Wahrscheinlichkeitstheorie German

613 Pages·2006·3.13 MB·German

by  Achim Klenke

Klenke
Wahrscheinlichkeitstheorie
Achim Klenke
Wahrscheinlichkeits-
theorie
Mit34Abbildungen
123
Prof.Dr.AchimKlenke
InstitutfürMathematik
JohannesGutenberg-UniversitätMainz
Staudingerweg9
55099Mainz,Deutschland
e-mail:[email protected]
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MathematicsSubjectClassification(2000):60-01,28-01,60G05,60J10,60H05
ISBN-10 3-540-25545-1 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN-13 978-3-540-25545-1 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Vorwort
Das vorliegende Buch basiert auf den vierstu¨ndigen Vorlesungen Stochastik I und
Stochastik II, die ich in den vergangenen Jahren an der Universita¨t zu Ko¨ln und
an der Johannes Gutenberg-Universita¨t in Mainz gehalten habe, und die an eine
Vorlesung u¨ber elementare Stochastik anschließen. Eine gewisse Vertrautheit mit
den Ideen der elementaren Stochastik wird zwar nicht formal vorausgesetzt, dem
Leserjedochempfohlen.
Ziel dieses Buches ist es, die zentralen Objekte und Konzepte der Wahrschein-
lichkeitstheorievorzustellen:Zufallsvariablen,Unabha¨ngigkeit,Gesetzedergroßen
Zahl und zentrale Grenzwertsa¨tze, Martingale, Austauschbarkeit und unbegrenz-
teTeilbarkeit,Markovkettenund-prozessesowiedenZusammenhangmitderdis-
kretenPotentialtheorie,Kopplung,Ergodentheorie,dieBrown’scheBewegungund
das Itoˆ-Integral (nebst stochastischen Differentialgleichungen), den Poisson’schen
Punktprozess, Perkolation und die Theorie der großen Abweichungen, sowie sto-
chastischeDifferentialgleichungen.
Die Maß- und Integrationstheorie wird entwickelt, soweit sie fu¨r das Versta¨ndnis
und die Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie notwendig ist: Konstruktion
von Maßen und Integralen, Satz von Radon-Nikodym und regula¨re bedingte Ver-
teilungen, Konvergenzsa¨tze fu¨r Funktionen (Lebesgue) und Maße (Prohorov) und
KonstruktionvonMaßeninProduktra¨umen.DieeinzelnenmaßtheoretischenKapi-
telkommennichtalsBlockamAnfangdesBuches,obwohlsiesogeschriebensind,
dass das mo¨glich wa¨re, na¨mlich unabha¨ngig von den wahrscheinlichkeitstheoreti-
schen Kapiteln, sondern abwechselnd mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Kapi-
teln,diesogebautsind,dasssiemitdengeradezurVerfu¨gungstehendenBegriffen
auskommen (beispielsweise kann man Perkolation studieren, ohne einen Integral-
begriffanderHandzuhaben).AlseinzigeAusnahmewirddiesystematischeKon-
struktion von unabha¨ngigen Zufallsvariablen erst im 14ten Kapitel nachgeliefert.
IchversprechemirvondiesemVorgeheneineAuflockerungdesmaßtheoretischen
Stoffes, der von manchen als etwas trocken empfunden wird. Letztlich ist dieses
genausoeineGeschmacksfragewiediejenige,welchesderbeidenThemenalslinke
undwelchesalsrechteHandanzusehenist.
Wer eine maßtheoretische Grundbildung hat, kann insbesondere das erste Kapitel
beimerstenLesenzuna¨chstu¨berspringenundbrauchteventuellnurEinzelnesdarin
nachzuschlagen.DasGleichegiltfu¨rdasvierteKapitel(Integrationstheorie).
VI Vorwort
In den ersten acht Kapiteln wird das Fundament gelegt, das in allen weiteren Ka-
pitelnbeno¨tigtwird.Danachko¨nnendiesiebeninhaltlichenEinheitenvonKapitel
9–12,13,14,15–16,17–19,20,und23einigermaßenunabha¨ngigvoneinanderge-
lesen werden. Das Kapitel zur Brown’schen Bewegung (21) greift auf die Kapitel
9–15 zuru¨ck. Danach sind unabha¨ngig voneinander die Blo¨cke 22, 24 und 25–26
lesbar.
Ichdankealldenjenigen,diedasManuskriptgelesenundzahlreicheVerbesserungs-
vorschla¨geundKorrekturenangebrachthaben:DenMitarbeiternundStudentenRo-
landAlkemper,DirkBru¨ggemann,AnneEisenbu¨rger,OrtwinLorenz,MarioOeler,
Marcus Scho¨lpen, den Kollegen Wolfgang Bu¨hler und Wolfgang Ko¨nig sowie be-
sonders dem Mu¨nchener Kollegen Hans-Otto Georgii. Fu¨r weitere Hinweise auf
Fehlerunter [email protected] wa¨reichdankbar.
Außerdemmo¨chteichmichbeimSpringer-Verlagfu¨rdieguteZusammenarbeitbe-
danken.
Mainz, AchimKlenke
November2005
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenderMaßtheorie .................................. 1
1.1 Mengensysteme............................................ 1
1.2 Mengenfunktionen ......................................... 11
1.3 FortsetzungvonMaßen ..................................... 17
1.4 MessbareAbbildungen...................................... 33
1.5 Zufallsvariablen............................................ 42
2 Unabha¨ngigkeit............................................. 47
2.1 Unabha¨ngigkeitvonEreignissen .............................. 47
2.2 Unabha¨ngigkeitvonZufallsvariablen .......................... 54
2.3 Kolmogorov’sches0-1Gesetz ................................ 61
2.4 Beispiel:Perkolation........................................ 64
3 Erzeugendenfunktion ........................................ 75
3.1 DefinitionundBeispiele..................................... 75
3.2 Poisson-Approximation ..................................... 78
3.3 Verzweigungsprozesse ...................................... 80
4 DasIntegral ................................................ 83
4.1 KonstruktionundeinfacheEigenschaften ...................... 83
4.2 MonotoneKonvergenzundLemmavonFatou .................. 91
4.3 Lebesgue-IntegralversusRiemann-Integral..................... 93
5 MomenteundGesetzederGroßenZahl......................... 97
5.1 Momente ................................................. 97
5.2 SchwachesGesetzderGroßenZahl ...........................104
VIII Inhaltsverzeichnis
5.3 StarkesGesetzderGroßenZahl ..............................107
5.4 KonvergenzrateimstarkenGGZ ..............................115
5.5 DerPoissonprozess.........................................118
6 Konvergenzsa¨tze ............................................ 125
6.1 Fast-u¨berall-undstochastischeKonvergenz.....................125
6.2 GleichgradigeIntegrierbarkeit................................130
6.3 VertauschungvonIntegralundAbleitung.......................136
7 Lp-Ra¨umeundSatzvonRadon-Nikodym....................... 139
7.1 Definitionen ...............................................139
7.2 UngleichungenundSatzvonFischer-Riesz.....................141
7.3 Hilbertra¨ume ..............................................147
7.4 Lebesgue’scherZerlegungssatz ...............................150
7.5 Erga¨nzung:SignierteMaße ..................................154
7.6 Erga¨nzung:Dualra¨ume......................................160
8 BedingteErwartungen ....................................... 165
8.1 ElementarebedingteWahrscheinlichkeiten .....................165
8.2 BedingteErwartungen ......................................168
8.3 Regula¨reVersionderbedingtenVerteilung .....................175
9 Martingale ................................................. 183
9.1 Prozesse,Filtrationen,Stoppzeiten ............................183
9.2 Martingale ................................................188
9.3 DiskretesstochastischesIntegral..............................192
9.4 DiskreterMartingaldarstellungssatzundCRRModell ............194
10 OptionalSamplingSa¨tze ..................................... 199
10.1 Doob-ZerlegungundquadratischeVariation ....................199
10.2 OptionalSamplingundOptionalStopping......................203
10.3 GleichgradigeIntegrierbarkeitundOptionalSampling............207
11 Martingalkonvergenzsa¨tzeundAnwendungen ................... 209
Inhaltsverzeichnis IX
11.1 DieDoob’scheUngleichung .................................209
11.2 Martingalkonvergenzsa¨tze ...................................211
11.3 Beispiel:Verzweigungsprozess ...............................219
12 Ru¨ckwa¨rtsmartingaleundAustauschbarkeit..................... 221
12.1 AustauschbareFamilienvonZufallsvariablen ...................221
12.2 Ru¨ckwa¨rtsmartingale .......................................226
12.3 SatzvondeFinetti..........................................228
13 KonvergenzvonMaßen ...................................... 233
13.1 WiederholungTopologie ....................................233
13.2 SchwacheundvageKonvergenz ..............................240
13.3 DerSatzvonProhorov ......................................248
13.4 Anwendung:SatzvondeFinetti–andersangeschaut.............257
14 W-MaßeaufProduktra¨umen ................................. 259
14.1 Produktra¨ume..............................................260
14.2 EndlicheProdukteundU¨bergangskerne........................263
14.3 SatzvonIonescu-TulceaundProjektiveFamilien................272
14.4 Markov’scheHalbgruppen ...................................276
15 CharakteristischeFunktionundZentralerGrenzwertsatz ......... 281
15.1 TrennendeFunktionenklassen ................................281
15.2 CharakteristischeFunktionen:Beispiele........................288
15.3 DerLe´vy’scheStetigkeitssatz ................................294
15.4 CharakteristischeFunktionundMomente ......................299
15.5 DerZentraleGrenzwertsatz ..................................304
15.6 MehrdimensionalerZentralerGrenzwertsatz....................312
16 UnbegrenztteilbareVerteilungen .............................. 315
16.1 DieLe´vy-KhinchinFormel ..................................315
16.2 StabileVerteilungen ........................................327
17 Markovketten .............................................. 333
X Inhaltsverzeichnis
17.1 BegriffsbildungundKonstruktion.............................333
17.2 DiskreteMarkovketten,Beispiele .............................340
17.3 DiskreteMarkovprozesseinstetigerZeit .......................344
17.4 DiskreteMarkovketten,RekurrenzundTransienz................349
17.5 Anwendung:RekurrenzundTransienzvonIrrfahrten ............353
17.6 InvarianteVerteilungen......................................360
18 KonvergenzvonMarkovketten ................................ 365
18.1 Periodizita¨tvonMarkovketten................................365
18.2 KopplungundKonvergenzsatz ...............................369
18.3 MarkovkettenMonteCarloMethode ..........................376
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit..................................383
19 MarkovkettenundelektrischeNetzwerke ....................... 389
19.1 HarmonischeFunktionen ....................................389
19.2 ReversibleMarkovketten ....................................392
19.3 ElektrischeNetzwerke ......................................393
19.4 RekurrenzundTransienz ....................................399
19.5 Netzwerkreduktion .........................................405
19.6 Irrfahrtinzufa¨lligerUmgebung...............................412
20 Ergodentheorie ............................................. 415
20.1 Begriffsbildung ............................................415
20.2 Ergodensa¨tze ..............................................418
20.3 Beispiele..................................................421
20.4 Anwendung:RekurrenzvonIrrfahrten .........................423
20.5 Mischung .................................................426
21 DieBrown’scheBewegung.................................... 429
21.1 StetigeModifikationen ......................................429
21.2 KonstruktionundPfadeigenschaften...........................436
21.3 StarkeMarkoveigenschaft ...................................441
21.4 Erga¨nzung:FellerProzesse ..................................444
Inhaltsverzeichnis XI
21.5 KonstruktiondurchL2-Approximation ........................447
21.6 DerRaumC([0, )) .......................................451
∞
21.7 KonvergenzvonW-MaßenaufC([0, )) ......................453
∞
21.8 SatzvonDonsker...........................................456
21.9 PfadweiseKonvergenzvonVerzweigungsprozessen .............460
∗
21.10QuadratischeVariationundlokaleMartingale...................465
22 GesetzvomiteriertenLogarithmus............................. 477
22.1 IterierterLogarithmusfu¨rdieBrown’scheBewegung.............477
22.2 Skorohod’scherEinbettungssatz ..............................480
22.3 SatzvonHartman-Wintner...................................486
23 GroßeAbweichungen ........................................ 489
23.1 SatzvonCrame´r ...........................................490
23.2 PrinzipdergroßenAbweichungen ............................494
23.3 SatzvonSanov ............................................498
23.4 Varadhan’schesLemmaundFreieEnergie......................502
24 DerPoisson’schePunktprozess ................................ 509
24.1 Zufa¨lligeMaße ............................................509
24.2 EigenschaftendesPoisson’schenPunktprozesses ................513
24.3 DiePoisson-Dirichlet-Verteilung .............................519
∗
25 DasItoˆ-Integral............................................. 527
25.1 DasItoˆ-Integralbezu¨glichderBrown’schenBewegung ...........527
25.2 Itoˆ-Integralbezu¨glichDiffusionen.............................535
25.3 DieItoˆ-Formel.............................................538
25.4 Dirichlet-ProblemundBrown’scheBewegung ..................546
25.5 RekurrenzundTransienzderBrown’schenBewegung............548
26 StochastischeDifferentialgleichungen .......................... 551
26.1 StarkeLo¨sungen ...........................................551
26.2 SchwacheLo¨sungenundMartingalproblem ....................560
26.3 EindeutigkeitschwacherLo¨sungenviaDualita¨t .................567