Vorlesungen über Projektive Geometrie: Mit besonderer Berücksichtigung der v. Staudtschen Imaginärtheorie PDF
Preview Vorlesungen über Projektive Geometrie: Mit besonderer Berücksichtigung der v. Staudtschen Imaginärtheorie
DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE GEMEINSAM MIT W.BLASCHKE M. BORN B.L.VAN DER WAERDEN HAMBURG GOTTINGEN LEIPZIG HERAUSGEGEBEN VON R. COURANT GOTTINGEN BAND XLII VORLESUNGEN tiBER PROJEKTIVE GEOMETRIE MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DER v. STAUDTSCHEN IMAGINARTHEORIE VON C. JUEL SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH VORLESUNGEN DBER PROJEKTIVE GEOMETRIE MIT BESONDERER BEROCKSICHTIGUNG DER v.STAUDTSCHEN IMAGINARTHEORIE VON C.]UEL PROFESSOR EMERITUS AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE KOPENHAGEN MIT 87 FIGUREN SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH ISBN 978-3-662-01681-7 ISBN 978-3-662-01976-4 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-01976-4 ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER "OBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN. COPYRIGHT 1934 BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG URSPRUNGLICH ERSCHIENEN BEl JULIUS SPRINGER IN BERLIN 1934 Vorwort. Die meisten der in der letzten Zeit erschienenen Einleitungen in die projektive Geometrie haben sich ganz der von v. STAUDT in seiner "Geometrie der Lage" eingefiihrten Behandlungsweise angeschlossen, und das ist auch bei den vorliegenden Vorlesungen der Fall. Ich lasse mich aufaxiomatische Fragen nicht ein und setze iibrigens die Kenntnis der elementaren reellen projektiven Geometrie in dem Um fange und Geist voraus, wie sie in F. ENRIQUES' "Vorlesungen iiber projektive Geometrie"l behandelt ist. In der projektiven Geometrie ist der Begriff des Wurfes von aus schlaggebender Bedeutung. Es scheint mir nahezuliegen, daB v. STAUDT schon durch dieses Wort hat andeuten wollen, daB es sich nur urn vier auf eine Gerade beliebig "hingeworfene" und in einer bestimmten Reihen folge genommene Punkte handelt. Ein Wurf ist also zunachst eine Figur. Die Theorie der Wiirfe baut nun V. STAUDT auf die bekannte Be stimmung eines harmonischen Wurfes durch ein vollstandiges Vierseit auf. Der sich hierauf stiitzende, im v. STAuDTschen Sinne durchzu fiihrende Beweis des Fundamentalsatzes der projektiven Geometrie erfordert Stetigkeitsbetrachtungen, deren Notwendigkeit v. STAUDT, wie alle anderen in jener Zeit, iibersehen hat. Diese Liicke ist spater aus gefiillt worden; diesbeziiglich begniige ich mich mit einem Hinweis auf ENRIQUES. Es ist iiberhaupt fiir v. STAUDT charakteristisch, daB er Stetigkeitsbetrachtungen zu umgehen sucht. Ich bin ihm insofern ge folgt, als ich fiir viele Grenzfalle, in denen der allgemeine Beweis versagt, aber durch Kontinuitatsbetrachtungen gerettet werden konnte, neue Beweise ge be. Weiterhin lernt man, daB man aus einem oder mehreren Wiirfen nach bestimmten Regeln neue ableiten kann. Durch diese "Wurf rechnung" werden die Wiirfe zu Symbolen. Nach Einfiihrung der Messung von Strecken und Winkeln wird schlieBlich der Wurf zu einer Zahl, womit die Verbindung mit der friiher iiberall iiblichen Definition des Wurfes als Doppelverhaltnis hergestellt ist. Bei v. STAUDT geschieht dieser letzte Schritt nur fiir die euklidische Metrik; in der vorliegenden Darstellung schien es jedoch angemessen, auch die nichteuklidischen einzubeziehen. 1 Deutsche Ausgabe von HERMANN FLEISCHER. 2. Aufl. Leipzig und Berlin 1915· VI Vorwort. Wahrend die v. STAUDTsche Einleitung in die reelle projektive Geometrie allgemein durchgedrungen ist, gilt dies nicht von der Theorie der imaginaren Elemente, die er in seinen "Beitragen" entwickelt hat. Will man auch diese Elemente behandeln, so bildet die v. STAuDTsche Theorie die einfachste oder, richtiger gesagt, die auf der Hand liegende Methode. Hat man sich einmal entschlossen, eine elliptische, mit einer bestimmten Orientierung versehene Involution von reellen Punkten einer reellen Geraden als einen imaginaren Punkt aufzufassen, so folgen daraus unter Beibehaltung des Dualitatsprinzips in der Ebene und im Raume die Definitionen der iibrigen imaginaren Elemente mit logischer Notwendigkeit. In den Beweisen mache ich haufig Gebrauch von einer Umkehrung eines von v. STAUDT hervorgehobenen und nach ihm be nannten Satzes (Kap. I, § 2, Satz XII). Diese Umkehrung findet sich nicht explizite bei v. STAUDT selbst. Urn die Projektivitat auch fiir imaginare Elemente einzufiihren, benutzt v. STAUDT die Definition: "Eine eindeutige Transformation zweier Elementargebilde ist projektiv, wenn entsprechende Wiirfe gleich sinnig sind." Man muB also zunachst den "Sinn" eines durch vier imaginare Elemente eines Elementargebildes festgelegten Wurfes defi nieren. Ich habe hier eine von der v. STAuDTschen etwas verschiedene Definition des Sinnes benutzt, und diese Abweichung hat der vorliegen den Darstellung ihr Geprage gegeben. Ich hoffe, daB die Darstellung hierdurch etwas iibersichtlicher geworden ist, oder wenigstens, daB sie sich dem Gedachtnis etwas leichter einpragt. Durch die v. STAuDTsche Methode werden die imaginaren Elemente im ganzen Raum auf einmal eingefiihrt. Wir werden aber beim weiteren Aufbau der Theorie raumliche imaginare Konfigurationen nicht be handeln, sondem nur solche, die in einer festen Ebene liegen; diese Ebene kann aber sowohl imaginar als auch reell sein. Aus der Theorie der Projektivitaten kann man die schon oben erwahnte Rechnung mit Wiirfen ableiten. Es bietet keine Schwierigkeit, die Operationsdefinitionen aus den Rechenregeln zu entnehmen 1; ich habe mich aber der Kiirze wegen auch an dieser Stelle an v. STAUDT angeschlossen und den entgegengesetzten Weg vorgezogen. Durch die Wurfrechnung wird unter anderem nachgewiesen, daB die von v. STAUDT gegebene, auf den ersten Blick etwas verwickelte konstruktive Losung einer Gleichung dritten Grades mit der einfachsten algebraischen Losung aquivalent ist. Es war ein Hauptzweck dieses Buches, die v. STAuDTsche Imaginar theorie zu entwickeln. Doch wiinsche ich auch eine Einleitung in die von dem italienischen Mathematiker ENRICO SEGRE und von mir gleich- 1 VgI. z. B. meine Habilitationsschrift: Bidrag til den imagin:;ere Linies og den imagin:;ere Plans Geometri (Kopenhagen 1885). Vorwort. VII zeitig entwickelte Theorie der Antiprojektivitaten oder Symmetralitaten zu geben. Die wenigen hierauf beziiglichen Arbeiten sind unten an gegeben 1; ich will in dieser Hinsicht nur bemerken, daB E. SEGRE diese Theorie sehr weit gefiihrt hat, wahrend ich mich auf das elementare Gebiet beschrankt habe, und nur das letztere spielt in diesem Buche eine Rolle. Die Moglichkeit eindeutiger Transformationen, bei denen ent sprechende Wiirfe entgegengesetzten Sinn haben, hatte schon v. STAUDT an mehreren Stellen angedeutet, er lehnte aber ihre Einbeziehung in die projektive Geometrie ab, da fiir ihn die projektive Geometrie der klassischen Algebra vollstandig parallel laufen sollte. Es scheint mir aber auch schon in der reinen Algebra zweckmaBig zu sein, zu den vier bekannten Grundoperationen noch eine fiinfte hinzuzufiigen, namlich den + x Ubergang von x = a i b zu = a - i b, wo a und b reell sind. Hierdurch wird es ermoglicht, das Reelle yom Imaginaren formal zu trennen. Das oben Besprochene bildet den Inhalt der beiden ersten Haupt abschnitte dieses Buches. Der dritte Hauptabschnitt geht auf die MaB bestimmung von Strecken und Winkeln und damit auf die nicht euklidischen Geometrien ein. DaB die CAYLEYSche MaBbestimmung mit den schon vorher entwickelten nichteuklidischen Geometrien im wesentlichsten identisch ist, hat FELIX KLEIN schon 1871 in zwei Ab handlungen dargelegt 2. Als ein sich auf diesen Gesichtspunkt stiitzendes und vollstandig durchgefiihrtes Lehrbuch nenne ich: F. SCHILLING, Projektive und nichteuklidische Geometrie 1-II3. In der vorliegenden Darstellung zahle ich zuerst die wenigen Forde rungen auf, die man den projektiven Voraussetzungen hinzufiigen muB, urn eine Metrik einfiihren zu konnen; daraus wird dann das absolute Polarsystem mit den zugehorigen Fundamentaltransformationen her geleitet. Hierdurch wird es ermoglicht, die Messung von Strecken und Winkeln durch Zahlen durchzufiihren. Mit besonderer Umsicht wird die Streckenmessung in der euklidischen Geometrie behandelt. - Die Unterscheidung zwischen Kongruenz- und Symmetrietransformationen (in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie) wird erst spater eingefiihrt. We iter folgen zwei Kapitel iiber die hyperbolische und die elliptische Geometrie mit besonderer Beriicksichtigung der elementaren Konstruk- 1 SEGRE, E., Un nuovo campo di ricerche geometriche [Torino Atti Bd. 25 (1890) S. 276-301, 430-457 u. 592-612; Bd. 26 (1891) S. 35-71 - Rappre sentazioni reall delle forme complesse [Math. Ann. Bd. 40 (1892) S. 413-467J. - JUEL, C., Bidrag til den imaginrere Linies og den imaginrere Plans Geometri [Hab. Schrift Kopenhagen 1885J - "Ober einige Grundgebilde der projektiven Geometrie [Acta Math. Bd. 14 (1890-1891) S. 1-30J. 2 "Ober die sogenannte nichteuklidische Geometrie [Math. Ann. Bd. 4 (1871) S. 573-625; Bd. 6 (1873) S. 112-145J. 3 Leipzig und Berlin 1931. VIII Vorwort. tionen und der Trigonometrie; bezuglich der letzteren ist die Behand lung des rechtwinkligen Dreiecks hinreichend. Als SchluB des dritten Hauptabschnittes folgt ein Kapitel uber euklidische Geometrie, in das die Theorie der MOBIusschen Kreisverwandtschaften eingefiigt ist. Die hier gewahlte element are Darstellung dieser Theorie steht in Uberein stimmung mit der des Urhebers und gibt unter anderem neue Kon struktionen der Doppelpunkte. Den AbschluB des Buches sollte eigentlich eine Einfiihrung in die Theorie der algebraischen Kurven bilden. Ich sah aber bald, daB ich - obgleich ich viel Material dafur hatte - nicht damit fertig werden wurde. Daher habe ich mich auf eine Theorie der Kurven dritter Ord nung beschrankt und die wichtigsten projektiven Eigenschaften dieser Kurven in ihrer Beziehung zur Theorie der quadratischen Transfor mationen innerhalb der gewahlten Grenzen in leidlicher Vollstandigkeit behandelt; jedoch ist die Theorie der Inflexionspunkte nur fur reelle Kurven - allgemeiner fur Kurven, bei denen die Existenz eines In flexionspunktes im voraus gesichert ist - durchgefuhrt. Der Inhalt dieses Buches entstammt teils meiner Habilitationsschrift von 1885, teils zwei Vo rlesungsreihen, welche ich an der Wende dieses J ahr hunderts an der Kopenhagener Universitat gehalten habe. Alles wurde aber einer volligen Neubearbeitung unterzogen. Hierbei wurde mir die beim allmahlichen Schwinden meiner Sehkraft unentbehrliche Hilfe von Privatdozent Dr. D. FOG geleistet, der selbst auf dem Gebiet der komplexen Geometrie mit Erfolg gearbeitet hat. Ohne sein verstandnis voIles Eingehen auf meine Gedankengange und seine unermudliche Hilfsbereitschaft ware es mir nicht moglich gewesen, diese Arbeit zum AbschluB zu bringen. Es ist mir ein Bedurfnis. Herrn FOG an dieser Stelle meinen herzlichsten Dank fur seine jahrelange hingebungsvolle Mitarbeit auszusprechen. Fur sprachliche Durchsicht und Mithilfe bei der Korrektur bin ich Herrn Dr. J. F. PAL zu Dank verpflichtet. Ganz besonderen Dank schulde ich der Direktion des Carlsberg Fonds fUr freigebige und vielseitige Unterstutzung, welche die Heraus gabe dieses Buches ermoglicht hat; auch hat der Rask-.0rsted-Fond gutigst hierzu beigetragen; zugleich spreche ich der Verlagsbuchhand lung fur die Ubernahme der Herausgabe und fiir die vorzugliche Aus stattung des Buches meinen besten Dank aus. Kopenhagen, im Mai 1934. C. JUEL. Inhaltsverzeichnis. Erster Abschnitt. Einleitung in die Imaginartheorie. Projektivgeometrie im eindimensionalen komplexen Gebiet. Seite I. Kapitel. Einlei tung . . . . . . . § 1. Voraussetzungen. Grundgebilde § 2. Die Kegelschnitte . . . . . 11 § 3. Die einfache Regelflliche . . 18 § 4. Die lineare Linienkongruenz 22 II. Kapitel. Imaginare Elemente 27 § 1. Die imaginaren Elemente in der Ebene und im Raume 27 § 2. Die einfache Kette. . . . . . . . . . . . . . . 31 § 3. Satze iiber Ketten. . . . . . . . . . . . . . . 38 III. Kapitel. Projektivitaten und Symmetralitaten . 40 § 1. Die Projektivitat. . . . . . . . . . . . . . . . 40 § 2. Die Symmetralitat. . . . . . . . . . . . . . . 43 IV. Kapitel. Doppelelemente und Doppelketten in projektiven und antiprojektiven Elementargebilden . . 45 § 1. Doppelpunkte und Doppelketten in einer Projektivitat . 45 § 2. Doppelpunkte und Doppelketten in einer Symmetralitat . 49 § 3. Zerlegung in Symmetrien. . . . . . . . . . . . . . . 54 V. Kapitel. Einleitung in die Wurftheorie; Koordinatenbestim- mung . . . . . . . . 55 § 1. Die Wurfrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 § 2. Zerlegung eines Wurfes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 VI. Kapitel. Einleitung in die algebraische Theorie der Projek- tivitaten und Symmetralitaten . 63 § 1. Die Projektivitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 § 2. Ketten und Symmetralitaten . . . . . . . . . . . . 66 § 3. Doppelketten in Projektivitaten und Symmetralitaten . 73 § 4. Projektive Koordinaten in der Ebene .. . . . . . 81 VII. Kapitel. Aufgaben dritten und vierten Grades. 84 § 1. Uber die Schnittpunkte zweier Kegelschnitte. . . 84 § 2. Die rein kubische Gleichung . . . . . . . . . . 89 § 3. Kegelschnitte, welche einander in einem gegebenen Punkt schneiden 92 § 4. Die Schnittpunkte zweier Kegelschnitte in allgemeiner Lage . . . 96 § 5. Algebraische Formulierung der v. STAUDTschen Losung der kubischen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Zweiter Abschnitt. Projektivgeometrie im zweidimensionalen komplexen Gebiet. VIII. Kapitel. Projektive und antiprojektive Abhangigkeiten in der Ebene . . . 100 § 1. Die Kollineation . 100 § 2. Die Reziprozitat . 110 x Inhaltsverzeichnis. Seite IX. Kapitel. Die zweidimensionale Kette . . . . . . . . . . 115 § 1. Die geometrische Behandlung der zweidimensionalen Kette 115 § 2. Die algebraische Theorie der zweidimensionalen Kette . 122 X. Kapitel. Antiprojektivitaten in der Ebene. 129 § 1. Die Antikollineation . . . . . . . . . . . . . . . . 129 § 2. Die Antireziprozitat . . . . . . . . . . . . . . . . 130 XI. Kapitel. Einleitung in die algebraische Theorie der Projek- tivitaten und Antiprojektivitaten in der Ebene 132 § 1. Die Kollineation und die Antikollineation . . . . . . . . . . . 132 § 2. Die Reziprozitat und die Antireziprozitat . . . . . . . . . . . 139 XII. Kapitel. Doppelketten in Kollineationen und Antikollinea- tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 § 1. Geometrische Bestimmung der Doppelketten 144 § 2. Algebraische Bestimmung der Doppelketten 150 Dritter Abschnitt. Metrik in projektiver Auffassung. XIII. Kapitel. Einfuhrung in die Metrik. 155 § 1. Das absolute Polarsystem. . . . . . . . 155 § 2. Lange und Winkel. . . . . . . . . . . 158 XIV. Kapitel. Die hyperbolische Geometrie . 172 § 1. Elementare hyperbolische Geometrie . 172 § 2. Winkelsumme und FlachenmaB . . 175 § 3. Trigonometrie . . . . . . . . . . . 178 XV. Kapitel. Die elliptische Geometrie . 183 § 1. Einleitende Bemerkungen. FlachenmaB. 183 § 2. Trigonometrie . . . . . . . . . 185 XVI. Kapitel. Euklidische Geometrie 187 § 1. Elementare euklidische Geometrie 187 § 2. Die Kreisverwandtschaften . . . 189 Vierter Abschnitt. Quadratische Transformationen und Kurven dritter Ordnung. XVII. Kapitel. Buschel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 § 1. Buschel von Projektivitaten in einem Elementargebilde 198 § 2. Buschel von Kollineationen in der Ebene 200 § 3. Buschel von Reziprozitaten in der Ebene 201 § 4. Buschel und Bundel von Kegelschnitten . 205 § 5. Algebraisches Supplement. . . . . . . . 207 XVIII. Kapitel. Quadratische Transformationen 207 § 1. Definition und einleitende Satze. . . . . . . 207 § 2. Involutorische Transformationen. . . . . . . 210 § 3. Weitere Satze uber allgemeine quadratische Transformationen 213 § 4. Bestimmung von Reziprozitaten und quadratischen Transformationen durch Paare von konjugierten Punkten. . . . . 219 XIX. Kapitel. Die unikursale Kurve dritter Ordnung. 221 § 1. Definition der unikursalen Kurve dritter Ordnung . 221 § 2. Die Involution dritter Ordnung. . . . . . . . . . 228 XX. Kapitel. Die Polarentheorie einer unikursalen Kurve dritter Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . 231 § 1. Polaren in bezug auf ein Linientripel . 231 § 2. Die Polarentheorie einer nicht speziellen q 236 Inhaltsverzeichnis. XI Seite XXI. KapiteJ. Die allgemeine Kurve dritter Ordnung 240 § 1. Erzeugung der Kurve nach CHASLES . 240 § 2. Der Satz von SALMON . . . . . 246 § 3. Konjugierte Punkte auf einer C3 • 247 § 4. Eingeschriebene Polygone. . . . . 250 § 5. GRASSMANNsche Definition einer C3 251 XXII. Kapitel. Einlei tung in die Polaren theorie einer allgemeinen Kurve dritter Ordn ung . . . . . . . . . . . . . . 252 § 1. Die J ACoBIsche Kurve eines Biindels von Kegelschnitten 252 § 2. Polarkurven in bezug auf eine ca. . . . . . . . 256 § 3. Die HEssEsche Kurve . . . . . . . . . . . . . 259 § 4. Die CAYLEYSche Kurve eines Kegelschnittbiindels . 261 § 5. Die Polokonik . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 XXIII. Kapitel. Die Inflexionspunkte. . . . . . . . 264 § 1. Aus einem Inflexionspunkt die anderen abzuleiten 264 § 2. Aus drei auf einer Geraden liegenden Inflexionspunkten die sechs anderen abzuleiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 § 3. Harmonische und aquianharmonische Kurven .......... 272 XXIV. KapiteJ. Kurven dritter Ordnung und quadratische Trans forma tionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 § 1. Transformation der Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 § 2. Involutorische Paare in einer allgemeinen quadratischen Abhangig- keit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 § 3. Bestimmung einer quadratischen Transformation durch Paare von entsprechenden Punkten . 281 Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
The list of books you might like
