für immersive
er-Wege c:I-tIEm (r~l) als
linearerDifferentialoperator Oe:erI -t er-lI (<p >---t <p'/IIc'11 )
eingeführt. [Dieser mit einem solchen c unmittelbar verfügbare Operator
macht Rückgriffe aufdie"(Um-)Parametrisierungvon c aufWeglänge" meist
überflüssig.] - Die Umlaufzahl ind(c;p) (E:n:) geschlossener stetiger Wege
c:I -tIE2 um Punkte pEIE2\c(I) wird als eine "normierte" Summegewisser
orientierter Winkeldefiniert: Dashandlichere"Schnittzahl"-Verfahrenzur Be
stimmung von ind(CiP), welches KRONECKER für immersive Cl-Wege ange
geben hatte, wird für eine große Klasse nur stetiger Wege bewiesen. - Neben
Standard-Anwendungen des Umlaufzahl-Begriffs (wie "Umlaufsatz", BRou
WERS Abbildungssätze, .. ), wird mit seiner Hilfe ein einfacher Beweis für den
merk-würdigen HOLDITCH-Integralsatz geliefert. - Das AMEs-HADAMARD
Lemma über die Existenz von qEIE2\c(I) mit 1ind(c; q) 1= 1 wird für ste
tige Jordan-Wege c:I -tIE2 (nach E. SCHMIDT) bewiesen, und damit dann
der Jordan-Kurvensatz für immersive Cl-geschlossene Jordan-Wege c.
Anläßlich der Frage nach der Kongruenz zweier immersiver e 2_Wege in IE2
wird nebenher der (fast vergessene) "Satz der freien Beweglichkeit" in IEm
(das heißt "IEm ist HELMHOLTZ-LIE-Raumform") gezeigt, eine Verallgemeine
rung des 3-Seiten-Kongruenzsatzes für Dreiecke auf beliebige (nicht notwen
dig 3-elementige) Teilmengen des IEm . - In der Krümmungstheorie ebener
immersiver e 2-Wege wird u.a. ein "Sehnenlängen-Vergleichs-Lemma" (nach
Einführung IX
E. SCHMIDT) bewiesen, welches (nach FOG) einen geometrisch-einprägsamen
Beweis des Vierscheitelsatzes für Ovale impliziert. - Als analytische Einlage
wird ein "Mittelwertsatz n-ter Ordnung" von H.A. SCHWARZ gebracht: Die
ser wird (für n=2) eingesetzt zum Beweis der NEWTON-Joh. BERNOULLI
Aussage: "Der Krümmungskreis eines in TEl gekrümmten immersiven C2_
Weges c: I -+ JE2 ist die Grenzlage von Kreislinien durch drei zu T zeit
benachbarte Bahnpunkte von c" .[Als bemerkenswertes Korollar dieses Mit
telwertsatzes wird noch erwähnt ein Berechnungsverfahren für die n-te Ablei
tung einer C"-Funktion (n>1) als Grenzwert "höherer Differenzenquotien
ten",in welche nur Werte der Funktionselbst (nicht aber ihrer Ableitungen!)
eingehen.]-Tangenten- und Krümmungskreis-Konstruktionen mit Zirkel und
Lineal bei Kegelschnittwegen in JE2 bieten einen kleinen Ausschnitt der ebe
nen Darstellenden Geometrie. - Zwei physikalische Eigenschaften der Zykloi
denwege werdenelementarbehandelt: DasZykloidenpendel (C. HUYGENs) als
eine perfekte mechanische Realisierungdes harmonischen Oszillators, und die
Brachistochronie (= Zeit-Kürzesten-Eigenschaft) der zykloidischen"Fallwege"
(Joh. BERNOULLI). - Im Zusammenhang mit "Einhüllenden" von Wegescha
ren in JE2 werden Kaustiken und Schmiegparabeln studiert. -
Das Kapitel "Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie" folgt thematisch
i.w. der Originalarbeit von EINSTEIN, in der Darstellung aber dem von
MINKOWSKI und WEYL entworfenen Modell (s.o.). Abweichend von letz
terem werden jedoch auch räumliche Distanzmessungen eines Beobachters
[vermöge Radar- (Gedanken-)Experimenten mit konstanter "Signalgeschwin
digkeit"] auf reine Zeitmessungen mittels "Normaluhren" zurückgeführt.
Außerdemwirddie (bisaufpositiveProportionalität)eindeutigeBestimmtheit
des lorentzschen inneren Produkts durch seine Lichtkegel bewiesen, was er
kenntnistheoretisch bedeutsam ist: Die Lichtkegel sind im Prinzip einer phy
sikalischen "Messung" zugänglich! - [Zur klaren begrifflichen Trennung von
"Beobachtern" und den "sie begleitenden Normaluhren" werden überdies k
dim. COO-Untermannigfaltigkeiten in rn-dim. affinen Räumen, deren Coo_
Abbildungen, Coo-Immersionen, ... eingeführt. (Diese Begriffe sind z.B. auch
zu investieren für eine "Differentialgeometrie der Flächen im JE3".)] -
Zum Gebrauch: Dieses Buch kann insbesondere dienen 1. als Begleittext
zu einer Vorlesung [in der etwa nur die wesentlichen Resultate bzw. Ideen
(vonBegriffsbildungen und Beweisen) vorgetragen,die DetailsaberdemHörer
überlassen werden], 2. als Vorlage für mathematische (Pro-) Seminare von
Lehramtskandidaten bzw. Physik-Studierenden, 3. (inTeilen) zur Fortbildung
von Gymnasiallehrern: Deshalb sind die Beweise bewußt detailliert aus
geführt, werden Formel-Aussagenoft zusätzlichsprachlich interpretiert. - Mit
"@" gekennzeichnete Passagen des Textes sind wahrscheinlich erst auffort
geschrittenerem Niveau voll zu würdigen. Dennoch sind diese nicht nur an
Kenner adressiert, sondern sollen gerade die "Noch-nicht-Kenner" neugierig
machen oder zu weitergehenden Studien anregen. -
X Einführung
Mein Dank gilt zuerst meinen unvergessenen Lehrern Erhard Schmidt
(d3.1.1876,t6.12.1959) und Willi Rinow (*28.2.1902,t29.3.1979) in der
Analysis bzw. Differentialgeometrie, insbesondere: Anregungen verdanke ich
demersteren zumThema"Umlaufzahlund Jordan-Kurvensatz", dem zweiten
zum Grenzwertsatz von H.A. SCHWARZ und zu dessen geometrischen Anwen
dungen. - Im Jahre 1956 zeigte mir Fritz Hirzebruch seine Mitschrift einer
Vorlesung von Heinz Hopf(Zürich, 1949/50),in welcher letzterer u.a. Umlauf
zahlen und vieleAnwendungen dazu behandelt hatte. Diegenannte Mitschrift
(sowie "der ALEXANDROFF-HoPF") lieferte dann die Leitlinien für ein Skrip
tum über Umlaufzahlen (s. [D0 das ich als Vorlage für ein Seminar von
2]),
Fritz Hirzebruch (Bonn, 1956/57) angefertigt habe. Ihm danke ich sehr, mir
durch seine Mitschrift dieses geometrisch-attraktive Thema nahegebracht zu
haben. [Das Skriptum [D02] ist (verbessert, z.T. mit neuen Beweisen und
erweitert um historische Anmerkungen) in dieses Buch mit eingeflossen.] -
Einigen Kollegen oder Freunden habe ich für Anregungen, Hilfe oder Rat zu
danken: Hans R. Müller (Braunschweig) hat mich vor vielen Jahren mit dem
Integralsatz von HOLDITCH bekanntgemacht, Thomas J. Willmore (Durharn,
GB) hat mir die teils schwer zugängliche Originalliteratur dazu beschafft. Er
hard Heil (Darmstadt) hat mich auf von mir zunächst übersehene Arbeiten
zum Vierscheitelsatz aufmerksamgemacht. Friedrich Hehl (Theoretische Phy
sik,Köln) hat mirzur RelativitätstheorienützlicheInformationengegeben, so
wie auch wichtige Literaturhinweise. Jürgen Berndt hat manchen Druckfehler
beseitigt. Gerrit Wiegmink hat neben solchen Korrekturen auch Änderungs
vorschläge zu TextsteIlen bzw. Zeichnungen gemacht,die für deren Lesbarkeit
bzw. Deutlichkeit ein Gewinn waren. Schließlich bin ich durch Gespräche mit
Helmut Reckziegel aufmanche Ideen zur Verbesserung dieser Darstellung ge
bracht worden, die - ohne im Detail benannt worden zu sein - an diver
sen Stellen dieses Buches ihren positiven Niederschlag gefunden haben. Ihm
danke ich herzlich für seine stete Bereitschaft zu mathematischemGedanken
austausch und zu uneigennütziger, freundschaftlicher Hilfe während dreiund
zwanzig Jahren gelungenen Zusammen-Arbeitens in Köln. -
Herr Dr. C.-H.Kann hatesermöglicht,das Manuskript mitUnterstützung des
Mathematischen Instituts der Universität zu Köln schreiben zu lassen. Herr
A. Kuhn hat die Textverarbeitung des Hauptteils dieses Buches ideenreich
und bestens besorgt. Ergänzende Arbeiten am Text hat Frau N. Cochems
geschickt ausgeführt. Bei meinen Computer-Problemen während der Korrek
tur und Endgestaltung des Textes haben mir die Herren Dr. J. Behrend, H.
Körber und Dr. M. Schaafoft geholfen, vor allem aber Herr Dr. R. Böning:
Seine Kompetenz war für mich von unschätzbarem Wert! -
Allen, die mitihrerfreundlichen Hilfe amGelingen und Zustandekommendie
ses Buches beteiligt waren, insbesondere auch Herrn Dr. Heinze und seinen
Mitarbeiterinnen vom Springer-Verlag, danke ich hier herzlich.
Peter Dombrowski, Köln, Februar 1999.
Inhaltsverzeichnis
1. Wege in euklidischen Ebenen
1.0 Wege in Analysis, Geometrie und Physik 1
1.1 Grundbegriffe über Cr_Wege 2
1.1.1 Differenzierbare, immersive, Cr_Wege in IR.-Vektorräumen 2
1.1.2 Umparametrisierungen von Wegen 5
1.1.3 Kurven bzw. orientierte Kurven als Wege-Klassen 6
1.1.4 Analysis erster Ordnung von differenzierbaren Wegen 7
1.1.5 Geometrische Definition der Tangenten und der Glattheit 8
1.2 Weglänge (= Bogenlänge) 11
1.2.1 Die Länge kompakter Wege in normierten IR.-Vektorräumen 11
1.2.2 Kürzeste Verbindungswege in normierten IR.-Vektorräumen 13
1.2.3 Weglängenbegriff - Inhalt k-dim. Flächen ("Schwarzseher Stiefel") 14
1.2.4 Das ,,3. Problem" von David HILBERT 16
1.2.5 Integraldarstellung der Länge differenzierbarer Wege 18
1.2.6 (Um-)Parametrisierung auf Weglänge 19
1.2.7 Die Ableitung nach der Weglänge immersiver C1_Wege 21
1.3 Winkelfunktionen, Schwenk, Umlaufzahlen ebener Wege 23
1.3.1 Orientierungen, komplexe Strukturen von IR.-Vektorräumen 23
1.3.2 Zweidimensionale orientierte, euklidische Vektorräume 25
1.3.3 Polarkoordinatendarstellung und der Schwenk ebener Wege 28
1.3.4 Polarwinkelform - Winkelgeschwindigkeit ebener Wege 31
1.3.5 Umlaufzahlen geschlossener ebener Wege um einen Punkt 32
Homotopie-Invarianz der Umlaufzahl 35
Schnittzahlsatz (nach Leopold KRoNEcKER) 36
Strahlkriterium (nach Leopold KRoNEcKER) 37
1.3.6 Anwendungen des Umlaufzahl-Begriffs 40
"Umlaufsatz" (Tangentendrehzahlen immersiver CI_Jordan-Wege) 40
Kronecker-Prinzip 45
Poincare-Bohl-Lemma 45
Brouwer-Fixpunktsatz 46
Borsuk-Ulam-Satz 46