Wahrheit, Beweis, Unendlichkeit: Eine mathematische Reise zu den vielseitigen Auswirkungen der Unendlichkeit

243 Pages·2014·3.743 MB·German

by  John Stillwell (auth.)

John Stillwell
Wahrheit,
Beweis,
Unendlichkeit
Eine mathematische Reise
zu den vielseitigen Auswirkungen
der Unendlichkeit
Wahrheit,Beweis,Unendlichkeit
John Stillwell
Wahrheit, Beweis,
Unendlichkeit
Eine mathematische Reise zu den vielseitigen
Auswirkungen der Unendlichkeit
Aus dem Englischen übersetzt
von Roland Girgensohn
JohnStillwell
CollegeofArtsandSciences
UniversityofSanFrancisco
SanFransisco,USA
AusdemEnglischenübersetztvonRolandGirgensohn.ÜbersetzungderamerikanischenAusgabe:Roads
toInfinityvonJohnStillwell,erschienenbeiAKPeters,Ltd.2010,©2010.AlleRechtevorbehalten.
ISBN978-3-642-37843-0 ISBN978-3-642-37844-7(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-37844-7
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©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2014
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FürElaine
Vorwort
... esistschwer,beieinemunendlichenThemaeinEndezufinden,undalle
Themensindunendlich.
HermanMelville(1850)
Die Mathematik und die Naturwissenschaften sind in ihrer heutigen Form
stark geprägt von unseren Versuchen, die Unendlichkeit mit unserem endli-
chen Verstand zu begreifen. Der deutsche Mathematiker Richard Dedekind
drücktediesimJahre1854soaus(Dedekind(1854)):
Dagegen istdie Wissenschaftselbst... einerunendlichenMannigfaltigkeit,
unendlichverschiedenerDarstellungenfähig,weilsiealsWerkdesMenschen
seinerWillkürunterworfenundvonallenUnvollkommenheitenseinergeisti-
genKräftemitgetroffenist.FüreinenmitunbegrenztemVerstandebegabten
Menschen, dem die letzten von uns durch eine lange Kette von Schlüssen
erhaltenenKonsequenzenunmittelbarevidenteWahrheitenwären,würdeei-
gentlichkeineWissenschaftmehrexistieren...
DedekindsWortespiegelndiezunehmendeAufmerksamkeitwider,welchedie
Mathematikdes19.JahrhundertsderUnendlichkeitwidmete.Damalswurde
die Analyse unendlicher Prozesse (die Infinitesimalrechnung) zu einem un-
entbehrlichen Werkzeug in den Natur- und Ingenieurwissenschaften; es war
derBeginneinerEpoche,inderUnendlichkeitundLogikzumerstenMalals
eigene mathematische Begriffe angesehen wurden. Dies führte zu neuen Er-
kenntnissen (zum Teil von Dedekind selbst stammend), gegen die sich alles
vorherigeWissenüberdieseThemenfastwieeinKinderspielausnahm.
VielepopulärwissenschaftlicheBücher sind schon über die Fortschrittein
unseremVerständnisderUnendlichkeitgeschriebenworden,welche vonGe-
org Cantors Mengenlehre in den 1870er Jahren und Kurt Gödels Unvoll-
ständigkeitssätzeninden1930erJahrenausgelöstwurden.Allerdingskonzen-
trieren sich derartige Bücher im Allgemeinen nur auf einen einzigen Aspekt:
Sie sind entweder aus dem Blickwinkel der Mengenlehre oder dem der Lo-
gikgeschrieben. Es ist, denke ich, noch nicht deutlichgenug geworden,dass
die Ergebnisse von Cantor und Gödel ein nahtloses Ganzes bilden. Das Ziel
VIII Wahrheit,Beweis,Unendlichkeit
desjetzigenBuches bestehtdarin,diesesgroßeGanze darzustellen;essollge-
zeigtwerden,wieMengenlehreundLogiksichgegenseitig befruchtenundwie
sie sich zudem auf die klassische Mathematik auszuwirken beginnen (wobei
LetztereseinejüngereEntwicklungdarstellt,dernochnichtvielRauminall-
gemeinverständlichenDarstellungengegebenwordenist).
Insbesondere habe ich einige Sorgfalt darauf verwandt, von zwei bisher
vernachlässigten Persönlichkeiten in der Geschichte der Logik zu erzählen,
nämlichvonEmilPostundGerhardGentzen.PostentdecktedieUnvollstän-
digkeitschonvorGödel,veröffentlichteaberseinenBeweiserstspäter.Dieser
Beweis jedoch verdeutlicht noch mehr als der von Gödel, woher die Unvoll-
ständigkeitinCantorsMengenlehrestammtundwiesiemitderBerechenbar-
keitstheorie zusammenhängt. Gentzen wiederum fand angesichts des gödel-
schen Satzes, demzufolge die Konsistenz (Widerspruchsfreiheit) der Zahlen-
theorievoneinerVoraussetzungabhängt,dievonaußerhalbderZahlentheorie
stammt,diegeringstesolcheVoraussetzung–sieerwächstausCantorsTheorie
derOrdinalzahlen–undebnetesodenWegzuneuenEinsichtenindasWesen
derUnbeweisbarkeitinZahlentheorie undKombinatorik.
DiesesBuchkannalsFortsetzungmeinesYearningfortheImpossible ange-
sehen werden, dessen Hauptaussage es war, dass wir in vielen Bereichen der
Mathematik nicht ohne irgendeine Artvon Unendlichkeit auskommen. Das
jetzige Buch ergründet die Konsequenzen, die sich ergeben, wenn man die
Unendlichkeit akzeptiert, und diese Konsequenzen sind vielseitig und über-
raschend. Es gibt viele Ebenen der Unendlichkeit, die sich in Höhen bis fast
jenseitsallerVorstellungskrafterstrecken;unddochhabenselbstdiehöchsten
Stufen „beobachtbare“ Auswirkungen auf die Ebene der endlichen Objekte
; ; :::
wie der natürlichen Zahlen 1 2 3 In diesem Sinne kann die Unendlich-
keit konkreter sein als manche Teile der theoretischen Physik! Im Einklang
mit dieser Behauptung werde ich hier nur wenig voraussetzen, was über die
Schulmathematikhinausgeht–abgesehenvonderBereitschaft,sichmitunge-
wohnten Ideenauseinanderzusetzen. Solltensich dieSchreibweisen der sym-
bolischenLogikalszuungewohnterweisen,dannistesimmernochmöglich,
die symbollastigen Teile zu überspringen und dennoch das Wesentliche der
Geschichte zuerfassen.
Ich habe versucht, den Leser sanft in die technischen Details von Men-
genlehre und Logikeinzuführen, indemichinjedemKapiteleinemeinzigen
Gedankengang folge, den ich mit einer natürlichen mathematischen Frage
beginneunddenichdannanhandeinerAbfolgevonhistorischenAntworten
nachvollziehe. Normalerweiseführtjede AntwortihrerseitszuneuenFragen,
und aus diesen entstehen wiederum neue Begriffe und Sätze. Jedes Kapitel
endetmiteinemlängerenAbschnitt„HistorischerHintergrund“,derdenVer-
such macht, das Thema in den größeren Zusammenhang der Mathematik
Vorwort IX
und ihrer Geschichte einzuordnen. Meine Absicht dabei ist, Schlüsselideen
zunächst in Großaufnahme zu präsentieren, um sie anschließend aus einem
weiteren Blickwinkel nochmals zu zeigen und so zu vertiefen. Doch ist dies
nicht die einzige Möglichkeit, das Buch zu lesen. Manche Leser werden viel-
leichtmitUngedulddiezentralenSätzeerwarten,sodasssiezumindestbeim
ersten Lesen die historischen Abschnitte überspringen werden. Andere, die
von Anfang an am großen Bild interessiert sind, können sich zunächst mit
denhistorischenHintergründenbeschäftigenunderstanschließendineinem
zweitenDurchgangdieDetailsergänzen.
Das Buch hat sich seit den 1960er Jahren in meinem Unterbewusstsein
entwickelt, als ich mein Studium an der University of Melbourne und mei-
ne Promotion am MIT absolvierte. Damals waren Mengenlehre und Logik
meine Vorlieben in der Mathematik, doch hat es lange gedauert, bis ich sie
imrichtigenZusammenhang sehenkonnte – ichentschuldige michbei mei-
nen Lehrern für die späte Rendite auf ihre Investition! Insbesondere möchte
ichBruceCraven,Melbourne,fürseineNachsichtmitmeinenInteressenau-
ßerhalb seines Fachgebietes danken sowie meinen Lehrern am MIT, Hartley
Rogers Jr. und Gerald Sacks dafür, dass sie meine Horizonte in Logik und
Mengenlehreerweiterthaben.
In neueren Zeiten binich Jeremy Avigaddafür zuDank verpflichtet, dass
er mich auf den neuesten Stand gebracht hat, und Cameron Freer für sei-
ne äußerst detaillierte Kritik an einem früheren Entwurf dieses Buches. Sehr
hilfreicheAnmerkungenstammenauchvonJohnDawson.SolltennochFeh-
lerübriggebliebensein,sosindsiealleinmeineSchuld.DieUniversityofSan
FranciscounddieMonashUniversitygewährtenmirwertvolleUnterstützung
und stellten ihre Einrichtungen zur Verfügung, während ich schrieb und re-
cherchierte.
IchmöchteauchmeinemFreundAbeShenitzerfürseinebeständigeHilfe
beim Korrekturlesen danken sowie meinen Söhnen Michael und Robert da-
für,dass siediesebeschwerliche Aufgabemitgetragenhaben. Und schließlich
dankeich, sowiezujederZeit,meinerFrauElaine.
UniversityofSanFranciscoundMonashUniversity JohnStillwell
März2010
Inhaltsverzeichnis
1
DasDiagonalargument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 ZählenundAbzählbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 GibteseineunendlicheEinheitsgröße? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 CantorsDiagonalargument. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 TranszendenteZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 AndereÜberabzählbarkeitsbeweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Wachstumsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 DieKardinalitätdesKontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 HistorischerHintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2
Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 ZählenjenseitsderUnendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 DieabzählbarenOrdinalzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 DasAuswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 DieKontinuumshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 Induktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 CantorscheNormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7 DerSatzvonGoodstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8 HerkulesunddieHydra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9 HistorischerHintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3
BerechenbarkeitundBeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1 FormaleSysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 PostsZugangzurUnvollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 GödelsersterUnvollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 GödelszweiterUnvollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 FormalisierungderBerechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6 DasHalteproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.7 DasEntscheidungsproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.8 HistorischerHintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4
Logik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2 EinklassischesSystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3 EinschnittfreiesSystemfürdieAussagenlogik. . . . . . . . . . . . . . . . 117
XII Wahrheit,Beweis,Unendlichkeit
4.4 HappyEnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6 Vollständigkeit,Konsistenz,HappyEnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.7 HistorischerHintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5
Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.1 WiekönnenwirKonsistenzbeweisen?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2 FormaleArithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3 DieSystemePAundPA! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4 EinbettungvonPAinPA! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5 SchnitteliminierunginPA! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.6 DieHöhediesesgroßenArguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.7 WegezurUnendlichkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.8 HistorischerHintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6
NatürlicheunbeweisbareAussagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.1 EinverallgemeinerterSatzvonGoodstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2 VonnatürlichenZahlenzuabzählbarenOrdinalzahlen. . . . . . . . . . 163
6.3 VomverallgemeinertenGoodsteinzurWohlordnung. . . . . . . . . . . 166
6.4 VerallgemeinerterundgewöhnlicherGoodstein . . . . . . . . . . . . . . 169
6.5 BeweisbarrekursiveFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.6 VölligeUnordnungistunmöglich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.7 DerschwierigsteSatzderGraphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.8 HistorischerHintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7
AxiomederUnendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1 MengenlehreohneUnendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2 UnerreichbareKardinalzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3 DasDeterminiertheitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.4 GrößenaxiomefürdieArithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.5 GroßeKardinalzahlenundendlicheMathematik. . . . . . . . . . . . . . 201
7.6 HistorischerHintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Literaturverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219