Wavelets: Die Mathematik der kleinen Wellen

299 Pages·1997·6.803 MB·German

by  Barbara Burke Hubbard (auth.)

Barbara Burke Hubbard
wavelets
Die Mathematik
der kleinen Wellen
Aus dem Amerikanischen von Michael Basler
Springer Basel AG
Die franzosische Originalausgabe erschien 1995 unter dem Titel "Ondes et Ondelettes" bei
Pour la Science SARL, Paris. Die amerikanische Originalausgabe erschien 1996 unter dem
Titel "The World According to Wavelets: The Story of a Mathematical Technique in the Ma
king" bei AK Peters, Ltd., Wellesley, MA.
© Pour la Science - Paris, 1995
Die deutsche Obersetzung folgt der amerikanischen Ausgabe unter Berticksichtigung der
franzosischen Ausgabe.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Hubbard, Barbara Burke:
Wavelets: Die Mathematik der kleinen WellenlBarbara Burke
Hubbard. Aus dem Amerikan. von Michael Basler.-Basel;Boston;
Berlin: Birkhiiuser, 1997
Einheitssacht.: The world according to wavelets <dt.>
Franz. Ausg. u.d.T.: Burke Hubbard, Barbara: Ondes et Ondelettes
ISBN 978-3-0348-6095-6 ISBN 978-3-0348-6094-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-6094-9
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschtitzt. Die dadurch begrtindeten Rechte, insbesondere
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© 1997 Springer Basel AG
Ursprtinglich erschienen bei Birkhliuser Verlag 1997.
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1997
Umschlaggestaltung: WSP Design, Heidelberg
Gedruckt auf siiurefreiem Papier, hergestellt aus chlorfrei gebleichtem Zellstoff. 00
987654321
Inhaltsverzeichnis
An den Leser 11
Danksagungen 17
1 Die Fourier-Analyse: Ein Poem verandert die Welt 21
1.1 Ein mathematisches Poem . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Eine Horde von Funktionen .. . . . . . . . . . 25
1.3 Mathematik: und Deutung von N aturerscheinungen 29
1.4 Mathematik und Gemeinwohl . . . . . . . 32
1.5 Sampling-Theorem und Digitaltechnologie 35
2 Auf dem Weg zu neuen Verfahren 39
2.1 Eine Verzerrung der Realitat . . . . . . . . . . . . . . .. 40
2.2 Die gefensterte Fourier-Analyse: Wo ist die verlorene Zeit? 42
2.3 1m Gesprach mit Fremdlingen . . . . . . . . . . . . . .. 43
2.4 Die Morletschen Wavelets konstanter Form - da kann etwas
nicht stimmen . . . . . . . . . 45
2.5 Der Fehler ist exakt null . .. ................ 48
2.6 Ein mathematisches Mikroskop .............. 50
2.7 Auf der Suche nach der OrthogonalWit, oder: Tacitus contra
Cicero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53
3 Eine neue Sprache - neue Regeln 59
3.1 Mutter oder Amobe? ..... 63
3.2 Die schnelle Wavelet-Transformation ..... . 64
3.3 Die Daubechies-Wavelets - ein Ausweg aus dem
Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4 Die Heisenbergsche Unscharferelation ..... . 72
6 I nhaltsverzeichnis
4 Anwendungen 77
4.1 Die Konstruktionsvorschrift fur Fraktale 80
4.2 Rauschunterdriickung mit Wavelets - Unkraut jaten, ohne
Ganseblumchen auszureiBen . . . . . . . . . . . . . . .. 81
4.3 Artefakte und andere Unannehmlichkeiten: Wie man sich
selbst ein Bein stellt . . . . . . . . . . . 87
4.4 Ein MaS fur die Information . . . . . . . 90
4.5 Wavelets und Komprimierungsverfahren . 95
4.6 Rechentechnische Vereinfachungen 97
4.7 Wavelets und Turbulenz . . . . . . . . . 98
4.8 Prahistorische Zoologie ....... . . 99
4.9 Sinnlich oder streng, kontinuierlich oder diskret 101
5 Und was kommt danach? 103
5.1 Wavelet-Pakete.... 105
5.2 Malvar-Wavelets . . . 105
5.3 Das Verfahren der optimalen Basis - wie man den richtigen
Schraubenzieher findet . . . . . . . . . 108
5.4 Fingerabdriicke und Ungarische Tanze . 111
5.5 Das Verfahren der optimalen Anpassung 114
5.6 Ein Blick in die Zukunft ........ . 117
6 Die Fourier-Transformation 119
6.1 Eine Bitte urn Nachsicht 119
6.2 Was ist eine Fourier-Transformation? 122
6.3 Die Fourier-Reihe ..... 123
6.4 Amplitude und Phase. . . . 125
6.5 Die Fourier-Transformation 127
6.6 Komplexe Zahlen ..... 127
6.7 Ein Wort zur Schreibweise: f oder f(x) 129
7 Zur Konvergenz von Fourier-Reihen und zur Stabilitat des
Sonnensystems 131
7.1 Uberlegungen zum Konvergenzbegriff . . . . . . 133
7.2 Divergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.3 Kann der Saturn unser Sonnensystem verlassen? . 136
7.4 Ein imaginares Bankkonto 137
7.5 Das KAM-Theorem .............. . 140
Inhaltsverzeichnis 7
8 Die Integraldarstellung der Fourier-Koeffizienten 143
9 Die schnelle Fourier-Transformation 147
9.1 Die langsame Fourier-Transformation 148
9.2 Eine kiirzere Formulierung durch Matrizen 150
9.3 Eine raffinierte Faktorisierung ..... . 151
10 Die kontinuierliche Wavelet-Transformation 155
10.1 Diskrete Wavelet -Transformationen 156
11 Orthogonalitat und Skalarprodukt 159
11.1 Funktionen als Punkte eines unendlich-dimensionalen
Raumes .................... 160
11.2 Skalarprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.3 Skalarprodukte und Entwicklungskoeffizienten 163
11.4 Und was wird aus den Integralen? 165
11.5 Nichtorthogonale Basen . . . . . . . . . . 167
11.6 Weiteres zur Redundanz . . . . . . . . . . 169
11.7 Skalarprodukte komplexwertiger Vektoren . 170
12 Mehrfachauflosung 171
12.1 Filter . . . . . 172
12.2 Zur Definition der Mehrfachauftosung ... 175
12.3 Zur Konstruktion einer Mehrfachauftosung 180
12.4 Die Haar-Mehrfachauftosung ...... . 183
12.5 Zur Konstruktion der Skalierungsfunktion 183
12.6 Wie man Wavelets erzeugt ...... . 184
12.7 Die Skalierungsfunktion als Vater .. . 186
12.8 Wavelet-Transformierte ohne Wavelets? 187
13 Die schnelle Wavelet-Transformation 189
13.1 Die Haar-Wavelet-Transformation 191
13.2 Faltungen ........... . 193
13.3 Faltung und Wavelet-Transformation. 194
13.4 Kompliziertere Wavelets ...... . 196
13.5 FFT oder FWT - welche ist schneller? . 197
14 Der Burt-Adelsonsche Pyramiden-Algorithmus 199
15 Multiwavelets 201
8 Inhaltsverzeichnis
16 Heisenbergsche Unscharferelation und Zeit-Frequenz-
Zerlegungen 203
16.1 Zeit-Frequenz-Darstellungen . . . . . . . . . . . . . 206
17 Wahrscheinlichkeit, Heisenbergsche Unscharferelation
und Quantenmechanik 209
17.1 Die Sprache der Wahrscheinlichkeiten 210
17.2 Die Wahrscheinlichkeit als Integral 212
17.3 Die Quantenmechanik . . . . . 215
17.4 Die Unscharferelation . . . . . 217
17.5 Quantenmechanik im Ortsraum 218
18 Eine Reise durch die Funktionenraume - Wavelets und
reine Mathematik 221
18.1 Das Lebesgue-Integral 222
18.2 Distributionen . . 224
18.3 Funktionenraume. . . 225
19 Wavelets und Sehen: ein anderer Zugang 229
19.1 Wie "Wavelets" sehen . . 230
19.2 Warum gerade Wavelets? . . . . . . 233
19.3 Welche Wavelets? . . . . . . . . . . 234
19.4 Steuerfilter und verschiebbare Transformationen . 235
20 Welche Wavelets? 237
20.1 Das Darstellungssystem 238
20.2 Regularitat . . . . . . . 240
20.3 Verschwindende Momente 241
20.4 Frequenzselektivitat . . . 242
21 Ein Uberblick iiber die Transformationen 243
21.1 Die Fourier-Transformation .. 243
21.2 Die gefensterte Fourier-Analyse . . . . 244
21.3 Die Wavelet-Transformation . . . . . . 244
21.4 Malvar-Wavelets (adaptiv gefensterte Fourier-Analyse) 245
21.5 Wavelet-Pakete . . . . 245
21.6 Optimale Anpassung . . . 246
22 Wavelets, Sprache und Musik 247
Inhaltsverzeichnis 9
23 Das Verfahren der optimalen Basis 249
Anhang
A Mathematische Symbole 255
B Einige elementare trigonometrische Relationen 256
B.l Die Graphen von Sinus und Kosinus 257
B.2 Die komplexe Zahlenebene 258
C Integrale 260
D Die verschiedenen Konventionen der Fourier-Transformation 265
E Ein Beweis des Sampling-Theorems 267
FEin Beweis der Heisenbergschen Unscharferelation 270
G Die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion 274
G.l Die Fourier-Reihe einer gegen unendlich abfallenden
Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
H Ein Beispiel fiir eine Orthonormalb asis und ein Beweis des
Fourierschen Satzes 279
I Literatur zu Wavelets 284
1.1 Fourier-Biographien 284
1.2 Bticher tiber Wavelets 284
J Wavelet-Software und elektronische Medien 289
J.l Das Wavelet-Digest .......... . 289
J.2 Wavelet Packet Laboratory for Windows. 289
J.3 S+WAVELETS ..... 290
J.4 Die Numerical Recipes. . . . . . . . . 291
J.5 WaveTool .............. . 291
J.6 Wavelet-Software tiber Anonymes FTP 291
Literaturverzeichnis 293
Stichwortverzeichnis 301
An den Leser
Ais ich im Alter von vier oder fUnf Jahren meine Mutter fragte, woher die
Babies kommen, schien mir ihre Antwort so absurd, daB ich ihr nieht glau
ben wollte, obwohl sie mieh noch nie belogen hatte. Zuweilen stellte sich
beim Schreiben dieses Buches das gleiche GefUhl bei mir ein: Dinge, die
den Fachleuten vollig normal, ja trivial erscheinen, sind fUr AuBenstehende
kaum einzusehen. Ich habe in diesem Buch den Versuch unternommen, sie
als tiberraschend und dennoch glaubwtirdig darzustellen.
Das Projekt geht auf eine Anfrage des Chefredakteurs der National Aca
demy Press zurUck, der mich einlud, zu einem Ein Positron namens Pris
cilla betitelten Buch tiber moderne Forschung ein Kapitel tiber Wavelets bei
zusteuern. Zu diesem Zeitpunkt war mir die Fourier-Analyse ganzlich un
bekannt, und von Wavelets hatte ich nie zuvor gehort; meine einzige - al
lerdings nicht vernachlassigbare - mathematische Qualifikation war mein
Mann, der als Mathematiker an der Cornell-Universitat arbeitet. An der High
School hatte ich keine Infinitesimalrechnung, da ieh das AbschluBjahr bei
meinem in Moskau als Korrespondent akkreditierten Vater verbrachte. Auf
dem College bin ieh allen Kursen tiber Mathematik gefiissentlieh aus dem
Wege gegangen.
Wohl etwas vorschnell stimmte ich dem Angebot zu und machte mich
auf einen Arbeitsabschnitt gefaBt, der genauso begeisternd wie zermtirbend
werden sollte. Ich begann mir Gedanken zu machen, wie man dem Leser ma
thematische Ideen nahebringen konnte. Die Mathematiker sagen, daB Ma
thematik keine Zuschauer-Sportart sei: Mathematik kann man nicht verste
hen oder gar Freude an ihr haben, ohne sie aktiv zu betreiben. Wenn Mathe
matiker versuchen, Laien ihre Ideen zu erklaren, lassen die Probleme meist
nicht lange auf sieh warten. "Die Sache wird immer nebuloset', klagte Ro
bert Strichartz (Cornell) beim Versuch, mir die Funktionenraume zu erlau
tern, "wenn ich mich an die Tatsachen halte, weiB ich nicht, was ich sagen
soll, und sobald ich etwas sage, entferne ich mich zusehends von der Wahr
heit."
Sprechen, ohne verstanden zu werden, macht keinen Sinn, und Ltigen
ist ohnehin peinlich. Wenn also Mathematiker tiberhaupt den Mut aufbrin
gen, sich an Laien zu wenden, geben sie meist bald wieder auf. Es ware
doch wirklich schade, wenn dem nieht abzuhelfen ware! Sieher gibt es eine
Grenze daftir, was jemand ohne entsprechende mathematische Vorbildung
verstehen kann; ich bin aber tiberzeugt, daB wir von dieser Grenze noch weit
entfernt sind. Und in der Mathematik gibt es durchaus Ideen, die es wert sind,