Waves and Oscillations in Plasmas

555 Pages·2012·16.795 MB·\555

by  Hans L. Pecseli (Author)

Waves and Oscillations
in Plasmas

Waves and Oscillations
in Plasmas
Second Edition
Hans L. Pe´cseli
UniversityofOslo
Norway
ThecoverphotoshowstheQ-machineattheRisøNationalLaboratoryinDenmark.Thedevicewasoperatingfrom1967
until1992.
Secondeditionpublished2020
byCRCPress
2ParkSquare,MiltonPark,Abingdon,Oxon,OX144RN
andbyCRCPress
6000BrokenSoundParkwayNW,Suite300,BocaRaton,FL33487-2742
(cid:13)c 2020HansL.Pe´cseli
FirsteditionpublishedbyCRCPress2012
CRCPressisanimprintofInformaUKLimited
TherightofHansL.Pe´cselitobeidentifiedasauthorofthisworkhasbeenassertedbyhiminaccordancewithsections77
and78oftheCopyright,DesignsandPatentsAct1988.
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Names:Pe´cseli,HansL.,1947-author.
Title:Wavesandoscillationsinplasmas/HansL.Pe´cseli.
Description:Secondedition.|BocaRaton:CRCPress,[2020]|
Series:Seriesinplasmaphysics|Includesbibliographicalreferencesandindex.|
Identifiers:LCCN2019058642|ISBN9781138591295(hardback)|ISBN9780429489976(ebook)
Subjects:LCSH:Plasmadynamics.|Plasmaoscillations.|Plasmawaves.
Classification:LCCQC718.5.D9P432020|DDC530.4/4--dc23
LCrecordavailableathttps://lccn.loc.gov/2019058642
ISBN:978-1-138-59129-5(hbk)
ISBN:978-0-429-48997-6(ebk)
VisittheeResources:https://www.crcpress.com/Waves-and-Oscillations-in-Plasmas/Pecseli/p/book/9781138591295
Contents
PrefacetoSecondrevisededition
1 Introduction 1
1.1 Whatisaplasma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Wheredowefindplasma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Plasmaphysics–whybother? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Whystudywavesinplasmas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.1 Alfve´nwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.2 Landaudampingandinstability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.3 Wavesfordiagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 BasicsofContinuumModels 5
2.1 Continuityequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Newton’ssecondlaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Equationofstate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Gaspressureonasurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Heatcapacities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Dynamicproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 Soundwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Incompressiblemedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Molecularviscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.1 Anexplicitcalculationoftheviscositycoefficient . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Thermalconductivityingases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8 Diffusioningases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 LinearWaveDynamics 23
3.1 Dispersionrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Complexnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Characteristicvelocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3 Evolutionofmodulatedwavesandwave-packets(cid:13)k . . . . . . . . . . . . 27
3.1.4 Dopplershifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.5 Wavepolarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.6 Methodofstationaryphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.7 Absoluteandconvectiveinstabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.8 Pulseresponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Wavepropagationininhomogeneousmedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Snell’slaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 WKBanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
v
vi Contents
4 WeaklyNonlinearWaves 39
4.1 Nondispersivewaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.1 Simplewaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.2 Burgers’equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Weaklydispersivewaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Korteweg-deVriesequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 PerturbationsofaKdVequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.3 Boussinesqequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.4 Generalizationtothreedimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Stronglydispersivewaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.1 Simpleoscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2 Weaklynonlineardispersivewaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.3 Modulationalinstability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.4 SolitonsolutionsoftheNLSequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.5 DerivationofthenonlinearSchro¨dingerequation . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.6 Generalizationtothreespatialdimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 BasicsofElectromagnetism 67
5.1 Maxwell’sequationsintheirbasicform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.1 Boundaryconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.2 Materialrelationsforsimplemedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 DiscussionsofMaxwell’sequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.1 Differentialequationsforthepotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.2 TheHertzvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Poynting’sidentity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.1 Poynting’sidentityforavacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Electromagneticforces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.1 Electromagneticforcesonparticlesandcurrents . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.2 Electromagneticforcesonmatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6 Wavesinsimpleconductingmedia (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7 Polarizationdescription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.7.1 Methodofimages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.8 Lorentztransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.9 Dielectricproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.9.1 Simplemedia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.9.2 Materialrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.9.3 Definitionofthedielectricfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.10 Energydensityindielectrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.10.1 Simplemedia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.10.2 Realdielectricfunctions–dispersivemedia . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.10.2.1 Electrostaticwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.10.3 Inclusionofspatialdispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.10.4 Negativeenergywaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.10.5 Complexdielectricfunctions–dispersivemedia . . . . . . . . . . . . . . 98
5.10.6 Dampingbydielectriclosses–electrostaticwaves (cid:13)k . . . . . . . . . . . 98
5.11 Forceonafluidoragas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Contents vii
6 PlasmasFoundinNature 103
6.1 Saha’sequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Coronalequilibrium (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3 Chapmanionosphere (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7 SingleParticleMotion 111
7.1 Singleparticleorbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1.1 E(cid:107)B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1.2 E⊥B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.3 F ⊥B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
c
7.1.4 FiniteLarmorradiuscorrectionsforinhomogeneouselectricfields . . . . 117
7.1.5 Polarizationdrifts,dE/dt(cid:54)=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.1.6 ∇B⊥B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.7 ∇B(cid:107)B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1.8 Magneticmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.1.9 Magneticmirrorconfinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2 Adiabaticinvariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.3 Radiationlosses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8 BasicPlasmaParameters 137
8.1 Plasmafrequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2 TheDebyelength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.3 Debyeshielding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.3.1 Immobileions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.3.1.1 Shieldinginthreespatialdimensionswithsphericalsymmetry . 139
8.3.1.2 Shieldingwithcylindricalsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.3.1.3 Shieldinginonespatialdimension . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.3.2 Mobileions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.4 Interactionenergy (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.5 EvacuationofaDebyeSphere (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.6 Theplasmaparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.7 Collisionsbetweenchargedparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.7.1 Simpleargumentsforcollisionalcrosssections . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.7.2 Center-of-massdynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.8 Plasmaresistivitybyelectron-ioncollisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.8.1 Chargedparticlecollisionsinmagneticfields . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.9 Plasmaresistivitybyneutralcollisions (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.9.1 Time-varyingelectricfields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.10 Plasmaasadielectric (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.10.1 Plasmaasadielectricathighfrequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.10.2 Amagnetizedplasmaasadielectricatlowfrequencies . . . . . . . . . . . 161
9 ExperimentalDevices 163
9.1 TheQ-machine (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.1.1 Electronemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.1.2 Ionemission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.1.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
viii Contents
9.2 Doubleplasmadevices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.3 Langmuirprobes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.3.1 Asimpleexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.3.2 Planeprobes (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.3.3 Doubleprobes (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.3.3.1 Plasmasheaths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.3.4 Orbittheoryforthincylindricalprobes (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.3.5 TheBohmcondition (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.4 Ionenergyanalyzers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.4.1 Spacechargelimitedcurrents (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10 Magneto-HydrodynamicsbyBruteForce 185
10.1 Idealmagneto-hydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.1.1 Faraday’slaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.1.2 Ampere’slaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.1.3 Ohm’slaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.1.4 Equationofstate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.2 CompressibleMHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.3 DissipativeMHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.3.1 Frozen-infieldlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.3.2 Magneticpressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.3.3 Plasmaβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.3.4 Plasmapinches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.3.4.1 θ-Pinch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.3.4.2 Z-Pinch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.3.4.3 Screw-pinch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.3.4.4 Pinchinstabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.3.4.5 Kinkinstabilityofalongthinpinch . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.3.5 Virialtheorem (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.4 ApplicationsofMHDtotheEarth’smagnetosphere . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.4.1 Thesolarwind (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.4.2 TheEarth’smagnetosphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.5 Alfve´nwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.5.1 Alfve´nwavesinincompressibleplasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.5.2 EnergydensityofshearAlfve´nwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.6 CompressionalAlfve´nwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.7 IdealelectronMHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.7.1 Whistlers (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11 PlasmaasaMixtureofChargedGases 225
11.1 Multi-componentplasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11.1.1 Plasmadiamagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.2 Quasi-neutrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.3 Collisionaldiffusionintwocomponent,magnetizedplasmas . . . . . . . . . . . 233
11.3.1 Diffusioninfullyionizedplasmas (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
11.3.2 Diffusioninpartiallyionizedplasmas (cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Contents ix
12 WavesinColdPlasmas 239
12.1 Wavesinunmagnetizedplasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.1.1 Penetrationdepth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
12.2 Wavesinmagnetizedplasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
12.2.1 Highfrequencywaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.2.1.1 Longitudinalorelectrostaticwaves . . . . . . . . . . . . . . . . 244
12.2.1.2 Transversewaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
12.2.2 WavepropagationperpendiculartoB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
0
12.2.3 WavepropagationparalleltoB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
0
12.2.4 WavepropagationatanarbitraryangletoB . . . . . . . . . . . . . . . . 252
0
12.2.4.1 Quasi-normalwavepropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
12.2.4.2 Quasi-parallelwavepropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
12.2.5 Wavepropagationinstratifiedplasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.2.6 Electrostaticwavesinastronglymagnetizedwaveguide . . . . . . . . . . 256
12.3 Collisionallosses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.4 Wavesincludingtheiondynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.4.1 Lower-hybridwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.4.2 Alfve´nwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.4.3 TheHall-MHDmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.4.4 Multiionspecies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
12.5 Quasi-electrostaticapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.5.1 Upper-hybridwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.5.2 Lower-hybridwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.6 Quasi-transverseapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.7 Instabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
12.7.1 Bunemaninstability(cid:13)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
12.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
13 ElectrostaticWavesinWarmHomogeneousandIsotropicPlasmas 271
13.1 Electronplasmawaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
13.1.1 RadiationofLangmuirwavesfromamovingcharge . . . . . . . . . . . . 274
13.2 Ionacousticwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.2.1 Thequasi-neutrallimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
14 FluidModelsforNonlinearElectrostaticWaves:IsotropicCase 281
14.1 WeaklynonlinearLangmuirwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.1.1 Coldelectronswithimmobileions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.1.2 Mobileions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.1.3 Theponderomotiveforce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
14.1.3.1 Experimentalobservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
14.1.4 Nonlinearwaveequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
14.1.5 Langmuirwavedecay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
14.1.6 ThenonlinearSchro¨dingerequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
14.1.7 Nonlinearplasmawavesinone,twoandthreespatialdimensions . . . . . 298
14.1.8 Wavedecay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
14.2 Weaklynonlinearionacousticwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
14.2.1 Simpleionacousticwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
14.2.2 TheKorteweg-deVriesmodelforionacousticwaves . . . . . . . . . . . . 303