Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1: Mit vollständig gelösten Aufgaben PDF
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Wolf-Dieter Heller Henner Lindenberg Manfred Nuske Karl-Heinz Schriever Wahrscheinlichkeits rechnung TeUl Mit vollständig gelösten Aufgaben Studien-und Unterrichtsmaterial zur Lehrerfortbildung SULF Bandl Wolf-Dieter Heller Henner Lindenberg Manfred Nuske Karl-Heinz Schriever Wahrscheinlichkeits rechnung Teil I Mit vollständig gelösten Aufgaben Springer Basel AG 1979 Herausgegeben in Zusammenarbeit mit dem Staatlichen Institut fUr Lehrerfort- und Weiterbildung (SIL) des Landes Rheinland-Pfalz, Speyer. CIP-Kurztite1aufnahme der Deutschen Bib1iothek Wahrschein1ichkeitsrechnung: mit vo11st. ge1osten Aufgaben 1 Wo1f-Dieter Heller ... [Hrsg. in Zsarb. mit d. Staat1. Inst. fUr Lehrerfort- u. Wei terbi 1d ung (SIL) d. Landes Rhein1and-Pfa1z, Speyer). - Base1, Boston, Stuttgart : Birkhauser. NE: He11er, Wo1f-Dieter [Mitarb.]; Staat1iches Institut fUr Lehrerfort- und -weiterbi1dung des Landes Rhein1and-Pfa1z <Speyer> Teil1. -1979. (Studien- und Unterrichtsmateria1 zur Lehrer= fortbi1dung ; Bd. 1) ISBN 978-3-7643-1106-3 ISBN 978-3-0348-5333-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5333-0 Die vor1iegende Pub1ikation ist urheberrecht1ich geschUtzt. A11e Rechte, insbesondere das der Obersetzung in fremde Sprachen, vorbeha1ten. Kein Tei1 dieses Buches darf ohne schrift1iche Genehmigung des Ver1ages in irgendeiner Form - durch Fotokopie, Mikrofi1m ader andere Verfahren - reproduziert ader in eine von Maschinen, insbesondere Datenverarbeitungsan1agen, verwendbare Sprache Ubertragen werden. © Springer Basel AG 1979 Urspriinglich erschienen bei Bi rkhauser Ver1 ag Ba se 1 , 1979. - i - ZUM GELEIT Der Themenbereich Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik findet zunehmend Ein gang in den modernen Mathematikunterricht. Aus diesem Grund hat sich das Staatli che Institut für Lehrerfort- und -weiterbildung (SIL) des Landes Rheinland-Pfalz die Aufgabe der unterrichtsbezogenen Lehrerfortbildung zu diesem Thema gestellt. Das Eindringen neuer Themenbereiche in den Schulunterricht bedarf dieser,den Lehr planentwurf ergänzenden Hilfen, da für viele Mathematiklehrer die vom fachwissen schaftlichen Studium gegebenen Voraussetzungen oft nicht ganz ausreichen und unter richtspraktische Erfahrungen fehlen. Das hier vorliegende Studien- und Unterrichtsmaterial ist daher so konzipiert, daß es einerseits theoretisch solide fundiert ist aber andererseits auch leicht in die Unterrichtspraxis umgesetzt werden kann. Die beiden Skripten "Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1 und 2" sind lehrgangsbe gleitend zu einem SIL-Kurs erstellt worden, der im SS 78 und WS 78/79 in Speyer durchgeführt wurde. Die sehr positive Resonanz, die dieser Kurs und dieses Studien und Unterrichtsmaterial fanden, läßt uns glauben, daß uns damit die angestrebte schwierige Verbindung von "Schule" und "Hochschule" gut gelungen ist. Da dieses Skriptum aufgrund seiner Ausführlichkeit und des anwendungsbezogenen Aspekts auch für ein Selbststudium besonders geeignet ist, wurde mit dem Birkhäu ser-Verlag ein Nachdruck dieses Materials vereinbart, um dem sicher großen Bedürf ni s nach Fortbil dungsmögl i chkeiten im Themenberei ch "Wahrschei nl i chkeitsrechnung" gerecht zu werden. Die Skripten "Wahrscheinl ichkeitsrechnung Teil 1 und 2" sind dabei die ersten Hef te ei ner neu gegründeten Rei he des Bi rkhäuser-Verl ags: "Studien- und Unterri chts materialien zur Lehrerfortbildung (SULF)". Es ist geplant, daß in dieser Reihe Ma terialien erscheinen, die gleichzeitig unter fachwissenschaftlichen und unterrichts bezogenen Gesichtspunkten verfaßt sind. In dieser Konzeption 1a ufen z .Zt. zwei weitere Kurse, näml ich "Beschreibende Sta tistik" und "Schätzen und Testen", von denen die entsprechenden Skripten in Kürze in dieser SULF-Reihe erscheinen werden. Das SIL möchte den Autoren für ihre Arbeit herzl ich danken. Dr . Wo lf Böhm SIL Speyer - ii - VORWORT Die historische Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist von einer inten siven Wechselwirkung zwischen Theorie und Anwendungen geprägt. Stand im 17. Jahrhundert noch die Berechnung von Gewinnwahrscheinlichkeiten bei Glücksspielen im Vordergrund. so erwies sich der Wahrscheinlichkeitsbegriff bald als eine äußerst fruchtbare Idee für Bevölkerungsstatistik und weite Bereiche der Naturwissenschaften. Seit in den zwanziger und dreißiger Jahren unseres Jahrhunderts die Wahrschein lichkeitsrechnung axiomatisiert und damit als mathematische Disziplin anerkannt wurde. schreitet einerseits die Entwicklung der Theorie (besonders gegenwärtig) sehr schnell voran und ergeben sich anderseits immer neue Anwendungsgebiete. Heute wären beispielsweise das gesamte Versicherungswesen oder die moderne Teil chenphysik ohne Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht denkbar. Der Ablauf ökonomischer Prozesse. die Entwicklung von Warteschlangensystemen im Bereich des Verkehrswesens oder der Fernmeldetechnik. die Ausbreitung von Epidemien •... - für Vorgänge dieser und ähnlicher Natur können mathematische Modelle ohne Wahrscheinlichkeitsbegriff (sogenannte deterministische Modelle) nur als erster Einstieg in die jeweilige Problematik dienen; realistische Beschreibungen solcher komplexer Systeme und insbesondere Prognosen über ihre zukünftige Entwicklung können nur mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung erzielt werden (d.h. mit Hilfe sogenannter stochasti scher Modelle). Einer der Hauptanwendungsbereiche der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung ist selbstverständlich die analytischecStatistik. deren Untersuchungsmethoden heute in immer stärkerem Maße nahezu alle Zweige der Natur-. Ingenieur- und Gesellschafts wissenschaften durchdringen. Von der Qualitätsüberwachung industrieller Fertigung über die Versuchsplanung und Versuchsauswertung in der Physik. Technik, Biologie. Landwirtschaft, r~edizin. Psychologie. Soziologie •... bis hin zur ökonometrischen Analyse. Prognose und Pla nung von Politiken zur optimalen Bewirtschaftung natürlicher Ressourcen reicht das Spektrum der Einsatzmöglichkeiten statistisch-analytischer Methoden. Wahrscheinlichkeitsrechnung bietet einerseits hervorragende Möglichkeiten. auf an schauliche und interessante Weise mathematisches Denken zu entwickeln und einzu üben. und stellt anderseits Grundtechniken bereit, die für eine Vielzahl akademi- - iii - scher und praktischer Berufe Bedeutung haben. Ihre feste Verankerung in den Mathematikunterricht gymnasialer Mittel- und Ober stufen erscheint seit langem überfällig. Der Hauptgrund dafür, daß Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik bisher noch nicht den ihrer Bedeutung entsprechenden Platz im schulischen Mathematikunterricht einnehmen konnten, liegt vornehmlich in der Tatsache, daß die Fachlehrer-Ausbildung an den Hochschulen diese Bereiche erst seit kurzer Zeit - und auch hier noch nicht überall und nicht immer in ausreichendem Maße - berücksichtigt. Um diese Lücke zwischen Hochschule und Schule zu schließen, wurde vom SIL Speyer in den Jahren 1978 und 1979 ein vierteiliger Lehrgang über Wahrscheinlichkeitsrech nung und Statistik durchgeführt, der interessierten Fachlehrern der Region Pfalz/ Rheinhessen die Möglichkeit zur Einarbeitung in diesen Themenkreis bot. Die hier vorgelegten beiden "Bände zur Wahrscheinlichkeitsrechnung entstanden aus einem Skriptum und einer Aufgabensammlung, welche als kursbegleitendes Studienma terial und praktische Unterrichtshilfe für die Teilnehmer des SIL-Lehrgangs er stellt wurden. Zwei weitere Bände "Beschreibende Statistik" und "Schätzen und Testen" sind in Vorbereitung und werden in Kürze erscheinen. Für die Planung und hervorragende Organisation des Lehrgangs danken wir dem SIL. insbesondere Herrn Dr.~J. Böhm, recht herzlich. Ebenso möchten wi r es ni cht versäumen, an dieser Stell e "unseren Kurstei 1n ehmern" zu danken. Erst durch ihre beständige Mitarbeit, durch die Vielzahl von Anmerkun gen, Korrekturen und didaktischen Hinweisen, die sie uns im Rahmen eines intensiven Dialogs gaben, wurde es uns möglich, unser Ausgangsmaterial so aufzubereiten und darzustellen, daß es einem breiteren Leserkreis nützlich sein könnte. Herrn Prof. Dr.M. Rutsch sind wir zu besonderem Dank verpflichtet für zahlreiche wertvolle Diskussionen und für sein aktives Interesse am Entstehen dieser Bände. Wir danken ferner dem Birkhäuser Verlag- für die Unterstützung unseres insgesamt vierstufigen Projekts und Tür die bisherige hervorragende Zusammenarbeit. Unser Manuskript wurde abschnittsweise von mehreren Damen geschrieben; auch ihnen sei an dieser Stelle recht herzlich gedankt. Karlsruhe, im März 1979 Die Autoren - iv - AUFBAU Der vorliegende Band ist der erste Teil eines Arbeitsbuches, welches als Begleit text und Aufgabensammlung für einen Lehrgang über Wahrscheinlichkeitsrechnung im Rahmen der Lehrerfortbildung angefertigt wurde. Weil beide Teile dieses Buches "Wahrscheinlichkeitsrechnung" als eine Einheit aufzufassen sind, die nur aus tech ni schen Gründen auf zwei Bände aufgeteil t wurde, geben wi r hier einen Gesamtüber blick über den Inhalt beider Bände. Da sowohl die Seiten als auch die Kapitel des Gesamttextes über diesen ersten Band hinaus fortlaufend numeriert sind, kann es dabei keine Mißverständnisse geben. Ein ausführliches Stichwortverzeichnis, welches sich ebenfalls auf den Gesamttext bezieht, ist jedem der beiden Bände angefügt. In dem hier vorliegenden ersten Teil des Arbeitsbuches, der die Kapitel Ibis 6 umfaßt, werden die grundlegenden Begriffe und Methoden der Wahrscheinlichkeits rechnung vorgestellt und eingeübt; dieses Grundgerüst wird in den Kapiteln 7 bis 9, die den zweiten Teil bilden, spezialisiert und weiter ausgebaut. Teil 1: Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Geometrische und klassische Wahrscheinlichkeitsräume Kombinatorische Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Bedingtheit-Unabhängigkeit Zufallsvariablen und ihre Verteilungen Charakteristiken von Zufallsvariablen Teil 2: Spezielle Verteilungen Gesetze der großen Zahlen und Grenzwertsätze Zweidimensionale Zufallsvariablen Zu jedem Kapitel wurde eine Sammlung repräsentativer Aufgaben mit vollständigen Lösungen zusammengestellt, die einerseits als Obungsmaterial und andererseits - nach kurzer didaktischer Aufbereitung oder sogar unmittelbar - für die Unter richtspraxis verwendet werden können. Die insgesamt neun Kapitel der beiden Teile der "Wahrscheinl ichkeitsrechnung" wurden speziell für die Verwendung als Begleittext und Aufgabensammlung im Be reich der Lehrerfortbildung angefertigt. Da jedoch auch die notwendigerweise et was theoretischen Passagen dieses Textes durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben mit ausführlichen Lösungen veranschaulicht und ergänzt sind, können beide Teile dieses Arbeitsbuches auch für ein lehrgangsunabhängiges Selbststudium verwendet werden. Aus diesem Grunde kann der vorliegende Text auch von mathematisch inte ressierten Oberstufenschülern und Hochschulstudenten der unterschiedlichsten Fachrichtungen als eine Einführung in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung - v - benutzt werden. Im folgenden geben wir einen kurzen überblick über den jeweiligen Inhalt und die Bedeutung der einzelnen Kapitel für die schulische Unterrichtspraxis: Das erste Kapitel befaßt sich mit Zufallsexperimenten, Ereignissen und Wahrschein lichkeiten. Ausgehend von den intuitiven Vorstellungen, die man mit diesen Begrif fen verbindet, werden hier grundlegende Eigenschaften herausgefiltert und zu exak ten Definitionen verarbeitet. Dieses erste Kapitel stellt die Basis der modernen (Kolmogoroffschen) Wahrscheinlichkeitstheorie dar; es hat deshalb zwangsläufig teilweise einen formalen Charakter. Obgleich der Schulunterricht in Wahrscheinlich keitsrechnung in der Regel nicht mit der Kolmogoroffschen Axiomatik beginnen wird, erscheint es doch sinnvoll, zunächst die Einführung und das Kapitel 1 wenigstens oberflächlich zu lesen. Die Grundidee der Modellierung eines in der Wirklich- keit ablaufenden zufälligen Vorgangs durch Festlegung eines geeigneten Wahrschein lichkeitsraums sollte sich der Leser schon klarmachen, bevor er für konkrete Situ ationen Wahrscheinlichkeiten bestimmt. Im zweiten Kapitel werden zwei spezielle, besonders anschauliche und deshalb auch sehr häufig verwendete Wahrscheinlichkeitsbegriffe vorgestellt - der Laplace'sche und der geometrische Wahrscheinlichkeitsbegriff. Mit diesen beiden Definitionen von Wahrscheinlichkeiten läßt sich für jede Klassenstufe und auf nahezu beliebigem Schwierigkeitsgrad eine Vielzahl sehr anschaulicher und interessanter Aufgaben for mu 1 ieren. Das Kapitel 3 dient der Vertiefung der Laplace'schen Vorstellung von "gleich wahr scheinlichen" Ausgängen eines Zufallsexperiments. Es zeigt sich nämlich bei der praktischen Anwendung dieser einfach anmutenden Vorstellung sehr schnell, daß die tatsächliche Bestimmung der Anzahl aller möglichen bzw. "günstigen" Ausgänge des betrachteten Experiments keineswegs trivial ist. Vielmehr lassen sich leicht Auf gaben formulieren, deren Lösung nur durch routinierte Anwendung kombinatorischer Methoden möglich ist. Kein Kurs über Wahrscheinlichkeitsrechnung kommt an dem "Denksport" Kombinatorik vorbei. In Kapitel 4 wird analysiert, wie sich Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen än dern können je nach Art .und Umfang der Information, die man über den Ausgang des betrachteten Zufallsexperiments bereits besitzt. Bedingte Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen werden in diesem Rahmen definiert und diskutiert. Auch diese Be griffe sind für jeden Grundkurs in Wahrscheinlichkeitsrechnung obligatorisch; sie
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