Voyage dans les mathématiques de l'espace-temps: Trous noirs, big-bang, singularités PDF
Preview Voyage dans les mathématiques de l'espace-temps: Trous noirs, big-bang, singularités
Stéphane Collion VOYAGE DANS LES MATHÉMATIQUES DE L’ESPACE-TEMPS Trous noirs, big-bang, singularités Ce livre est une invitation à découvrir le lien profond qui unit la relativité générale (la théorie de la gravitation d’Einstein) et la géométrie différentielle, branche de la géométrie issue de la V O découverte des géométries non-euclidiennes par Gauss et Riemann au xixe siècle. Y A En abordant la relativité par ses aspects géométriques, ce livre montre que les phénomènes G surprenants de la relativité, tels que le paradoxe des jumeaux, les boucles temporelles, les E D trous noirs, les trous de ver, ne sont que des conséquences de la géométrie de l’espace-temps. A N Le livre explore également la fascinante relation entre les mathématiques et la physique à S travers une des théories les plus passionnantes de notre siècle, la relativité générale, sujet L particulièrement d’actualité depuis les récentes observations des ondes gravitationnelles et les E S observations de plus en plus directes des trous noirs. Il montre ainsi que les mathématiques, M loin d’être simplement un « outil », sont une des sources d’inspiration les plus fécondes des A physiciens théoriciens. T H VOYAGE DANS É Ce livre offrira une introduction plaisante aux mathématiques de la relativité, autant à l’étudiant M en sciences qu’au lecteur curieux et motivé par les découvertes scientifiques les plus fascinantes A de notre époque. T I Q LES MATHÉMATIQUES U E S Stéphane Collion est agrégé et docteur en Mathématiques de Paris VI Sorbonne-Université. Ses centres D d’intérêts sont l’analyse complexe et la géométrie différentielle. Il est actuellement pilote de ligne, E DE L’ESPACE-TEMPS commandant de bord sur Boeing 787 à Air France. L ’E S P A C Trous noirs, big-bang, singularités E - Isbn : 978-2-7598-2279-9 T 29 € E M www.edpsciences.org P Stéphane Collion S 9 782759 822799 Création graphique : Béatrice Couëdel S t é p h La collection « UNE INTRODUCTION À... » se propose de a n faire connaître à un large public les avancées les plus e récentes de la science. Les ouvrages sont rédigés sous C une forme simple et pédagogique par les meilleurs experts o français. ll i o n 9782759822799-COUV.indd 1 29/11/2018 14:02 (cid:2) (cid:2) “TITLE” — 2018/11/30 — 13:02 — page 1 — #1 (cid:2) (cid:2) Collection « Une Introduction à » dirigée par Michèle Leduc et Michel Le Bellac Voyage dans les mathématiques de l’espace-temps Trous noirs, big-bang, singularités Stéphane Collion EDPSciences 17,avenueduHoggar Parcd‘activitésdeCourtaboeuf,BP112 91944LesUlisCedexA,France (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) “Copyright” — 2018/12/7 — 15:09 — page ix — #1 (cid:2) (cid:2) Danslamêmecollection L’aventuredugrandcollisionneurLHC DanielDenegri,ClaudeGuyot,AndreasHoeckeretLydiaRoos, préfacedeC.Rubbia Leclimat:laTerreetleshommes JeanPoitou,PascaleBraconnotetValérieMasson-Delmotte,préfacedeJ.Jouzel Auxoriginesdelamasse:particulesélémentaires etsymétriefondamentales JeanIliopoulos,préfacedeF.Englert Lesrelativités :espace,temps,gravitation MichelLeBellac,préfacedeT.Damour Letemps:mesurable,réversible, insaisissable? MathiasFink,MichelLeBellacetMichèleLeduc Larévolution desexoplanètes JamesLequeux,ThérèseEncrenazetFabienneCasoli Àl’oréeducosmos AlainOmont Vertigineusessymétries AntonyZee,traduitparMichelLeBellac Letempsdesneurones–Leshorlogesducerveau DeanBuonomano,traduitparMichelLeBellac Retrouveztousnosouvragesetnoscollectionssurhttp://laboutique.edpsciences.fr ImpriméenFrance ISBN(papier):978-2-7598-2279-9–ISBN(ebook):978-2-7598-2278-2 © 2019,EDPSciences,17,avenueduHoggar,BP112,Parcd’activitésde Courtaboeuf,91944LesUlisCedexA Tous droits de traduction, d’adaptationet de reproduction par tous procédésréservés pourtouspays.Toutereproductionoureprésentationintégraleoupartielle,parquelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisa- tion de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part,lesreproductionsstrictementréservéesàl’usageprivéducopisteetnondestinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le carac- tère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantespeuventêtreréaliséesavecl’accorddel’éditeur.S’adresserau:Centrefrançais d’exploitationdudroitdecopie,3,rueHautefeuille,75006Paris.Tél.:0143269535i.x (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ÀMaïa,LilietIsia. ÀAlice,toujours. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) “Copyright” — 2018/12/7 — 15:09 — page x — #2 (cid:2) (cid:2) Merci... ... à Michel Vaugon et Eric Gourgoulhon. Leurs enseignements, nos nombreuses discussions (autour de bons repas) et leur vision profonde de la relativité, issue de leur passion pour les mathématiques, m’ont profondément inspiré et ont donc inspiré l’écriture de ce livre. Merci à Eric de m’avoir encouragé à le publier, d’avoir patiemment relu les dernières versions, et de m’avoirfournilespremièresetplusbellesfigures!J’espèrequecelivresauraconvaincreMichel del’utilitédelavulgarisation!Mercipourvotreamitié. ... à mes amis César, Eric, Benoit, Pierre-Yves, Emmanuel, Marc, Camille, d’avoir lu les premièresversionsdecelivre.C’estl’intelligencedeleursquestionsetdeleursremarquesquia permisderendrecelivrebienmeilleur. ... à Sophie Hosotte, d’avoir su accepter avec beaucoup de patience mes très nombreuses « dernières corrections », et d’avoir su mettreaussi magnifiquement en forme mon manuscrit. Merciàtoutel’équiped’EDPSciences. ... enfin, à Michèle et Michel, d’avoir su détecter dans l’horrible manuscrit que je leur avaisenvoyél’ébauched’unlivre.C’estleurgentillesse,leursencouragements,leursnombreuses relectures, la bienveillance et la profondeurdeleurs conseils, qui a permis detransformer mon texteinitialencebeaulivre. ...quecelivresoitletémoignagedemagratitudeetdemonaffection. x (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) “Avont-propos” — 2018/11/30 — 20:52 — page v — #1 (cid:2) (cid:2) Avant-propos Celivrevousinviteàunvoyageàtraverslesmathématiquesdel’espace-temps, pourenadmirer labeautéetla puissance.Ilvousproposededécouvrirla théo- rie de la relativité générale d’Einstein, en montrant qu’elle est une théorie fon- damentalementgéométrique.Nousexploreronsainsigrâceauxmathématiques certainsdesmystèreslesplusfascinantsdelaphysique:lagravitation,lespara- doxestemporels,les singularitésde l’espace-temps,les trousnoirs, les trous de ver,lebig-bang... Cacher les mathématiques de la relativité générale, c’est occulter sa nature profonde,etc’estpasseràcôtédecertainsdesesaspectslesplusmerveilleux! Le but de ce livre n’est donc pas de proposerun textede plus de vulgarisa- tion de la relativité restreinte ou générale... Il en existe déjà beaucoup, certains excellents. Il s’agit ici d’un ouvrage de vulgarisation des mathématiques de la relativité générale. Mais c’est surtout un texte qui veut raconter le lien profond entre les mathématiques et la physique, et plus précisément entre la branche des ma- thématiques que l’on appelle la géométrie différentielle et la relativité générale. Nous présenterons donc les idées et phénomènes physiques fascinants de la relativité d’Einstein, comme le fameux paradoxe des jumeaux, en montrant qu’ils nesontquel’expressiondelagéométriedel’espace-temps.L’undesbutsesten faitd’essayerdemontrerque larelativité générale,c’estdelagéométrie. Celivreveutparlerdemathématiques.Parconséquent,contrairementàqua- siment tousles auteurs,je n’ai pas cherché à cacher les formules... Je trouve cela malhonnête, car c’est nier la nature fondamentale des mathématiques et de la physique.Ainsi, quelquesfiguresou quelquescourtsexemplesde «formules» extraits d’ouvrages de mathématiques illustreront la présentation des princi- pauxobjetsmathématiquesdelarelativitégénérale. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) “Avont-propos” — 2018/11/30 — 20:52 — page vi — #2 (cid:2) (cid:2) Lavulgarisation scientifiqueestunartdifficile, mais elle estpourtantd’une trèsgrandeimportance,bienquesouventnégligée.Eneffet,lefosséquisecreuse entrelesconnaissancesgénéralesdu«grandpublic»etlesconnaissancesscien- tifiquesdepointedevienténorme,etcelapermetmalheureusementlapropaga- tion de contre-vérités et l’émergence de « pseudo-sciences». Dans cet ouvrage, nousvoulonstémoignerdenotreconfianceenversleslecteurs,enlesinvitant à partagerunepartiedel’unedesplusgrandesréalisationshumaines:lesmathé- matiques. Il est également fondamental d’expliquer ce que représente la démarche scientifique, pour mieux comprendre les limites de nos connaissances, mais aussipour prendreconfiance dans la valeur dela science. Nousenverrons des exemplesdanscelivre. L’unedesdifficultésestaussidesavoiràquelniveauseplacer.Touttextede vulgarisationdevraitcommencerpardéfinirleniveaurequispourl’aborder.Un niveau moindre peut être compensé par une motivation supérieure, et l’envie deselaisserentraîneràlarêverieetàl’émerveillement. Ce livre se veut à mi-chemin entre vulgarisation et introduction aux cours universitaires.Jepensedoncqu’ilestabordablesansproblèmepardesétudiants enpremièreoudeuxièmeannéed’étudescientifique,oupourceuxquiontsuivi un cursus du style ingénieur. Mais il est certainement abordable par toute per- sonnecurieuse et motivée par les découvertesscientifiquesles plus fascinantes denotreépoque. Bonnelecture! vi Avant-propos (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:105) (cid:105) “TOC*” — 2018/11/16 — 19:57 — page vii — #1 (cid:105) (cid:105) Table des matières Avant-propos v 1 Introduction 1 1.1 Lagéométrisationdelaphysique................................. 1 1.2 Lesmathématiquesdanscelivre.................................. 4 1.3 Précisionssurleniveaumathématiquedecetexte................. 5 1.4 Présentationdeschapitressuivants............................... 6 2 Del’espaceetdutempsàl’espace-temps.Larelativitérestreinte 9 2.1 Préambule........................................................ 9 2.2 Lesnotionsfondamentalesd’observateuretderéférentiel........ 10 2.3 Comparaisondesexpériences:changementsd’observateurs, relativité ........................................................ 12 2.4 Mesuresdedistanceetdedurée................................. 16 2.5 Diagrammesd’espace-temps.................................... 18 2.6 Lignesd’univers................................................. 20 2.7 Mesurededistances,pseudo-distances .......................... 21 2.8 Espaceeuclidienetgéométrie.................................... 28 2.9 DelagéométriedeNewtonàlagéométried’Einstein............. 41 2.10 Lagéométrieeinstenienneparl’image.......................... 49 2.11 Conclusion..................................................... 69 3 Lagéométrieriemannienneetlesvariétésdifférentielles 71 3.1 Lesvariétésdifférentielles:«lessuper-espaces»................. 72 3.2 Lagéométrieriemannienne,lelangagedelarelativité ........... 76 4 Espace-tempsetgravitation:larelativitéGénérale 81 4.1 Delarelativitérestreinteàlarelativitégénérale.................. 81 4.2 L’universalitédelachutedescorps.............................. 82 4.3 Lesgéodésiquesdel’espace-temps .............................. 85 (cid:105) (cid:105) (cid:105) (cid:105) (cid:105) (cid:105) “TOC*” — 2018/11/16 — 19:57 — page viii — #2 (cid:105) (cid:105) 4.4 Lacourburedel’espace-temps................................... 98 4.5 Larelativitégénérale,unethéoriegéométrique................. 104 4.6 Visualiserl’espace-tempscourbe ............................... 106 4.7 Lalumièredansl’espace-tempscourbe......................... 110 4.8 Lesondesgravitationnelles..................................... 117 4.9 Delathéorieàlapratique...................................... 122 4.10 Einsteins’est-il«trompé»?Ladémarchescientifique.......... 126 5 LesSingularitésdel’espace-temps 129 5.1 Singularités...................................................... 129 5.2 Trousnoirs...................................................... 136 5.3 Big-bang... ..................................................... 144 5.4 Trousdever..................................................... 149 5.5 Réalitédessingularitésdel’espace-temps....................... 153 6 UnificationetGéométrisation 155 6.1 Del’unificationenphysique.................................... 155 6.2 Leprincipeducatalogue....................................... 155 6.3 Lagéométrisationdelaphysique............................... 157 6.4 L’unificationdelagravitationetdel’électromagnétisme........ 158 6.5 L’espace-tempsdeKaluza-Klein................................ 160 6.6 Réalitédesdimensionssupplémentaires........................ 162 7 Quelquesréflexionssurlesmathématiques,laphysique, etlavulgarisation 165 7.1 Duplaisirdefairedesmathématiques.......................... 165 7.2 Del’élégancedelarelativitégénérale........................... 167 7.3 L’Universsansfoiniloi......................................... 168 7.4 Del’intérêtdelarecherchefondamentale....................... 169 7.5 DesMathématiquesetdelavulgarisation ...................... 173 7.6 Dernièresremarquessurlesrapportsentre mathématiquesetphysique .................................... 175 AnnexeA 177 Bibliographie 199 viii Tabledesmatières (cid:105) (cid:105) (cid:105) (cid:105) (cid:2) (cid:2) “Chapter-1” — 2018/12/6 — 17:05 — page 1 — #1 (cid:2) (cid:2) 1 Introduction 1.1 La géométrisation de la physique Aucommencementétaitl’espace-tempsetlaliberté. Puissontvenuslesphysiciens,leursloisetleursmachines. Lesmathématiquesetlaphysiquesontsansdoutedeuxaspectsd’unmême plaisirintellectuel,unecompréhensiondel’universquinousentoure. Laphysiquetentedemodéliserlanaturepour,d’unepartchercheràencom- prendrelefonctionnement,et,d’autrepart,prédiresonévolutionoudumoinsle résultatd’expériencesquiportentsurelle.Ilsetrouvequec’estàtraverslesma- thématiquesquelaphysiques’exprimelemieux,àtraversellesquesesmodèles sontleplusefficaces. De son côté, les mathématiques cherchent à extraire des structures com- munesàdiversaspectsdelanature,comme lesnombresquiserventaussibien à compter les étoilesdans le ciel que les moutonsd’un troupeau,ou les figures géométriquesquipeuventdécrireaussibienlatrajectoiredesplanètesautourdu Soleilquelaformedeschampsqueveulentsepartagerdespaysans.Autrement dit, les mathématiques servent à simplifier le réel. (Ce à quoi certains pourraientré- pondrequec’estraté!)Puis,unefoisdéfiniescesstructures,lesmathématiques s’amusent à les faire vivre puis à les questionner pour mieux les comprendre, quitte à s’éloigner de leur origine naturelle. Les mathématiques ont ainsi leur logique propre, et une immense partie des mathématiques se développe sans aucunlienaveclaphysiqueniaucunevolontéd’applicationconcrète. Mais il est fascinant de constater qu’après avoir évolué dans les mains (ou plutôt la tête!) des mathématiciens, des structures et des développements (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
The list of books you might like
