Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung PDF
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A.A.BOROWKOW WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE MATHEMATISCHE REIHE BAND 53 LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN A. A. BOROWKOW WAHRSCHEINLICHKEITS THEORIE EINE EINFÜHRUNG In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. PETER FRANKEN 1976 SPRINGER BASEL AG A. A. BOPOBROB Hypc Teopnn BepOHTHOCTeiI Erschienen im Verlag Nauka, Moskau Deutsche Übersetzung: Dr. Egmar Rödel Dipl.-Math. Hans Kühne CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Borovkov, A1eksandr A. Wahrscheinlichkeitstheorie: e. Einf.jA. A. Borowkow. In dt. Sprache hrgg. von Peter Franken. (Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Math. Reihe Bd. 53) Einheitssacht. : Kurs teorii verojatnostej <dt.). Nachdruck verboten Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten © Springer Basel AG 1976 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1976 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1976 ISBN 978-3-0348-5498-6 ISBN 978-3-0348-5497-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5497-9 VORWORT DES HERAUSGEBERS Der Autor des vorliegenden Buches, korrespondierendes Mitglied der Akade mie der Wissenschaften der UdSSR und Professor an der Nowosibirsker Staat lichen Universität, A. A. BORoWKow, ist ein international bekannter Vertreter der sowjetischen wahrscheinlichkeitstheoretischen Schule. Das auf Erfahrungen aus langjähriger Lehrtätigkeit beruhende Buch schließt eine empfindliche Lücke im Angebot an mathematischen Hochschullehrbüchern. Die ersten sieben Kapitel des Buches entsprechen sehr gut den verbindlichen Vorstellungen über den Aufbau der obligatorischen Grundvorlesung Wahr scheinlichkeitstheorie für Studenten der Mathematik an den Hochschulen und Universitäten der Deutschen Demokratischen Republik. Das einzige in der DDR bisher erschienene Buch von A. RENYI, das diesen Anforderungen genügt, ist für den Anfänger zu umfangreich. Die Darstellung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie basiert, den heute allgemein anerkannten Prinzipien gemäß, auf der Verwendung der Maß und Integrationstheorie. Das erforderliche Minimum an Kenntnissen auf diesem Gebiet wird bereitgestellt. Die Maß- und Integrationstheorie erscheint jedoch im Buch als das, was sie für Wahrscheinlichkeitstheoretiker wirklich ist, nämlich ein Hilfsmittel. Das Hauptanliegen besteht in der Vermittlung wahrscheinlich keitstheoretischer Kenntnisse und Denkweisen. Hervorzuheben sind die kurzen und eleganten Beweise. Die Beispiele sind so ausgewählt, daß sie den Leser auf das Wesentliche der vorangehenden Begriffe und Sätze orientieren. Der Leser wird sehr schnell an Sachver halte herangeführt, die gewöhnlich den Spezialvorlesungen vorbehalten wer den (z. B. W ALDsche Identität, lokale Grenzwertsätze, stabile Verteilungen, Geschwindigkeitsabschätzungen, Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen, Erneuerungstheorie, bedingter Erwartungswert). Bemerkenswert ist die Auf nahme des Kapitels über Faktorisierungsidentitäten, durch das dem Leser der Einblick in einige höchst aktuelle Untersuchungsmethoden vermittelt wird. Die bekannten Verteilungstypen und ihre numerischen Charakteristika wer den recht kurz behandelt. Dem Anfänger werden diesbezüglich die Lehrbücher von B. W. GNEDENKO, M. FISZ und A. RENYI empfohlen. Professor BORoWKow hat freundlicherweise alle inzwischen entstandenen Änderungen und Ergänzungen für die DDR-Ausgabe zur Verfügung gestellt. Es handelt sich dabei um eine Vielzahl kleiner Verbesserungen der Beweise und VI Vorwort des Herausgebers der inhaltlichen Erläuterungen sowie um neue Beispiele, die die Darstellung des Stoffes auflockern. Daneben gibt es eine Reihe umfangreicher und grundlegender Änderungen: Das Kapitel 5 enthält eine sehr schöne Darstellung des Grenzwertsatzes von POISSON mit der dazugehörigen Geschwindigkeitsabschätzung. Wesentliche Änderungen haben die Kapitel 6 und 7 erfahren, wobei solche Fragen wie Ge schwindigkeitsabschätzungen und Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen neu aufgenommen wurden. Neu geschrieben wurden die Abschnitte über Kon vergenzarten, charakteristische Funktionen und stabile Verteilungen. Es wurde ein ganzes Kapitel 8 über Erneuerungstheorie neu aufgenommen. Auf seiner Grundlage gibt es eine Reihe wesentlicher Änderungen in den Kapiteln 9 und 11. Insgesamt hat das Buch durch die erwähnten Veränderungen didaktisch und inhaltlich sehr gewonnen. Die vorliegende Fassung entspricht im wesentlichen der in Vorbereitung befindlichen 2. SU- Auflage des Buches. Zwischen Autor und Herausgeber gab es während der Vorbereitung der DDR-Ausgabe eine fruchtbare Zusammenarbeit. In Abstimmung mit dem Autor wurde der Anhang über die Integrationstheorie vom Herausgeber durch die Abschnitte 5, 6 und 7 ergänzt. Ebenfalls in Abstimmung mit dem Autor hat der Herausgeber einige gering fügige Textänderungen vorgenommen und einige Anmerkungen hinzugefügt, die dem Anfänger das Verständnis erleichtern sollen und ihn insbesondere auf weitere Literatur aufmerksam machen. P.FRANKEN VORWORT DES AUTORS Diesem Buch liegen Vorlesungen zugrunde, die der Verfasser im Laufe einiger Jahre im dritten Studienjahr der mathematischen Fakultät der Nowosibirsker Staatlichen Universität gehalten hat. Es wird vorausgesetzt, daß der Leser in Ergänzung zum traditionellen Analysiskurs auch mit Elementen der Maßtheorie und insbesondere mit dem Begriff des Integrals bezüglich eines Maßes auf einem abstrakten Raum und seinen einfachsten Eigenschaften vertraut ist. Das Fehlen dieser Kenntnisse hindert jedoch keineswegs beim erfolgreichen Aneignen des Stoffs, falls der Leser bereit ist, bei einigen Behauptungen und Beweisen auf ihre allgemeinste Fassung zu verzichten. Es gibt auch eine weitere Möglichkeit. Der Leser vermeidet alle Schwierig keiten, wenn er beim Lesen der entsprechenden Abschnitte auf die Anhänge 1 und 3 am Ende des Buches zurückgreift, die in kurzer Form die notwendigen Ergebnisse aus der Maß- und Integrationstheorie enthalten. Auch einige andere die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie berühren den Fragen wurden in den Anhängen 1-4 behandelt, was dem Verfasser die Möglichkeit gibt, im Haupttext des Buches bei der Darlegung der eigentlichen wahrscheinlichkeitstheoretischen Fragen und Methoden tiefer vorzudringen. Die ersten neun Kapitel des Buches bilden ein geschlossenes Ganzes, und man liest sie am besten hintereinander. Die Kapitel 10-13 setzen das Studium wahr scheinlichkeitstheoret~her Probleme in drei verschiedenen Richtungen fort (Faktorisierungsidentitäten - Kapitel 10, MARKowsche Ketten und Informa tionstheorie - Kapitel 11 und 12 sowie einfachste Typen zufälliger Prozesse - Kapitel 13), die man unabhängig voneinander lesen kann. In den Vorlesungen wurde den Studenten verschiedener Jahrgänge jeweils eine dieser drei Ergän zungsvarianten dargeboten, und der Verfasser hat keinen Grund anzunehmen, daß einer dieser Varianten vom methodischen oder erkenntnistheoretischen Standpunkt der Vorzug gebürt. Im Buch wird eine ganze Reihe von Aufgaben und Beispielen ausführlich behandelt. Das enthebt den Leser jedoch nicht der Notwendigkeit, selbständig zu üben. Aus den gegenwärtig vorhandenen Aufgabensammlungen liegt die Aufgabensammlung von L. D. MESCHALKIN1) dem Buch besonders nahe und wird daher dem Leser empfohlen. 1) Empfehlenswert ist auoh die Aufgabensammlung von E. S. WENZEL und I.B. Ow TSCHAROW, Akademie-Verlag, Berlin 1973 (Anm. d. Red). VIII Vorwort des Autors Der Verfasser dankt an dieser Stelle seinen Freunden und Kollegen J u. W. PROCHOROW, W. W. PETROw und B. A. ROGOSIN, deren zahlreiche nützliche Hinweise zur Verbesserung des Buches beigetragen haben. Der Verfasser dankt aufrichtig E. A. PETSCHERSKI, der den größten Teil der Arbeit bei der Überarbeitung der Vorlesungsaufzeichnungen übernommen hat und dabei eine Reihe wertvoller Bemerkungen gemacht hat. Der Verfasser dankt des weiteren N. P. LEONTJEWA für die schnelle und sorgfältige Fertig stellung des Manuskripts und für die Beseitigung einer Reihe von Fehlern. A. A. BORoWKow Hinwei8 für den LeBe,.. Das Zeichen ~ im Text bedeutet das Ende eines Beweises. Die Numerierung der Formeln, der Lemmata und der Sätze wird in jedem Kapitel extra vor genommen. Kleingedruckte Texte können beim ersten Lesen weggelassen werden. INHALTSVERZEICHNIS Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kapitell. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 5 § 1. Der Wahrscheinlichkeitsraum . . . 5 § 2. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit 7 § 3. Das BERNOULLIsche Schema. . . . . . . . . . 10 § 4. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen. Beispiele • 13 Kapitel 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume ... 16 §1. Die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie. Der Wahrscheinlichkeits- raum .................. . 16 § 2. Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen . • . . • . . . . . 20 § 3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit. Unabhängigkeit von Ereignissen und Versuchen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21 § 4. Die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit und die BA YEssche Formel . 24 Kapitel 3. Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen 29 § 1. Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . 29 § 2. Eigenschaften von Verteilungsfunktionen und Beispiele 31 § 3. Integrale . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 37 § 4. Zufällige Vektoren . • . . . . . . . . . . . . . . 38 § 5. Unabhängigkeit von Zufallsgrößen und Klassen von Ereignissen . 41 Kapitel 4. Numerische Charakteristika von Zufallsgrößen . . . . . . . 52 § 1. Der Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 § 2. Bedingte Verteilungsfunktionen und bedingte Erwartungswerte 55 § 3. Der Erwartungswert des Produktes von Zufallsgrößen . . . . 59 § 4. Der Erwartungswert von Zufallsgrößen, die von der Zukunft unabhängig sind .............' . . . . . . . . . . . . . . . 60 § 5. Die Varianz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 § 6. Der Korrelationskoeffizient und andere numerische Charakteristika . 65 § 7. Die TscHEBYScHEwsche Ungleichung. . . . . . . . . . . . . . 68 § 8. Die Verallgemeinerung des Begriffes des bedingten Erwartungswertes . 69 Kapitel 5. Folgen unabhängiger Versuche mit zwei Ausgängen (Das unendliche BERNOULLI-Schema) 75 § 1. Das Gesetz der großen Zahlen 75 § 2. Der lokale Grenzwertsatz . . . . . . 77
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