Wavelets: Theorie und Anwendungen

328 Pages·1998·10.69 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Alfred Karl Louis

Wavelets
Theorie und Anwendungen
Von Prof. Dr. rer. nat. Alfred Karl Louis
Universitat SaarbrOcken
Prof. Dr. rer. nat. Peter MaaB
Universitat Potsdam
Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Andreas Rieder
Universitat SaarbrOcken
2., Oberarbeitete und erweiterte Auflage
Mit zahlreichen Abbildungen
B. G. Teubner Stuttgart 1998
Prof. Dr. rer. nat. Alfred Karl Louis
Geboren 1949 in ElversbergiSaar. Von 1968 bis 1972 Studium der Mathematik und
Physik an der Universitat SaarbrOcken, 1976 Promotion an der Universitat Mainz,
1980/81 Assistant Professor an der State University of New York at Buffalo, 1982 Habi
litation an der Universitat MOnster. Von 1983 bis 1986 Professor an der Universitat
Kaiserslautem, von 1986 bis 1990 Professor an derTechnischen Universitat Berlin, seit
1990 Professor an der Universitat des Saarlandes in SaarbrOcken.
Prof. Dr. rer. nat. Peter MaaB
Geboren 1959 in Karlsruhe. Studium der Mathematik in Karlsruhe, Cambridge (UK) und
Heidelberg (Diplom 1985). Promotion 1988 an derTU Berlin, 1990 Assistant Professor
an der Tufts University, Boston, Habilitation 1993 (Universitat SaarbrOcken). Seit 1993
Professor fOr Numerische Mathematik an der Universitat Potsdam.
Priv.-Doz. Dr. rer. nat. Andreas Rieder
Geboren 1963 in Herxheim/Pfalz, von 1982 bis 1987 Studium der Mathematik mit
Nebenfach Maschinenbau an der Uni Kaiserslautern und an der TU Berlin. 1990 Pro
motion an der TU Berlin, 1993 Feodor Lynen-Stipendiat der Alexander von Humboldt
Stiftung an der Rice University in HoustonITexas, 1997 Habilitation und Hochschul
dozent an der Universitat des Saarlandes in SaarbrOcken.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Louis, Alfred Karl:
Wavelets: Theorie und Anwendungen / von Alfred Karl Louis; Peter
MaaB ; Andreas Rieder. - 2., iiberarb. und erw. Auf!. - Stuttgart :
Teubner, 1998
(Teubner-Studienbiicher: Mathematik)
ISBN-13:978-3-519-12094-0 e-ISBN-13:978-3-322-80136-4
001: 10.1007/978-3-322-80136-4
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auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Veri ages
unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fUr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikrover
filmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1998
Vorwort zur zweiten Auflage
Die groBe Akzeptanz unseres Buches hat eine Neuauflage innerhalb kurzer Zeit notig
werden lassen. Dies werten wir als Erfolg unseres Konzepts der engen Verzahnung von
Theorie und Anwendungen.
Die zweite Auflage priisentiert sich in einem neuen Layout, von dem wir uns eine
angenehmere Lesbarkeit versprechen. Eine Vielzahl von Tippfehlern wurde korrigiert.
Wir danken allen, die uns auf solche aufmerksam gemacht haben.
Jedes der drei Kapitel endet mit Aufgaben, die eine Einlibung des Stoffes erleich
tern. Hier und da wurde die Darstellung gewisser Sachverhalte geandert sowie neue
Beispiele eingefiigt. Dies geschah unter didaktischen Gesichtspunkten. So verdeutlicht
ein Beispiel in Abschnitt 1.3.1 die Lokalitat der Frequenzauflosung durch die Wavelet
Transformation. Der Abschnitt 1.3.2 wurde neu aufgenommen. In ihm wird die Wavelet
Transformation mit der gefensterten Fourier-Transformation verglichen. Die Konstruk
tionsprinzipien orthogonaler und biorthogonaler Wavelets werden in Kapitel2 weiterge
hend erlautert, und zwar durch die explizite Berechnung von Skalierungskoeffizienten.
In Kapitel 3 wurde der Abschnitt liber die digit ale Bildkompression neu geschrieben.
Das Literaturverzeichnis wurde aktualisiert und der Index wurde erweitert.
Auf dem Gebiet der Wavelets hat in den letzen vier Jahren eine rege Forschungsakti
vitat stattgefunden. Wir erwahnen hier nur die Multiwavelets, Wavelets auf der Sphare
und das sogenannte Lifting-Prinzip, ein universales Werkzeug zur Konstruktion diskre
ter Wavelet-Transformationen. Da das vorliegende Buch einen einfiihrenden Charakter
hat, konnen wir auf diese speziellen Entwicklungen nicht eingehen. Die interessierten
Leser verweisen wir auf die folgenden Adressen im World Wide Web, die Links auf
zahlreiche Internetseiten zum Thema Wavelets bereitstellen:
http://www.math.wustl.edu/wavelet/
http://www.wavelet.org/wavelet/index.html
http://www.mat.sbg.ac.at/~uhl/wav.html
Dort findet man neueste Informationen, Diskussionsforen, Preprints und Software zum
Herunterladen.
2
Frau Dr. Martina BloB-Rieder danken wir herzlich fiir ihre Mitarbeit und ihre kon
struktiven Vorschlage, die in die Gestaltung der Neuaufiage einfiossen.
Saarbriicken und Potsdam, im Mai 1998
A.K. Louis, P. MaaB, A. Rieder
Vorwort zur ersten A uflage
Wavelets haben in den letzten zw51f Jahren eine stiirmische Entwicklung in Forschung
und Anwendungen genommen. Wie so oft war der Anfang ein ingenieursmaBiger Zu
gang zu einem Anwendungsproblem, das mit den vorhandenen Mitteln nicht zufrie
denstellend liisbar war. 1m FaIle der Wavelets war das Versagen klassischer Methoden
zur Analyse geophysikalischer Daten AnlaB, "neue" Analyseverfahren zu entwickeln.
Auch hier ist dann mit der Zeit deutlich geworden, daB die Wurzeln der Methode in
mathematische Arbeiten hineinreichen. Dieses Zusammenspiel von Anwendungen und
mathematischer Theorie hat erst den Erfolg gebracht.
Ein Nachteil der Fourier-Transformation ist das Fehlen einer Lokalisierungseigenschaft:
andert sich ein Signal an einer Stelle, so andert sich die Transformierte iiberall, ohne daB
durch bloBes Hinschauen die Stelle der Anderung gefunden werden kann. Der Grund
ist natiirlich die Verwendung der immer periodisch schwingenden trigonometrischen
Funktionen. Verwendet man dagegen raumlich begrenzte Wavelets, "kleine Wellen"
oder "Well chen" sind Versuche einer Ubersetzung ins Deutsche, so kann durch das
Verschieben eine Lokalisierung und durch Stauchen eine Frequenzaufiiisung an der ent
sprechenden Stelle erreicht werden.
Schon friih bei der Entwicklung der Ondelettes, wie die Wavelets in ihrem Ursprungs
land Frankreich genannt werden, sind sowohl die kontinuierliche als auch die diskrete
Transformation untersucht worden.
Die kontinuierliche Wavelet-Transformation kann als eine Phasenraumdarstellung in
terpretiert werden. 1hre Filter- und Approximationseigenschaften werden untersucht.
Der gruppentheoretische Zugang ermiiglicht eine einfache Verallgemeinerung etwa zur
Wavelet-Transformation in mehreren Dimensionen oder auf der Kugel. Aus diesem
Grund ist das erste Kapitel des Buches dieser kontinuierlichen Transformation gewid
met. Urn einen Einblick in die Hintergriinde zu erhalten, sollte der mathematisch in
teressierte Leser wenigstens die Abschnitte 1.1 bis 1.4 lesen.
Bei allen Anwendungen steht natiirlich die diskrete Transformation im Vordergrund.
Die Herleitungeiner schnellen Transformation, die sogar noch schneller als die schnelle
Fourier-Transformation ist, erlaubt den praktischen Einsatz der Wavelet-Transforma
tion. Verschieben und Stauchen bilden eine Gruppe, es existieren aber keine endlichen
Untergruppen, so daB eine aufwendigere Herleitung als bei der Fourier-Transformation
erforderlich ist. Theoretischer Hintergrund ist die Erzeugung einer Folge aufsteigender
Unterraume, der Multi-Skalen-Analyse. Dies ist der Gegenstand des zweiten Kapi-
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tels, in dem die wiinschenswerten Eigenschaften und deren Realisierung in einer und
mehreren Dimensionen beschrieben sind. Wer sich von der Einfachheit der Algorith
men uberzeugen will, sollte sich Abschnitt 2.3 vornehmen. Eine gezielte Anwendung
der Wavelet-Transformation erfordert wegen der Vielfalt der Wavelets allerdings einen
Einblick in die Hintergrunde, dazu ist dann Abschnitt 2.2 notig.
Das letzte Kapitel des Buches ist ganz unterschiedlichen Anwendungen gewidmet. Aus
"historischen" Grunden steht eine Datenanalyse am Anfang, Qualitatsbeurteilung und
Datenkompression bei Bildern folgen als zweidimensionale Anwendungen. Es schlieBen
sich dann die Verwendung von Wavelets bei gewohnlichen und partiellen Differential
gleichungen sowie bei Integralgleichungen und schlecht gestellten Problemen an. Der
Einsatz bei realen Daten uberzeugt von den Vorteilen und den Verwendungsmoglich
keiten der Wavelets. Die schon erwahnte sturmische Entwicklung von Theorie und
Anwendungen der Wavelets erforderte naturlich eine Auswahl, die immer von den Vor
lieben der Autoren abhangen wird.
Es bestehen mehrere Moglichkeiten, an dieses Buch heranzugehen. Wer durch Anwen
dungsprobleme motiviert ist, kann einen Zugang im dritten Kapitel finden, die schnelle
Wavelet-Transformation ist im Abschnitt 2.3 nachzulesen, Ansatze flir die Auswahl des
einzusetzenden Wavelets befinden sich in den anderen oben angegebenen Abschnitten.
Zum Selbststudium oder zu einer Vorlesung ist dieser Weg ebenfalls geeignet. Eine Vor
lesung im Bereich der Mathematik wird im allgemeinen dem Weg des Buches folgen
und den AbschluB in einem der Anwendungsbeispiele finden.
Das vorliegende Buch geht auf eine Zeit zuruck, in der die Autoren an der Techni
schen Universitat in Berlin tatig waren. Jeweils einjahrige USA-Aufenthalte von zwei
der Autoren bei dortigen Forschergruppen haben die Arbeit an dem Buch zwar nicht
beschleunigt, aber den Inhalt positiv beeinfluBt.
An dieser Stelle solI allen gedankt werden, die zum Entstehen dieses Buches beigetra
gen haben. Besonderer Dank gilt einer Kollegin, die im Stil des Ratsels einer groBen
Wochenzeitschrift im Vorwort versteckt genannt ist.
Saarbrucken und Potsdam, im September 1994
A.K. Louis, P. MaaB, A. Rieder
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 1
Notationen 9
Einfiihrung 13
1 Die kontinuierliche Wavelet-Transformation 17
1.1 Definition und elementare Eigenschaften 17
1.2 Affine Operatoren . 26
1.3 Filtereigenschaften 28
1.3.1 Phasenraumdarstellung. 30
1.3.2 Wavelet-Transformation und gefensterte Fourier-Transformation 36
1.4 Approximationseigenschaften .............. . 38
1.4.1 Asymptotisches Verhalten im Frequenzparameter 39
1.4.2 Bemerkungen zur Ordnung von Wavelets 45
1.5 Abklingverhalten ........ . 48
1.6 Gruppentheoretische Grundlagen 51
1.6.1 Die Orthogonalitatsrelation fUr lokalkompakte Gruppen . 52
1.6.2 Die Links-Transformationen . . . . . . . . . . . 56
1.6.2.1 Die Wavelet-Transformation auf L2(IR) 59
1.6.2.2 Die gefensterte Fourier-Transformation 62
1.6.2.3 Die Wavelet-Transformation auf L2(IR2) 64
1. 7 Die Wavelet-Transformation auf Sobolev-Raumen 74
Aufgaben ........................ . 83
6 INHALTSVERZEICHNIS
2 Die diskrete Wavelet-Transformation 87
2.1 Wavelet-Frames .......... 87
2.1.1 EinfUhrung und Definition 87
2.1.1.1 Beispiele .. 105
2.1.2 Der Frame-Operator 106
2.2 Multi-Skalen-Analyse . . .. 110
2.2.1 Eindimensionale Multi-Skalen-Analyse 110
2.2.2 Mehrdimensionale Multi-Skalen-Analyse 128
2.3 Schnelle Wavelet-Transformation ... 132
2.4 Orthogonale eindimensionale Wavelets 142
2.4.1 Spline-Wavelets . . . . . . . . . 143
2.4.2 Lasung von Skalierungsgleichungen 145
2.4.3 Orthogonale Wavelets mit kompaktem Trager 165
2.4.4 Eigenschaften der Daubechies-Wavelets 170
2.4.5 Biorthogonale Wavelets. . . . 184
2.4.6 OperatorangepaBte Wavelets . 191
2.4.6.1 Wavelet-Vaguelette-Zerlegungen . 193
2.4.6.2 Wavelet-Wavelet-Zerlegungen 198
2.4.7 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . 202
2.4.7.1 Wavelets und Ableitungen 202
2.4.7.2 Wavelets auf dem Intervall . 206
2.4.7.3 Coiflets ......... 209
2.5 Orthogonale zweidimensionale Wavelets. 210
2.5.1 Tensor-Wavelets ... 214
2.5.2 Induzierte Wavelets . 215
2.5.3 Nicht-separable Wavelets fUr das Quincunx-Gitter 218
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 233
3 Anwendungen der Wavelet-Transformation 237
3.1 Wavelet-Analyse eindimensionaler Signale 237
3.1.1 Vorbereitungen ...... 237
3.1.2 EKG-Analyse ....... 238
3.2 Qualitatsbeurteilung von Gewebe 241
INHALTSVERZEICHNIS 7
3.2.1 EinfUhrung .............. . 241
3.2.2 Qualitatsmafie, Anisotropie und Beispiele . 243
3.3 Datenkompression in der digitalen Bildverarbeitung 246
3.4 Regularisierung Inverser Probleme . 257
3.4.1 Schlecht gestellte Probleme 257
3.4.2 Wavelet-Galerkin-Verfahren 259
3.4.2.1 Approximation in Sobolev-Raumen 260
3.4.2.2 Ein numerisches Beispiel . 263
3.4.3 Mollifier-Methoden ........ . 263
3.5 Wavelet-Galerkin-Methoden fUr Randwertprobleme 266
3.5.1 Zwei-Punkt-Randwertprobleme und ihre Diskretisierung durch
Galerkin-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3.5.2 Wavelet-Galerkin-Methoden fUr Randwertprobleme 270
3.5.2.1 Die Wavelet-Ansatzraume .. 270
3.5.2.2 Das lineare Gleichungssystem 278
3.6 Schwarz-Iterationen .............. . 284
3.6.1 Wavelet-Galerkin-Diskretisierung des Modellproblems 284
3.6.2 Eine additive Schwarz-Iteration 288
3.6.3 Eine Abschatzung ....... . 295
3.6.4 Verallgemeinerung der Iteration auf Wavelet-Pakete-Raume . 298
3.7 Ausblick auf zweidimensionale Randwertprobleme . . 304
3.7.1 Ein Penalisierungs- und Einbettungsverfahren 304
3.7.2 Numerische Aspekte und Experimente 306
Aufgaben 311
Anhang: Fourier-Transformation 313
Literaturverzeichnis 317
Index 327
Notationen
IN,INo Menge der natiirlichen Zahlen, lNo = IN U {O}
7l Menge der ganzen Zahlen
IR Korper der reellen Zahlen
IR>o = ]0, 00[, IR~o = [O,oo[
<V Korper der komplexen Zahlen
V(lR) , 1 :::; p < 00 V(IR) = {J: IR---+<VI fIRII(x)/Pdx < oo}
LOO(IR) Banachraum der im wesentlichen beschrankten Funktionen
Ck(IR) Raum der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen tiber IR
C~(lR) Raum der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen mit
kompaktem Trager
Raum der Funktionen I E Ck(IR) mit I(k) E C"(IR),
O < a < 1 , d .h. sup If{kl(Ixx)--fl{ak l(y)l < 00.
z,yER Y
x,,"
CO'(IR) Raum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit
kompaktem Trager
S(IR) Raum der unendlich oft differenzierbaren, schnell abfallen
den Funktionen tiber IR (temperierte Funktionen, Schwartz
Raum)
S' (lR) Raum der temperierten Distributionen (Dualraum v. S(IR))
'D'(lR) Raum der Distributionen (Dualraum v. CO'(IR) )
H"(lR) Sobolev-Raum tiber IR der Ordnung a E IR,
H"(IR) = {J E S' 1 (1 + 1 . 12)"/2 J(-) E L2(IR)}