Vorlesungen über Numerische Mathematik: Band 1: Gleichungssysteme, Interpolation und Approximation

163 Pages·1976·4.173 MB·German

by  Heinz Rutishauser (auth.), Martin Gutknecht (eds.)

H. RUTISHAUSER
VORLESUNGEN OBER NUMERISCHE MATHEMATIK
BAND!
MATHEMA TISCHE REIHE
BAND 50
LEHRBUCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
HEINZ R UTISHA USER
VORLESUNGEN
UBER NUMERISCHE
MATHEMATIK
Herausgegeben von
MARTIN GUTKNECHT
unter Mitwirkung von
PETER HENRICI
PETER LA UCHLI
HANS-RUDOLF SCHWARZ
BAND 1
GLEICHUNGSSYSTEME, INTERPOLATION
UND APPROXIMATION
1976
Springer Basel AG
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Rutishauser, Heinz
[Sammlung]
Vorlesungen über numerische Mathematik / hrsg. von Martin Gutknecht unter
Mitw. von Peter Henrici ... - Basel, Stuttgart : Birkhäuser.
Bd. 1. Gleichungssysteme, Interpolation und Approximation. - 1. Aufl. - 1976.
(Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften:
Math. Reihe; Bd. 50)
ISBN 978-3-0348-5510-5
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen
und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1976
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1976
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1976
ISBN 978-3-0348-5510-5 ISBN 978-3-0348-5509-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5509-9
GELEITWORT
Heinz Rutishauser ist einer der Pioniere der modernen numerischen Mathe
matik. Urspriinglich als Funktionentheoretiker ausgebildet, trat er 1950 als
Mitarbeiter in das kurz vorher gegriindete Institut fiir angewandte Mathematik
an der Eidgenossischen Technischen Hochschule ein, wo sein aussergewohn
liches algorithmisches Talent bald zutage trat. Mit knapp gefassten Publikatio
nen fiihrte er Methoden und Fragestellungen in die numerische Mathematik
ein, die sich in der Folge als grundlegend erwiesen haben. Die Theorie der
Stabilitat bei der numerischen Losung von gewohnlichen Differentialg1eichun
gen, das «economizing» von Potenzreihen durch die Verwendung von Tsche
byscheff-Polynomen, der Quotienten-Differenzen-Algorithmus, das LR-Ver
fahren, die exakte Begriindung des Romberg-Algorithmus und viele andere
Beitrage gehen auf Rutishauser zuriick. Er erkannte auch als erster, dass der
Computer selbst zur Aufstellung von Rechenprogrammen beniitzt werden
kann, und war massgeblich an der Entwicklung der Programmiersprache
ALGOL beteiligt. In seinen letzten Lebensjahren befasste sich Rutishauser mit
der Axiomatisierung des numerischen Rechnens und gab damit die yom theore
tischen Standpunkt aus wohl befriedigendste Theorie der Rundungsfehlerfort
pflanzung. Seine gesundheitsbedingte Reisescheu und wohl auch eine gewisse
Introvertiertheit verhinderten, dass alle diese Leistungen ihrem Verdienst nach
bekannt und gewiirdigt wurden.
Nach Rutishausers Hinschied im Jahre 1970 beauftragte seine Witwe, Frau
Margrit Rutishauser, die Unterzeichneten, seinen wissenschaftlichen Nachlass
zu sichten. Es war uns sofort klar, dass Rutishausers Vorlesungen iiber numeri
sche Mathematik einen wichtigen Bestandteil seines Nachlasses bildeten. Diese
Vorlesungen, die an Qualitat und OriginaliHit weit iiber das Durchschnittsange
bot auf diesem Gebiet herausragen, waren schon von Rutishauser selbst zur
Publikation vorgesehen, aber erst zum Teil im Detail zum Druck vorbereitet
worden. Es fiigte sich, dass in Dr. Martin Gutknecht eine Personlichkeit
gewonnen werden konnte, welche diese Vorlesungen noch selbst gehort hatte
und dabei auch iiber die notigen Fachkenntnisse verfiigte, um die Vorbereitung
zum Druck erfolgreich zu Ende fiihren zu konnen. Dr. Gutknechts Arbeit
wurde yom Schweizerischen Nationalfonds in verdankenswerter Weise unter
stiitzt. Wir freuen uns, dank dem Entgegenkommen des Birkhauser Verlags das
Ergebnis nun der Offentlichkeit vorlegen zu konnen.
Ziirich, im Februar 1976 P.HENRICI
P.LXUCHLI
H. R. SCHWARZ
VORWORT DES HERAUSGEBERS
Dieses Buch ist der erste Band einer zweiteiligen Ausgabe der Manuskripte
zu den Vorlesungen «Numerische Methoden I» und «Numerische Mathema
tik I und II», die Prof. H. Rutishauser an der ETH Ziirich gehalten hat. Die
erstgenannte ist im Sommersemester 1970 neu fUr Anfanger konzipiert worden,
wogegen er die beiden andern in den sechziger Jahren als Wahlfachvorlesungen
mehrfach gehalten hat. Fiir das VersHindnis der meisten Kapitel geniigen
Grundlagen der linearen Algebra und der Differential- und Integralrechnung.
An einigen Stellen wird zudem etwas Funktionentheorie beniitzt. Dagegen
kommt der Leser ohne Kenntnisse in der Funktionalanalysis aus.
In diesem ersten Band werden die direkte Losung linearer Gleichungssy
steme, das Losen nichtlinearer Systeme, die Ausgleichsrechnung, die Interpola
tion mit Polynomen, die Quadratur und die Approximation durch Tscheby
scheff- Reihen und nach Remes besprochen. Imzweiten folgtdie Behandlung von
gewohnliehen und partiellen Differentialgleiehungen, die iterative Auflosung
linearer Gleiehungen und die Diskussion von Eigenwertproblemen. Ferner
enthalt der zweite Band einen Anhang iiber den qd-Algorithmus und die
Axiomatisierung der Computer-Arithmetik.
Bei einigen Algorithmen werden auch die Probleme der Programmierung
besprochen und Ausschnitte von ALGOL-Programmen angegeben. Es sei dar
auf hingewiesen, dass mehrere vollstandige und siehere Prozeduren zu hier
beschriebenen Methoden von W. Gander, L. Molinari und H. Svecova unter
dem Tite1 «Prozeduren des Rechenzentrums der ETHZ» herausgegeben werden
(ebenfalls im Birkhauser Verlag).
Ais Prof. H. Rutishauser am 10. November 1970 im Alter von 52 Jahren
starb, hinterliess er unter anderem die Manuskripte zu den oben genannten
Vorlesungen. Er hatte diese Notizen, die uns Frau M.Rutishauser zuvorkom
menderweise iiberlassen hat, im Laufe der Jahre zum Teil mehrfach iiberarbei
tet und sie dem Stand der Forschung angepasst. Auch war sein Wunsch
bekannt, sie spater als Lehrbuch zu veroffentliehen; einige Abschnitte lagen
sogar fast druckreif vor. Leider war es ihm aber nieht vergonnt, das Buch zu
vollenden. Angesichts der Qualitat dieser Manuskripte und auf Grund des
weltweiten Rufs des Autors fanden wir es mehr als gerechtfertigt, sie zu
veroffentlichen, obwohl sie sieher in Form und Umfang noch nieht ganz seinen
strengen Wiinschen entsprachen. Von Anfang an war es unsere Absieht, so
wenig wie moglich am Text zu andern und keine grosseren Umstellungen oder
Erganzungen vorzunehmen. Auch sollte der Charakter nicht verandert werden
und beispielsweise an der mitunter bildhaften Sprache, die Lesen und Verstand
nis erleichtert, festgehalten werden. Trotzdem blieb noch vieles zu tun, be son-
ders bei jenen Teilen, die vom Autor erst entworfen worden waren. Auch lagen
einzelne Kapitel stiickweise in mehreren Versionen vor, die moglichst zu einem
nahtlosen Ganzen vereint werden mussten. Die numerischen Beispiele wurden
fast aIle neu durchgerechnet. Schliesslich waren noch die Figuren anzufertigen,
wobei fUr das Zeichnen eindeutig definierter Kurven im allgemeinen ein Plotter
eingesetzt wurde.
Bei der ganzen Textbearbeitung waren mir in erster Linie die Mitherausge
ber Prof. P. Henrici, Prof. P. Uiuchli und Prof. H. R. Schwarz behilflich, die das
Manuskript gelesen und mich wahrend vieler Stunden in Grundsatz- und
Detailfragen beraten haben. Viele weitere Kollegen haben mir ebenfalls durch
ihre Kritik geholfen; zu erwahnen sind vor allem Prof. R. Jeltsch, Dr. R. Bloch
und Dr. J.Waldvogel. Weiter danke ich Fraulein G.Bonzli und Frau L.Gut
knecht, die grosse Teile des Textes getippt haben, sowie Dr. V. Sechovcov, der
die Figuren in Tusche nachgezeichnet hat. Auch bin ich sehr froh, dass sich Herr
M. Stutz und andere bereit erklart haben, mir bei der Korrektur der Druckfah
nen zu helfen.
Meine Herausgebertatigkeit wurde zum grossten Teil vom Schweizerischen
Nationalfonds finanziert. Schliesslich mochte ich Verlag und Druckerei fUr die
sehr sorgfaltige und rasche Drucklegung danken.
Vancouver, B.c., im Februar 1976 M. GUTKNECHT
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1. Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 1.1. Programmsicherheit .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 1.2. Der Werdegang eines Programms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 1.3. Schwierigkeiten .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Kapitel 2. Lineare Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§ 2.1. Der klassische Gauss'sche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 2.2. Die Dreieckszerlegung ........................................... 21
§ 2.3. Nachiteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
§ 2.4. Pivotstrategien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§ 2.5. Fragen der Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§ 2.6. Der Austauschalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 2.7. Fragen der Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§ 2.8. Lineare Ungleichungen (Optimierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Kapitel 3. Gleichungssysteme mit positiv definiter symmetrischer Koeffizienten-
matrix.................. . ....... .......... ..... ... .......... 50
§ 3.1. Positiv definite Matrizen ......................................... 50
§ 3.2. Kriterien fUr Positivdefinitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§ 3.3. Die Cholesky-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
§ 3.4. Programmierung der Cholesky-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 3.5. Auflosung eines linearen Systems ............................ . . . . . . 60
§ 3.6. StOrung durch Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§ 3.7. Lineare Gleichungssysteme als Minimumproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Kapitel 4. Nichtlineare Gleichungen ...................................... 68
§ 4.1. Die Grundidee der Linearisierung ................................. 69
§ 4.2. Die Methode von Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
§ 4.3. Die Regula falsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
§ 4.4. Algebraische Gleichungen ........................................ 76
§ 4.5. Die Wurzelquadrierung (Dandelin-Graeffe). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
§ 4.6. Anwendung der Methode von Newton auf algebraische Gleichungen. . . . 81
Kapitel 5. Ausgleichsprobleme ........................................., . . 85
§ 5.1. Nichtlineare Ausgleichsprobleme .................................. 85
§ 5.2. Lineare Ausgleichsprobleme und ihre klassische Losung. . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 5.3. Vermittelnde Ausgleichung durch Orthogonalisierung ................ 92
§ 5.4. Rechentechnik der Orthogonalisierung ........................... . . 94
§ 5.5. Bedingte Ausgleichung durch Orthogonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Kapitel 6. Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102
§ 6.1. Das Interpolationspolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
§ 6.2. Baryzentrische Formel . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 6.3. Dividierte Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107
§ 6.4. Die Newtonsche Interpolationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
§ 6.5. Spezialisierung auf gleichabstandige Xi • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 114
§ 6.6. Zur Problematik der Newtonschen Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 6.7. Hermitesche Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117
§ 6.8. Latteninterpolation.............................................. 121
§ 6.9. Glattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126
§ 6.10.Genaherte Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130
Kapite1 7. Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136
§ 7.1. Kritik der Polynomdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136
§ 7.2. Definition und Grundeigenschaften der Tschebyscheff-Polynome . . . . . .. 137
§ 7.3. Entwicklung nach T-Polynomen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 140
§ 7.4. Numerische Berechnung der T-Koeffizienten ...... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144
§ 7.5. Verwendung der T-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148
§ 7.6. Beste Approximation nach Tschebyscheff(T-Approximation) .......... 151
§ 7.7. Der Remez-Algorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155
Namen-und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161